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三角函数 全套 教案


第 1 章:三角函数
§1.1.1 任意角 总第 1 课时 学习目标:1.理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角. 2.能在 0?到 360?范围内,找出一个与已知角终边相同的角,并判定其为第几象限角. 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合. 学习重点:将 0?到 360?的角概念推广到任意角. 学习难点:终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来.

学习过程: 一、情境设置 体操跳水比赛中有“转体 720?”“翻腾转体两周半”这样的动作名称, , 720?在这里表示什么? 二、探究研究 问题 1:在初中我们是如何定义一个角的?角的范围是什么? 问题 2: (1)手表慢了 5 分钟,如何校准,校准后,分针转了几度? (2)手表快了 10 分钟,如何校准,校准后,分针转了几度? 问题 3:任意角的定义(通过类比数的正负,定义角的正负和零角的概念) 问题 4:能否以以同一条射线为始边作出下列角吗? 210? -150? -660? 问题 5:上述三个角分别是第几象限角,其中哪些角的终边相同. 问题 6:具有相同终边的角彼此之间有什么关系,你能写出与 60?角的终边 相同的角的集合吗? 三、教学精讲
例 1:在 0?到 360?的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判 断它们是第几象限角: (1)650? (2)-150? (3)-990?15? 变式训练: (1)终边落在 x 轴正半轴上的角的集合如何表示?如终边落在 x 轴上呢?(2)终边 落在坐标轴上的角的集合如何表示? 例 2:若α 与 240?角的终边相同 (1)写出与 ? 的终边关于直线 y=x 对称的角 ? 的集合. (2)判断
? 2

是第几象限角.
? 2

变式训练:若 ? 是第三象限角,则- ? ,

,2 ? 分别是第几象限角.

例 3:如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).
y
120? 45?

y

O

x
210?

O

x

变式训练: (1)第一象限角的范围________________. (2)第二、四象限角的范围是 _________________.

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四、巩固练习 1、已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C 2、下列结论正确的是( ) Α .三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同 D. ? | ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z = ? | ? ? k ? 180 ? 90 , k ? Z
? ? ? ?



?

??

?


3、若角α 的终边为第二象限的角平分线,则α 的集合为______________________. 4、在 0°到 360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为 5、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角: 五、小结反思:本节内容延伸的流程图为: 0?—360?的角

任意角:正角,负角和零角

象限角

终边相同的角的表示

六、自我测评:
1、下列说法中,正确的是( )

A.第一象限的角是锐角 B.锐角是第一象限的角 C.小于 90°的角是锐角 D.0°到 90°的角是第一象限的角

2、 (1)终边相同的角一定相等; (2)相等的角的终边一定相同; (3)终边相同的角有无限多个; (4)终边相同的角有有限多个. 上面 4 个命题,其中真命题的个数是 ( ) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个
3、终边在第二象限的角的集合可以表示为: A. ∣90°<α <180°} {α B. ∣90°+k· {α 180°<α <180°+k· 180°,k∈Z} C. ∣-270°+k· {α 180°<α <-180°+k· 180°,k∈Z} D. ∣-270°+k· {α 360°<α <-180°+k· 360°,k∈Z} 4、与 1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________. ( )

5、在直角坐标系中,若角 ? 和角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 和角 ? 之 间的关系是 ( )

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A、 ? ? ? ? 90? C、 ? ? ? ? 90?

B、 ? ? k ? 360? ? 90? ? ? (k ? z) D、 ? ? k ? 360? ? 90? ? ? (k ? z)

6、 (1)若角 ? 的终边为第二象限的角平分线,则角 ? 集合是 . (2)若角 ? 的终边为第一、三象限的角平分线,则角 ? 集合是 . 7、将下列落在图示部分的角(阴影部分) ,用集合表示出来(包括边界).
135?

y
30
?

y
135?

60?

O

x

O

x

8、角 ? , ? 的终边关于 x ? y ? 0 对称,且 ? =-60°,求角 ? .

§1.1.2 弧度制 总第 2 课时 学习目标:1.理解弧度制的意义,正确地进行弧度制与角度制的换算,熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集 R 之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度制、弧长公式解决某些简单的实际问题. 学习重点:进行弧度制与角度制的换算. 学习难点:弧度制的概念. 学习过程: 一、情境设置 在初中,我们常用量角器量取角的大小,那么角的大小的度量单位为什么? 二、探究研究 问题 1:什么叫角度制? 问题 2:角度制下扇形弧长公式是什么?扇形面积公式是什么? 问题 3:分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题 4:什么是 1 弧度的角?弧度制的定义是什么? 问题 5:弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的? 问题 6:角的集合与实数集 R 之间建立了________对应关系。 问题 7:回忆初中弧长公式,扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式,扇形面 积公式。 三、教学精讲 例 1:把下列各角进行弧度与度之间的转化(用两种不同的方法) (1)
3? 5

(2)3.5

(3)252?
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(4)11?15?

变式训练:①填表 角 度 制 弧 度 制 0?
? 6

45?

60?

90?
2? 3 5? 4

150?

180?
3? 2

315?
2?

②若 ? ? ?6 ,则 ? 为第几象限角? ③用弧度制表示终边在 y 轴上的角的集合________________. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合________________. 例 2: ①已知扇形半径为 10cm,圆心角为 60?,求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为 8cm , 圆心角为 2rad,求扇形的面积 变式训练(1) :一扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最 大,并求此扇形的最大面积. . 变式训练 (2): A ? {x | x ? k? ? (?1) k ? 则 A、B 之间的关系为 四、巩固练习 1、将下列弧度转化为角度: (1)

?
2

, k ? z}, B ? {x | x ? 2k? ?

?
2

, k ? z}

.

? = 12

°; (2)-

7? = 8

°

′; (3)

13? = 6

°;

2、将下列角度转化为弧度: (1)36°= rad; (2)-105°= rad; (3)37°30′= rad; , k∈Z} ,则 ( )

3、已知集合 M ={x∣x = k ?

?
2

, k ∈Z} ={x∣x = k ? ? ? ,N

?
2

A.集合 M 是集合 N 的真子集

B.集合 N 是集合 M 的真子集

C.M = N D.集合 M 与集合 N 之间没有包含关系 4、圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 5、如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界) .

,五、小结反思: 角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧度的换算时关键要 抓住 180?= ? rad 这一关系式,熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式. 六、自我测评:

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1、把 ?

11? 表示成 ? ? 2k? (k ? z ) 的形式,使 | ? | 最小的 ? 为( 4 3? ? 3? ? A、 ? B、 C、 D、 ? 4 4 4 4



5 2、角α 的终边落在区间(-3π ,- π )内,则角α 所在象限是 2

( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3、已知扇形的周长是 6cm ,面积为 2cm ,则扇形弧度数是( A、1 B、4 C、1 或 4 4、将下列各角的弧度数化为角度数: (1) ? D、2 或 4

2



7? ? 6

度; (2) ? 度;
?

8? ? 3
度.

度;

(3)1.4 =

(4)

2 ? 3

5、若圆的半径是 6cm ,则 15 的圆心角所对的弧长是 所对扇形的面积是 6、已知集合 A ? {x | k? ? .



?
3

? x ? k? ?

?
2

, k ? z}, B ? {x | 4 ? x 2 ? 0} ,求 A ? B .

7、已知一个扇形周长为 C (C ? 0) ,当扇形的中心角为多大时,它有最大面积? 8、如图,已知一长为 3dm ,宽为 1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第三面 时被一小木板挡住, 使木块底面与桌面成 30 的角, 问点 A 走过的路程及走过的弧度所在扇形的 总面积?
A3 A1
?

A
3

1B

C A2

D

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§1.2.1 任意角三角函数(1) 总第 3 课时 学习目标:1.掌握任意角的正弦,余弦,正切的定义. 2.掌握正弦,余弦,正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号. 学习重点:任意角的正弦,余弦,正切的定义. 学习难点:三角函数的值在各象限的符号. 学习过程: 一、情境设置 在初中,我们利用直角三角形来定义锐角三角函数,你能说出锐角 三角函数的定义吗? 二、探究研究 问题 1: 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 问题 2: 改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗?为什么? 问题 3: 怎样将锐角三角函数推广到任意角? 问题 4: 锐角三角函数大小仅与角 A 的大小有关,与直角三角形的大小 无关,任意角的三角函数大小有无类似性质? 问题 5: 随着角 ? 的确定,三个比值是否唯一确定?依据函数定义,可以 构成一个函数吗? 问题 6:对于任意角的三角函数思考下列问题: ①定义域 ②函数值的符号规律 ③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样? ④终边相同的角相差 2 ? 的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系? 三、教学精讲 例 1:已知角 ? 的终边经过点 P(2,-3) ,求 2sin ? +cos ? +tan ? 变式训练⑴:已知角 ? 的终边经过点 P(2a,-3a) (a ? 0), 求 2sin ? +cos ? +tan ? 的值. 变式训练⑵:角 ? 的终边经过点 P(-x,-6)且 cos ? =例 2:确定下列三角函数值的符号 (1)cos
7? 12 5 13

,求 x 的值.

(2)sin(-465?)

(3)tan

11? 3

变式训练⑴:若 cos ? >0 且 tan ? <0,试问角 ? 为第几象限角 变式训练⑵:使 sin ? cos ? <0 成立的角 ? 的集合为 A.{ ? | ?? +
? 2

< ? < ?? + ? , ? ?? }

B. { ? |2 ?? +

? 2 ? 2

< ? <2 ?? + ? , ? ?? } < ? <2 ?? +
3 ? , ? ?? } 2

C.{ ? | 2k? +

3? 2

< ? < 2k? + 2? , ? ?? }D. { ? |2 ?? +

四、巩固练习:
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1、函数 y ?

sin x ? ? cos x 的定义域是
B. [2k? ?





A. (2k? , (2k ? 1)? ) , k ? Z C. [k? ?

?
2

, (2k ? 1)? ] , k ? Z

?
2

, (k ? 1)? ] , k ? Z

D.[2kπ , (2k+1)π ], k ? Z ( D.第四象限角 ( ) D.第四象限 . )

2、若θ 是第三象限角,且 cos

?

? ? 0 ,则 是 2 2

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 3、已知点 P( tan? , cos? )在第三象限,则角 ? 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4、已知 sin ? tan ? ≥0,则 ? 的取值集合为 5、角 ? 的终边上有一点 P(m,5) ,且 cos? ?

m , (m ? 0) ,则 sin ? +cos ? =______. 13

五、小结反思: 三角函数的定义及性质,特殊角的三角函数值,三角函数的符号问题. 各象限的三角函数的符 号规律可概括为: “一正二正弦,三切四余弦”. 六、自我测评: 1、若角α 终边上有一点 P(a, | a |)(a ? R且a ? 0) ,则 sin ? 的值为 ( )
2 2 2 B、- C、± 2 2 2 2、下列各式中不成立的一个是

A、

D、以上都不对 ( )

A、 cos 260? ? 0 C、 sin ? ?
? 6? ? ??0 ? 5 ?

B、 tan(?1032? ) ? 0 D、 tan
17? ?0 3

3、已知α 终边经过 P(?5,12) ,则 sin ? ? 4、若解α 是第二象限角,则点 A(sin ? , cos? ) 是第 5、已知角θ 的终边在直线 y =

. 象限的点. ; tan? = .

3 x 上,则 sinθ = 3

6、设θ ∈(0,2π ) ,点 P(sinθ ,cos2θ )在第三象限,则角θ 的范围是 7、设角 x 的终边不在坐标轴上,求函数 y ?
sin x cos x tan x ? ? 的值域. | sin x | | cos x | | tan x |



8、(1) 已知角 ? 的终边经过点P(4,-3),求2sin ? +cos ? 的值; (2)已知角 ? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin ? +cos ? 的值; (3)已知角 ? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) ,求 2sin ? +cos ? 的值. .

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§1.2.1 任意角三角函数(2) 总第 4 课时 学习目标:1.利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余 弦线、正切线表示出来,并能作出三角函数线。 2.培养分析、探究问题的能力。促进对数形结合思想的理解和感悟。 学习重点:三角函数线的探究与作法。 学习难点:利用三角函数线比较大小以及求角的大小。 学习过程: 一、情境设置 我们已学过任意角的三角函数,给出了任意角的正弦,余弦,正切的定义。 想一想能不能用几何元素表示三角函数值?(例如,能不能用线段表示三角函数值?) 二、探究研究 问题 1: 在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段的比,那么,任意角的三角函数是否 也可以看成是线段的比呢? 问题 2: 在三角函数定义中, 是否可以在角 ? 的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更 为简单? 问题 3.有向线段,有向线段的数量,有向线段长度的概念如何。 问题 4.如何作正弦线、余弦线、正切线。 三、教学精讲 例 1:作出下列各角的三角函数线 (1)
11? 6 2? 3

(2) ?

例 2:比较下列各组数的大小 (1)sin1 和 sin (3)tan
9? 8

? 3
9? 7

(2)cos (4)sin

4? 7

和 cos 和 tan
? 5

5? 7

和 tan

? 5

变式训练①:若 ? 是锐角(单位为弧度) ,试利用单位圆及三角函数线,比较 ? ,sin ? ,tan ? 之间 的大小关系。 变式训练②:根据单位圆中的正弦线,你能发现正弦函数值有怎样的变化规律。 例 3:利用单位圆分别写出符合下列条件的角 ? 的集合 (1)sin ? =1 2

(2)sin ? >-

1 2

(3) |tan ? | ?

3

变式训练①:已知角 ? 的正弦线和余弦线是方向一正一反,长度相等的有向线段,则 ? 的终边在 ( ) A 第一象限角平分线上 B 第二象限角平分线上 C 第三象限角平分线上 D 第四象限角平分线上 变式训练②:当角 ? , ? 满足什么条件时有 sin ? =sin ? . 变式训练③:sin ? >cos ? ,则 ? 的取值范围是_________。

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变式训练④:已知集合 E={ ? |cos ? <sin ? ,0 ? ? ? 2? },F={ ? tan ? <sin ? }。 求集合 E ? F 四、巩固练习 π π 1、若 <θ < ,则下列不等式中成立的是 4 2 A.sinθ >cosθ >tanθ C. tanθ >sinθ >cosθ B.cosθ >tanθ >sinθ D.sinθ >tanθ >cosθ ( )

2、角 ? (0< ? <2π )的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异.那么 ? 的值为( ) π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 3π 7π D. 或 4 4 1 .利用三角函数线,得到 ? 的取值范围是( ) 2

3、若 0< ? <2π ,且 sin ? < π π A. (- , ) 3 3

3 2

, cos ? >

π B. (0, ) 3

5π π 5π C. ( ,2π ) D. (0, )∪( ,2π ) 3 3 3 3π ;④sin 5 4π . 5

4、依据三角函数线,作出如下四个判断: ①sin π 7π π π π 3π =sin ;②cos(- )=cos ;③tan >tan 6 6 4 4 8 8 ( ) C.3 个 D.4 个 >sin

其中判断正确的有 A.1 个 B.2 个

7π 5、试作出角 ? = 6 正弦线、余弦线、正切线
五、小结反思: ①正弦线、余弦线、正切线,它们分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是有向 线段,在用字母表示这些线段时,注意它们的方向。 ② 利用数形结合来比较三角函数值的大小关键应注意正负。 六、自我测评: 1 、 若 角 ? (0 ? ? ? 2? ) 的 正 弦 与 余 弦 线 的 长 度 相 等 且 符 号 相 同 , 那 么 角 α 的 值 为 ( A、 )

? ? 5? 5? B、 C、 或 D、以上都不对 4 4 4 4 2、用三角函数线判断 1 与 | sin ? | ? | cos? | 的大小关系是 A、 | sin ? | ? | cos? | >1 B、 | sin ? | ? | cos? | ≥1 C、 | sin ? | ? | cos? | =1 D、 | sin ? | ? | cos? | <1
3、利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的集合。 ⑴ cos x ?
1 : 2 1 : 2





;⑵ cos x ?

; 。
y

3 : 2 4、已知角α 的终边是 OP,角β 的终边是 OQ,

⑶ | cos x |?

试在图中作出α ,β 的三角函数线,然后用不等号填空: ⑴ sin ? cos ? ; sin ? ; ⑵ cos?

P

?

?

Q

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⑶ tan?

tan ? 。

O

x

2π π 5、若- ≤θ ≤ ,利用三角函数线,可得 sinθ 的取值范围是 6 3 6、若∣cos ? ∣<∣sin ? ∣,则 ? ? 7、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: ⑴
5? ; 4

. .



7? ; 6

⑶?

?
3



? ? 8、已知α 是第三象限角,问点 P(cos , sin ) 在第几象限?请说明理由。 2 2

§1.2.2 同角三角函数关系

总第 5 课时
sin ? cos ?

学习目标:掌握同角三角函数的基本关系式 sin2α +cos2α =1, 角函数式的化简、求值及恒等式证明。 学习重点:公式 sin2α +cos2α =1,
sin ? cos ?

=tan ? ,并会运用它们进行简单的三

=tan ? 的推导及其应用。

学习难点:公式的变式及灵活运用。 学习过程: 一、情境设置 初中阶段学习了锐角三角函数的定义后,老师介绍了同角三角函数间关系, 你还记得吗? 二、探究研究 问题 1:同角三角函数间的关系公式能由锐角范围推广到任意角吗?你能证明吗? 问题 2:你能用不同的方法证明这两条公式吗? 问题 3:如何进行公式 sin2α +cos2α =1, tan ? = 三、教学精讲 1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值,求出其余两个值(知一求二) 。
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sin ? cos ?

的推导及其变形。

例 1:已知 sin ? ? ,且 ? 是第二象限角,求 cos? , tan? 变式训练:已知 tan ? ? ? ,求 2.化简三角函数式 例 2: 化简(1) tan? (2) (3)
1 sin2 ? ?1
1 2

4 5

1 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ?

的值

,其中 ? 是第二象限角 ,其中 ? 是第四象限角

1 ? cos? 1 ? cos?

+

1 ? cos? 1 ? cos?

1 ? 2 sin10? cos10? cos10? ? 1 ? cos2 170?

3.证明简单的三角恒等式 例 3:求证:
sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

四、巩固练习 1、已知 tan? ? 2, 求
sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 1 5

的值。

2、已知 sin ? ? cos ? ? ? , ? ? ?0,? ? ,求 tan? 的值 3、已知 sin? ? cos? ? 4、化简:
2

,求 sin? cos? 及 sin4 ? ? cos4 ? 的值

2 cos2 ? ? 1 1 ? 2 sin 2 ?

5、证明 2 cos2 ? ? sin 4 ? ? cos4 ? ? 1 五、小结反思: 1、在三角求值时,应注意:①注意角所在象限;②一般涉及到开方运算时要分类讨论。在化简 时应注意化简结果:①涉及的三角函数名称较少;②表达形式较简单。 2、证明恒等式时常用以下方法:①从一边开始,证明它等于另一边;②证明左右两边等于同一 个式子;③分析法,寻找等式成立的条件。证明的指向一般是“由繁到简” 。 六、自我测评: 1、已知 sin ? ? 3 cos? ? 0 ,则α 所在的象限是 A、第一象限 B、第二象限 C、第一、三象限 ( D、第二、四象限 ( ) )

2、 1 ? 2 sin ? ? cos? 的值为 A、 sin ? ? cos? C、 cos? ? sin ? B、 sin ? ? cos? D、| sin ? ? cos? |

3、若 sin ? , cos? 是方程 4x2 ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为
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A. 1? 5

B. 1? 5

C. 1? 5
1 ? sin ? cos?

D. ? 1 ? 5 。 。 。 .

4、⑴已知 sin ? ? 2 cos? ? 0 ,则

⑵ 4 sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos? ? 5 cos2 ? ? 5、已知α 是第三象限角,化简 6、已知 sin ? ? 7、化简:

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

m?3 4 ? 2m ,则 m=_________; tan? ? , cos? ? m?5 m?5

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? sin 2 ? ? sin 4 ?

8、证明下列恒等式: ⑴ 2 cos2 ? ? sin 4 ? ? cos4 ? ? 1 ; ⑵ sin 4 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 。

§1.3.1 诱导公式(1) 总第 6 课时 学习目标:1.借助单位圆,推导出正弦,余弦的诱导公式. 2.正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数, 并解决有关三角函数求值, 化简和恒等式证明问题. 学习重点:运用诱导公式求三角函数值. 学习难点:运用诱导公式进行化简求值. 学习过程: 一、情境设置 如何求 sin750?,cos1080?,tan780?,sin
9? 4

,cos

5? 2

的值

.二、探究研究 问题 1:如何把任一角的三角函数的求值问题转化为 0?—360?间三角函数的求值问题? 问题 2:已知任意角 ? 的终边与单位圆相交于 P(x,y) ,求 P 关于 x 轴,y 轴,原点对称的三 个点的坐标. 问题 3:如果角 ? 的终边与角 ? 的终边关于原点对称,那么 ? 与 ? 的三角函数值之间有什么关 系? 问题 4:如果角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,那么 ? 与 ? 的三角函数值之间有什么关 系? 问题 5:如果角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 y 轴对称,那么 ? 与 ? 的三角函数值之间有什么关 系?
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问题 6:你能概括上述诱导公式吗? 四、教学精讲 例 1:求值 (1)sin
7? 6 11? 4
?

(2)cos

(3)tan(-1560?) (2) tan 945 ? - ? )的值
5? 6

变式训练:求值(1) sin(?1200 ) 例 2:已知 cos(
? 6

(3) cos

47 ? 6

+ ? )=
? 6

3 3

,求 cos(
3 3

5? 6

变式训练:已知 cos( 四、巩固练习

- ? )=

,求 cos(

+ ? )-sin2( ? -

? 6

)的值

1、对于诱导公式中的角 ? ,下列说法正确的是( A. ? 一定是锐角 C. ? 一定是正角 2、若 cos?? ? ? ? ? A.



B.0≤ ? <2π D. ? 是使公式有意义的任意角 )

3 5

3 ( , ? ? ? ? 2? , 则 sin?? ? ? 2? ? 的值是 5 3 4 4 B. ? C. D. ? 5 5 5

3、已知

3 sin?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? 2 ,则 tan? = 4 sin?? ? ? ? cos?9? ? ? ?



4、求 cos(-2640°)+sin1665°的值. 5、已知 sin?3? ? ? ? ? 求

1 , 4

cos( ? ? ) ? cos( ? 2? ) ? ? 的值. cos? [cos(? ? ? ) ? 1] cos( ? 2? ) cos(? ? ? ) ? cos(?? ) ?
五、小结反思:

①将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的算法流程为

? [0 ? ,90 ? ) ? ? ? ? ? ? [90 ,180 ) 180 ? ? ? ? 任意角 ? [0 ,360 ) ? ? ? ? ? ?[180 ,270 ) 180 ? ? ?[270 ? ,360 ? ) 360 ? ? ? ?
六、自我测评: 1、 cos 225? ? tan 240? ? sin(?60? ) ? tan(?420? ) 的值是 A、 ?
2 3 ? 2 2

( ) D、 ? (
2 3 ? 2 6

B、 ?

2 3 ? 2 2

C、 ?

2 3 ? 2 6

2、已知 cos 31? ? a, 则 sin 239? tan149? =
第 13 页 共 39 页



A、

1? a 2 a

B、 1 ? a 2

C、

a2 ? a a

D、 ? 1 ? a 2 ( )

3、 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于 A.sin2-cos2 B.cos2-sin2 C.±(sin2-cos2) D.sin2+cos2 4、若 tan? ? a ,则 sin?? 5? ? ? ? cos?3? ? ? ? = ____ ____.

5、化简:

cos(? ? 4? ) cos 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? 3? ) sin(? ? 4? ) sin(5? ? ? ) cos 2 (?? ? ? )
? 7 ? ? 6 ?

=______

___.

6、设 a ? tan? ? ? ?, b ? cos 号相连为: 7、已知 sin? x ?
? ?

9? ? 17? ? , c ? sin ? ? ? ,则 a, b, c 的排列顺序用不等 4 ? 4 ?

.
??
?

1 ? 7? ? ? 5? ? ? x ? ? cos2 ? ? x ? 的值. ? ? ,求 sin ? 6? 3 6 6 ? ? ? ?

8、已知 cos 75 ? ? ? 9、化简:

?

?

sin ?? ? n? ? ? tan?n? ? ? ?, n ? Z . cos?? ? ? n? ?

1 ? ? , ? 为第三象限角,求 cos?? 255 ? ? ? ? sin?435 ? ? ? 的值. 3

§1.3.2 诱导公式(2) 学习目标:1.掌握诱导公式一到六,掌握
3? ? ? ?, ? ? 2 2

总第 7 课时 这三种形式的角的三角函数与 ? 角三角函数间的

关系. 2.利用诱导公式求三角函数值、化简、证明恒等式. 学习重点:理解和掌握诱导公式. 学习难点:对诱导公式的熟练运用. 学习过程: 一、情境设置 若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y=x 对称 ⑴角 ? 的正弦与角 ? 的余弦函数值之间有何关系? ⑵角
? ?? 2

的终边与角 ? 的终边是否关于直线 y=x 对称?

二、探究研究 问题 1:对角

?
2

? ? 与角 ? 的研究,你能得出什么结论?
sin(

问题 2:利用上述公式五与公式二,推导

?
2

? ? ), cos(

?
2

? ? ), tan(

?
2

??)

第 14 页 共 39 页

问题 3:利用前面学过的公式,推导

sin(

3? 3? 3? ? ? ), cos( ? ? ), t a n ( ? ? ) 2 2 2

问题 4:你能概括上述诱导公式五、六吗? . 三、教学精讲 例 1:化简
sin( ? ? ? ) cos( ? 3 ? 3? ) cos(4? ? ? ) 2 ? 5? tan( ? 5? ) cos( ? ? ) sin( ? ? ? ) 2 2
1 3

例 2:已知 cos( 75 ? ? ? ) ? ,且 ?180? ? ? ? ?90? ,求 cos( ? ? ? ) 15 变式训练:已知 cos( 75 ? ? ? ) ? ,且 ?180? ? ? ? ?90? ,求 cos( ? ? ? ) ? sin( ? 105?) 的值. 105 ? 例 3:设
f ( x) ? 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? ? 3? ? 1 ? sin2 ? ? cos( ? ? ) ? sin2 ( ? ? ) 2 2
1 3

( 1 ? 2sin? ? 0 )



f (?

23? ) 6

四、巩固练习 1、已知 sin(

3 π 3 π +α )= ,则 sin( -α )值为( 2 4 4
B. —



A.

1 2

1 2

C.

3 2

D. —

3 2
( )

2、如果 | cos x |? cos(? x ? ? ). 则 x 的取值范围是 A. [?

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]

(k ? Z ) B. (

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ) 2 2

(k ? Z )
(k ? Z )
( )

C. [

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ] 2 2

(k ? Z ) D. (?? ? 2k? , ? ? 2k? )

3、设角 ? ? ?

2 sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? 35 的值等于 ? ,则 2 2 6 1 ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? cos (? ? ? )

A.

3 3

B.-

3 3

C. 3

D.- 3 ( D. )

4、若 f (cos x) ? cos3x, 那么 f (sin 30?) 的值为 A.0 B.1 C.-1

3 2


5、设 tan1234 ? ? a, 那么 sin(?206 ?) ? cos(?206 ?) 的值为 五、小结反思: ① 应用诱导公式求三角函数值时的一般步骤为:
第 15 页 共 39 页

负角化正角→大角化小角→查表求值 ② 对 (2k ? 1) ?

?
2

? ? (k ? z ) 的诱导公式,简记为“函数名互余,符号看象限”.

③应用诱导公式时必须注意符号. 六、自我测评:
1 1 1、满足条件 f ( ? x) ? f ( ? x) 的函数为 2 2 A、 f ( x) ? sin ?x B、 f ( x) ? cos?x

( C、 f ( x) ? tan?x



D、 f ( x) ? cot ?x ( )

2、已知 cos 31? ? a, 则 sin 239? tan149? ? A、
1? a 2 a

B、 1 ? a 2

C、
?

a2 ? a a

D、 ? 1 ? a 2 .

3、

sin(180? ? 405? ) sin(270? ? 765? ) sin(90? ? 45? ) tan(270? ? 45? )

4、将下列三角函数转化为锐角三角函数,填在题中横线上:
sin 263? 42? ?

; sin ? ? ? ? ? ; tan
17? ? 6

? 5 ? ? 3 ?

; .

cos(?104? 26?) ?
2 3

5、若 cos α =

,α 是第四象限角,求

sin(? ? 2? ) ? sin( ?? ? 3? ) cos(? ? 3? ) cos(? ? ? ) ? cos( ?? ? ? ) cos(? ? 4? )
2

的值.

6、已知 tan? 、 cot? 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根,且 3? ? ? ?
2

7 ?, 2

求 cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值.(注: cot? =1/ tan? ) 7、 f ( x) ? a s( ? x ? ? ) ? b cs ? x ? ? ) ? 4 , a 、b 、 、? 均为非零实数) 若 f (1999 ) ? 5 , 记 ( , n i o( ? 求 f (2000 ) 的值.
? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ?? ) 2 2 8、化简: 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2

9、已知 tan? ? 2 ,且α 是第三象限角. ⑴求 sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值; ⑵已知α 是第四象限角,化简: sin(k? ? ? ) ?
1 ? cos(k? ? ? ) (k ? Z ) . 1 ? cos(k? ? ? )

(张祯珞)
第 16 页 共 39 页

§1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

总第 8 课时

学习目标:1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画 y=sinx 的图象 学习过程: 一、情境设置 遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基 本方法,那么,一般采用什么方法画图象? 二、探究研究 问题 1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分,分别画出对应角的正弦线. 问题 2. 在相应坐标系内,在 x 轴表示 12 个角(实数表示) ,把单位圆中 12 个角的正弦线进行 右移. 问题 3. 通过刚才描点(x0,sinx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,你能得到什么? 问题 4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用,哪五个 点? 问题 5. 如何作 y=sinx,x∈R 的图象? 问题 6. 用以前学过的诱导公式 cosx=________ (用正弦式表示) 那么 y=cosx 的图象怎样作? , 三、教学精讲 例 1:用“五点法”画下列函数的简图 (1) y=2cosx x∈R (2) y=sin2x x∈R 变式训练: (1)函数 y=2cosx 与 y=cosx 的图象之间有何联系? 能推广 y=Acosx(A>0)与 y=cosx 图象间关系吗? (2)函数 y=sin2x 与 y=sinx 的图象之间有何联系? 你能推广 y=sinω x(ω >0)与 y=sinx 图象间关系吗? 例 2: 用“五点法”画 y=sin( 2 x ? 四、巩固练习
? 2

) 的简图

1、函数 y ? sin

x (a ? 0)的定义域为( a



A.R

B.

? ?1,1?

C. ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

D.[-3,3]

第 17 页 共 39 页

2、在[0,2 ? ]上,满足 sin x ? A. ?0, ? 6

1 的 x 取值范围是( 2
C. ?

).

? ?? ? ?

B. ?

? ? 5? ? , ?6 6 ? ?

? ? 2? ? , ?6 3 ? ?

D. ?

? 5? ? ,? ? ? 6 ?

3、 用五点法作 y ? sinx+1,x ? [0,2? ] 的图象. 4 结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数.
五、小结反思: 在区间 [0,2? ] 上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交 点(平衡点).函数的图象可通过描述、平移、伸缩、对称等手段得到. 六、自我测评: 1、观察正弦函数的图象,以下 4 个命题: (1)关于原点对称 (2)关于 x 轴对称 (3)关于 y 轴对称 (4)有无数条对称轴 其中正确的是 ( ) A、 、 (1)(2) B、 、 (1)(3) C、 、 (1)(4) D、 、 (2)(3) 2、对于下列判断: (1)正弦函数曲线与函数 y ? cos(

(2)向左、右平移 2? 个单位后,图象都不变的函数一定是正弦函数; (3)直线 x ? ? (4)点 ( ?

3? ? x) 的图象是同一曲线; 2

?
2

3? 是正弦函数图象的一条对称轴; 2

,0) 是余弦函数的一个对称中心.
( C、 (3) D、 (4) 对称; 对称. )

其中不正确的是 A、 (1) B、 (2)

3、 (1) y ? sin x 的图象与 y ? ? sin x 的图象关于 (2) y ? cos x 的图象与 y ? ? cos x 的图象关于 4、 (1)把余弦曲线向 (2)把正弦曲线向 平移 平移

个单位就可以得到正弦曲线; 个单位就可以得到余弦曲线.

5、由函数 y ? sinx 如何得到 y ? cosx 的图象? 6、画出 y ? 3 cos x ? 1 的简图,并说明它与余弦曲线的区别与联系. 7、画出 y ? sin(x ?

?
6

) 的简图,并说明它与正弦曲线的区别与联系.

8、结合图象,判断方程- sinx ? x 的实数解的个数

第 18 页 共 39 页

(张祯珞)

§1.4.2 正弦函数、余弦函数的周期性

总第 9 课时

学习目标:1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期. 学习重点:周期函数的定义,最小正周期的求法. 学习难点:周期函数的概念及应用. 学习过程: 一、情境设置 自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动,圆周 运动等.数学中从正弦函数,余弦函数的定义知,角 ? 的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具 有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,引入一个新的数学概念——函数周期性. 二、探究研究 问题 1:观察下列图表 x sinx - 2? 0 3? 2

-? 0

-

? 2

0 0

? 2

?

3? 2

2?

1

-1

1

0

-1

0

从中发现什么规律?是否具有周期性? 问题 1:.如何给周期函数下定义? 问题 2:判断下列问题: (1)对于函数 y=sinx x∈R 有 sin(
?
4 ?

?
2

) ? sin

?
4

成立,能说

? 2

是正弦函数 y=sinx 的周期?

(2) f ( x) ? x2 是周期函数吗?为什么? (3)若 T 为 f (x) 的周期,则对于非零整数 k , kT (k ? Z ) 也是

f (x) 的周期吗?

问题 3:一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征? 问题 4:最小正周期的含义;求 f ( x) ? sin x, f ( x) ? cos x 的最小正周期? 三、教学精讲 例 1: 求下列函数的周期: (1)
f ( x) ? cos2x ;
x ? ? ) 2 6 x ? ? ) 的周期 2 6

(2) g ( x) ? 2 sin(

变式训练:1. ⑴求 2.已知
f ( x) ? cos

f ( x) ? cos(?2x)

⑵ g ( x) ? 2 sin( ?

kx 10

,其中 k ? 0 ,当自变量 x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含

有一个周期,求最小正整数 k 的值.
第 19 页 共 39 页

例 2:证明函数 y ? sin x ? cos 2 x 不是周期函数. 四、巩固练习 1、求下列函数的周期:

(1)正弦函数 y ? 3sinx 的周期是___________________________. (2).正弦函数 y ? 3 ? sinx 的周期是_________________________. (3).余弦函数 y ? cos2x 的周期是___________________________.
1 ? (4).余弦函数 y ? 2cos( 2 x - 6 )

的周期是______________________.

(5).函数 y ? sin(? 2 ? 4 )

x

x

的周期是________________________.

2.函数 y ? Asin(? x ? ? )或y ? Acos(? x ? ? ) 的周期与解析式中的______________无关, 其周 期为: __________________. 3.函数

? f(x) ? sin(? x ? )(? 4

>0)的周期是

4.若函数 f(x) 是以

? 为周期的函数,且 f(? ) ? 1则f(17 ? ) ? __________. 2 3 6

2? 则 ? =____________ 3

5.函数 f(x) ? sin x 是不是周期函数?若是,则它的周期是多少?

五、小结反思 对周期函数概念的理解注意以下几个方面: (1) f ( x ? T ) ? f ( x) 是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个 x 值, x ? T 仍在定义域 内且使等式成立. (2)周期 T 是常数,且使函数值重复出现的自变量 x 的增加值. (3)周期函数并不仅仅局限于三角函数,一般的周期是指它的最小正周期. 六、自我测评: 1、设 a ? 0 ,则函数 y ? sin(ax ? 3) 的最小正周期为 ( )

A、

? a

B、

?
|a|

C、

2? a

D、

2? |a|


2、函数 f ( x) ? 2 cos(

k? ? ? ) ? 1 的周期不大于 2,则正整数 k 的最小值是( 4 3
D、10

A、13 B、12 C、11 3、求下列函数的最小正周期:

第 20 页 共 39 页

? ?x (1) y ? sin( ? ),T ? 3 2
? (2) y ? cos(2 x? ? ), T ?
6

. . .

? ? 4、已知函数 y ? 2 sin(?x ? ) 的最小正周期为 ,则 ? ?
3

3

5、求函数的周期:

1 cos x 2 3x (2) y ? sin 4
(1) y ? (3) y ? 2 cos 4 x (4) y ?

周期为: 周期为: 周期为: 周期为:

. . . .

3 sin 2 x 4

6、函数 y=sin x 是周期函数吗?如果是,则周期是多少? 7、 y ? sinx ? cosx 是周期函数吗?如果是,则周期是多少? 8、函数 f(x)? c (c 为常数)是周期函数吗?如果是,则周期是多少?
9、已知函数 y ? ?3 sin( x ?

k 3

?
6

) ? 1, (k ? 0)

(1)求最小正整数 k ,使函数周期不大于 2; (2)当 k 取上述最小正整数时,求函数取得最大值时相应 x 的值.

(张祯珞)

§1.4.3 正、余弦函数的值域、奇偶性、单调性 总第 10 课时 学习目标:1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用. 2.熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题. 学习重点:三角函数的值域、奇偶性、单调性. 学习难点:求三角函数的单调区间,根据图象求值. 学习过程: 一、情境设置 在已学过的内容中,我们要研究一个函数,往往从哪些方面入手? 二、探究研究 问题 1. 在同一直角坐标系中作 y=sinx,y=cosx (x∈R)的图象,观察它们的图象,你能得到一些 什么性质?分别列出 y=sinx, y=cosx x∈R 的图象与性质 问题 2.观察 y=sinx, y=cosx x∈R 图象,探求 y=sinx, y=cosx 的对称中心 及对称轴.
第 21 页 共 39 页

三、教学精讲 例 1:求下列函数的最大值及取得最大值时 x 的集合 (1) y ? cos
x 3 x ) 呢? 3

(2) y ? 2 ? sin2x

变式训练: (1)若 y ? cos( ?

变式训练: (2)若 y ? 2? | sin2x | 呢? 例 2:判断下列函数奇偶性 (1)f(x)=1-cosx 变式训练:3、判断下列函数的奇偶性: ⑴ f ( x) ?| sin x | ? cos x : ; ⑵ f ( x) ? tan3 x ? x : ⑶ f ( x) ? x ? cos x : 例3 .求 y ? sin( 2 x ?
? ) 的单调增区间 3

(2)g(x)=x-sinx

.

变式训练: (1)求 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的单调增区间

(2)求 y ? sin( ?2 x ? (3)求 y ? sin( 2 x ?
?

?
3

) 的单调增区间

3

) ? cos( 2 x ?

?
6

) 的单调增区间

例 4.求下列函数的值域 (1) y ? 3 ? 2sin2x (2) y ?| sinx | ? sinx (3) y ? cos2 x ? 2 sin x ? 2 (4) y ? 2 sin x cos 变式训练:1.已知 a,b 的值.
a 3 ? 2 2
2

x

1 ? sin x

(5) y ? 2 sin(2 x ? ? ), x ? ?? ? , ? ?
3 ? ? 6 6? ?

f ( x) ? 2a sin( 2 x ?

?
3

) ? b 的定义域为[0,

? 2

],函数的最大值为 1,最小值为-5,求

2.求当 y ? sin 2 x ? a cos x ?

的最大值为 1 时 a 的值.

四、巩固练习
1、.函数 y=sinx,y≥ 时自变量 x 的集合是_________________. 2、.把下列三角函数值从小到大排列起来为:_____________________________
4 sin ? , 5

1 2

5 ? cos ? , 4

sin

32 ?, 5

cos

5 ? 12

3、.函数 y ? 2sin 2x 的奇偶数性为(

).

第 22 页 共 39 页

A.

奇函数

B. 偶函数 D. 非奇非偶函数
).

C.既奇又偶函数

? 4、下列四个函数中,既是(0, ) 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是(
2

A. y ? sinx C. y ? cosx
2 3

B. y= sin 2x D. y ? cos2x ).

5、函数 y ? ? cosx,x ? ?0,2? ? ,其单调性是( A. 在 ?0, ?  ? 上是增函数,在 ?? ,2? ? 上是减函数

?? 3 ? ? ? ? ?3 ? B. 在 ? , ? ? 上是增函数,在 ?0, ?, ? ? ,2? ? 上分别是减函数 ?2 2 ? ? 2 ? ?2 ?
C. 在 ??, ? 上是增函数,在 ?0, ? ? 上是减函数 2?
? ? ? ?3 ? ?? 3 ? D. 在 ?0, ?, ? ? ,2? ? 是增函数,在 ? , ? ? 上是减函数 ? 2 ? ?2 ? ?2 2 ? 五、小结反思: ⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分 地反映出来,所以正、余弦函数的图象十分重要. ⑵结合图象解题是数学中常用的方法. 六、自我测评:

1、设 k ? z ,则三角函数 y ? A、 2k? ? x ? 2k? ? ? C、 2k? ? x ? 2k? ?

sin 2 x 的定义域是(
B、 k? ? x ? k? ?



?
2

?
2

D、 k? ? x ? k? ? ? )

2、在 [?? , ? ] 上是增函数,又是奇函数的是( A、 y ? sin

x 2 x 4

B、 y ? cos

1 x 2

C、 y ? ? sin

D、 y ? sin 2 x

3、已知函数 y ?

? sin

x ,其定义域是 3

.

4、已知函数 y ? 1? cos x ,则其单调增区间是 单调减区间是 。 2 5、若 f ( x) ? ? sin x ? a cos x ? 1 的最小值为-6,求 a 的值. 6、 求下列函数的单调增区间:
第 23 页 共 39 页



? (1) y ? 2 sin( ? 2 x) 4 (2) y ? cos2x

7、已知 ?、?、 (0, ?

?
2

)且cosa 〉 sin? ,试比较 ? ? ? 与

? 的大小 2

? ? 8、求函数 ? sin( ? 4x) ? cos(4x ? ) 的周期、单调区间和最值. y
3 6

(张祯珞)

§1.4.3 正切函数的图象与性质 总第 11 课时 学习目标:1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题. 2.能借助正切函数的图象探求其性质. 学习重点:运用三角函数的图象与性质解题 学习难点:正切函数的单调性 学习过程: 一、情境设置 1. 结合正、余弦函数的图象,求下列函数的定义域: (1) y ?
sin x 1 ? cos x

(2) y ?

16 ? x 2 sin x

(3) y ?

2 sin2 x ? 1

2. 结合正、余弦函数的图象,求下列函数的值域 (1) y ? 2 cosx ? 1
? ? 2? ? x?? , ? ?3 3 ?

(2) y ? sin( x ?

?
4

)

x 为锐角

3 判断下列函数奇偶性 (1) y ? cos( x ? 二、探究研究 问题 1. 回忆 y ? sin x 图象的由来, 你能通过单位圆的正切线作 y ? tan x
? ? ?? x ? ? ? , ? 的图象吗? ? 2 2?

?
2

)

(2) y ? sin(

3? ? x) 2

(3) y ? x sinx

问题 2. 观察 y ? tan x 的图象,类比 y ? sinx, y ? cosx 的性质,你能得到 y ? tan x 的一些怎样性质? 问题 3. 正切函数在定义域内是增函数吗? 问题 4. 正切函数的对称轴,对称中心是什么? 三、教学精讲 例 1:求 y ? tan( 2 x ?
? ) 的定义域及周期 4

第 24 页 共 39 页

解析: {x | x ?

k? 3? ? ? , k ? z}, T ? 2 8 2
1 tan(2 x ?

变式训练: (1)求 y ?

?
4

的定义域
)

(2)、函数 y ? tan(ax ?

?
6

)(a ? 0) 的周期为(
C.

).

A.

2? a

B.

2? a

? a

D.

? a

例 2、根据正切函数图象,写出满足下列条件的 x 的范围 ① tan x ? 0 ② tan x ? 0 ③ tan x ? 0 ④ tan x ?

3

变式训练:1、求函数 y ? tan | x | 的定义域与值域,并作图象. 例 3、求函数 y ? tan( ?

x ? ) 的单调区间。 2 6

四、巩固练习
1、 y ? tan x( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 在定义域上的单调性为(

).

A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在每一个开区间 (? D.在每一个开区间 (?

?

?

2 2

? k? ,

?
2

? k? )(k ? Z ) 上为增函数 2 ? 2k? )(k ? Z ) 上为增函数 13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5

? 2k? ,
).

?

2、下列各式正确的是( A. tan(?

13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5 13 17 C. tan(? ? ) ? tan(? ? ) 4 5

B. tan(?

D.大小关系不确定 ).

3、函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为( A. ? x | 2k? ? x ? 2k? ?

? ?

?

? , k ?? ? 2 ?

B. ? x | 2k? ? x ? 2k? ?

? ?

?

? , k ?? ? 2 ?
D . ? x | 2 k? ? x ? 2 k? ?

? ? ? C. ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? ? ? ? ? x | x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
第 25 页 共 39 页

? ?

?
2



x ? 2 k? ? ? , k ? Z

?

4、直线 y ? a (a 为常数)与正切曲线 y ? tan ? x(? 为常数,且 ? ? 0) 相交的两相邻点间的距离为 ( A. ? ). B.

2?

?
? 2

C.

5、与函数 y ? tan(2 x ? A. x ?

?
4

? ?
? 8

D.与 a 值有关 ).

)的 图象不相交的一条直线是(
D. y ?

? 2

B. y ?

C. x ?

? 8

五、小结反思: (1)作正切曲线简图的方法: “三点两线”法,即 (0,0), (? 直线 x ? ?

?

?
2

及x ?

?
2

,?1), ( ,1) 和 4 4

?

,然后根据周期性左右两边扩展.

(2)正切函数的定义域是 {x | x ? k? ?

?
2

, k ? z} ,所以它的递增区间为

(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

), k ? z

六、自我测评: 1、函数 y ? tan 3?x 的最小正周期是( A、 ) D、 )

1 3

B、

2、函数 y ? tan(

?
4

2 3

C、

6 ?

3 ?

? x) 的定义域是(

A、{ x | x ? R 且 x ? ? B、{ x | x ? R 且 x ?

?
4

}

3? } 4

C、{ x | x ? R 且 x ? k? ?

,k ? z} 4 3? D、{ x | x ? R 且 x ? k? ? ,k ? z } 4
3、下列函数不等式中正确的是( A. tan ).

?

4 3 2 3 B. tan ? ? tan ? ? ? tan ? 7 7 5 5 13 15 13 12 C. tan(? ? ) ? tan(? ? ) D. tan(? ? ) ? tan(? ? ) 7 8 4 5
4、在下列函数中,同时满足:①在 ? 0,

? ?? ? 上递增;②以 2? 为周期;③是奇函数的是( ? 2?

).

第 26 页 共 39 页

A. y ? tan x
?

B. y ? cos x
? ?

C. y ? tan

x 2

D. y ? ? tan x

5、函数 tan 224 , sin136 , cos 310 的大小关系是(用不等号连接) : . 6、函数 y ?

tan x 的定义域是

.

7、画出 y ?| tan x | 的图象,并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间. 8、确定函数 y ? tan( 9、或 ? ? (0,

?
3

? 2 x) 的奇偶性和单调区间.

?
6

) ,试比较 tan(sin ? ).tan(tan ? ), tan(cos ? ) 大小.
(张祯珞)

§1.5.1 函数 y ? Asin( x ? ? ) 的图象与性质(1) 总第 12 课时 ? 学习目标: 1.了解 y ? Asin( x ? ? ) 的实际意义,会用五点法画出函数 y ? Asin( x ? ? ) 的简图. ? ? 2.会对函数 y ? sinx 进行振幅变换,周期变换,相位变换,领会“由简单到复杂,从特殊到 一般”的化归思想. 学习重点:五点法画 y ? Asin( x ? ? ) 的简图和对函数 y ? sinx 的三种变换. ? 学习难点:函数 y ? sin x 的三种变换. 学习过程: 一、情境设置 物体作简谐运动时,位移 s 与时间 t 的关系为 s ? Asin( x ? ? ) ? 周期,频率,相位,初相是什么吗?它的图象与 y ? sinx 有何关系? 二、探究研究 问题 1. 在同一坐标系中,画出 y ? sinx , y ? sin( x ? 问题 2.
y ? sin( x ?

( A ? 0,? ? 0) 你能说出简谐运动的振幅,

?
4

)

, y ? sin( x ?

?
4

)

的简图.

?
4

)

与 y ? sinx 的图象有什么关系?

结论: 一般地,函数 y ? sin(x ? ?) 的图象可以看做将函数 y ? sinx 的图象上所有的点向左(当 ? ? 0 )或向 右(当 ? ? 0 )平移 ? 个单位长度而得到的. 问题 3. y ? 3 sin x, y ?
1 sin x 与 y ? sinx 的图象有什么关系? 3

结论:一般地,函数 y ? Asin x( A ? 0, A ? 1) 的图象可以看做将函数 y ? sinx 的图象上所有的点的纵坐标 变为原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的.

第 27 页 共 39 页

1 x 与 y ? sin x 的图象有什么关系? 2 结论: 一般地,函数 y ? sin ?x(? ? 0,? ? 1) 的图象可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的

问题 4. y ? sin 2 x, y ? sin

横坐标变为原来的 三、教学精讲

1 倍(纵坐标不变) 而得到的. ?
? ) 的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象 6

例 1:求函数 y ? sin( 2 x ?

例 2: 叙述 y ? sinx 到 y ? 2 sin( x ? 例 3: 叙述 y ? sinx 到 y ? 变式训练: ① y ? sin( x ? ② y ? sin( x ?
?
3 )

?
4

)

的变化过程.

1 sin 2 x 的变化过程. 2

向_______平移_______个单位得到 y ? sinx 向_______平移_______个单位得到 y ? sin( x ?
? 2

?
3

)

?
3

)

③ y ? f (x) 向右平移 四、巩固练习

个单位得到 y ? sin( x ?

?
4

)

,求 f (x)

? 1.若将某正弦函数的图象向右平移 以后,所得到的图象的函数式是
2

则原来的函数表达式为( y ? sin(x ? ), 4 A. y ? sin(x ?
3? ) 4 4

?

).

? B. y ? sin(x ? )
2

? C. y ? sin(x ? )

D. y ? sin(x ?

?
4

)-

?
4
?
12

2.已知函数 y ? Asin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ? y 最小=-2,那么函数的解析式为( ). ? ? A. y ? 2sin(2x ? ) B. y ? 2sin(2x - )
3 6

时,y

最大=2,当

x=

7? 时, 12

? C. y ? 2sin(2x ? )
6

? D. y ? 2sin(2x ? )
3

3. 已知函数 y ? f(x),将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍, 然后把所得的图形沿着 x 轴向左平移 已知函数 y ? f(x) 的解析式为( A. f(x) ?
? 1 个单位,这样得到的曲线与 y ? sinx 的图象相同,那么 2 2

).
1 ? B. f(x) ? sin(2x ? ) 2 2 1 ? D. f(x) ? sin(2x - ) 2 2
第 28 页 共 39 页

1 x ? sin( - ) 2 2 2
2 2 2

1 x ? C. f(x) ? sin( ? )

4.下列命题正确的是( A. y ? cosx 的图象向左平移 B. y ? sinx 的图象向右平移

).
?
2 得y ? sinx 的图象

?
2

得y ? cosx 的图象

C. 当 ? <0 时, y ? sinx 向左平移 ? 个单位可得 y ? sin(x ? ? ) 的图象
? ? D. y ? sin(2x ? )的图象由y ? sin 2x 的图象向左平移 个单位得到
3

3

5.函数 ( ).

y ? 3sin ( x ? 2

?
3

) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述________变换而得到

A.向右平移 B.向左平移

1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3 1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3

C. 向右平移 D.向左平移

? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3

五、小结反思: 平移变换 y ? sin(x ? ? ) 函数 y ? sin x 的图象 振幅变换 y ? A sin x 周期变换 y ? sin ?x 六、自我测评: 1、 把函数 f ( x) ? 的图象,则 g (x) ? A、 sin x
y ? A sin(?x ? ? )

1 而横坐标不变, 可得 g (x) sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍, 3
( B、 sin D、 sin x
x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到新的函数 2



1 9 1 C、 sin 3 x 3

1 3

x 3

2、将函数 y ? 2 sin

图象,那么新函数的解析式为

( B、 y ? sin



x 2 x C、 y ? 2 sin 4
A、 y ? 4 sin

x 2

D、 y ? sin 2 x

3.把 y=sinx 的图象上各点向右平移

个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到 ).

? 3

原来的 4 倍,则所得的图象的解析式是(

第 29 页 共 39 页

A. y ? 4sin( 1 x ? ? ) 2 3 ? B. y ? 4 sin(2 x ? )
3 1 C. y ? 4 sin( x ? ? ) 2 3

D. y ? 4 sin(2 x ? ? )
3

4.已知函数 y ? ?sin(?x+?) ,在一个周期内,当
x? 7? 时取得最小值-2,那么( 12 A. y ? 1 sin(x ? ? ) 2 3 ? B. y ? 2sin(2x ? ) 3 ? C. y ? 2sin(2x ? ) 6 x ? D. y ? 2sin( ? ) 2 6

时,取得最大值 2,当 x? 12

?

).

? 个单位,所得到的函数图象的解析式是 3 ____________________;将函数 y ? cos(?2x) 的图象向左平移 ? 个单位,所得到的函数图象的解 6

5. 将 函 数 y ? sin(?x) 的 图 象 向 右 平 移

析是____________________.
6、将函数 y ? 对应的函数值域是 7、函数 y ?

3 4 1 sin x 的图象上所以点的纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,那么新图象 4 3 2
,周期是 . ,值域是 . ,

1 ? sin(3x ? ) 的定义域是 5 3

周期 ,振幅 ,频率 ,初相 8、用“五点法”列表作出下列函数的图象: (1) y ? cos(2 x ?

?
4

);

(2) y ? 2 cos( x ?

分析它们与 y ? cos x 的关系.
6

2 3

?
3

)

? 9.函数 y ? sinx 的图象可由 y ? cos(2x - ) 的图象经过怎样的变化而得到?

(张祯珞)

第 30 页 共 39 页

§1.5.2 函数 y ? Asin( x ? ? ) 的图象与性质(2) 总第 13 课时 ? 学习目标: 1.熟练掌握由 y ? sinx 到 y ? Asin( x ? ?) ? K 的图象的变换过程. ? 2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式. 学习重点: 图象的变换过程. 学习难点: 作出振幅变换,相位变换,周期变换相结合的图形,并求出解析式. 学习过程: 一、情境设置 函数 y ? 2 sin( 2 x ? 二、探究研究 用五点法作 y ? sin2x , y ? sin( 2 x ?
? ) 的图象。 3

?
3

) ? 1 的图象可以由 y ? sinx 经过变换得到吗?

问题 1.它们两个图象的关系是什么? 问题 2:函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 0) 的图象和 y ? sin ?x 的图象有怎样的关系。 三、教学精讲 例 1:用三种方法作函数 y ? 3 sin( 2 x ?
?
3 ) 的图象

变式训练(1)将函数 y ? cosx 的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的 3 倍,再将所得图象向 左平移
? 3

个单位得到 y ? f (x) 的图象,则
?
3

f ( x) ? __________. _

变式训练(2)把函数 y ? cos( 3 x ?

) 的图象向_____平移_______个单位可得到 y ? sin( 3x) 的图象 ?

例 2:已知函数 y ? Asin( x ? ?)( A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 图象的一个最高点(2,3)与这个最高点相邻的最 ?
第 31 页 共 39 页

低点为(8,-3) ,求该函数的解析式. 变式训练:若函数 y ? Asin( x ? ?)( A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的最小值为-2,周 ? 期为
2? 3

,且它的图象过点(0, ?

2

) ,求此函数的表达式。

四、巩固练习

? 1.函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象可看作是函数 y ? 3sin 2x 的图象,经过如下平移得到的,其中
3

正确的是(

). ? A.向右平移 个单位
3

B.向左平移 D.向左平移

? 个单位 3
? 个单位 6

C.向右平移

? 个单位 6

2.函数 y ? sin(2x ?

5? ) 的图象的对称轴方程为____________________. 2
6

? 3.已知函数 y ? Asin( x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( , )和 ? 2



2? ,2) ? ,则这个函数的解析式为____________________. 3

4.函数 f(x) ? 3sin(2x ? 5Q) 的图象关于 y 轴对称,则 Q 的最小值为________________. 5.已知函数 y ? Asin(? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 过点(
5? ,) 0 ,求这个函数的解析式. 9

2? ,最小值是-2,且图象经 3

五、小结反思 : 到 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的变换流程图. y ? sinx y ? sin x ? y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(?x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) ? A sin(?x ? ? ) ? k 六、自我测评: 1、把函数 y ? sin x 的图象向下平移 1 个单位,再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的 3 倍, 然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的 3 倍,最后再把所得的图象向左平移 得图象对应的函数是
x ? A、 y ? 3 sin( ? ) ? 1 3 9

? 个单位,则所 3

( )
x ? B、 y ? 3 sin( ? ) ? 3 3 9

? C、 y ? 3 sin(3x ? ) ? 1
3

? D、 y ? 3 sin(3x ? ) ? 3
9

2、要得到 y ? sin A、向左平移 C、向左平移
? 3
2? 3

1 1 ? x 的图象,只需将函数 y ? sin( x ? ) 的图象 2 2 3

( )

B、向右平移 D、向右平移

? 3
2? 3

3、函数 S ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 表示一个振动量,其中振幅是

1 3 ? ,频率是 ,初相是 , 2 2? 6

第 32 页 共 39 页

则这个函数为 。 4、右图的函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? 2, ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 的图象 的一部分,则它的振幅 初相 。 ;周期 ,1
?? ? ,3 ? ,由此最高点到相邻最低点的, ?3 ?

5、已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象最高点为 ? 图象与 x 轴的交点为 ?
?? ? ,0 ? 。求此函数的一个表达式. ?2 ?

6、设函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b( A ? 0, | ? |?
x?

?
2

). 在同一周期内,当 x ?

5? 7 时,y 有最大值为 ;当 3 3

11 ? 2 ,y 有最小值 ? 。求此函数解析式. 3 3

7、函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小值为-2,其图象相邻的最高点和最低点

横坐标差是 3? ,又图象过点(0,1) ,求这个函数的解析式. 8、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b( A ? 0,? ? 0, b 为常数, | ? |? ? ) 的一段图象如图所示,求 该函数的解析式

§1.6.1 三角函数的应用(1) 总第 14 课时 学习目标:1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象 的重要数学模型。 2、熟悉数学建模的方法与步骤. 学习重点:函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。 学习难点:建立三角函数的模型。 学习过程: 一、情境设置 三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题中有着广泛的应用。 二、探究研究 问题 1 一半径为 3cm 的水轮如图所示,水轮圆心 o 距离水面 2m,设角 ? (? 边,op0 为终边的角,求 ? 。 解析:设 p 0 ( x 0 ,?2).r ? 3 ∴ sin ? ? ∵?
y
?
2 ? ? ? 0)

是以 ox 为始

y p

?

??

2 3

?? ? 0 2 ∴ ? ? ?0.73

?

O

?
p0

x

问题 2. 已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中 P0)开始计算时间, 将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数。 问题 3. 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间? 三、教学精讲
第 33 页 共 39 页

例 1:在图中,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若 已知振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记时。 ⑴求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系。 ? ? ⑵求该物体在 t=5s 时的位置。 O A 例 2. 某城市一年中 12 个月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。已知 6 月份的月平均气温最高,为 29.45℃,12 月份的月平均气温最低,为 18.3℃。求出这个三角函数 的表达式,并画出该函数的图象。 四、巩固练习 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、 y ?| sin x | 是以____________为周期的波浪型曲线. 3、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系. t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

?t

6 ?t C. y ? 12 ? 3sin , t ? [0, 24] 12

, t ? [0, 24]

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin(

?t

五、小结反思 1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉 y ? A sin(wx ? ? ) ? k 的性质。 实际问题 实际问题 问题 六、自我测评: 2、
抽象, 概括

还原

数学问题 实际问题 问题

1、受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道, 靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度 y(米)是时间 t (0 ? t ? 24, 单位:时)的函数, 记作 y ? f (t ) ,下面是该港口在某季节每天水深的数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 `10.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 y(米) 经长期观察, y ? f (t ) 曲线可以近似地看做函数 y ? A sin ?t ? k 的图象。 ⑴根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 近似表达式。

⑵一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的 (船舶停靠时, 船底只需不碰海底即可) ,某船吃水深度(航底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船想在同一天内安 全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)? 2、 如图所示, 某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图象。 ⑴求这段时间的最大温差; ⑵写出这段曲线的函数解析式。
30
y温度(?C )

第 34 页 共 39 页

20 10



O

6 810 12 14 x时间(时)

3、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是 在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元,而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的,并已知 5 月份销售价最高 为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月售完,请估计哪个 月盈利最大?并说明理由. (张祯珞)

§1.6.2 三角函数的应用(2) 总第 15 课时 学习目标:1、能准确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,来解决 实际问题. 2、体会生活即数学的意义. 学习重点:用三角函数模型刻画潮汐变化规律,用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题. 学习难点:实际问题中陌生的背景,复杂的数据处理. 学习过程: 一、情境设置 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常 情况下,船在涨潮时驶进航区,靠近船坞,卸货后落潮时返回海洋.常用三角函数去模拟相关函数. 二、探究研究 问题 1. 观察下表的数据,作出散点图,观察图形,你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的 规律? 给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深: 时刻 0:00 3:00 6:00 水深 (m) 5.0 7.5 5.0 时刻 9:00 12:00 15:00 水深 (m) 2.5 5.0 7.5 时刻 18:00 21:00 24:00 水深 (m) 5.0 2.5 5.0

问题 2. 根据所得的函数模型,求出整点时的水深。 问题 3 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例规定至少要有 1.5m 的安全 间隙(船底与海底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口待多久? 问题 4 若船的吃水深度为 4m, 安全间隙为 1.5m, 该船在 2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3m
第 35 页 共 39 页

的速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 三、教学精讲 例 1:某港口相邻两次高潮发生时间间隔 12h20min,低潮时入口处水的深度为 2.8m,高潮时为 8.4m,一次高潮发生在 10 月 3 日 2:00。 (1)若从 10 月 3 日 0:00 开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述这 个港口的水深 d(m)和时间 t(h)之间的函数关系; (2)求 10 月 5 日 4:00 水的深度; (3)求 10 月 3 日吃水深度为 5m 的轮船能进入港口的时间。 例 2. 电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I ? Asin?t , t ??o,??? ,设 ? ? 100 ,A=5。 ? ⑴求电流 I 变化的周期和频率; ⑵当 t ? 0,

1 1 3 1 , , , 时,求电流 I。 200 100 200 50

⑶画出电流 I(A)随时间 t(s)变化的函数图象。 四、巩固练习 1、课本第 65 页练习 2、从高出海面 hm 的小岛 A 处看正东方向有一只船 B,俯角为 30 看正南方向的一船 C 的俯角 为 45 ,则此时两船间的距离为( A. 2hm B. 2hm C. 3hm
? ?

). D. 2 2hm

五、小结反思: 1、用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,数学模型的建立很重要,实际的取值范 围也必须引起注意. 2、数学建模的过程应完整清晰,实际应用问题并不仅仅局限于三角函数中. 六、自我测评: 1、一个单摆如右图,摆角 y (弧度)作为时间 t (秒)的函数满足 y ?

1 ? sin(2t ? ) . 2 2

(1)求最初位置的摆角(弧度) ; y ? ? (2)求单摆的频率. (3)求多长时间单摆完成 5 次完整摆动(往复摆动一次称一次完整摆动)? 2、大风车叶轮最高顶点离地面 14.5 米,风车轮直径为 14 米,车轮以每分钟 2 周的速度匀速 转动.风叶轮顶点从离地面最低点经 16 秒后到达最高点. 假设风叶轮离地面高度 y (米)与风叶轮离地面最低 点开始转的时间 t (秒)建立一个数学模型,用函数 y ? a sin[? (t ? b)] ? c 来表示,试求出其中四个参数

a, b, c, w 的值.
3、下表是某市 1975-2005 年月平均气温(℃)
月份 平均 气温 1 -5.9 2 -3.3 3 2.2 4 9.3 5 15.1 6 20.3 7 22.8 8 22.2 9 18.2 10 11.9 11 4.3 12 -2.4

(1)下列函数模型中最适合这些数据的是
第 36 页 共 39 页





A、 y ? a cos

?x
6

B、 y ? a cos

?x

C、 y ? ?a cos

?x
6

?8

D、 y ? a cos

?x
6

6

?8 ?3

(2)请再写出一个与上述所选答案等价的模型来描述这些数据. 4、如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式

(张祯珞)

三角函数章节复习与小结 总第 16 课时 学习目标:1、对本章知识系统化,网络化。 2、通过本章学习,感受三角函数与实际生活的紧密联系,感受数学的价值. 学习重点:三角函数的图象与性质. 学习难点:三角函数知识的综合运用. 学习过程: 一、背景设置 1、三角函数章节有关知识点: ⑴三角函数的定义,符号,任意角三角函数 ⑵三角函数线,弧长公式,弧度与角度的互化 ⑶同角三角函数关系式 ⑷诱导公式 ⑸三角函数的性质,定义域,值域,周期性,奇偶性,最值,对称轴,对称中心

本章内容结构图:
任意角的概念 任意角的三角函数

同角三角函数 基本关系式

诱导公式

角度制 弧度制

正弦、余弦、 正切函数的 图象和性质
y ? Asin(?x ? ? )

应 用 应用
弧长及面积公式

图象和性质

已知三角函 数值求角 第 37 页 共 39 页 三角函数式的计算与化 简,证明三角恒等式

应用

二、探究研究 1 .一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形所含弓形的面积是: A. C.
1 (2 ? sin(cos 1) R 2 ) 2 1 2 R 2

B.

1 2 R sin(cos 1) 2

2 2 D. R ? sin1cos1R

2.设 ? 是第二象限角,则必有: A. tan
?
2 ? cot

?
2

;B.

tan

?
2

? cot

?
2

;C.

sin

?
2

? cos

?
2

;D.

sin

?
2

? cos

?
2

3. 已知P(-4k,3k)( k ? 0 )是角 ? 终边上一点,则 2sin? ? cos? 的值等于: A. ?
2 5

B.

2 5

C. ?

2 5

D. ?

1 5

4.将函数 y ? f ?x? 的图象沿 x 轴向左平移
? A. f ( x) ? cos( 2 x ? 6 )
? C. f ( x) ? cos( 2 x ? 3 )

? 个单位,再使图象上所有点的纵坐标不变,横坐标 6

变为原来的2倍,得到 y ? cosx 的图象,则 f (x) 可能是:
? B. f ( x) ? cos( 2 x ? 6 ) ? D. f ( x) ? cos( 2 x ? 3 )

5 .在 ?ABC中,若 sin(A ? B ? C) ? sin(A ? B ? C) ,则 ?ABC形状是 A、等腰 ? B、 Rt? C、等腰 Rt? D、等腰或 Rt?
3 1 7 , sin ,? cos . ____________________. 2 10 4

6 .比较大小: cos 7 .已知 8 .已知

cos x 1 ? sin x 1 ? ? ,则 cos x 2 1 ? sin x

? ____________.

f (x) 为奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x) ,则 f (2006 ? __________ . ) __

三、教学精讲 例 1 已知 sin ? ? cos ? ?
7 , 且 tan? ? 1 ,求 cos? 5

的值。
3? ? ? ? 2? ,求 m 和 ? 2
? ) 的值。 3

设 sin? , cos? 是方程 4x2 ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两根,
2 cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ??) ? 3 2 2 ? 2 cos 2 (? ? ? ) ? cos( ?? )

?

例3 设

f (? ) ?

,求 f (

例 4 已知

f ( x ) ? log 0.5 sin( 2 x ?

?
4

), (1)求定义域,值域,单调增区间

例 5 不等式 4 ? 3sin x ? cos 四、小结反思 1、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数,同角三角函数间的关系、诱导
2 2

(2)判断周期性和奇偶性 x ? 4 cos x ? a ? 20 恒成立,求 a 的取值范围。

第 38 页 共 39 页

公式及三角函数的图象和性质等。 2、三角函数是具有周期变化现象的主要数学模型,三角函数的图象能充分体现其函数的性质. 五、自我测评: 1、已知 B(?3a,?4a)(a ? 0) 是角α 终边上一点,则 sec? 的值是 ( ) A、 ?
5 3

B、

5 3

C、 ?

5 4

D、

5 4

2、设θ 是第三象限的角,且满足 | sin A、第一象限角 B、第二象限角 3、函数 y ?
2 sin x ? 1 的定义域是 lg(1 ? tan x)

? 是 ( 2 2 2 C、第三象限角 D、第四象限角
|? ? sin

?

?

,则




?
9

4、已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ? 最大值
1 ,则其解析式为 2

时,取得最小值 ?

1 4? ,当 x ? 时,取得 2 9



? ? ? 7? ? 5、已知定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足:① f ( x ? ) ? ? f ( x) ;②对任意属于 ? , ? 的 x1 , x 2 , 2 ?12 12 ?
当 x1 ? x 2 时都有 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? m 成立。 试解答下列各题: ⑴证明: f (x) 的周期函数; ⑵求 m 的值;
? ? ? ? ⑶若 f (x) 满足 f ( ? x) ? ? f ( ? x) ,求满足不等式 f ( sin x ? ) ? 0 的 x 的集合。
3 3 4 3

(张祯珞)

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