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必修1 第二章基本初等函数知识点总结复习


佛山顺德华盛教育 人教版必修一第二章

基本初等函数知识点总结

必修 1 基本初等函数知识点整理
一、指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. 当 n 是奇数时, x ? _______ 当 n 是偶数时,当 a ? 0, x ? _______ ;当 a ? 0, x ? _______ ; 当 a ? 0 , x ? _______ . ②式子 n a 叫做_____,这里 n 叫做_____, a 叫做_______.当 n 为奇数时, a 为_____;当 n 为偶数时, a __ ③根式的性质: ( n a )n ? a (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于________. ②正数的负分数指数幂的意义是: a
? m n
m n

;当 n 为奇数时, a ? a
n n

;当 n 为偶数时,

n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , .0 的负分数指数幂__________. a a


(3)分数指数幂的运算性质

① a r ? a s ? __________ (

ar ? __________ ③ (a r ) s ? __________ s a


练习:1.下列根式与分数指数幂的互化,正确的是 (A) ? x ? (? x) 2 ( x ? 0)
1 2 ? 1 2

1

(B) 6 y 2 ? y 3 ( y ? 0)

1

(C) x

?

3 4

1 ? 1 ? 4 ( )3 ( x ? 0) (D) x 3 ? ? 3 x ( x ? 0) x

2.已知 x ? x

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值;

?3
函数_______________________叫做指数函数

二、指数函数及其性质 定义

a ?1
图象

0 ? a ?1

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 当 x>0 时,y ? _____; 当 x<0 时,y ? _______
1

当 x>0 时,y ? _____; 当 x<0 时,y ? _______

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基本初等函数知识点总结

练习:
x x 1.设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是 ( ) ( A )b ? a ?1 ( B )a ? b ?1 ( C ) 1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b

2.函数 f ( x) ?

1

1? ex 3.如图为指数函数 (1) y ? a x , (2) y ? b x , (3) y ? c x , (4) y ? d x ,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为 (A) a ? b ? 1 ? c ? d (B) b ? a ? 1 ? d ? c y (C) 1 ? a ? b ? c ? d (D) a ? b ? 1 ? d ? c a b c d 4.若函数 y ? 2 ? x?1 ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是 ( ) (A) m ? ?2 (B) m ? ?2 (C) m ? ?1 (D) m ? ?1
5. 已知 f (x)=
e ?e
x ?x

的定义域是

2

且 x∈[0, +∞ )

O

x

(1) 判断 f (x)的奇偶性; (2) 判断 f (x)的单调性,并用定义证明

三、对数与对数运算
x (1)对数的定义:若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? ______ ,

其中 a 叫做____, N 叫做____ (2)几个重要的对数恒等式: log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .

(3)常用对数: (以_____为底),记作:_________; 自然对数:(以_____为底), 记作:_________. (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ② log a ( ④

① loga ( MN ) ? __________ ______ ③ n loga ⑤ log ab

M ? loga M n (n ? R)
n log a M (b ? 0, n ? R ) b

a

M ) ? __________ ______ N log a N

?N

Mn ?

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

1 2.若 log 5 ? log 3 6 ? log 6 x ? 2, 则x ? ________ 3 1 1 a b 3.设 log18 9 ? a,18b ? 5, ,求 log36 45 . 4.已知 3 ? 5 ? c ,且 ? ? 2 ,求 c 的值 a b
练习:1. log 64 32 ? ________,

5.求方程 log2 ( x ?1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 的解

6. 求函数 y ? (log 2

x 3

)(log 2

x 4

) 在区间 [2 2, 8] 上的最值

2

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四、对数函数及其性质 定义 函数_________________________叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 当 0<x<1 时,y ? _______ 当 x>1 时, y ? _______ 练习: 1.函数 y ? A 当 0<x<1 时,y ? _______ 当 x>1 时, y ? _______

log 1 (3x ? 2) 的定义域是: (
2

) C

[1, ??)

B

(2 3 , ??)

[2 3 ,1]

D

(2 3 ,1]
)

2.若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 ( (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1

(D)a= 2 ,b= 2 )

3.已知 a ? log0.7 0.8 , (A) a ? b ? c 4.已知函数 f(x)= ? A.9

b ? log1.1 0.8 , c ? 1.10.7 ,则 a, b, c 的大小关系是(
(B) b ? a ? c (C) c ? a ? b
1 4

(D) b ? c ? a ) D.-
1 9

?log 2 x( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

,则 f[f(

) ]的值是(

B.

1 9

C.-9 ) y y

5.函数 y=|log2x|的图象是( y

y

O

1

x

O

1

x )

O C

1

x

O

1 D

x

6.如果 log a 5 ? log 间的关系是( A b 5 ? 0 ,那么 a、b B A

0 ? a ? b ?1 B

1? a ? b

C 0 ? b ? a ?1

D 1? b ? a )

7.若 0<a<1,f(x)=|logax|,则下列各式中成立的是(
3

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A.f(2)>f( )>f(
3

1

1 4

)

B.f(

1 4

)>f(2)>f( ) C.f( )>f(2)>f(
3 3

1

1

1 4

) D.f(

1 4

)>f( )>f(2)
3

1

8.已知 a>b,函数 f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数 g(x)=loga(x+b)的图象可能为(

)

9.已知: f ( x) ? lg(a x ? b x ) (a>1>b>0) . (1)求 f ( x) 的定义域(2)判断 f ( x) 的单调性(3)若 f ( x) 在(1,+∞)恒为正,比较 a-b 与 1 的大小.

五、幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数________________叫做幂函数,其中 x 为_________, ? 是___________. (2)常见幂函数的图象(在同一坐标系中画出下列函数的图像)

y?x y?x

?1 2 2

y?x

1 2

y ? x3 y ? x ?2

y ? x3

(3)幂函数的性质 ①图象分布:在第______象限都有图像,在第 ____象限无图象. ②过定点:_____________. ③单调性: 如果 ? ? 0 , 在[ 则在 (0, ??) 上为____函数, 并且无限接近_____ 0 , ?? ) 上为___函数如果 ? ? 0 , ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为__________函数,当 ? 为偶数时,幂函数为_______函数.

q 当 ? ? (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) , 若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是_______函数, p
q q

q

若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是_______函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x p 是_______函数. 练习: 1.函数 y=(1-2x) 3.函数 y ? x
? 3 4
- 1 2

的定义域是_________ 2.幂函数的图象过点(2, 是减函数 )
?

1 4

), 则它的单调递增区间是

在区间上

4.下列命题中正确的是(

A.当 ? ? 0 时,函数 y ? x 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0) , (1,1)两点 C.幂函数的 y ? x
?

图象不可能在第四象限内 D.若幂函数 y ? x 为奇函数,则在定义域内是增函数
4

?

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六、函数的零点: 对于函数 y=f(x),我们把使___________的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点,函数的零点是一个______ 零点的存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_____________, 那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈ (a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 练习:
x ? ?2 -1,x≤1, ? 1.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的零点为( ?1+log2x,x>1, ?

)

1 A.2,0 )

B.-2,0

1 C.2

D.0

2.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1 A.(- ,0) 4 1 B.(0, ) 4 1 1 C.( , ) 4 2

1 3 D.( , ) 2 4

1 3.函数 f(x)=( )x-sinx 在区间[0,2π]上的零点个数为________. 2 4.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下表 f(1)=-2 f(1.375)=-0.260 f(1.5)=0.625 f(1.4375)=0.162 ) f(1.25)=-0.984 f(1.40625)=-0.054

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2

七、一元二次方程的实根分布问题 一元二次方程的根,其实质就是其相应二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标,因此,可以借助于二次函数 及其图象,利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题,

一元二次方程 ax?+bx+c=0(a>0)的实根分布
根的分布情况 两个根均小于 m
y

两个根均大于 m
y

一根>m,一根<m
y





O

k

x

O

k

x

O

k

x

5

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?? ? 0 ? ? b ?k ?? ? 2a ? ? f (k ) ? 0

?? ? 0 ? ? b ?k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

f (k ) ? 0

根的分布情况

两个根均在(m,n)内
y

两根均在[m,n]外

X1∈(m,n) ,X2∈(p,q)
y

y
m
O




n
n
p

x

O

m

n

x

m

O

q

x





?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 2a ? ? f (m) ? 0 ? ? ? f (n) ? 0

? f (m ? 0) ? ? f (n) ? 0

? f (m) ? 0 ? f (n ) ? 0 ? ? ? f ( p) ? 0 ? ? f ( q) ? 0

1.已知方程x? +(m–3)x+m=0的两个根均小于1,求实数m的取值范围。 2.已知方程 2x ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围
2

3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根,一个小于1,另一个大于1,则求实数k的取值范围。

3.若方程x? –2mx+m–1=0在区间(–2,4)上有两根,求实数m的取值范围。

6

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基本初等函数知识点总结

4.设关于 x 的方程 4 x ? 2 x?1 ? b ? 0(b ? R) , (1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围;(2)当 x 在[-1,2]时原方程有两个解,求 b 的范围

七、函数模型 1.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数: T(t)=t -3t+60,时间单位是小时,温度单位是 ?C ,当 t=0 表示中午
3

12:00,其后 t 值取为正,则上午 8 时的温度是(

) A.8 ?C

B.112 ?C
2

C.58 ?C

D.18 ?C

2.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x (0<x<240,x∈N) ,若每 台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 )

3.某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场决定提高销售价格。经试 验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件,若按 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件,假定 每月销售件数 y (件)是价格 x (元/件)的一次函数。试求 y 与 x 之间的关系式 在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为 每月的最大利润是 . .

时,才能时每月获得最大利润.

4.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为上午 7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共 4 次)效果最佳. y(微克)

6

O
7

1

10 t(小时)

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5.市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析,发现有如下规律:该商品的价格每上 涨 x%(x>0),销售数量就减少 kx% (其中 k 为正常数).目前,该商品定价为 a 元, 统计其销售数量为 b 个. (1)当 k=
1 2

时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大.

(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围.

6.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 l 万件,1.2 万件,1.3 万件.为了估测以后每个月 的产量,以这三个月的产品数量为依据.用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可以选 用二次函数或函数 y ? ab ? c (其中 a,b,c 为常数).已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪
x

个函数作为模拟函数较好.并说明理由.

8


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