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三角函数最好练习3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦


3-1-2-1 两角和与差的正弦、余弦

一、选择题 1.下列等式成立的是( ) 1 2

A.cos80° cos20° -sin80° sin20° = B.sin13° cos17° -cos13° sin17° = C.sin70° cos25° +sin25° sin20° =

1 2 2 2 3 2

D.sin140° cos20° +sin50° sin20° = [答案] D 5π 2.cos 的值等于( 12 A. C. 6+ 2 2 6- 2 4 )

B. D.

2 2 3+ 2 4

[答案] C π π 5π 7π [解析] cos =-cos =-cos?3+4? ? ? 12 12 π π π π sin =-?cos3cos4-sin3· 4? ? ? 6- 2 1 2 3 2 =-? × - · ?= . 4 2 2? ?2 2 3.在△ABC 中,已知 sin(A-B)· cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( A.锐角三角形 C.直角三角形 [答案] C [解析] 由题设知 sin[(A-B)+B]≥1, π ∴sinA≥1 而 sinA≤1,∴sinA=1,A= , 2 ∴△ABC 是直角三角形. π π 4. 2sin?4-x?+ 6sin?4+x?的化简结果是( ? ? ? ? 5π A.2 2sin?12+x? ? ? 7π C.2 2sin?12+x? ? ? [答案] A ) 5π B.2 2sin?x-12? ? ? 7π D.2 2sin?x-12? ? ? B.钝角三角形 D.等腰非直角三角形 )

[解析]

π π 2sin?4-x?+ 6sin?4+x? ? ? ? ?

π π π = 2sin?2-?4+x??+ 6sin?4+x? ?? ? ? ? ? π π = 2cos?4+x?+ 6sin?4+x? ? ? ? ? π π 1 3 =2 2? cos? +x?+ sin? +x?? ?2 ?4 ? 2 ?4 ?? π π π π =2 2?sin6cos?4+x?+cos6sin?4+x?? ? ? ? ?

?

?

5π π π =2 2sin?6+?4+x??=2 2sin?12+x?. ?? ? ? ? ? 5.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= A.a<b<c C.b<a<c [答案] B [解析] a= 2sin(14° +45° )= 2sin59° , 3 b= 2sin(16° +45° )= 2sin61° ,c= 2· = 2sin60° , 2 由 y=sinx 在(0° ,90° )上单调增知:a<c<b. 4 4 6.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)=- ,则 cosαcosβ 的值为( 5 5 A.0 4 C.0 或 5 [答案] A 4 [解析] 由条件得,cosαcosβ-sinαsinβ= , 5 4 cosαcosβ+sinαsinβ=- , 5 左右两边分别相加可得 cosα· cosβ=0. 2 5 3 7.若 α、β 均为锐角,sinα= ,sin(α+β)= ,则 cosβ 等于( 5 5 2 5 A. 5 2 5 2 5 C. 或 5 25 [答案] B 2 5 3 [解析] ∵α 与 β 均为锐角,且 sinα= >sin(α+β)= ,∴α+β 为钝角, 5 5 2 5 B. 25 2 5 D.- 25 ) 4 B. 5 4 D.0 或± 5 ) 6 ,则 a、b、c 的大小关系是( 2 )

B.a<c<b D.b<c<a

3 4 又由 sin(α+β)= 得,cos(α+β)=- , 5 5 2 5 5 由 sinα= 得,cosα= , 5 5 4 5 3 2 5 2 5 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- × + × = ,故选 B. 5 5 5 5 25 8.若 α、β 为两个锐角,则( A.cos(α+β)>cosα+cosβ B.cos(α+β)<cosα+cosβ C.cos(α+β)>sinα+sinβ D.cos(α+β)<sinα+sinβ [答案] B [解析] cos(α+β)-(cosα+cosβ)=cosαcosβ-sinαsinβ-cosα-cosβ=cosα(cosβ-1)-sinαsinβ-cosβ ∵α、β 是锐角,∴cosβ-1<0,cosβ>0,cosα>0,sinβ>0,sinα>0 ∴cos(α+β)-(cosα+cosβ)<0, ∴cos(α+β)<cosα+cosβ. [点评] ∵α、β 均为锐角,∴cosβ>0,0<α<α+β<π,∵y=cosx 在(0,π)上单调递减. ∴cosα>cos(α+β),∴cosα+cosβ>cos(α+β).故 A 错,B 对;当 α、β 很接近于 0 时,sinα+sinβ 接近 π 于 0,cos(α+β)接近于 1,故 D 错,当 α=β= 时,C 错. 4 9.若 sinα-sinβ=1- 1 A. 2 C. 3 4 3 1 ,cosα-cosβ=- ,则 cos(α-β)的值是( 2 2 B. 3 2 ) )

D.1

[答案] B [解析] ∵sinα-sinβ=1- 3 1 ,cosα-cosβ=- , 2 2 32 1 ) +(- )2 2 2

∴(sinα-sinβ)2+(cosα-cosβ)2=(1- ∴2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2- 3 ∴cosαcosβ+sinαsinβ=

3 3 ,即 cos(αβ)= . 2 2 )

sin47° -sin17° cos30° 10.(2012· 全国高考重庆卷) ( cos17° A.- 1 C. 2 3 2

1 B.- 2 D. 3 2

[答案] C [解析] = = = sin47° -sin17° cos30° cos17°

sin?30° +17° ?-sin17° cos30° cos17° sin30° cos17° +cos30° sin17° -sin17° cos30° cos17° sin30° cos17° 1 =sin30° = cos17° 2

[考点定位] 本题考查三角恒等变化,其关键是利三 47° =30° +17°

二、填空题 11.化简:cos(35° -x)cos(25° +x)-sin(35° -x)sin(25° +x)=________. [答案] 1 2

[解析] 原式=cos[(35° -x)+(25° +x)] 1 =cos60° . = 2 4 12.若 cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- ,且 450° <β<540° ,则 sin(60° -β)=________. 5 3+4 3 [答案] - 10 4 [解析] 由已知得 cos[(α+β)-α]=cosβ=- , 5 3 ∵450° <β<540° ,∴sinβ= , 5 ∴sin(60° -β)= 3+4 3 3 ? 4? 1 3 ·-5?- × =- . 2 ? 2 5 10

2 3 13.已知 α、β 为锐角,且 tanα= ,tanβ= ,则 sin(α+β)=________. 3 4 [答案] 17 13 65

2 [解析] ∵α 为锐角,tanα= , 3 ∴sinα= 2 3 ,cosα= , 13 13

3 3 4 同理可由 tanβ= 得,sinβ= ,cosβ= . 4 5 5 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = 2 4 3 3 17 13 × + × = . 5 65 13 13 5

sin15° -cos15° 14. 的值是________. sin15° +cos15° [答案] - 3 3 2?

2 2 ? - ? 2 sin15° 2 cos15° ? [解析] 原式= 2 2 ? 2? sin15° + cos15° 2 ?2 ? = sin?15° -45° -sin30° ? 3 = =- . 3 sin?15° +45° sin60° ?

三、解答题 π 3π 12 3 15.已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α 的值. 2 4 13 5 π 3π [解析] ∵ <β<α< , 2 4 3π π ∴π<α+β< ,0<α-β< . 2 4 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= ∴cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? =- 3 4 1-?-5?2=- . ? ? 5 12 5 1-?13?2= . ? ? 13

则 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)] =sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β) 3 12 4 5 56 =?-5?× +?-5?× =- . ? ? 13 ? ? 13 65 2 1 16.已知 sinα= ,cosβ=- ,且 α,β 为相邻象限的角,求 sin(α+β)和 sin(α-β)的值. 3 4 2 1 [解析] ∵sinα= >0,cosβ=- ,且 α,β 为相邻象限的角,∴α 为第一象限角且 β 为第二象限角; 3 4 或 α 为第二象限角且 β 为第三象限角. (1)当 α 为第一象限角且 β 为第二象限角时,

cosα=

5 15 ,sinβ= 3 4

2 1 5 15 -2+5 3 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= ×(- )+ × = . 3 4 3 4 12 ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 2 1 5 15 ×(- )- × 3 4 3 4 = -2-5 3 2+5 3 =- . 12 12

(2)当 α 为第二象限角且 β 为第三象限角时 2 1 ∵sinα= ,cosβ=- , 3 4 ∴cosα=- 5 15 ,sinβ=- , 3 4

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 2 1 5 15 = ×(- )+(- )×(- ), 3 4 3 4 = 5 3-2 12

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 2 1 5 15 = ×(- )-(- )×(- ) 3 4 3 4 2+5 3 =- , 12 5 3-2 综上可知:sin(α+β)= , 12 5 3+2 sin(α-β)=- . 12 sin?2α+β? sinβ 17.求证: -2cos(α+β)= . sinα sinα [证明] sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α]=sinβ. 由待证式知 sinα≠0,故两边同除以 sinα 得 sin?2α+β? sinβ -2cos(α+β)= . sinα sinα [点评] 在证明三角恒等式时,可先从两边的角入手——变角,将表达式中的角朝着我们选定的目标 转化,然后分析两边的函数名称——变名,将表达式中的函数种类尽量减少,这是三角恒等变换的基本策

略. 18.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|= (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若- <β<0<α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 2 13 [解析] (1)∵|a-b|= 4 ∴a2-2a· 2= , b+b 5 又 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a2=b2=1,a· b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β), 3 ∴cos(α-β)= . 5 π π (2)∵- <β<0<α< ,∴0<α-β<π, 2 2 3 4 由(1)得 cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= , 5 5 5 12 又 sinβ=- ,∴cosβ= , 13 13 ∴sinα=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ 5 4 12 3 33 = × + ×?-13?= . ? 65 5 13 5 ? 2 5 , 5 2 5 . 5


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