当前位置:首页 >> 数学 >>

专题一 函数图像与性质的综合应用


专题一
要点梳理 1.函数的性质

函数图像与性质的综合应用 基础知识 自主学习

(1)函数的性质是高考的必考内容,它是函数知识的 核心部分.函数的性质包括函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小 值等,在历年的高考试题中函数的性质都占有非常 重要的地位. (2)考查函数的定义域、值域的题型,一般是通过具 体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系 式,再研究函数的定义域与值域.

(3)中档题常考题型 利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等 式、求二次函数的最值问题,同时也考查考生能否用运 动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题. (4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现, 它是高 考中的重要题型之一, 特别是函数在经济生活中的应用 问题,大多数都是最值问题,所以要掌握求函数最值的 几种常用方法与技巧,灵活、准确地列出函数模型.

2.函数的图像 (1)函数图像是高考的必考内容,其中作图、识图、 用图也是学生必须掌握的内容. (2)作图一般有两种方法:描点法、图像变换法.特 别是图像变换法,有平移变换、伸缩变换和对称变 换,要记住它们的变换规律. (3)识图时,要留意它们的变化趋势,与坐标轴的交 点及一些特殊点,特别是对称性、周期性等特点, 应引起足够的重视. (4)用图,主要是数形结合思想的应用.

题型分类
题型一 函数求值
?2tx ? f(x)=? ?logt?x2-1? ?

深度剖析
?x<2?, ?x≥2?, 若 f(2)=1,

例 1 已知

则 f[f( 5)]=________. 8 思维启迪
先利用 f(2)=1 求出 t 的值, 然后由里到外, 逐层求解,先求 f( 5),再求 f[f( 5)].
解析 因 2≥2,所以 f(2)=logt(22-1)=logt3=1,解得

t=3.因为 5>2,所以 f( 5)=log3[( 5)2-1]=log34,显 然 log34<log39=2,故 f[f( 5)]=f(log34)=2× 3log 4 ?
3

2×4=8. 探究提高 求解分段函数的函数值应注意验证自变量的
取值范围.易错点是忽视自变量取值范围的限制.

变式训练 1 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数, 若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1), f(2 009)+f(-2 010)的值为( C ) 则 A.-2
解析

B.-1

C.1

D.2

依题意得, x≥0 时, f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 有

即 x≥0 时,f(x)是以 4 为周期的函数. 因此,f(2 009)+f(-2 010)=f(2 009)+f(2 010)=f(1)+ f(2),而 f(2)=-f(0)=-log2(0+1)=0, f(1)=log2(1+1)=1,故 f(2 009)+f(-2 010)=1.

题型二

函数与不等式

例 2 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为单调递增的, f(2) 且 f?-x?-f?x? =0,则不等式 ≥0 的解集为 ( D ) x A.[-2,0]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪(0,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪(0,2] 思维启迪 转化成 f(m)<f(n)的形式,利用单调性求解.
解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),不等式可 -f?x?-f?x? f?x? 化为 ≥0,即- x ≥0. x 当 x>0 时,则有 f(x)≤0=f(2),由 f(x)在(0,+∞)上单调 递增可得 x≤2;当 x<0 时,则有 f(x)≥0=-f(2)=f(-2), 由函数 f(x)为奇函数可得 f(x)在(-∞,0)上单调递增,所 以 x≥-2.所以不等式的解集为[-2,0)∪(0,2].

探究提高

解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象

函数的性质, 利用函数的单调性去掉函数符号是解决问 题的关键,由函数为奇函数可知,不等式的解集关于原 点对称,所以只需求解 x>0 时的解集即可.

变式训练 2 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x≥0 当 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值

(-2,1) 范围是__________.
解析 ∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时, f(x)=-x2+2x,作出 f(x)的大致图像 如图中实线所示,结合图像可知 f(x) 是 R 上的增函数, 由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a,即-2<a<1.

题型三

函数的最值与恒成立问题

例 3 定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都 有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求 f(0); (2)求证:f(x)为奇函数; (3)若 f(k·x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立, 3 求 实数 k 的取值范围. 思维启迪
(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方 法,第(1)(2)两问可用赋值法解决. (2)将恒成立问题转化成函数最值问题.

(1)解 (2)证明

令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),

又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (3)解 方法一 因为 f(x)在 R 上是增函数, 又由(2)知 f(x)是奇函数. f(k·x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2), 3 所以 k·x<-3x+9x+2, 3 32x-(1+k)·x+2>0 对任意 x∈R 成立. 3 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒 成立. 1+k 令 f(t)=t -(1+k)t+2,其对称轴为 x= , 2
2

1+k 当 <0 即 k<-1 时,f(0)=2>0,符合题意; 2 1+k 当 ≥0 即 k≥-1 时,对任意 t>0,f(t)>0 恒成立? 2 ?1+k ? ≥0, 2 ? 解得-1≤k<-1+2 2. ?Δ=?1+k?2-4×2<0, ? 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k·x)+f(3x-9x-2)<0 3 对任意 x∈R 恒成立.
2 方法二 由 k· <-3 +9 +2,得 k<3 + x-1. 3 3 2 x u=3 + x-1≥2 2-1,即 u 的最小值为 2 2-1, 3 2 x 要使对 x∈R 不等式 k<3 + x-1 恒成立, 3
x x x x

只要使 k<2 2-1.

探究提高

对于恒成立问题,若能转化为 a>f(x) (或

a<f(x))恒成立,则 a 必须大于 f(x)的最大值(或小于 f(x) 的最小值).因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉 的求最值的问题进行求解.若不能分离参数,可以将参 数看成常数直接求解.

变式训练 3 已知 f(x)=x2+ax+3-a,若 x∈[-2,2]时, f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围.



f(x)的最小值为 g(a),则 a ①当- <-2,即 a>4 时, 2 7 g(a)=f(-2)=7-3a≥0,得 a≤ . 3 又 a>4,故此时 a 不存在. a ②当- ∈[-2,2],即-4≤a≤4 时, 2 a2 g(a)=3-a- ≥0,得-6≤a≤2. 4 又-4≤a≤4,故-4≤a≤2. a ③当- >2,即 a<-4 时,g(a)=f(2)=7+a≥0, 2 得 a≥-7.又 a<-4,故-7≤a<-4. 综上得-7≤a≤2.

题型四

由式选图或由图定式问题

例 4 函数 f(x)=loga|x|+1 (0<a<1)的图像大致为( A )

思维启迪 由函数解析式选图,从奇偶性、单调性、特殊
点入手,逐步定位筛选.
解析 f(x)在(0,+∞)上是递减的,只能是 A 或 D.

f(1)=1,只能是 A.

探究提高

对于给定函数的图像,要能从图像的左右、上

下分布范围、 变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、 值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数 解析式中参数的关系.常用的方法有: (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图 象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题. (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题. (3)函数模型法:由所提供的图像特征,联想相关函数模 型,利用这一函数模型来分析解决问题.

变式训练 4

(2010· 山东)函数 y=2x-x2 的图像大致是 ( A )

解析

由于 2x-x2=0 在 x<0 时有一解;在 x>0 时有两解,分
x 2 x 2

别为 x=2 和 x=4.因此函数 y=2x-x2 有三个零点,故应排除? B、C.又当 x→-∞时,2 →0,而 x →+∞,故 y=2 -x →-∞, 因此排除 D.?

题型五

以形助数数形结合问题
2

例 5 已知不等式 x -logax<0,当 求实数 a 的取值范围. 思维启迪

? 1? x∈?0,2?时恒成立, ? ?

在同一坐标系中分别作出 y=x2、y=logax

的图像.利用图形进行分析.
解 由 x2-logax<0,

得 x2<logax. 设 f(x)=x2,g(x)=logax. ? 1? 由题意知,当 x∈?0,2?时,函数 ? ? f(x)的图像在函数 g(x)的图像的下方,

?0<a<1, ?0<a<1, ? ? ?1? 如图,可知? ?1? 即??1?2 1 ? ? ≤loga , ?f?2?≤g?2?, ??2? 2 ?? ? ? ? ? ?1 ? 1 解得 ≤a<1.∴实数 a 的取值范围是?16,1?. 16 ? ?
探究提高 本题是函数与不等式的综合题, 运用数形结

合的思想及函数的思想, 抓住函数图像的本质特征是解 决本题的关键所在.

变式训练 5

已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)

?1 ? 1 ? ,1?∪(1,2] 时均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范围是__________. ?2 ? 2

1 解析 由题意可知 a >x - 在(-1,1)上恒成立, 2 1 x 2 令 y1=a ,y2=x - , 2
x 2

1 ? -1 a ≥?-1?2- , ? 2 ? 由图像知:? 1 2 1 ?a ≥1 -2, ?a>0且a≠1, ? 1 ∴ ≤a<1 或 1<a≤2. 2

点评

本题易错的原因:①找不到解题的切入口,使解

题无法进行下去;②易忽略对 a 的分类讨论.

答题规范 3.作图、用图要规范 试题:(12 分)已知函数 f(x)=|x2-4x+3| (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的 实数根,求实数 a 的取值范围.
审题视角 单调区间. (2)方程 f(x)-a=x 的根的个数等价于 y=f(x)与 y=x-a 的交点的个数,所以可以借助图像进行分析. (1)化简 f(x)并作出 f(x)的图像,由图像确定

规范解答 解
??x-2?2-1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞? ? f(x)=? ?-?x-2?2+1, x∈?1,3? ?

作出图像如图所示.

[2 分]

(1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3]. [4 分] (2)原方程变形为 |x2-4x+3|=x+a, 于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图 像.如图. 则当直线 y=x+a 过点(1,0)时,a=-1; [6 分]

当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时, ?y=x+a ? 由? ?x2-3x+a+3=0. [8 分] ?y=-x2+4x-3 ? 3 由 Δ=9-4(3+a)=0,得 a=- . [10 分] 4 ? 3? 由图像知当 a∈ ?-1,-4? 时方程至少有三个不等实 ? ? 根. [12 分]

批阅笔记

(1)函数图像形象地显示了函数的性质(如单

调性、奇偶性、最值等),为研究数量关系问题提供了 “形”的直观性,因此常用函数的图像研究函数的性 质. (2)有些不等式问题常转化为两函数图像的上、 下关系来 解. (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图像的交点个 数问题来求解. (4)本题比较突出的问题, 是作图不规范. 由于作图不规 范,导致第(2)问的思路出现错误.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.利用复合函数求函数值是一类重要问题,解题关键 是利用已知的函数值,通过解析式的变化特点进行 代入求值,有时也可以利用周期性来解题. 2.抽象函数奇偶性的判断关键在于构造 f(-x),使之 与 f(x)产生等量关系,即比较 f(-x)与± f(x)是否相 等,此时赋值比较多的是-1、1、0 等.

3.作图、识图和用图是函数图像中的基本问题.作图 的基本途径:求出函数的定义域;尽量求出值域; 变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图像的形状;描 点作图.识图就是从图形中发现或捕捉所需信息, 从而使问题得到解决.用图就是根据需要,作出函 数的图形,使问题求解得到依据,使函数、方程、 不等式中的许多问题化归为函数图像问题.

失误与防范 1.函数求值问题一定要关注自变量的取值范围,尤其 是分段函数,以防代错解析式. 2.对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中, 一定要注意单调区间,需将自变量转化到同一个单 调区间上去. 3.识图要抓性质特征,关键点;作图要规范,一般从 基本图形通过平移、对称等变换来作图较好.

返回


相关文章:
2017年专题提升三 函数的图象和性质的综合应用
2017年专题提升三 函数的图象和性质的综合应用_初三数学_数学_初中教育_教育专区。2017 年专题提升三 函数的图象和性质的综合应用 一、选择题 1.(2016·德州)...
函数图像与性质的综合应用(一轮复习教案)
函数图像与性质的综合应用(一轮复习教案)_数学_高中教育_教育专区。函数的图像...专题6:函数的图像与性质... 36页 免费 高中各种函数图像画法与... 10页 ...
函数性质的综合应用知识点
函数性质的综合应用知识点_数学_高中教育_教育专区。函数性质的综合应用知识点一...) 的奇偶性___.(答:偶函数) 2 ?1 2 ③图像法:奇函数的图象关于原点对称...
专题提升(六) 二次函数图象与性质的综合应用
本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 专题提升(六) 二次函数图象与性质的综合应用 (第 1 题图) 1.如图是二次函数 y=ax +bx+c 的图象...
...轮课时演练:专题讲练一 函数图象与性质的综合应用]
【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练:专题讲练一 函数图象与性质的综合应用]_高中教育_教育专区。【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练:专题讲练一 ...
函数性质的综合应用
函数性质的综合应用_数学_自然科学_专业资料。Teacher Yang 函数性质的综合应用...专题一 函数图像与性质... 26页 2下载券 理科复习—8函数的周期性... 4...
2017中考 函数的图像与性质的综合运用
2017中考 函数的图像与性质的综合运用_初三数学_数学_初中教育_教育专区。2017 中考复习 函数的图象和性质的综合应用 一、选择题 1.(2016·德州)下列函数中,满足...
对数函数图像与性质综合运用 知识点
对数函数图像与性质综合运用 知识点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1、对数...1、对数函数的图象与性质: a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R ...
对数函数图像与性质综合运用 测试题1
B 中的元素个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.9 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】计算题. 【分析】x≠1,把 x=2 时,求出的 logxy 的值和...
函数性质的综合应用
函数性质的综合应用_高三数学_数学_高中教育_教育...关于函数单调性还有以下一些常见结论: (1)两个增(...(2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y...
更多相关标签: