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高考总复习:概率的综合应用(文)


高考总复习:概率的综合应用(文)
【考纲要求】 一、随机事件的概率 (1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的 区别; (2)了解两个互斥事件的概率加法公式。 二、古典概型 (1)理解古典概型及其概率计算公式; (2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 三、几何概型 (1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率; (2)了解几何概型的意义。 【知识网络】

随机事件的概率 概率 等可能事件的概率

古典概型 应用 几何概型

互斥事件的概率

【考点梳理】 考点一、随机事件的概率 1.事件 (1)在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件; (2)在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件; (3)在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件。 2.概率和频率 (1)用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据; (2)在相同条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现

的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 f n ( A) ?

nA 为事件 A 出现的频率; n

(3)对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频繁 f n ( A) 随着试验次数的增加稳定于概 率 P(A) ,因此可以用频率 f n ( A) 来估计概率 P(A) 。 要点诠释:频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数,它 是频率的科学抽象。当试验次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就 近似地当作随机事件的概率。 3.事件之间的关系和运算 定义 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含关系 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 相等关系 并事件(和事 件) 交事件(积事 件) 互斥事件 对立事件 件 A 与事件 B 互为对立事件 互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的。在一次试验中,两个互斥的事件有可能都 不发生,也可能有一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能同时发生。所以, 两个事件互斥,他们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥。也就是说,两个事件对 立是这两个事件互斥的充分而不必要条件。 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1; (2)必然事件的概率 P(E)=1; (3)不可能事件的概率 P(F)=0; (4)概率的加法公式 若 A ? B且B ? A ,那么称事件 A 与事件 B 相等 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则 称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则 称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事 A∩B= ? A∩B(或 AB) A=B A∪B(或 A+B) 符号表示

B ? A或(A ? B)

如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) ; (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件。P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B) 。 考点二、古典概型 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2.古典概型 具有以下 两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。 确定一个试验是否为古典概型主要在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和 等可能性。 3.古典概型的概率公式

P( A) ?

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数

4.求古典概型概率的步骤 (1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意; (2)判断本试验的结晶是否为等可能事件,设出所求事件 A; (3)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (4)利用公式 P ( A) ? 考点三、几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型。 (2)在几何概型中事件 A 的概率计算公式

m 求出事件 A 的概率。 n

P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)

古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的,但古典概型要求基本事件有有限 个,几何概型要求基本事件有无限多个。

【典型例题】 类型一、随机事件的概率 1.事件的判断:三种事件即不可能事件、必然事件和随机事件的概念充分理解,特别是随 机事件要看它是否可能发生,并且是在一定条件下的,它不同于判断命题的真假。 2.对随机事件的理解应包含下面两个方面: (1)随机事件是指一定条件下出现的某种结果,随着条件的改变其结果也会不同,因此必 须强调同一事件必须在相同的条件下研究; (2)随机事件可以重复地进行大量试验,每次试验结果不一定相同,且无法预测下一次的 结果,但随着试验的重复进行,其结果呈现规律性。 【例 1】判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 【思路点拨】利用随机事件的定义加以判断。 【解析】根据定义,事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事 、 、 、 、 件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件。 、 、 、 【总结升华】熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以 区分。 【例 2】 (1)如果某种彩票中奖的概率为 率的意义解释。 (2)在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其 公平性。

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概 100

【解析】 (1)不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验 的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中 奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖。 (2)这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任 何一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 【总结升华】 (1)买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的, 所以做 1000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 (2)这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球 权的概率是 0.5。事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 举一反三: 【变式 1】某战士在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( (A)至多有一次中靶 (C)两次都不中靶 【答案】C。 【变式 2】把标号为 1,2,3,4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分 得一个。事件“甲分得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是( (A)互斥但非对立事件 (C)相互独立事件 【答案】A。 【总结升华】一定要区分开对立和互斥的定义,互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做 互斥事件;对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。 类型二、古典概型 【例 3】某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个, 对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 (B)对立事件 (D)以上都不对 ) (B)两次都中靶 (D)只有一次中靶 )

1

2

3
0.15

4

5

0.05

m

0.35

n

(Ⅰ)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m, n ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率.

【思路点拨】 (Ⅰ)可利用频率和等于 1 和在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个这一条 件求出 m, n (Ⅱ)利用古典概型求解步骤求解。 【解析】 (Ⅰ)由频率分布表得 即 m ? n ? 0.45 . 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 得 n?

0 . 0?m? 5

0 .? 5 1

0 .n ? , ? 35

1

2 ? 0 .1 . 20

所以 m ? 0.45 ? 0.1 ? 0.35 . (Ⅱ) (Ⅰ) 由 得, 等级为 3 的零件有 3 个, 记作 x1 , x2 , x3 ; 等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1 , y2 . 从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为:

( x1, x2 ),( x1, x3 ),( x1, y1 ),( x1, y2 ),( x2 , x3 ),( x2 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y1),( x3 , y2 ),( y1, y2 )
共计 10 种. 记事件 A 为“从零件 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为 ( x1 , x2 ),( x1 , x3 ),( x2 , x3 ),( y1 , y2 ) 共 4 个. 故所求概率为 P ( A) ?

4 ? 0.4 . 10

【总结升华】求解古典概型问题:先用列举法求出基本事件总数 n,再求出事件 A 包含的 基本事件数 m,最后根据古典概型公式求概率。 【例 4】袋中有 6 个球,其中 4 个白球,2 个红球,从袋中任意取出 2 个球,求下列事件的 概率: (1)A:取出的 2 个球都是白球; (2)B :取出的 2 个球中 1 个是白球,另 1 个是红球。 【思路点拨】利用求解古典概型基本步骤求解。 【解析】设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6。从袋中的 6 个小球中 任取 2 个的方法为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)共 15 种。 , , , , (1)从袋中的 6 个球中任取 2 个,所取的 2 个球全是白球的方法总数,即是从 4 个白球中 任取 2 个的方法总数,共有 6 种。即: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)∴取出的 , , , , , 2 个球全是白球的概率为: P ( A) ?

6 2 ? 。 15 5

(2) 从袋中的 6 个球中任取 2 个, 其中 1 个为红球, 而另 1 个为白球, 其取法包括 (1, , 5) (1,6)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)共 8 种。∴取出的 2 个球中 1 , , , , , , 个是白球,另 1 个是红球的概率为 P ( B ) ?

8 。 15

【总结升华】 (1)在古典概型条件下,当基本事件总数为 n 时,每一个基本事件发生的概

1 ,要求事件 A 的概率,关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 中所含基本事件数 m,再 n m 由古典概型概率公式 P ( A) ? 求出事件 A 的概率。 n
率均为 (2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可 、 考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质 P( A) ? 1 ? P( A) 进一步求解。 类型三、古典概型与统计 【例 5】为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所 中学抽取 6 个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有 12,6,18 个教学班. (Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数; (Ⅱ)若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个教学班中至少 有 1 个来自甲学校的概率. 【思路点拨】 (Ⅰ)先求出甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例,用样本容量乘以甲、乙、 丙三所中学的教学班所占比例,即得从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数. (Ⅱ)把从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班的基本事件一一列举出来,找出其中至少有 1 个来自甲学校的基本事件,即可求出这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概率. 【解析】 (Ⅰ)由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是 12:6:18=2:1:3, 所以甲学校抽取教学班数为 6 ? 教学班数为 6 ?

2 1 =2 个,乙学校抽取教学班数为 6 ? =1 个,丙学校抽取 6 6

3 =3 个, 6

所以分别抽取的教学班个数为 2,1,3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从甲、乙、丙三所中学分别抽取 2,1,3 个教学班,不妨分别记为 A , 1

A2 , B1 ,C1 ,C2 ,C3 ,则从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班的基本事件为:( A1, A2 ) ,

( A1, B1 ) ,( A1, C1 ) ,( A1 , C2 ) ,( A1, C3 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , C1 ) ,( A2 , C2 ) ,( A2 , C3 ) ,(B1, C1 ) ,
( B1 , C2 ) , ( B1, C3 ) , (C1 , C2 ) , (C1 , C3 ) , (C2 , C3 ) 共 15 个.

设“从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班,至少有 1 个来自甲学校”为事件 D , 则事件 D 包含的基本事件为:( A , A2 ) ,( A , B1 ) ,( A , C1 ) ,( A , C2 ) ,( A , C3 ) ,( A2 , B1 ) , 1 1 1 1 1

( A2 , C1 ) , ( A2 , C2 ) , ( A2 , C3 ) 共 9 个.
所以 P( D) ?

9 3 ? . 15 5

所以从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个,且这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概 率为

3 . 5

【总结升华】在古典概型下求 P(A) ,关键要找出 A 所包含的基本事件个数然后套用公式

P( A) ?

事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数

【例 6】某中学举行了一次“环保知识竞赛” 全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛 , 成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题: 频率分布表
频率 频率分布直方图

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计

频数 8 a 20 ▓ 2 ▓

频率
0.040

组距

0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

x

▓ ▓
0.008 y 50 60 70 80 90 100

成绩(分)

(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广 场参加环保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 【思路点拨】先利用频率分布表和频率分布直方图求解 a, b, x, y 的值,然后再利用列举法列举 出基本事件个数,最后利用古典概型公式求解概率。

【解析】 (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . (Ⅱ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A, B, C , D ,第 5 组共有 2 人,记为 X , Y . 从 竞 赛 成 绩 是 80 分 以 上 ( 含 80 分 ) 的 同 学 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 有

AB, AC, AD, BC, BD, CD, AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY
共 15 种情况. 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E , 有 AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY 共 9 种情况. 所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P ( E ) ? 答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率

9 3 ? . 15 5

3 . 5


(ⅱ) “随机抽取的 2 名同学来自同一组” 设 为事件 F , A A A B, B , D X , 有 B , C ,D C DC , Y 7 种情况. 所以 P ( F ) ?

7 15 7 . 15

答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是

【总结升华】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力,读图时要全 面细致,要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题. 举一反三: 【变式】某校从高一年级学生中随机抽取 60 名学生,将其期中考试的数学成绩(均为整数) 分成六段: ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如下 频率分布直方图. (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计该校高一年级学生期中 考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生 中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看成一个总体, 从中任意选取 2 人,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率. 【解析】 (Ⅰ)分数在 ?70,80? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3 .
(Ⅱ)平均分为:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71.
(Ⅲ)由题意, ?80,90? 分数段的人数为: 0.25 ? 60 ? 15 人;

?90,100? 分数段的人数为: 0.05 ? 60 ? 3 人;
∵用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴ ?80,90? 分数段抽取 5 人,分别记为 A,B,C,D,E; ?90,100? 分数段抽取 1 人,记为 M. 因为从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分, 则另一人的分数一定是在 ?80,90? 分数段,所以只需在分数段 ?80,90? 抽取的 5 人中确定 1 人. 设“从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分为”事件 A , 则基本事件空间包含的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D), (B,E),(C,D),(C,E),(D,E),(A,M),(B,M),(C,M),(D,M),(E,M)共 15 种. 事件 A 包含的基本事件有(A,M),(B,M),(C,M),(D,M),(E,M)5 种. ∴恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率为 P ( A) ?

5 1 ? . 15 3

【例 7 高清视频概率的综合应用(文)例 5】近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将 生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民 生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾,数据统计如 下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a,b,c,其中

a>0,a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明), 并求此时 s2 的值. 注: s = [(x1 - x) +(x2 - x) + ? +(xn - x) ],其中x为 数据 x1,x2,…,xn 的平均数
2 2 2 2

1 n

【思路点拨】 、 (1)(2)两问可通过古典概型公式加以求解;第(3)问利用方差的意义求解。 【解析】 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = 厨余垃圾总量 400+100+100 3
(2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则 A 表示升华垃圾投放正确。 事件 A 的概率约为 “厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量、 “可回收物” 箱里的可回收物量与 “其他垃圾” 箱里其他垃圾量的总和除以升华垃圾总量,即 P( A) 约为 所以 P( A) 约为 1-0.7=0.3 (3)当 a=600,b=c=0 时, s 取得最大值。 因为 x = (a +b +c)=200 ,所以 s = [(600-200) +(0-200) + ? +(0-200) ]=80000 。 【总结升华】本题主要考察求解古典概型的方法和方差的几何意义,同时考查数据收集处理的 能力。 举一反三: 【变式】某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],… , (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 频数 3 6 25 y 2 频率 0.06 0.12 x z 0.04
2

400+240+60 =0.7 1000

1 3

2

1 3

2

2

2

合计

n

1.00

(I)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (II)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的 绝对值低于 0.5 的概率. 【解答】 (I)由表可知,样本容量为 n ,由 由x ?

2 ? 0.04 ,得 n ? 50 n

25 ? 0.5 ; n y 14 ? ? 0.28 n 50

y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ?

(II)设样本视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a, b, c , 样本视力在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e . 由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为:

? ? { a d ) a (e , b ,d( ,b ) , ( c , d ) , c e ( , , ) e ( ,
∴ n ? 10 ,且各个基本事件是等可能发生的.

)a, ( , a} , ( b c , (d , e ) , ( , b ) ,c , )

)

设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5” ,则事件 A 包含的基本事件有:

(a, b),(a, c),(b, c),(d , e) ,∴ m ? 4
∴ P ( A) ?

m 2 ? , n 5 2 . 5

故抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 类型四、几何概型

【例 8】已知地铁列车每 10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停 1 min,则乘客到达站台 立即乘上车的概率是( A. ) B.

1 10

1 9

C.

1 11

D.

1 8

【思路点拨】本题考查的知识点是几何概型,要求出两班列车停靠车站之间时间对应的线段长 度,及乘客到达站台立即乘上车的线段长度,然后根据几何概型计算公式,进行运算. 【解析】答案:A 试验的所有结果构成的区域长度为 10 min,而构成事件 A 的区域长度为 1 min,故 P(A)=

1 . 10

【总结升华】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ,可以为线段长度、面积、体积等,而 且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关. 举一反三: 【变式】如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 45°,若向圆内投镖,如果某人每次都投 入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( )

A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2 1 . 8

D.

3 4

【解析】答案 A, 阴影部分的面积是整个圆的面积的

【例 9】取一根长为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么,剪得两段的长度都不短于 1 m 的概率有多大? 【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型,本题属几何概型,把问题转化为化成绳 子长度之比。 【解析】

如图所示,记A={剪得两段绳子长都不少于1 m}.把绳子三等分,于是当剪断 1 位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度为1,则P ? A ?= . 3 1 故剪得两段的长度都不短于1 m的概率为 . 3

【总结升华】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子 上的任意一点,基本事件有无限多个,显然不能应用古典概型计算,可考虑用几何概型计算. 【例 10】老王的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,老王在下午 6: 00~7:00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐. (1)晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?

(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少? 【思路点拨】构造出变量区域,利用几何概型的解法求解。 【解析】(1)晚报在 5:30~6:30 之间送到或晚餐在 6:30~7:00 之间开始,这两种情况都使 得晚报的送达是在晚餐开始之前,故晚报在晚餐开始之前被送到的可能性大.

? 2 ? 在平面上建立如右图的直角坐标系.图中直线x=6,x=7,y=5.5,y=6.5
围成一个正方形区域G.设晚餐在x时开始,晚报在y时送达(6 ? x ? 7, ? y ? 6.5), 5.5 于是此试验的所有结果就与G中的所有点一一对应.晚报在晚餐前送达 当且仅当y ? x,因此图中阴影区域g 就表示“晚报在晚餐前送达”. 7 7 易求得g的面积为 , G的面积为1,故所求概率为P= . 8 8
【总结升华】本题的关键是设置晚报送到的时间和晚餐开始的时间分别为直角坐标系中的点的 横坐标与纵坐标,进而构造出对应的几何图形. 举一反三: 【变式】 设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 , a 是从区间[0,3]内任取的一个数, 是从区间[0,2] 若 b
2 2

内任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

【解析】设事件 A 为“方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根” ,当 a ? 0,b ? 0 时,方程
2 2

x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的充要条件为 a ? b ,试验的全部结果所构成的区域为

?(a, b) | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2? ,构成事件 A 的区域为 ?(a, b) | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2, a ? b? ,如
1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 图,由几何概型定义得 P ? A?= = . 3? 2 3
【例 11】某班主任统计本班 50 名学生放学回家后学习时间的数据,用条形图表示. (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值; (2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出 10 个学生谈话,求在学习时间为 1 个 小时的学生中选出的人数; (3)假设学生每天在家学习时间为 18 时至 23 时,已知甲每天连续学习 2 小时,乙每天连续 学习 3 小时,求 22 时甲、乙都在学习的概率.

【思路点拨】根据题目条件将问题转化为几何概型问题,进而转化为平面图形中两个面积的比 求得. 【解析】(1)平均学习时间为

20 ? 1 ? 10 ? 2 ? 10 ? 3 ? 5 ? 4 =1.8(小时). 50
(2)20×

10 =4. 50

(3)设甲开始学习的时刻为 x,乙开始学习的时刻为 y,试验的全部结果所构成的区域为 Ω ={(x,y)|18≤x≤21,18≤y≤20},面积 SΩ=2×3=6.事件 A 表示“22 时甲、乙正在学习”,所 构成的区域为 A={(x,y)|20≤x≤21,19≤y≤20},面积为 SA=1×1=1,这是一个几何概型,所 以 P( A ) ?

SA 1 ? S? 6

【总结升华】根据以上的解法,我们把此类问题的解决总结为以下四步: (1)构设变量.从问题情景中,发现哪两个量是随机的,从而构设为变量 x、y. (2)集合表示.用(x,y)表示每次试验结果,则可用相应的集合分别表示出试验全部结果 Ω

和事件 A 所包含试验结果.一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集. (3)作出区域.把以上集合所表示的平面区域作出来,先作不等式对应的直线,然后取一特 殊点验证哪侧是符合条件的区域.


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