大庆铁人中学2011-2012学年度下学期高一期中考试数学试题(文)

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

大庆铁人中学 2011-2012 学年度下学期高一期中考试数学试题(文)
考试时间：120 分钟 参考公式 2012.5 总分：150 分

V棱台 ?

1 h( S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) 3

V球 ?

4 3 ?R 3

S球 ? 4?R 2

一选择题（每个题 5 分，共 60 分）
2 1 若集合 A ? x 3 x ? 4 x ? 1 ? 0 ，集合 B ? ? x

?

?

? 1 ? ? 1? ，则 A ? B ? （ ） ? x ?

A ( , 1)

1 3

B (0,1)

C (??,1)

D ( 0, )

1 3

2 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，且 a2 ? 3a4 ? 6 ，则 S 9 ? （ ） A 25 B 27 C 50 D 54

3 如图是一个几何体的三视图，根据图中 所给数据可得几何体的表面积是（ ） A 32? B 16? C 12? D 8?

4 正视图

4 侧视图

4 在 ?ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， 且 A?

?
3

， a ? 15, b ? 10 ，则 cos B ? （ ）

A -

2 2 3

B

2 2 3

C -

6 3

D

6 3

俯视图

5 过 ?ABC 所在平面 ? 外一点Ｐ， 作 PO ? ? ， 垂足为 O， 连接 PA、 PB、 PC， 若 PA=PB=PC 则点 O 是 ?ABC 的（ ） A 重心 B 内心 C 外心 D 垂心 6 已知两直线 m, n ，两个平面 ? , ? ，给出下列命题： ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? A ①③ B ②④ ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n

④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? ，其中正确的命题为（ ） D ①④

C ②③

第 1 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

?x ? y ? 5 ?2 x ? y ? 6 ? 7 已知实数 x, y 满足 ? ，使目标函数 z ? 6 x ? 8 y 取得最大值的最优解为（ ） x ? 0 ? ? ?y ? 0 2 2
A (1, 5) B (1, 4) C ( 2, 4) D (0, 5)

2 1 1 正视图 1 1 俯视图 2 1 1 侧视图

2

8 一个棱长为 2 的正方体，被一个平面所截得几何体 的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

17 14 20 C D 3 3 3 9 已知 a ? b ? 0 ，则下列不等式成立的是（ ） a?b a?b ? ab ?b A a?b? B a ? ab ? 2 2 a?b a?b ? b ? ab ? ab ? b C a? D a? 2 2
A8 B

10 在正方体 AC1 中， ，则直线 A 1 B1CD 所成角的正弦值为（ 1B 与平面 A

）

A

10 5

B

1 2

C

15 5
2

D

3 2
）

11 当 x ? (2, 3) 时，不等式 2 x ? 9 x ? m ? 0 恒成立，则实数 m 的取值范围为（ A m?9 B m?9 C m?9 D 0?m?9

12 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥

O ? ABCD 的体积为(
A

) C

2 3

B 6 3

4 3

D 8 3

二填空题（每个题 5 分，共 20 分） 13 在空间四边形 ABCD 中，对角线 AC ? BD ? 4 ， E 是 AB 中点，过 E 与 AC, BD 都平 行的截面 EFGH 分别与 BC, CD, DA 交于 F , G, H ，则四边形 EFGH 的周长为 。

14 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别是 1、2、3， 则此球的表面积等于_____________________ 15 m, n 是平面 ? 外的两条直线，给出三个论断：① m / / n ② m / /? ③ n / /? ，以其中 的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的所有命题 是 ； （用符号表示） 16 下 列 命 题 ： ① a ? 1 ? 2a
2

② x?

a?b 1 ? 2 ④ 若 x ? ( 0 ,? ? )， 则 ?2 ③ x ab

第 2 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
x2 ? 1 ? 1 ；其中正确命题为 x ?1
2

wx.jtyjy.com
（填序号） 。

三解答题（共 6 道题，70 分） 17（满分 10 分）在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且 B ? C ， 2b ? 3a （1）求 cos A 的值； （2）求 cos(2 A ?

?
4

) 的值。

2 18（满分 12 分）等比数列 ?an ? 的各项均为正数，且 2a1 ? 3a2 ? 1 ， a3 ? 9a2 a6

（1） 求通项 an ； （2） 设 bn ? l o g

3 1

a ? l o g

3 2

a ? l o g ?

3

?1? an ， 求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn 。 ?b n ?

19（满分 12 分）解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0

BC 的中点。 20（满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， E , F 分别为 AC 1 1和
（1） 求证： EF 平面 AA 1B 1B

EF 与 AB 所成的角 （2） 若 AA 1 ? 3, AB ? 2 3 ，求异面直线
21（满分 12 分）如图，四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ?DAB ? 60 ，
0

AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD
（1） 证明： PA ? BD （2） 设 PD ? AD ? 1 ，求棱锥 D ? PBC 的高

E

P

D
A F B C

C

A

B

（第 20 题）

（第 21 题）

第 3 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

22（满分 12 分）数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ? 2an?1 ? 2n?1 （1）求证： ?bn ? 是等差数列；

(n ? 2, n ? N? ) ，设 bn ?

an 2n

（2）数列 ?cn ? 满足： cn ? 2n ? 1 ，对任意 n ? N? ，不等式

a bn ? 4 ? (1 ?

1 1 )(1 ? ) c1 c2

(1 ?

1 ) 恒成立，求正数 a 的取值范围。 cn

大庆铁人中学 2011－2012 学年度下学期高一期中考试 数学答题卡
题号 一 二 17 分数 题号 答案 18 19

2012.5
三 20 21 22 得分 合分人

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题 13 15 三、解答题 17（1）

14 16

第 4 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

(2)

18(1)

(2)

19

第 5 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
20(1)

wx.jtyjy.com
E

A F B

C

(2)

21(1)

P

D
第 6 页 共 10 页

C

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com A B

金太阳新课标资源网
(2)

wx.jtyjy.com

22(1)

（2）

第 7 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

大庆铁人中学 2011－2012 学年度下学期高一期中考试 数学答题卡
一、选择题
题号 答案

2012.5

文科

1 B

2 B

3 C

4 D

5 C

6 D

7 D

8 B

9 D

10 B

11 C

12 D

二、填空题 13） 8 14） 14? 15）①② ? ③， ①③ ? ② 16）②

三、解答题 17（满分 10 分） （1）解： B ? C

1分

?b ?c ?

3 a 2

3分

?
（2）

b2 ? c 2 ? a 2 1 cos A ? ? 2bc 3

5分

7 4 2 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? ， sin 2 A ? 9 9

2分

? cos(2 A ? ? ) ? ?8 ? 7
4 18
18(满分 12 分)

2

5分

（1）由已知得： ?

?2a1 ? 3a1q ? 1 ?a q ? 9a1q
2 1 4
n

6

1 ? a1 ? ? ? 3 解得： ? 1 ?q ? ? 3 ?
n

2 分? an ?

1 3n

4分

(2) bn ?

? log a = ? log 3
i ?1 3 i i ?1 3

n

?i

? ?? i
i ?1

6分

? bn ? ? n(n ? 1)
2

8分 10 分

?

1 1 1 2 ? ?2( ? ) ?? n n ?1 bn n(n ? 1)
n? ? i ?1 n

?T

n n 2n 1 1 1 1 1 1 )?? ? ? ?2( ? ) ? ?2? ( ? ) ? ?2(1 ? n ?1 n ?1 i i ?1 i ?1 bi i ?1 i ?1 i

12 分

第 8 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com
2分

19（满分 12 分）解：原不等式可化为 ( x ? a)(x ? 1) ? 0 ①当 a ? 1 时， a ? x ? 1 ② a ? 1 时， x ? ? ③ a ? 1 时， 1 ? x ? a 6分 8分 4分

综上所述：原不等式的解集为： a ? 1 时， ?x | a ? x ? 1? ；

a ? 1 时， x ?? ；

a ? 1 ， ?x | 1 ? x ? a?

12 分

20 解 证明(1)取 AC 的中点 D，连接 DE，DF 因为 D，E，Ｆ分别是ＡＣ， AC 1 , DF || AB 1 1 ，ＢＣ的中点，所以 DE || AA 又 DE

DF ? D ，ＤＥ｜｜平面

A1 ABB1 ，ＤＦ｜｜平面 A1 ABB1

所以平面ＥＤＦ｜｜平面 A 1 ABB 1 ，又ＥＦ ? 平面ＤＥＦ，所以ＥＦ｜｜平面 A 1 ABB 1 （２）由（１）知 ? DFE 为异面直线ＥＦ与ＡＢ所成的角 在直角三角形ＥＤＦ中， ED ? 3, DF ? 3 ， tan ?DFE ? 所以 ?DFE ? 60 21（满分 12 分）解; （1）因为 ?DAB ? 60 , AB ? 2 AD ，由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而
0
0

DE ? 3, DF

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ，故 BD ? AD

---------------------------------------------------------3 分

又 PD ? 底面 ABCD ，可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD --------------------------------------------------------------------------6 分

（2）如图，作 DE ? PB ，垂足为 E ，已知 PD ? 底面 ABCD ，则 PD ? BC 由（1）知 BD ? AD ，又 BC || AD ，所以 BC ? BD 故 BC ? 平面 PBD ， BC ? DE ，则 DE ? 平面 PBC -----------------------------------9 分

BD ? 3, PB ? 2 由题设知 PD ? 1 ，则

根据 DE ? PB ? PD ? BD ，得
第 9 页 共 10 页

DE ?

3 2

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
3 即棱锥 D ? PBC 的高为 2

wx.jtyjy.com

----------------------------------------------------------------12 分

1 1 h ? S ?PBC ? PD ? S ?DBC V ? V P? DBC ， 3 3 （2）另解：由 D?PBC ，同样给分
22（满分 12 分） （1）证明： n ? 2 时， 1分 3分

an an ?1 2an?1 ? 2n?1 an?1 bn ? bn ?1 ? n ? n ?1 ? ? n?1 ? 2 2 2 2n 2

? ?bn? 是等差数列。
（2）由（1）得： bn ?

4分

a1 ? 2(n ? 1) 2

? bn ? 2n ?1
1 ) cn

1分

a bn ? 4 ? (1 ?

1 1 )(1 ? ) c1 c2

(1 ?

?a

2n ? 3 ? (1 ?

1 1 )(1 ? ) c1 c2

(1 ?

1 ) cn

?a?

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) (1 ? ) c1 c2 cn 恒成立。 2n ? 3

3分

(1 ?
设 An ?

1 1 1 )(1 ? ) (1 ? ) c1 c2 cn ， 则只需 a ? ( An )min 2n ? 3

cn ? 2n ? 1
(1 ? 1 ) 2n ? 3 cn ?1 2n ? 5

? An?1 ?
An

?

2n ? 4 4n2 ? 16n ? 16 ? ?1 4n2 ? 16n ? 15 (2n ? 3)(2n ? 5)
4 5 15
6 分? a ? (0,

5分

? An?1 ? An

即数列 ? An ? 单调递增。( An ) min ? A1 ?

4 5 ] 15

8分

第 10 页 共 10 页

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com