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大庆铁人中学2011-2012学年度下学期高一期中考试数学试题(文)


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大庆铁人中学 2011-2012 学年度下学期高一期中考试数学试题(文)
考试时间:120 分钟 参考公式 2012.5 总分:150 分

V棱台 ?

1 h( S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) 3

V球 ?

4 3 ?R 3

S球 ? 4?R 2

一选择题(每个题 5 分,共 60 分)
2 1 若集合 A ? x 3 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,集合 B ? ? x

?

?

? 1 ? ? 1? ,则 A ? B ? ( ) ? x ?

A ( , 1)

1 3

B (0,1)

C (??,1)

D ( 0, )

1 3

2 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 3a4 ? 6 ,则 S 9 ? ( ) A 25 B 27 C 50 D 54

3 如图是一个几何体的三视图,根据图中 所给数据可得几何体的表面积是( ) A 32? B 16? C 12? D 8?

4 正视图

4 侧视图

4 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 A?

?
3

, a ? 15, b ? 10 ,则 cos B ? ( )

A -

2 2 3

B

2 2 3

C -

6 3

D

6 3

俯视图

5 过 ?ABC 所在平面 ? 外一点P, 作 PO ? ? , 垂足为 O, 连接 PA、 PB、 PC, 若 PA=PB=PC 则点 O 是 ?ABC 的( ) A 重心 B 内心 C 外心 D 垂心 6 已知两直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下列命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? A ①③ B ②④ ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n

④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? ,其中正确的命题为( ) D ①④

C ②③

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?x ? y ? 5 ?2 x ? y ? 6 ? 7 已知实数 x, y 满足 ? ,使目标函数 z ? 6 x ? 8 y 取得最大值的最优解为( ) x ? 0 ? ? ?y ? 0 2 2
A (1, 5) B (1, 4) C ( 2, 4) D (0, 5)

2 1 1 正视图 1 1 俯视图 2 1 1 侧视图

2

8 一个棱长为 2 的正方体,被一个平面所截得几何体 的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

17 14 20 C D 3 3 3 9 已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是( ) a?b a?b ? ab ?b A a?b? B a ? ab ? 2 2 a?b a?b ? b ? ab ? ab ? b C a? D a? 2 2
A8 B

10 在正方体 AC1 中, ,则直线 A 1 B1CD 所成角的正弦值为( 1B 与平面 A



A

10 5

B

1 2

C

15 5
2

D

3 2


11 当 x ? (2, 3) 时,不等式 2 x ? 9 x ? m ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围为( A m?9 B m?9 C m?9 D 0?m?9

12 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥

O ? ABCD 的体积为(
A

) C

2 3

B 6 3

4 3

D 8 3

二填空题(每个题 5 分,共 20 分) 13 在空间四边形 ABCD 中,对角线 AC ? BD ? 4 , E 是 AB 中点,过 E 与 AC, BD 都平 行的截面 EFGH 分别与 BC, CD, DA 交于 F , G, H ,则四边形 EFGH 的周长为 。

14 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别是 1、2、3, 则此球的表面积等于_____________________ 15 m, n 是平面 ? 外的两条直线,给出三个论断:① m / / n ② m / /? ③ n / /? ,以其中 的两个为条件,余下的一个为结论,构成三个命题,写出你认为正确的所有命题 是 ; (用符号表示) 16 下 列 命 题 : ① a ? 1 ? 2a
2

② x?

a?b 1 ? 2 ④ 若 x ? ( 0 ,? ? ), 则 ?2 ③ x ab

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x2 ? 1 ? 1 ;其中正确命题为 x ?1
2

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(填序号) 。

三解答题(共 6 道题,70 分) 17(满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 B ? C , 2b ? 3a (1)求 cos A 的值; (2)求 cos(2 A ?

?
4

) 的值。

2 18(满分 12 分)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1 , a3 ? 9a2 a6

(1) 求通项 an ; (2) 设 bn ? l o g

3 1

a ? l o g

3 2

a ? l o g ?

3

?1? an , 求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn 。 ?b n ?

19(满分 12 分)解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0

BC 的中点。 20(满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E , F 分别为 AC 1 1和
(1) 求证: EF 平面 AA 1B 1B

EF 与 AB 所成的角 (2) 若 AA 1 ? 3, AB ? 2 3 ,求异面直线
21(满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60 ,
0

AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD
(1) 证明: PA ? BD (2) 设 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高

E

P

D
A F B C

C

A

B

(第 20 题)

(第 21 题)

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22(满分 12 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ? 2an?1 ? 2n?1 (1)求证: ?bn ? 是等差数列;

(n ? 2, n ? N? ) ,设 bn ?

an 2n

(2)数列 ?cn ? 满足: cn ? 2n ? 1 ,对任意 n ? N? ,不等式

a bn ? 4 ? (1 ?

1 1 )(1 ? ) c1 c2

(1 ?

1 ) 恒成立,求正数 a 的取值范围。 cn

大庆铁人中学 2011-2012 学年度下学期高一期中考试 数学答题卡
题号 一 二 17 分数 题号 答案 18 19

2012.5
三 20 21 22 得分 合分人

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题 13 15 三、解答题 17(1)

14 16

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(2)

18(1)

(2)

19

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20(1)

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E

A F B

C

(2)

21(1)

P

D
第 6 页 共 10 页

C

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com A B

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(2)

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22(1)

(2)

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大庆铁人中学 2011-2012 学年度下学期高一期中考试 数学答题卡
一、选择题
题号 答案

2012.5

文科

1 B

2 B

3 C

4 D

5 C

6 D

7 D

8 B

9 D

10 B

11 C

12 D

二、填空题 13) 8 14) 14? 15)①② ? ③, ①③ ? ② 16)②

三、解答题 17(满分 10 分) (1)解: B ? C

1分

?b ?c ?

3 a 2

3分

?
(2)

b2 ? c 2 ? a 2 1 cos A ? ? 2bc 3

5分

7 4 2 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? , sin 2 A ? 9 9

2分

? cos(2 A ? ? ) ? ?8 ? 7
4 18
18(满分 12 分)

2

5分

(1)由已知得: ?

?2a1 ? 3a1q ? 1 ?a q ? 9a1q
2 1 4
n

6

1 ? a1 ? ? ? 3 解得: ? 1 ?q ? ? 3 ?
n

2 分? an ?

1 3n

4分

(2) bn ?

? log a = ? log 3
i ?1 3 i i ?1 3

n

?i

? ?? i
i ?1

6分

? bn ? ? n(n ? 1)
2

8分 10 分

?

1 1 1 2 ? ?2( ? ) ?? n n ?1 bn n(n ? 1)
n? ? i ?1 n

?T

n n 2n 1 1 1 1 1 1 )?? ? ? ?2( ? ) ? ?2? ( ? ) ? ?2(1 ? n ?1 n ?1 i i ?1 i ?1 bi i ?1 i ?1 i

12 分

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2分

19(满分 12 分)解:原不等式可化为 ( x ? a)(x ? 1) ? 0 ①当 a ? 1 时, a ? x ? 1 ② a ? 1 时, x ? ? ③ a ? 1 时, 1 ? x ? a 6分 8分 4分

综上所述:原不等式的解集为: a ? 1 时, ?x | a ? x ? 1? ;

a ? 1 时, x ?? ;

a ? 1 , ?x | 1 ? x ? a?

12 分

20 解 证明(1)取 AC 的中点 D,连接 DE,DF 因为 D,E,F分别是AC, AC 1 , DF || AB 1 1 ,BC的中点,所以 DE || AA 又 DE

DF ? D ,DE||平面

A1 ABB1 ,DF||平面 A1 ABB1

所以平面EDF||平面 A 1 ABB 1 ,又EF ? 平面DEF,所以EF||平面 A 1 ABB 1 (2)由(1)知 ? DFE 为异面直线EF与AB所成的角 在直角三角形EDF中, ED ? 3, DF ? 3 , tan ?DFE ? 所以 ?DFE ? 60 21(满分 12 分)解; (1)因为 ?DAB ? 60 , AB ? 2 AD ,由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而
0
0

DE ? 3, DF

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ,故 BD ? AD

---------------------------------------------------------3 分

又 PD ? 底面 ABCD ,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD --------------------------------------------------------------------------6 分

(2)如图,作 DE ? PB ,垂足为 E ,已知 PD ? 底面 ABCD ,则 PD ? BC 由(1)知 BD ? AD ,又 BC || AD ,所以 BC ? BD 故 BC ? 平面 PBD , BC ? DE ,则 DE ? 平面 PBC -----------------------------------9 分

BD ? 3, PB ? 2 由题设知 PD ? 1 ,则

根据 DE ? PB ? PD ? BD ,得
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DE ?

3 2

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3 即棱锥 D ? PBC 的高为 2

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----------------------------------------------------------------12 分

1 1 h ? S ?PBC ? PD ? S ?DBC V ? V P? DBC , 3 3 (2)另解:由 D?PBC ,同样给分
22(满分 12 分) (1)证明: n ? 2 时, 1分 3分

an an ?1 2an?1 ? 2n?1 an?1 bn ? bn ?1 ? n ? n ?1 ? ? n?1 ? 2 2 2 2n 2

? ?bn? 是等差数列。
(2)由(1)得: bn ?

4分

a1 ? 2(n ? 1) 2

? bn ? 2n ?1
1 ) cn

1分

a bn ? 4 ? (1 ?

1 1 )(1 ? ) c1 c2

(1 ?

?a

2n ? 3 ? (1 ?

1 1 )(1 ? ) c1 c2

(1 ?

1 ) cn

?a?

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) (1 ? ) c1 c2 cn 恒成立。 2n ? 3

3分

(1 ?
设 An ?

1 1 1 )(1 ? ) (1 ? ) c1 c2 cn , 则只需 a ? ( An )min 2n ? 3

cn ? 2n ? 1
(1 ? 1 ) 2n ? 3 cn ?1 2n ? 5

? An?1 ?
An

?

2n ? 4 4n2 ? 16n ? 16 ? ?1 4n2 ? 16n ? 15 (2n ? 3)(2n ? 5)
4 5 15
6 分? a ? (0,

5分

? An?1 ? An

即数列 ? An ? 单调递增。( An ) min ? A1 ?

4 5 ] 15

8分

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