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11不等式恒成立问题中的参数求解策略


不等式恒成立问题中的参数求解策略

【关键词】

含参不等式

恒成立

取值范围

解题策略

【内容摘要】 在不等式中,有一类问题是在不等式恒成立条件下求 参数的取值范围。 此类问题往往涉及化归转化、 数形结合、 分类讨论、 函数与方程等思想方法, 知识面广

, 综合性强, 是解题中的一个难点, 同时也是高考命题中的一个热点。 加强此类问题的教学有利于提升学 生的综合能力,对培养学生思维的灵活性、创造性有显著的作用,现 将常用的解题策略归纳、例析如下。

策略一 判别式法 不等式恒成立问题中,常出现含有参数的一元二次不等式恒 成立问题,此时可以通过根的判别式解决问题。 例1 对于 x ? R ,不等式 x2 ? 2 x ? 3 ? m ? 0 恒成立,求 m 的取值范围。

解:不妨设 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? m 其函数图象是开口向上的抛物线,为了 使 f ( x) ? 0( x ? R) , 只 需 ? ? 0 , 即 (?2)2 ? 4(3 ? m)2 ? 0 , 解 得 ,
m ? 2 ? m ? ?? , 2 ] (

变式 1: 若对于 x ? R , 不等式 mx2 ? 2mx ? 3 ? 0 恒成立, m 的取值范围。 求 解:此题需要对 m 的值进行讨论,设 f ( x) ? mx 2 ? 2mx ? 3 ? 0 ,①当 m ? 0 时, 3 ? 0 ,显然成立,②当 m ? 0 时,则 ? ? 0 ? 0 ? m ? 3 ,③当 m ? 0 , 显然不等式不恒成立。由①②③知 m?[0,3)
1

变式 2: 已知函数 y ? lg[ x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ] 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范 围。

解:由题设可将问题转化为不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 对于 x ? R 恒成
立,即有 ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 解得 a ? 1 或 a ? ,所以实数 a 的取值范
1 3

围为 (??,1] ? [ 1 , ??)
3

评析: 对于有关或者可以转化为二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或< 0)的 问题, 可设函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 由 a 的符号确定其抛物线的开口方向, 再根据图象与 x 轴的交点问题,由判别式进行解决。

策略二

最值法

如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量 x 的关系, 则可以利用函数的最值求解。即: ① f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x)min 例 2 若不等式 ② f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x)max

lg 2ax ? 1 在 x ? [1, 2] 时恒成立,试求 a 的取值范围。 lg(a ? x)
? x ?1 ,得 a ? 0 ,可知 a ? x ? 1 ,所以 lg(a ? x ) ? 0 , ? 2ax ? 0

解:由题设知 ?

原不等式变形为 lg 2ax ? lg(a ? x)
?2ax ? a ? x ,即? (2 x ? 1)a ? x ,又 x ? [1, 2] ,可得 2x ?1 ? 0
?a ? x 1 1 1 1 ? (1 ? ) 恒成立。设? f ( x) ? (1 ? ) ,由 x ? [1, 2] 上 2x ?1 2 2x ?1 2 2x ?1 2 3 2 3 2 3

为减函数,可得 f ( x)min ? f (2) ? ,知 a ? ,综上知 0 ? a ? . 评析:将参数 a 从不等式 键。
lg 2ax ? 1 中分离出来是解决问题的关 lg(a ? x)

2

例3

已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax 2 ? x3 ( x ? R) 在区间 [?1,1] 上是增函数,

2 3

求实数 a 的取值范围. 分析:可应用导数将本题转化为不等式的恒成立问题. 解
f ' ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x 2 .? f ( x) 在区间 [?1,1] 上是增函数,? f ' ( x) ? 0 对

x ?[?1,1] 恒成立,即 x 2 ? ax ? 2 ? 0 对 x ?[?1,1] 恒成立.

记 ? ( x) ? x 2 ? ax ? 2 ,要使 ? ( x) ? 0 对 x ?[?1,1] 恒成立,只需 ? ( x)max ? 0 故问题转化为求 ? ( x) 在区间 [?1,1] 上的最大值, 考虑到二次函数 ? ( x) 的 图象开口向上, 它在区间 [?1,1] 上的最大值只能是 ? (?1) 或 ? (1) ,故只 需 ? (?1) ? 0 且 ? (1) ? 0 ,便可保证 ? ( x)max ? 0 由?
?? (?1) ? 0, ?1 ? a ? 2 ? 0, 得? ? ? (1) ? 0, ?1 ? a ? 2 ? 0,

解得

?1 ? a ? 1

所以实数 a 的取值范围是 [?1,1] . 评析: 本题属常见的导数背景下的隐性不等式恒成立问题, 常借 助于导数将函数在区间 M 上的单调性条件转化为相关的不等式恒成 立来处理. 策略三 分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两 端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方 法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有: ① f ( x) ? g (a) ( a 为参数)恒成立 ? g (a) ? f ( x) max ② f ( x) ? g (a) ( a 为参数)恒成立 ? g (a) ? f ( x) min 例4 设对于所有实数

x ,不等式

3

4(a ? 1) 2a (a ? 1) 2 x log 2 ? 2 x log 2 ? log 2 ? 0 恒成立,求 a a ?1 4a 2
2

a 的取值范围.
分析:原不等式中真数可统一化成 出来. 解:原不等式可变成
a ?1 的形式,从而把参数 a 分离 2a

a ?1 ? a ?1 a ?1 ? x 2 ? 3 ? log 2 ? 2 log 2 ?0 ? ? 2 x log 2 2a ? 2a 2a ?


( x 2 ? 2 x ? 2) log 2

a ?1 ? ?3x 2 2a

? x2 ? 2 x ? 2
a ?1 ?3 x 2 ? log 2 ? 2 2a x ? 2x ? 2

记 f ( x) ?

?3 x 2 ,显然 f ( x)max ? 0 x2 ? 2 x ? 2

故原不等式恒成立 ? log 2

a ?1 ? 0 解得 0 ? a ? 1 2a

2 变式:已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 对 x?[0,2] 恒有 f ( x) ? 0 ,求

a 的取值范围。
2 解:对 x ?[0, 2] 恒有 f ( x) ? 0 ,即 ax2 ? x ? 1 变形为 ax ? ?( x ? 1) .

当 x ? 0 时对任意的 a 都满足 f ( x) ? 0 只须考虑 x ? 0 的情况
a?

1 1 ?1 1 ?( x ? 1) 即 a ? ? 2 ,令 t ? ,所以 t ? , 2 x 2 x x x

3 1 3 1 1 1 g (t ?) ? ?t 2 ? t ? ?(t ? )2 ? (t ? ) , g (t ) max ? g ( ) ? ? 所以 a ? ? 4 2 4 2 4 2
2 又因为 f ( x) ? ax ? x ? 1 是二次函数,所以 a ? 0 所以 a ? ?

3 且a ? 0 4

4

策略四

直接法

3 2 例5 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x 在区间 [0, m],(m ? 0) 上恒有 f ( x) ? x 成

立,求实数 m 的取值范围. 解析:由 f ( x) ? x 得
1 x ? [0, ] ? [1, ??) 2

∵当 x ?[0, m],(m ? 0) 时, f ( x) ? x 恒成立, ∴实数 m 的取值范围为 [0,1] 评析:本题若用最值法求的取值范围,就必须进行分类讨论,计 算繁琐;而直接求出不等式的解集,利用集合包含关系即可得的取值 范围,既简捷又通俗易懂. 策略五

5


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