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2-3第三节 函数的单调性与最值


名师一号

高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学

第三节

函数的单调性与最值

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 1 1.(2014· 大连模拟)给定函数①y=x2;②y=log2(x+1);③y=|x -1|;④y=2x+

1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A.①② C.③④ B.②③ D.①④ )

解析 画出 4 个函数图象,可知②③正确.故选 B.

答案

B

2.函数 f(x)=x2+4ax+2 在(-∞,6)内递减,则 a 的取值范围 是( ) A.a≥3 C.a≥-3 B.a≤3 D.a≤-3

解析 由题意知-2a≥6,得 a≤-3. 答案 D )

3.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3 A.(-∞,2] 3 C.(-1,2] 3 B.[2,+∞) 3 D.[2,4)

解析 要使函数有意义需 4+3x-x2>0,
1

名师一号 解得-1<x<4, ∴定义域为(-1,4).

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3 25 令 t=4+3x-x2=-(x-2)2+ 4 . 3 3 则 t 在(-1,2]上递增,在[2,4)上递减. 25 又 y=lnt 在(0, 4 ]上递增, 3 ∴f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间为[2,4). 答案 D

4.(2014· 北京东城联考)已知函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数, g(x)=-f(|x|),若 g(lgx)>g(1),则 x 的取值范围是( A.(10,+∞) C.(0,10)
?1 ? B.?10,10? ? ?

)

1? ? D.?0,10?∪(10,+∞)
? ?

解析 ∵g(x)=-f(|x|), ∴函数 g(x)=-f(|x|)为偶函数, ∵函数 f(x) 在[0,+∞)上是增函数,∴当 x≥0 时,g(x)=-f(|x|)=-f(x),此时 为减函数,∴当 x≤0 时,函数 g(x)=-f(|x|)单调递增.∵g(lgx)>g(1),
?1 ? 1 ∴-1≤lgx≤1,解得10≤x≤10,即?10,10?,选 B. ? ?

答案

B

5.(2014· 郑州模拟)已知定义在 R 上的增函数 f(x),满足 f(-x) +f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1) +f(x2)+f(x3)的值( A.一定大于 0 C.等于 0 ) B.一定小于 0 D.正负都有可能

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解析 ∵x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0, ∴x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1. ∴f(x1)>f(-x2)=-f(x2), 即 f(x1)+f(x2)>0, f(x2)>f(-x3)=-f(x3),即 f(x2)+f(x3)>0. f(x3)>f(-x1)=-f(x1),即 f(x3)+f(x1)>0, ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>0,故选 A. 答案 A

6.(2014· 乐陵一中月考)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 且 f(1)=0,则不等式 x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为( A.{x|-1<x<0 或 x>1} B.{x|x<-1 或 0<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1} D.{x|-1<x<0 或 0<x<1} )

解析 ∵奇函数 f(x)在(0, +∞)上是增函数, f(-x)=-f(x), x[f(x) -f(-x)]<0,∴xf(x)<0,又 f(1)=0,∴f(-1)=0,从而有函数 f(x)的 图象如图, 则不等式 x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为{x|-1<x<0 或 0<x<1}, 选 D. 答案 D

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为__________.
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解析 ∵y= x-x=-( x)2+ x 1? 1 ? =-? x-2?2+4, ? ? 1 ∴ymax=4. 1 答案 4 4x 8.若函数 f(x)= 2 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则 m x +1 ∈__________. 4?1-x2? 解析 ∵f′(x)= 2 ,令 f′(x)>0 得-1<x<1, ?x +1?2 ∴f(x)的增区间为(-1,1).
? ?m≥-1, 又∵f(x)在(m,2m+1)上单调递增,∴? ? ?2m+1≤1.

∴-1≤m≤0. ∵区间在(m,2m+1)上, ∴隐含 2m+1>m,即 m>-1. 综上,-1<m≤0. 答案 (-1,0]

3 1 9.(2014· 厦门调研)已知函数 f(x)=ax-2x2 的最大值不大于6,当
?1 1? 1 x∈?4,2?时,f(x)≥8,则 a 的值为________. ? ?

3? a? 1 解析 f(x)=-2?x-3?2+6a2,
? ?

1 1 a 由 f(x)max=6a2≤6得-1≤a≤1, 函数 f(x)的图象的对称轴为 x=3,

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? ?

3 1 a 1 ?1 1? 1 ? , ?是 f(x)的递减区间, 当-1≤a<4时, -3≤3<4, 而 f ( x ) ≥ 4 2 8,
?1? a 3 1 即 f(x)min=f?2?=2-8≥8, ? ?

3 得 a≥1,与-1≤a<4矛盾,即不存在这样的 a 值; 3 1 a 1 当4≤a≤1 时,4≤3≤3,
?1 1? 1 结合图象知道区间?4,2?的端点2离对称轴的距离大,故 f(x)min= ? ? ?1? a 3 1 3 f?2?=2-8≥8,a≥1,而4≤a≤1,得 a=1,∴a=1.综上可知,a= ? ?

1. 答案 1 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 1 1 10.已知函数 f(x)=a-x(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ?



(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0,
?
2?

?1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x2)-f(x1)=?a-x ?-?a-x ? ?
1?

1 1 x2-x1 =x -x = x x >0,
1 2 1 2

∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
?1 ? ?1 ? (2)∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?, ? ? ? ? ?1 ? 又 f(x)在?2,2?上单调递增, ? ?
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? ?

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?1? 1 2 ∴f?2?=2,f(2)=2,解得 a=5.

x 11.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 解 (1)证明:任设 x1<x2<-2,

则 f(x1)-f(x2)= 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2? ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 x1 x2 f(x1)-f(x2)= - x1-a x2-a = a?x2-x1? . ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所知 a 的取值范围为{a|0<a≤1}. x 12.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f(y) =f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明; (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

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名师一号 解 (1)∵当 x>0,y>0 时,

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x f(y)=f(x)-f(y), ∴令 x=y>0,则 f(1)=f(x)-f(x)=0. (2)证明:设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, x2 则 f(x2)-f(x1)=f(x ).
1

x2 x2 ∵x2>x1>0,∴x >1,∴f(x )>0.
1 1

∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知 f(x)在[1,16]上是增函数. ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16). x ∵f(4)=2,由 f(y)=f(x)-f(y), 16 知 f( 4 )=f(16)-f(4), ∴f(16)=2f(4)=4. ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4].

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