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高一下学期期末考试(数学A卷)


高一下学期期末考试(数学 A 卷)
考生注意:本卷共三大题,20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟.不准使用计算器. 参考公式:1. 方差的计算公式: S
2

?

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ;
2 2 2

2. 用 最 小 二 乘 法 求 线 性 回 归 方 程

? ? ? y ? bx ? a

的 系 数 公 式 :

? b ?

? ?xi
i ?1 n i ?1

n

? x ?? y i ? y ? ?
i

?x
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? n ? x ? y
2 i

? ? , a ? y ? bx .

? ?x

? x?

2

?x

? nx

2

第Ⅰ卷 选择题 一、 选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 50 分. 每小题各有四个选择支, 共 仅有一个选择支正确. 请 用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. ) 1.已知点 A (1, 1, 1) , B ( ? 3 , ? 3 , ? 3 ) ,则线段 AB 的长为( ) A. 4 3
tan 15
2 ? ?

B. 2 3

C. 4 2

D. 3 2

2.

1 ? tan 15

的值为( )

A.

3 3

B.
?
2 ??) ? 1 3

3 6

C.

3 2

D.

3

3. 已知 sin ( A. ?
7 9

,则 co s(? ? 2? ) 的值为( ) B.
? ?
7 9

C.

2 9

D. ?

2 3

4.已知函数 f ( x ) ? sin ? ? x ?
? ?

?? ? ( ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ??



A.关于直线 x ?

对称

B.关于点 ?

??

? , ? 对称 0 ?? ?
? ?

C.关于点 ?

??

? , ? 对称 0 ?? ?

D.关于直线 x ?

对称

甲 4 8 2 5 1

7 8 9

乙 7 7 8 6 2

5. 甲、乙两名学生在 5 次数学考试中的成绩统计如茎叶 图所示,则下列结论正确的是( ) A.甲的平均成绩高于乙的平均成绩,但乙比甲更稳定
1

(第 5 题图)

B. 甲的平均成绩高于乙的平均成绩,且甲比乙更稳定 C. 甲的平均成绩低于乙的平均成绩,且乙比甲更稳定 D. 甲的平均成绩低于乙的平均成绩,但甲比乙更稳定 6. 用秦九韶算法计算多项式 f ( x ) ? 3 x ? 4 x ? 5 x ? 6 x ? 7 x ? 8 x ? 1 在 x ? 0 . 4 时的函数值, 需要做
6 5 4 3 2

乘法和加法的次数分别是( A.5,5 B.5,6

) C.6,6 D.6,5

7.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数,依次记为 x 和 y ,则 x ? y 的概率为( ) A.
3 10

B.

2 5

C.

3 5

D.

7 10

.

8.若角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边为射线 4 x ? 3 y ? 0 ( x ? 0) ,则
sin ? ? co s ? (co s ? ? tan ? ) 的值是(
2

) D.
7 5

开始

A.

1 5

B.

2 5

C.

6 5

输入函数 f ( x )

9.某流程图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的 函数为( )
3

f ( x) ? f (? x) ? 0 ?



A. f ( x ) ? x ? x ? 1 C. f ( x ) ? e ? 2 x ? 6
x

B. f ( x ) ?

1 x



D. f ( x ) ? cos(

?
2

? x)

存在零点? 是 输出函数 f ( x )



10.在 ? A B C 中, AB ? AC ? 2 AM , | AM |? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2 PM ,则 P A ? ( P B ? P C ) 等于( ) A.
4 9
??? ? ??? ? ??? ?

结束

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

4 9

(第 9 题图)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置上. ) 11.已知扇形的圆心角为 2,半径为 3 ,则扇形的面积是 .

12.随机地掷一颗骰子,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现” ,事件 B 表示“大于 4 的点数出现” ,则事件
A ? B 发生的概率为____________.

13.已知 a ? ( 2 ,1) , b ? (1, ? 1) ,则 b 在 a 上的投影为_____________. 14 . 已 知 圆 C 与 直 线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都 相 切 , 圆 心 在 直 线 x ? y ? 0 上 , 则 圆 C 的 方 程 为 .

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 13 分) 某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表: 商店名称 销售额 x (千万元) 利润额 y (百万元) A 3 2 B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 E[源 5 9 :高考资 源网]

(1)画出散点图.观察散点图,说明两个变量有怎样的相关关系; (2)用最小二乘法计算利润额 y 关于销售额 x 的回归直线方程;

(3)当销售额为 4(千万元)时,利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元).

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
2

3 cos

x ? sin x cos x ?

3 2

.

(1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)函数 f ( x ) 的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为偶函数? 请写出一种正确的平移方法,并 说明理由.

3

17. (本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (cos ? , 2 ), 满足 a // b ,其中 ? ? ( 0 , (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin( ? ? ? ) ?
1 3

?
2

).

,求 sin ? 的值.

18. (本小题满分 13 分) 从某校高一年级参加期末考试的学生中抽出 60 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图 如图所示. (1)根据频率分布直方图估计这次考试该年级的数学平均分; (2) 已知在[90,100]内的学生的数学成绩都不相同,且都在 95 分以上(不含 95 分),现用简单随机 抽样方法,从 96 ,97 ,98 ,99 ,100 这 5 个数中任取 2 个数,求这 2 个数恰好是两名学生的数学成绩的概率.
频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 分数 0 40 50 60 70 80 90 100

(第 18 题图)

4

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知 ? A O B ? 90 , ? A O C ? 45 , O A ? 2 , O C ?
0 0

??? ?

????

??? ? 2 , OB ? 1.

(1)试用向量 O A , O B 来表示向量 O C ; (2)若向量 O A , O B , k O C 的终点在一条直线上, 求实数 k 的值; (3)设 O D ?
???? ? ??? ? 1 ??? O A ? t O B ? t ? R ? ,当 A 、 B 、 C 、 3
??? ? ??? ?

??? ??? ? ?

????

B O C (第 19 题图) A

????

D 四点共圆时, 求 t 的值.

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C 1 : ( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C 2 : ( x ? 4 ) ? ( y ? 5 ) ? 16 .
2 2 2 2

(1)若直线 l 过点 A ( 6 , 0 ) ,且被圆 C 2 截得的弦长为 4 3 ,求直线 l 的方程; (2)在平面内是否存在一点 P ,使得过点 P 有无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与圆 C 1 和 圆 C 2 相交, 且直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长的 2 倍与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等?若存在, 求出所有 满足条件的 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

y

.

.

1 O 1 x

5

(第 20 题图)

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) ABBCC ADADD

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 12.
2 3

11.9

13.

5 5

14. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 15. (本小题满分 13 分) 解: (1)散点图如下. 两个变量呈正线性相关关系. 说明:①五个点中,全对的得 2 分,全错的得 0 分,不全对的得 1 分; ②答到正相关就给 2 分.
y( 百 万 元 )

????2 分 ????4 分

5 4 3 2

˙ ˙ ˙ ˙ ˙

1

o
O
1

2

3

4

5

6

7

8

9

x(千 万 元 )

? ? ? (2)设回归直线的方程是: y ? b x ? a .

由题中的数据可知 y ? 3 . 4 , x ? 6 .

????6 分

? 所以 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) ?
i

? 3 ? ( ? 1 . 4 ) ? ( ? 1) ? ( ? 0 . 4 ) ? 1 ? 0 . 6 ? 3 ? 1 . 6 9 ?1?1? 9

? (x
i ?1

? x)

2

?

10 20

?

1 2

.

????8 分

1 ? ? a ? y ? b x ? 3 .4 ? ? 6 ? 0 .4 . 2

y 所以利润额 y 关于销售额 x 的回归直线方程为 ? ? 0 .5 x ? 0 .4 .

????10 分

6

? (3)由(2)知,当 x ? 4 时, y ? 0 . 5 ? 4 ? 0 . 4 =2.4,

????12 分

所以当销售额为 4(千万元)时,可以估计该店的利润额为 2.4(百万元). ???13 分 16. (本小题满分 13 分) 解: 解: (1) f ( x ) ?
2

3 cos

x ? sin x cos x ?

3 2

?

3 2

cos 2 x ?

1 2

sin 2 x

????4 分

? sin( 2 x ?

?
3

).

????5 分
?
3 ?

由?
?

?
2

? 2 k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
2

? 2 k? , 得

5? 12

?
12

? k? , 5? 12 ? k? ,

????7 分
?
12 ? k ? ]( k ? Z ) .

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ ? (2)将函数 f ( x ) 的图象向左平移
y ? sin[ 2 ( x ?

????8 分

?
12

个单位,其对应的函数为
?
2 ) ? cos 2 x ,

?
12

)?

?
3

] ? sin( 2 x ?

????12 分
?
12

由于 y ? cos 2 x 是偶函数,所以将 f ( x ) 的图象向左平移 数.

个单位,其对应的函数可成为偶函

????13 分

(说出正确的一种平移即可,但如果没有说明理由,则扣 3 分) 17. (本小题满分 13 分) 解: (1) 因为 a // b ,所以 2 sin ? ? cos ? ? 0 .① 又 sin ? ? cos ? ? 1 .②
2 2

????2 分 ????4 分
5 5 2 5 5

则由①②及 ? ? ( 0 , (2) 由 sin( ? ? ? ) ?
1 3

?
2

) ,可解得 sin ? ?
1 4

, cos ? ?

.

????6 分

, sin( ? ? ? ) ?



1 ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 3 ? , ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 1 ? 4 ?

????8 分

7

7 ? sin ? cos ? ? ? ? 24 即? , 1 ? cos ? sin ? ? ? 24 ?

????9 分

所以 tan ? ?

1 7

tan ? . sin ? ? 1

????11 分 , ????12 分 ????13 分

又由(1)知 tan ? ?

co s ? 2 1 1 1 1 所以 tan ? ? tan ? ? ? ? . 7 7 2 14

18. (本小题满分 13 分) 解:(1)根据频率分布直方图,利用组中值可得这次考试该年级的数学平均分的估计值为
4 5 ? f1 ? 5 5 ? f 2 ? 6 5 ? f 3 ? 7 5 ? f 4 ? 8 5 ? f 5 ? 9 5 ? f 6
? 45 ? 0 . 05 ? 55 ? 0 . 15 ? 65 ? 0 . 2 ? 75 ? 0 . 3 ? 85 ? 0 . 25 ? 95 ? 0 . 05 ? 72 .

????3 分

所以估计这次考试该年级的数学平均分是 72 分. (2)从 96 ,97 ,98 ,99 ,100 中抽取 2 个数全部可能的结果有:

????6 分

( 96 , 97 ) , ( 96 , 98 ) , ( 96 , 99 ) , ( 96 ,100 ) , ( 97 , 98 ) , ( 97 , 99 ) , ( 97 ,100 ) , ( 98 , 99 ) , ( 98 ,100 ) , ( 99 ,100 ) 共 10 种.

????9 分

而 数 学 成 绩 在 [9 0, 1 0 0 ] 内 的 学 生 有 0 . 005 ? 10 ? 60 ? 3 人 , 不 妨 设 这 3 人 的 数 学 成 绩 是
96 , 97 , 98 . 如果抽取的 2 个数恰好是两个学生的数学成绩,则事件 A : “抽取的 2 个数恰好是两个

学 生 的 数 学 成 绩 ” 包 括 的 结 果 有 : ( 96 ,97 ), ( 96 ,98 ) , ( 97 ,98 ) 共 3 种. 所以所求的概率为 P ( A ) ? 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)以直线 O A 为 x 轴, O B 为 y 轴,如图建立直角坐标系. 则 O A ? ? 2, 0 ? , O B ? ? 0,1 ? , O C ? ?1, ? 1 ? . ?2 分 令 OC ? m OA ? n OB ,则有 O
(1 , ? 1) ? m ( 2 , 0 ) ? n ( 0 , 1)

????12 分
3 10

.

????13 分

??? ?

??? ?

????

Y B A C X

8

即?

1 ? ?m ? , 2 ? n ? ? 1, ?

????3 分
1

OA ? OB . 2 ??? ? ???? (2)令 O E ? k O C ? ? k , ? k ? ,则

所以 OC ?

????4 分

??? ? ??? ??? ? ? A B ? O B ? O A ? ? ? 2,1 ? , ??? ? ??? ??? ? ? A E ? O E ? O A ? ? k ? 2, ? k ? .

????6 分

由题意知: A B ∥ A E , 所以 ? 2 ? ? ? k ? ? ? k ? 2 ? ? 0 , 解得 k ? ? 2 . (3)设过点 A 、 B 、 C 的圆的方程为 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 .
2 2

??? ?

??? ?

????8 分

将 A 、 B 、 C 三点的坐标分别代入圆方程得
?2D ? F ? 4 ? 0 ? ?E ? F ?1 ? 0 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?

????10 分

所以 D ? ?

5 3

,

E ? ?
2

1 3
2

, 5

F ? ? x? 1 3

2 3

.
2 3 2 3 ? 0. ,t) .

所以圆的方程为 x ? y ?

y?

????12 分

3 ???? 1 ??? ? ??? ? 2 又OD ? OA ? tOB ? ( , t) 3 3

? D(

要使 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则点 D 在过点 A 、 B 、 C 的圆上,即
5 2 1 2 ?2? 2 ? ? ?t ? ? ? t? ? 0, 3 3 3 3 ?3?
2

????13 分

3t ? t ? 4 ? 0 .
2

解得 t ? ? 1 或 t ?

4 3

.
4 3

所以当 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆时, t ? ? 1 或 t ? 20. (本小题满分 14 分)

.

????14 分

解: (1)若直线 l 的斜率不存在, 则过点 A ( 6 , 0 ) 的直线为 x ? 6 , 此时圆心 C 2 ( 4 ,5 ) 到直线 x ? 6 的距离为 2 ,
l 被 圆 C 2 截 得 的 弦 长 为 2 16 ? 4 ? 4 3 , 符 合 题 意 , 所 以 直 线 x ? 6 为 所
9

求.

????2 分

若直线 l 的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 6 ) ,即 kx ? y ? 6 k ? 0 , 所以圆心 C 2 到直线 l 的距离 d ?
| 4k ? 5 ? 6k | k
2

?

| 2k ? 5 | k
2

.

????3 分

?1

?1

又直线 l 被圆 C 2 截得的弦长为 4 3 ,圆 C 2 的半径为 4,所以圆心 C 2 到直线 l 的距离应为
4 ? (2 3 )
2 2

? 2 ,即有
21 20

| 2k ? 5 | k
2

? 2 ,解得: k ? ?

.
21 20

????4 分

?1

因此,所求直线 l 的方程为 x ? 6 或 y ? ? 即 x ? 6 或 21 x ? 20 y ? 126 ? 0 .

( x ? 6) ,

????5 分

(2) 设 P 点坐标为 ( m , n ) ,直线 l1 的斜率为 k (不妨设 k ? 0 ) ,则 l 1 , l 2 的方程分别为:
l 1 : y ? n ? k ( x ? m ) 即 l 1 : kx ? y ? n ? km ? 0 ,
l2 y ? n ? ? 1 k ( x ? m ) 即 l 2 : x ? ky ? kn ? m ? 0 .

????6 分

因为直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长的 2 倍与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等, 又已知圆 C 2 的半径是圆
C 1 的 半 径 的 2 倍 . 由 垂 径 定 理 得 : 圆 心 C 1 到 直 线 l1 的 距 离 的 2 倍 与 C 2 直 线 l 2 的 距 离 相

等. 故有
2 | ? 3 k ? 1 ? n ? km | k
2

????7 分
? | 4 ? 5 k ? kn ? m | k
2



????10 分

?1

?1

化简得: 2 | 3 k ? 1 ? n ? km |? | 4 ? 5 k ? nk ? m | , 即有 (2 m ? n ? 1) k ? ( m ? 2 n ? 2) ? 0 或 (2 m ? n ? 11) k ? (6 ? 2 n ? m ) ? 0 . ????11 分 由于关于 k 的方程有无穷多解,所以有
?2m ? n ? 1 ? 0 ?2m ? n ? 11 ? 0 或? , ? ?m ? 2n ? 2 ? 0 ??m ? 2n ? 6 ? 0

????12 分

解之得:
16 ? ?m ? ? 5 ?m ? 0 或? , ? ? n ? ? 1 ? n ? 23 5 ?

????13 分

所以所有满足条件的 P 点坐标为 ( 0 , ? 1) 或 ( ?
10

16 5

,

23 5

).

????14 分


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