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2015年春大赵家高中高二年级6月月考数学试题


2015 年春大赵家高中高二年级月考数学试题(理科)
命题人:彭春齐 2015.6.1

①已知 a ? b ,则 a ? b ? c ? c ? b ? a ? b ? c ; ②A、B、M、N 为空间四点,若 BA, BM , BN 不构成空间的一个基底,则 A、B、M、N 共面; ③已知 a ? b ,则 a, b 与任何向量不构成空间的一个基底;

?

?

?

?

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知 p: x<?1,q:x<?2,则 p 是 q 的 A.充分但不必要条件 C.充分且必要条件
2

④已知 a, b, c 是空间的一个基底,则基向量 a, b 可以与向量 m ? a ? c 构成空间另一个基底. 正确命题个数是( ) A.1 B.2

?

?

C .3

D.4

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8、在平面直角坐标系中, A(?2,3), B(3, ?2) ,沿 x 轴把平面直角坐标系折成 120?的二面角后,则线段 AB 的长度为 ( ) B. 2 11 C. 3 2 D. 4 2

2. 双曲线

D.1 3. 椭圆的一焦点与短轴两端点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为 A.

y x - =1 的焦点到渐近线的距离为 12 4 A. 2 3 B.2 C. 3
3 4
B.

2

A. 2

3 2

C.

1 2

D.

2 2

9.直线 l 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右准线,以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆,被直线 l 分成弧 a2 b2
( )

1 4. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 在 A1C1 上, A1 E ? A1C1 且 4

长为 2 : 1 的两段圆弧,则该双曲线的离心率是 A.2 B. 2 C.

C1 E 1 1 A1 A. x ? 1, y ? ,z ? B1 2 2 1 1 ,z ? B. x ? , y ? 1 2 2 D C 1 1 C. x ? 1, y ? ,z ? A 4 4 B 4 题图 1 1 D. x ? 1, y ? ,z ? 3 2 1 5.已知 F 是抛物线 y = x 2 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方程是( 4 1 1 A. x 2 =2 y- B. x 2 =2 y- C. x 2 =y- D. x 2 =2 y-2 1 16 2

AE ? xAA 1 ? y AB ? z AD ,则

D1

6 2

D. 5

10. 如图所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a ,平面 AC 上一动点 M 到直线 AD 的距离与到直线 D1C1 的距离相等,则点 M 的轨迹为( A.直线 B.椭圆 C.抛物线 ) 。

D.双曲线



二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上)
11、若直线 l 的方向向量为(4,2,m),平面?的法向量为(2,1,-1),且 l⊥?,则 m = .

2 6.抛物线 y ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,其中点 A 的坐标为(1,2) ,设抛物线的焦点为 F,

12 、 在 平 行 六 面 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , 已 知 ∠ BAD= ∠ A1AB= ∠ A1AD=60?,AD=4,AB=3,AA1=5,

则|FA|+|FB|等于( A.7 7、给出下列命题

) C.6 D.5

AC1 =
13.已知θ∈(0,

. π ), 方程 x2 sinθ + y2 cosθ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 θ 的取值范围是 2 .

B. 3 5

14.如图 14,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b),原点 O b 为 AD 的中点,抛物线 y2=2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =________. a 15.下列命题中: ① 若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数;
1 1 2 x 的焦点坐标是 ( , 0) ; 16 4 ③ 若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题;

19.(本小题满分 12 分 ) 如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4, 点 E 在 C1C 上,且 C1E=3EC. (1)证明 A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1-DE-B 的余弦值.

② 抛物线 y ?

④ 若椭圆

x2 y2 ? =1 的两焦点为 F1、F2,且弦 AB 过 F1 点,则△ABF2 的周长为 20. 16 25
(填上你认为正确命题的所有序号).

图 14 20.(本题满分 13 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且 SA⊥底面 ABCD,若

其中正确的命题的序号是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 命 题 p 不 等 式 a 2 ? 5a ? 3 ? 3 ; 命 题 q 只 有 一 个 实 数 x 满 足 不 等 式

边 BC 上存在异于 B,C 的一点 P,使得 PS ? PD . (1)求 a 的最大值; (2)当 a 取最大值时,求异面直线 AP 与 SD 所成角的余弦值; (3)当 a 取最大值时,求平面 SCD 的一个单位法向量 n 及点 P 到平面 SCD 的距离.

x 2 ? 2 2ax ? 11a ? 0 ,若 ?p 且 q 是真命题,求 a 的取值范围集合.

17.(本小题满分 12 分 ) 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且过点 A (2, 2 2) . (1) 求抛物线的标准方程; (2) 过抛物线的焦点 F 和点 A 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

21 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 点 P(0,?1) 是 椭 圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 一 个 顶 点 , C1 的 长 轴 是 圆 a 2 b2

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

y

18、(本题满分 12 分)已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2, AF=1,M 是 线段 EF 的中点. (1)求证:AM//平面 BDE; (2)求证:AM⊥平面 BDF.
D O P A (第 21 题图) l2 B

l1

x

∴AM⊥BD,AM⊥DF,

∴AM⊥平面 BDF.-----------------------------12 分

2015 年春大赵家高中高二年级月考 数学答案(理科)
一.选择题 1.B 2.A 3.B 二.填空题 11.-2 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D

19.解 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.

依题设 B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4). → → → → → → → → DE=(0,2,1),DB=(2,2,0), A1C=(-2,2,-4),DA1=(2,0,4).-------------3 分 (1)∵A1C· DB=0,A1C· DE=0, ∴A1C⊥BD,A1C⊥DE. 又 DB∩DE=D, ∴ A1C ⊥ 平 面

12. 97

13.(0,

? ) 4

14.1+ 2

15.①④

三.解答题 16.

DBE.----------------------------------------------------------------------6 分 → ∴2y+z=0,2x+4z=0. 17.(本小题满分 12 分 ) 解:(1) 依题意可设抛物线的标准方程为 y ? 2 px,
2
2 2 将点 A 代入 y ? 2 px 得 p ? 2 ,所以抛物线的标准方程为 y ? 4 x



(2)设向量 n=(x,y,z)是平面 DA1E 的法向量,则 n⊥DE,n⊥DA1.

令 y=1,则 z=-2,x=4, ∴n=(4,1,-2). (6 分) → ∴cos〈n,A1C〉= (9 分) → (12 分) ∵〈n,A1C〉等于二面角 A1-DE-B 的平面角, ∴二面角 A1-DE-B 的余弦值为 14 .--------------------------------------------------------12 分 42 → n· A1C 14 = . → 42

(2) 由已知得直线 l 的方程为 y ? 2 2( x ? 1) ,代入抛物线的标准方程, 得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则有 x1 ? x 2 ?
2

5 , 2

|n||A1C|

9 又因抛物线 过焦点的弦 AB ? x1 ? x 2 ? p, 故有 AB ? . 2
18、解:建立如图的直角坐标系,则各点的坐标分别为: O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,), E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).--------------------------------------2 分 (1) ∵ AM ? (0, ?1,1), OE ? (0, ?1,1)

20、解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0<x<2) (1) ∵ PS ? ? ?a, ? x,1? , PD ? ? ?a, 2 ? x,0 ?
2 ∴由 PS ? PD 得: a ? x(2 ? x) ? 0

∴ AM ? OE ,即 AM//OE, 又∵ AM ? 平面 BDE, OE ? 平面 BDE, ∴AM//平面 BDE;-------------------------------------------------6 分 (2) ∵ BD ? (2,0,0), DF ? (?1,1,1), ∴ AM ? BD ? 0, AM ? DF ? 0 ,

即: a ? x(2 ? x) (0 ? x ? 2)
2

∴当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC 中点;----------------------------------4 分 (2) 由(1)知: AP ? (1,1,0), SD ? (0, 2, ?1),

∴ cos AP, SD ?

AP SD AP ? SD

?

2 10 ? , 5 2? 5

S?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

10 ∴异面直线 AP 与 SD 所成角的余弦值为 5 。-----------------------------------------8 分
(3) 设 n1 ? ? x, y, z ? 是平面 SCD 的一个法向量,∵ DC ? (1,0,0), SD ? (0, 2, ?1),

?

32 4k ? 3 4k 2 ? 3
2

?
13

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , --------12 分 13

?x ? 0 ?x ? 0 ? ?n1 DC ? 0 ? ?n1 ? DC ? ? ?? ? ? 2 y ? z ? 0 ? ? y ? 1 得 n1 ? (0,1, 2), ∴由 ? ?n1 ? SD ?n1 SD ? 0 ?取y ? 1 ?z ? 2 ? ? ? ?
∴平面 SCD 的一个单位法向量 n ?

当 4k ? 3 ?
2

4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 10 ?k?? 时等号成立,此时直线 l1 : y ? ? x ? 1 -------12 分 2 2 2

n1 n1

?

1 5 2 5 ? ? 0,1, 2 ? ? (0, , ), ---------------11 分 5 5 5
? 5 5 ?? 5, 1 5

又 CP ? (0, ?1,0), 在 n 方向上的投影为

CP ? n n

?

∴点 P 到平面 SCD 的距离为

5 . -------------------------------------------------------------13 分 5

x2 ? y 2 ? 1 ; -----------------4 分 21.解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是 4
(Ⅱ) 因 为 直 线 l1 ? l2 , 且 都 过 点 P(0, ?1) , 所 以 设 直 线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直 线

1 l2 : y? ? x ? 1 ? x ? k y ? k0 ?所 以 圆 心 ( 0 , 0 到 ) 直 线 l1 : y ? k x , 的距离为 ?1 ? k x ? y ? 1 ? 0 k

d?

1 1? k2

,所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2

; ------------- 7 分

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ?
所以

8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,-------------9 分 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4


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