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第1章 立体几何初步复习与小结


高中数学 必修2

姓名:范金泉
单位:宿迁市马陵中学

知识结构图:
结构特征
空 间 几 何 体 简单空间几何体 图形表示 侧面积与体积

位置关系 基本元素(点、线、面)

语言描述
判定与性质

复习回顾: 1.平面基本性质.
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公

共点的集合是经过此公共点的一条直线 .
公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理4 (平行公理):平行于同一条直线的两条直线互相平行.

基础练习:
1.三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定 3 个平面.

2.一条直线和直线外三点所能确定的平面有个

1个或3个或4



典型例题:
如图,三棱锥A―BCD中,E,G分别为BC和AB的中点.F在CD上,H 在AD上,且有DF:FC= DH:HA =2:3,试判断EF,GH,BD的位置关系.

直线EF,GH,BD交于同一点
三个平面两两相交,得到三条交线 要么两两平行,要么交于同一点 G A H D E

B F
C

小结:
常用方法: 1.证点共线或线共点: 常常证明点在两个平面的交线上. 2.证点线共面:

常常先确定一个平面,然后再证明其他元素在这个平面内.

2.异面直线的定义与常见画法.
既不平行也不相交的两条直线,不同在任一平面内. A B

?
l

n m

? ?
n

?

n

?

m

?
画异面直线一定要依托于平面.

m

定理:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不经过该点的直线是 异面直线.

基础练习:
在正方体ABCD?A1B1C1D1各个表面的对角线中,与AD1所成角为60?的有 8 条. D1 C1 A1 B
1

D 小结: A B

C

求两条异面直线所成角,通常借助于特殊三角形,

当两条异面直线成直角,还可借助于线面垂直.

复习回顾:
3.直线与平面平行.
直线与平面平行的定义:

如果一条直线a和一个平面?没有公共点,我们就说直线a与平面?平行.
直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线 和这个平面平行. 线线平行 ? 线面平行

直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就和交线平行. 线面平行 ? 线线平行

典型例题:
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B和CC1的中点.

求证:MN∥平面ABCD.
D1 A1 M D B1 N C

C1

A P

B

复习回顾: 4.直线与平面垂直.
直线与平面垂直的定义:
如果直线a垂直于平面?内任一条直线,我们称直线a与平面?垂直. 线面垂直 ? 线线垂直 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线和这个平面垂直. 线线垂直 ? 线面垂直 直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线互相平行. 斜线与平面所成角: 线面垂直 ? 线线平行

平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条斜线与
这个平面所成的角.

典型例题:
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面BCC1B1;

(2)如果点E为B1C1的中点,求证:A1E∥平面ADC1.
A1 B1 C1

E

A B

C

D

复习回顾: 5.平面与平面平行.
两平面平行的定义: 如果两个平面?没有公共点,我们称这两个平面平行. 面面平行 ? 线面平行 两平面平行的判定定理: 如果一个平面内两条相交直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行. 线面平行 ? 面面平行 两平面平行的性质定理: 如果两个平面平行,且都和第三个平面相交,那么这两条交线平行. 面面平行 ? 线线平行 夹在两平行平面间的平行线段相等. 两平行平面间距离的定义: 我们把两个平行平面间公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离, 即一个平面内任一点到另一个平面的距离.

典型例题:
如图,在正方体ABCD―A1B1C1D1中,M,N分别为A1B和CC1的 中点.求证:MN∥平面ABCD. D1 A1 M D P C B B1 N C1

A

复习回顾:
6.平面与平面垂直.
以二面角棱上任一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,它们 所成的角叫做二面角的平面角. 两平面垂直的定义: 如果两个平面所成的二面角是直二面角,我们称这两个平面互相垂直. 两平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直. 线面垂直 ? 面面垂直 两平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,如果一个平面内的一条直线垂直于它们的交线,那么 它垂直于另一个平面.

面面垂直 ? 线面垂直

基础练习:
如图,三棱锥A―BCD中, 已知:AB=AC=CD=DB= 求证:面ABC⊥面BCD. C E 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1上运动,并且总 保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是 线段B1C . D1 C1 A1 B
1

A D

3 ,BC=AD=2.

B

P D A B C

典型例题:
如图,在正方体ABCD―A1B1C1D1中,E为DD1的中点.求证: (1)BD1∥平面EAC; (2) 平面EAC⊥平面AB1C. A1 D1 B1 C1

E
C

D
A B

小结:
线线平行 常用公理4,线面、面面平行与线面垂直的性质 平 行 线面平行 常用线面平行的性质与面面平行的定义

面面平行 常用面面平行的判定定理或垂直于同一条直线
线线垂直 常用勾股定理与线面垂直的定义

垂 直

线面垂直 常用线面垂直的定义、判定定理与面面垂直性质 面面垂直 常用面面垂直的定义、判定定理

数学思想

?转化 线线平行 线线垂直 面面平行 线面垂直

线面平行

?

?

面面垂直


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