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宁夏银川一中2017届高三上学期第一次月考 数学理


银川一中 2017 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:

第Ⅰ卷
符合题目要求的.

(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
1.设 U=R,A={x|x2-3x-4>0},B={x|x2-4<0 } ,则 (CU A) ? B ?

A.{x|x≤-1,或 x≥2} B.{x|-1≤x<2 }

C.{x|-1≤x≤4}

D.{x|x≤4}

2.设 i 为虚数单位,复数 ( 2 ? i ) z ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数 z 在复平面中对应的点在 A.第一象 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.若― p : x ? a ‖是― q : x ? 1或x ? ?3 ‖的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? ?3 D. a ? ?3

4.下列函数中,既是偶函数又在 ? ??, 0 ? 上单调递增的函数是
A. y ? x 2 B. y ? 2 | x | C. y ? log2

1 | x|

D. y ? sin x

5.当 0<x<1 时,则下列大小关系正确的是 A.x3<3x<log3x C.log3x<x3<3x
6.函数 f ( x) ? ? A. (0,1)

B.3x<x3<log3x D.log3x<3x<x3

1 ? log 2 x 的一个零点落在下列哪个区间 x
B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

7.已知 f ( x ) ? ? A. (1,??)

? 2( x ? 1) ,则不等式 x ? 2 xf ( x ? 1) ? 5 的解集为 ?? 1( x ? 1)
B. (??,?5) ? (1,??) D. (?5,1)

C. (??,?5) ? (0,??)

8.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A.ex+1 B.ex-1 C.e-x-1 D.e-x+1

9.已知函数 f(x)=e|x|+x2, (e 为自然对数的底数) ,且 f(3a﹣2)>f(a﹣1) ,则实数 a 的取值范围是
1 3 A. (? ?, ) ? ( ,? ?) 2 4 1 B. ( ,? ?) 2
·1·

1 C. ( ? ?, ) 2

1 3 D. (0, ) ? ( ,? ?) 2 4

10.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

A

B

C

D

11 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x ) 满 足 : 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 且 当

1 1 x ? ( ? ?,0), f ( x ) ? xf ' ( x ) ? 0 ( f ' ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数)成立.若 a ? (sin ) ? f (sin ), 2 2
b ? (ln 2) ? f (ln 2) , c ? (log 1
2

1 1 ) ? f (log 1 ) ,则 a , b , c 的大小关系是 4 4 2

A. a ? b ? c 12.已知函数

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

? ? x ?1 , x ? 0 f ? x? ? ? ,若方程 f ? x ? ? a 有四个不同的解 x1 , x2 , x3 , x4 , ? ? log 2 x , x ? 0
1 的取值范围是 x32 x4
C.

且 x1 A.

? x2 ? x3 ? x4 ,则 x3 ? x1 ? x2 ? ?
B.

? ?1, ???

??1,1?

? ??,1?

D.

? ?1,1?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. f ( x ) ?
1 1 ? log2 x

的定义域为___________.

14.已知函数 y ? f ( x ? 1) 是奇函数,且 f (2) = 1,则 f (-4) =_______________. 15.已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x) ? 3x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, ?3) 处的切 线方程是_______________.
16. 已知函数

? x ? 1, x ? 0, 2 若关于 x 的方程 f ( x) ? af ( x) ? 0 恰有 5 个不同的实数解, 则 f ( x) ? ? 2 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0,

实数 a 的取值范围是____________.
·2·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p:关于 x 的不等式 a ? 1 (a>0,且 a≠1)的解集为{x|x<0},命题 q:函数 f(x)=lg(ax2-x+
x

a)的定义域为 R.若―p∧q‖为假命题,―p∨q‖为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)万元,当年产量 1 10 000 不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(万元);当年产量不少于 80 千件时,C(x)=51x+ -1 450(万元).通 3 x 过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年内生产的商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=x2· [f(x)-a],且 g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数 a 的取值范围.
1 +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x

20. (本小题满分 12 分)
a 已知 f(x)=ax- -5ln x,g(x)=x2-mx+4. x (1)若 x=2 是函数 f (x)的极值点,求 a 的值; (2)当 a=2 时,若? x1∈(0,1),? x2∈[1,2],都有 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? a ln x(a ? R) 。
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 2 x ,讨论函数 g ( x) 的单调性;
2

(3) 若 (2) 中函数 g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 且不等式 g ( x1 ) ? mx2 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

·3·

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为 割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一 点,且 DE2=EF· EC? (1)求证:?P=?EDF; (2)求证:CE· EB=EF· EP. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? C D F O · E B A P

? x ? cos ? (? 为参数) ,以平面直角坐标系 xOy 的原点 ? y ? sin ?

O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 取相同的单位长度建立极坐标系, 已知直线 l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 . (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2 试写出 直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程;
(2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? 2x ?1 (a ? R). (1)当 a = 1 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若 f ( x ) ? 2 x 的解集包含 ? ,1? ,求 a 的取值范围.

?1 ? ?2 ?

·4·

银川一中 2016 届高三第一次月考数学(理科)试卷答案
一.选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 D 11 A 12 D

二.填空题: 13. (0,2) 三.解答题
17.解:若 p 为真命题,则 0<a<1; 若 p 为假命题,则 a≥1 或 a≤0.

14. -1

15.

2x+y+1=0

16.

(0,1)

?a ? 0 1 若 q 为真命题,由 ? 得 a> ; 2 2 ? ? 1 ? 4 a ? 0 ?
1 若 q 为假命假,则 a≤ . 2 又 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,即 p 和 q 有且仅有一个为真命题, 1 当 p 真 q 假时,0<a≤ ;当 p 假 q 真时,a≥1. 2 1? 故实数 a 的取值范围为? ?0,2?∪[1,+∞)..................12 分

18. (1)当0 ? x ? 80, x ? N 时 L( x) ?
*

500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 , 1000 3 3

当x ? 80, x ? N *时,L( x) ?

500 ?1000 x 10000 10000 ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ( x ? ) 10000 x x

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? 3 ? L( x) ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80, x ? N * ? x ?
1 (2)当0 ? x ? 80, x ? N *,L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950, 当x ? 60时,L( x)取得最大值L(60) ? 950 3

当x ? 80, x ? N * , L( x) ? 1200 ? ( x ?
当且仅当x ?

10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 x x

10000 ,即x ? 100时,L(x)取得最大值L(100)=1000>950 x
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

综上所述,当 x=100 时,L(X)取得最大值 1000,即年产量为 100 千克时,该厂在这一商 品生产中所获利润最大。 19.解(1)设 f(x)图象上任一点的坐标为 P(x,y),因为点 P 关于点 A(0,1)的对称点 P'(-x,2-y)在 h(x)的图 象上,

·5·

∴2-y=-x+ +2,∴y=x+ ,即 f(x)=x+ .. . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
(2)g(x)=x2· [f(x)-a]=x3-ax2+x, 又 g(x)在区间[1,2]上为增函数,

∴g'(x)=3x2-2ax+1≥0 在[1,2]上恒成立,
即 2a≤3x+ 对? x∈[1,2]恒成立. 不妨令 r(x)=3x+ , 由于函数 r(x)=3x+ 在[1,2]上单调递增, 故 r(x)min=r(1)=4.于是 2a≤4,a≤2. . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

a 5 ? , 又因为2是极值点,则f ` (2)=0,则a ? 2, 2 ..........4 分 x x 经检验,当a ? 2时2是f ( x)极值点,故满足题意。 20.解(1) f ` ( x) ? a ?
2 (2)当 a=2 时,f(x)=2x- -5ln x, x f ′(x)= 2x2-5x+2 ? 2 x-1? ? x-2? = , x2 x2

1 ∴当 x∈(0, )时,f ′ (x)>0,f(x)单调递增; 2 1 当 x∈( ,1)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 2 1 ∴在(0,1)上,f(x)max=f( )=-3+5ln2. .................7 分 2 又―? x1∈(0,1),? x2∈[1,2],都有 f(x1)≥g(x2)成立‖等价于―f(x)在(0,1)上的最大值不小于 g(x)在[1,2] 上的最大值‖,而 g(x)在[1,2]上的最大值为 max{g(1),g(2)}, 分 .................9

?f?2? ≥g? 1?, ∴? 1 ?f?2? ≥g? 2?,
解得 m≥8-5ln 2.

1

? ?-3+5ln 2≥5-m, 即? ?-3+5ln 2≥8-2m. ?

∴实数 m 的取值范围是[8-5ln 2,+∞)..................12 分

21.解:(1)f(x)的定义域为 (0, ??) ,且 f ( x) ? ?2 x ?
`

a ?2 x 2 ? a ` ? ,又 a=2,的 f (1) ? 0 x x 2x2 ? 2x ? a x

而 f(1)=-1,所以 f(x)在(1,-1)处的切线方程为 y=-1. . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

(2) g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 2 x 2 ? x 2 ? 2 x ? a ln x, 定义域为(0, +?),g (`x) ?
·6·



1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a a ? 0 时,g(x)的单调递增区间为 ( , ??) ,单调递减区间为 (0, ); 2 2
当 0?a?

1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 时 , g(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ),( , ??) , 单 调 递 减 区 间 为 2 2 2

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2 a ( , ); 2 2 1 当 a ? 时,g(x)的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间. . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2
(3)由第(2)问知,函数 g(x)有两个极值点 x1 , x2 ,则 0 ? a ? 又因为 x1 ? x2 ,所以 0 ? x1 ?

1 ,且 x1 ? x2 ? 1 , 2

1 1 g ( x1 ) x12 ? 2 x1 ? (2 x1 ? 2 x12 ) ln x1 , ? x2 ? 1 ,因为 ? 2 2 x2 1 ? x1

? 1 ? x1 ?

1 1 1 ? 2 x ln x , (0 ? x ? ) ,则有 ? 2 x1 ln x1 , 于是设 h( x) ? 1 ? x ? x ?1 2 x1 ? 1

h` ( x) ?

x( x ? 2) x( x ? 2) 1 ? 2 ln x ,因为 0 ? x ? ,所以 ? 0 ,且 2lnx<0,得 h` ( x) ? 0 , 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2
1 2

即 h(x)在 (0, ) 单调递减,所以 h( x) ? h( ) ? ?

1 2

3 3 ? ln 2 ,得 m 的范围为 (??, ? ? ln 2) 2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

22.证明(1)∵DE2=EF· EC, ∴DE ? CE=EF? ED. ∵?DEF 是公共角, ∴ΔDEF∽ΔCED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, (2)∵?P=?EDF, ∴?C=? P. ?DEF=?PEA, ∴?P=?EDF.----5 分 ∴ΔDEF∽ΔPEA.∴DE ? PE=EF ? EA.即 EF· EP=DE· EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE· EA=CE· EB.∴CE· EB=EF· EP. 10 分 23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ,………………2 分 ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: ( ∴曲线 C2 的参数方程为: ?

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) .………………5 分 ? ? y ? 2sin ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:
·7·

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(600 ? ? ) ? 6 | ,………………7 分 d? ? 5 5
∴当 sin(600-θ)=-1 时,点 P( ?

|4?6| 3 ,此时 d max ? ? 2 5 .…………10 分 ,1 ) 2 5

24.解: (1)当 a = 1 时,不等式 f ( x) ? 2 可化为 | x ? 1| ? | 2 x ? 1|? 2 ①当 x ?

1 2 2 时,不等式为 3 x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3

②当 ?1 ? x ?

1 时,不等式为 2 ? x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2
2 ,故 x ? ?1 ; 3

③当 x ? ?1 时,不等式为 ?3x ? 2 ,解得 x ? ? ……………4 分 综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? ………………………………………5 分 3?

(2)因为 f ( x) ? 2 的解集包含 ? ,1? 不等式可化为 | x ? a |? 1 ,………………………………………7 分 解得 ?a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ,

?1 ? ?2 ?

1 ? ??a ? 1 ? 由已知得 ? 2 ,……………………………………9 分 ? ??a ? 1 ? 1
解得 ?

3 ?a?0 2

所以 a 的取值范围是 ? ?

? 3 ? , 0 .…………………………………10 分 ? 2 ? ?

·8·


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