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2017届福建南平浦城县高三文上学期期中数学试卷(带解析)


绝密★启用前

2017 届福建南平浦城县高三文上学期期中数学试卷 (带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? 4 , B ? ?x | ?3 ? x ? 1 ? ,则 (?U A) ? B 等于

?

?





A. ?x | ?2 ? x ? 1 ? B. ?x | ?3 ? x ? 2? C. ?x | ?2 ? x ? 2? D. ?x | ?3 ? x ? 2?
2 2.设命题 p : ?x ? R , x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为(



A. ?x0 ? R , x02 ? 1 ? 0 B. ?x0 ? R , x02 ? 1 ? 0 C. ?x0 ? R , x02 ? 1 ? 0 D. ?x0 ? R , x02 ? 1 ? 0 3.已知 a ? R , i 为虚数单位,若 (1 ? i)(a ? i) 为纯虚数,则 a 的值等于( A. ?2 B. ?1 C. 1 D.2 4.已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2, m) ,且 a / / b ,则 3a ? 2b ? ( A. ? 7, 2 ? B. ? 7, ?14? C. ? 7, ?4 ? D. ? 7, ?8? 5.执行如图的框图,若输出的结果为 )

?

?

?

?

?

?



1 ,则输入的实数 x 的值是( 2



试卷第 1 页,总 6 页

A.

3 1 2 B. C. D. 2 2 4 2

6.已知 a ? ( ) 3 , b ? ( )

3 5

?

1

3 5

?

1 4

,c ? ( )

3 2

?

3 4

,则 a , b , c 的大小关系是(



A. c ? a ? b B. a ? b ? c C. b ? a ? c D. c ? b ? a 7.函数 f ( x ) ? A.

2x ? 5 的图象在 (0, f (0)) 处的切线斜率为( x2 ? 1



1 1 B. ? C. ?2 D. 2 2 2

8.如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为 2 的正方形及 其一条对角线,则该几何体的侧面积为( )

A. 8(1 ? 2) B. 4(1 ? 2) C. 2(1 ? 2) D. 1 ? 2 9.已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2 , a4 a6 ? 16 ,则

a10 ? a12 的值为( a6 ? a8



A.2 B.4 C.8 D.16 10.我们知道,可以用模拟的方法估计圆周率 p 的近似值,如图,在圆内随机撒一把豆 子,统计落在其内接正方形中的豆子数目,若豆子总数为 n ,落在正方形内的豆子数为 m ,则圆周率 p 的估算值是( )
试卷第 2 页,总 6 页

A.

n 2n 3n 2m B. C. D. m m m n

11.将函数 y ? sin(4 x ?

?

6

) 图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移


? 个单 4

位,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是( A. x ?

?
12

B. x ?

?
6

C. x ?

?
3

D. x ? ?

?
12

12.对于函数 y ? f ( x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x
y

1 7

2 4

3 5

4 8

5 1

6 3

7 5

8 2

9 6

数列 ?xn ? 满足 x1 ? 2 ,且对任意 n ? N * ,点 ( xn , xn?1 ) 都在函数 y ? f ( x) 的图象上, 则 x1 ? x2 ? x3 ? … ? x2016 的值为( A.9400 B.9408 C.9410 )

D.9414

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.已知 cos ? ?

4 ? 且 ? ? ( ? , 0) ,则 sin 2? 的值为 5 2



? x ? 1 ? 0, y ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 的最大值 ? x ? y ? 4 ? 0, x ?
15.当 x ? 1 时,不等式 x ?



1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围 x ?1



16 .已知定义在 R 上的偶函数满足: f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) ,且当 x ? ?0, 2? 时,

y ? f ( x) 单调递减,给出以下四个命题:
① f (2) ? 0 ; ② x ? ?4 为函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴; ③ y ? f ( x) 在 ?8,10? 单调递增; ④若方程 f ( x) ? m 在 ? ?6, ?2? 上的两根为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8 . 以上命题中所有正确命题的序号为 评卷人 得分 三、解答题 17.设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R )的图象经过点 ( (1)求 y ? f ( x) 的解析式; .

?
2

,1) .

i n (2) 若 f ( ) ? 2s 12
求 AC 和 BC 的长.

?

A, 其中 A 是面积为

3 3 的锐角△ ABC 的内角, 且 AB ? 2 , 2
1 Sn ? 1 ( n ? N * ) . 2

18.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an , cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn . bnbn ?1

19.为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中老师分别用两种不同的教学方式 对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉
试卷第 4 页,总 6 页

性都一样) .以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学生的数学期末考试成绩.

(1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 87 分的同 学至少有一名被抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀,请填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断有多 大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” . 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表供参考: 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 乙班 合计

P( X 2 ? k )
k

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20.已知如图①,正三角形 ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E ,F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B ,如图②.

(1)判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求棱锥 E ? DFC 的体积. 21.设 f ( x) ? e (ax ? 3) ,其中 a 为实数, e 为自然对数的底数.
x 2

(1)当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的极值; (2)若 f ( x ) 为区间 ?1, 2? 上的单调函数,求 a 的取值范围. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?
试卷第 5 页,总 6 页

? x ? 2cos ? ? 1, ( ? 为参数) . 以 ? y ? 2sin ?

平面直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极 坐标方程为 ? ? 4sin ? . (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C1 和 C2 公共弦的长度.

试卷第 6 页,总 6 页

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参考答案 1.A 【解析】
2 试 题 分 析 : 依 题 意 , 全 集 U ? R , 集 合 A ? x | x ? 4 ? x | x ? ?2或x ? 2 , 则

?

? ?

?

? 2, B ? ?x | ?3 ? x ? 1? ,则 (? ? ,故选 A. U A) ? B ? ?x | ?2 ? x ? 1 U A= ? x |? 2? x ? ?
考点:1、集合的基本关系;2、集合的基本运算. 2.A 【解析】 试题分析: 依题意, 全称特称命题的否定:?x ? M,p ? x ? 的否定为:?x0 ? M,?p ? x0 ? ,
2 故命题 p : ?x ? R , x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为 ?x0 ? R , x02 ? 1 ? 0 ,故选 A.

考点:全称量词与存在量词. 3.C 【解析】 试题分析:由 (1 ? i)(a ? i) ? a ?1 ? ? a ? 1? i 为纯虚数,则 a ? 1 ? 0 得 a ? 1 ,故选 C. 考点:1、复数的概念;2、复数的四则运算. 4.B 【解析】

? 2? 0 求得 m ? ?4 , 试题分析: 依题意, 平面向量 a ? (1, ?2) , 且 a / /b , 得m? 2 b ? (2, m) ,
则 b ? ? 2, ?4 ? ,得 3a ? 2b ? ? 7, ?14? ,故选 B. 考点:平面向量坐标运算. 5.D 【解析】 试题分析:分析如图执行框图,可知:该程序的作用是计算分段函数 y ? ? 数值.当 x ? 1 时,若 y ? 综上, x ?

?

?

?

?

?

?

?

?log 2 x, x ? 1 的函 ? x ? 1, x? 1

3 1 1 1 ,则 x ? 2 ,当 x? 1 时,若 y ? ,则 x ? 1 ? , x ? 不合题意, 2 2 2 2

2 ,故选 D.

考点:1、程序框图;2、分段函数. 6.D 【解析】

1 1 ?3? ?3? 试题分析: 函数 y ? ? ? 单调递减, 由? ? ? ? 0 , 则? ? 3 4 ?5? ?5?
x

x

?

1 3

? 3? ?? ? ?5?

?

1 4

?1, 即 a ? b ? 1,

函数 y ? ?

3 3 ?3 3 ?3? ? ? 0 ( ) 4 ? ( )0 ? 1 ,则 c ? 1 ,故 c ? b ? a ,故选 单调递增,由 ,则 ? 4 2 2 ?2?
答案第 1 页,总 10 页

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D. 考点:指数函数. 7.D 【解析】

2 x 2 ? 1 ? 2x ? 2x ? 5? 2 x 2 ? 10x ? 2 2x ? 5 试题分析:由函数 f ( x ) ? 2 ,则 f ? ? x ? ? , ? 2 2 2 2 x ?1 x ? 1 x ?1

?

?

?

?

?

?

则 f ? ? 0? ?

?2 ? 0 ? 10 ? 0 ? 2

? 0 ? 1?

2

? 2 ,故选 D.

考点:导数的几何意义. 8.B 【解析】 试题分析: 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 其直观图如下

CD ? SD , 图, 底面为正方形, 边长为 AB ? AD ? 2 , 棱锥的高为: SA ? 2.SB ? SD ? 2 2 ,

CB ? SB ,所以四棱锥是侧面积为四个侧面 S? SAB, S? SAD, S?

SCB

, S?

的面积的和 . 即: SCD

1 1 S ? S? SAB ? S? SAD ? S? SCB ? S? SCD ? 2S? SAB ? 2S? SCB ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? 4 ? 4 2 2 2
,故选 B.

考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积. 9.B 【解析】 试题分析:设数列的公比为 q ,由 a3 ? 2 , a4 a6 ? 16 ,得 a1q2 ? 2, a1q3 ? a1q5 ? 16 ,解得
4 a10 ? a12 q ? a6 ? a8 ? a1 ? 1, q ? 2 ,则 ? ? q 4 ? 4 ,故选 B. a6 ? a8 a6 ? a8

2

考点:等比数列. 10.B 【解析】 试题分析:设正方形的边长为 2 . 则圆的半径为 2 ,根据几何概型的概率公式可以得到

m 4 2n ? ,即 ? ? ,故选 B. n 2? m
答案第 2 页,总 10 页

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考点:几何概型. 【方法点睛】 本题題主要考查“体积型”的几何概型, 属于中档题. 解决几何概型问题常见 类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题 题的总体积 (总空间) 以及事件的体积(事件空间); 几何概型问题还有以下几点容易造成失 分,在备考时要高度关注: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误; (2) 基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ; (3) 利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证 事件是否等可能性导致错误. 11.A 【解析】 试题分析: 将函数 y ? sin(4 x ? 式为: g ( x) ? sin (2 x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到的函数解析

?

) ,再将 g ( x) ? sin (2 x ? ) 的图象向左平移 个单位(纵坐标不 6 6 4

?

?

变 ) 得 到 y ? g(x ?

? ) s i n[ x? 2( ? ) ? ] xs? i n ?( 2 ? n 2 x ? ) s, i( 由 4 4 6 2 6 3 ? ? ? ? k? ? 2 x ? ? k? ? (k ? Z ) ,得:x ? ? ,k ? Z .∴当 k ? 0 时, x ? ,即 x ? 是变 12 12 3 2 2 12

?

?

?

?

?

?

)

化后的函数图象的一条对称轴的方程,故选 A. 考点:1、三角函数图象变换;2、三角函数性质. 【易错点睛】本题主要考查三角函数图象变换、三角函数性质,属难题.三角函数图象由

y ? sin x 到 y ? Asin ??x ? ? ? ? b 变换一般方法: 法一: 将横坐标向左或向右 (左加右减)
平移 ? 个单位, 然后将图象的横坐标伸长 (缩短) 到原来的

1

?

倍, 然后再将纵坐标伸长 (缩

短)为原来的 A 倍,然后再向上(向下)平移 b 个单位;法二:先将图象的横坐标伸长(缩

短)到原来的

1

?

倍,然后将横坐标向左或向右(左加右减)平移

? 个单位,然后然后再将 ?

纵坐标伸长(缩短)为原来的 A 倍,然后再向上(向下)平移 b 个单位;本题中利用方法 二得到函数解析式,然后利用三角函数性质求得函数的对称轴. 12.B 【解析】 试题分析:∵数列 ?xn ? 满足 x1 ? 2 ,且对任意 n ? N * ,点 ( xn , xn?1 ) 都在函数 y ? f ( x) 的 图象上, ∴ xn?1 ? f ( xn ) ,则 x1 ? 2,x2 ? 4,x3 ? 8,x4 ? 2,x5 ? 4,x6 ? 8 ,x7 ? 2,x8 ? 4?, ∴数列是周期数列,且周期为 3 ,一个周期内的和为 14 ,∴ x1 ? x2 ? x3 ? … ? x2016 ? 672

?( x1 ? x2 ? x3 ) ? 9408 ,故选 B.
考点:1、函数的表示方法;2、数列的性质;3、数列求和.
答案第 3 页,总 10 页

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【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和,属难题.本题先根据 函 数

y ? f ( x)







x



y

















x1 ? 2,x2 ? 4,x3 ? 8,x4 ? 2,x5 ? 4,x6 ? 8,x7 ? 2,x8 ? 4?,从而得出数列为周期
数列,且周期为 3 ,一个周期内的和为 14 ,所求数列的和为 672 个周期的和,从而求得数 列的和.做题时注意①根据函数求得对应的 xn?1 ? f ( xn ) 的值;②根据数据观察出数列为周 期数列;③将 2016 除以 3 是否有余数,否则容易出错. 13. ?

24 25

【解析】 试 题 分 析 : 由 cos ? ?

4 ? 3 n 2 且 ? ? ( ? , 0) , 得 s i?n? ? , 则 s i ? 5 2 5

24 24 ? 3? 4 ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,故填 ? . 25 25 ? 5? 5
考点:1、同角三角函数的基本关系;2、二倍角公式. 14. 3 【解析】 试题分析:作出不等式组对应的平面区域如图,设 k ? 原点的斜率,由图象知 OA 的斜率最大,由 ?

y ,则 k 的几何意义为区域内的点与 x

?x ? 1 ?x ? 1 , 解得 ? , 即 A ?1,3? ,则 ?y ? 3 ?x ? y ? 4 ? 0

kOA ?

3 y ? 3 ,即 的最大值为 3 .故填 3 . 1 x

考点:简单的线性规划问题. 15. (??,3] 【解析】 试题分析:当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 不等式 x ?

1 1 ? ? ? a 恒成立,则 a ? ? x ? ,又 x ?1 x ? 1? ? ? min

答案第 4 页,总 10 页

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x?

1 1 ? x ?1 ? ?1 ? 2 x ?1 x ?1

? x ? 1? ?

1 ? 1 ? 3 ,则 a ? 3 ,故填 (??,3] . x ?1

考点:1、基本不等式;2、恒成立问题. 【方法点睛】本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题,属于中档题.不等式恒成立 问 题 常 见 方 法 : ① 分 离 参 数 a ? f ( x) 恒 成 立 ( a ? f ( x)min 即 可 ) 或 a ? f ( x) 恒 成 立 ( a ? f ( x)max 即可) ; ② 数形结合( y ? f ? x ? 图象在 y ? g ? x ? 上方即可); ③ 讨论最值

f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 恒成立;④ 讨论参数 . 本题是利用方法利用基本不等式求得

f ? x ? 的最小值,从而求得 a 的取值范围.
16.①②④ 【解析】 试 题 分 析 : ① 依 题 意 ,

f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ? f ? 2 ? , 令 x ? ?2 , 则

f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 2? ? f ? 2? ? f ? 2? ,∴ f ? 2? ? 0 ;② f ? x ? 4? ? f ? x ? ,∴函数周期
为 4 ,偶函数的对称轴是 x ? 0 ,∴ x ? ?4 是 f ? x ? 的对称轴;③ f ? x ? 在 ?0, 2? 上递减,又函 数周期为 4 ,∴函数在 ?8,10? 上递减;④ f ? x ? 在 ?0, 2? 上递增,且为偶函数,∴ f ? x ? 在

??2,0? 上 递 减 , ∴ f ? x? 在 ??6, ?4? 上 递 减 , 图 象 关 于 x ? ?4 对 称 , ∴
x1 ? x2 ? ?8 ,故正确的有①②④.

两个根的和为

考点:1、命题的真假判断;2、函数的奇偶性;3、函数的单调性;4、函数的周期性. 【思路点睛】 本题主要考查命题的真假判断、 函数的奇偶性、 函数的单调性、 函数的周期性, 属难题.本题综合函数的多个知识点, 首先利用特殊值结合奇偶性求得 f ? 2 ? , 得出①正确; 然后即可得出 f ? x ? 4? ? f ? x? ,从而得出函数为周期函数,利用偶函数得出 x ? ?4 是

f ? x ? 的对称轴;当 x ??0, 2? 时,函数的单调性结合周期和奇偶性可得在在 ?8,10? 的单调
性,利用对称性方程 f ( x) ? m 在 ? ?6, ?2? 上的两根为 x1 、 x2 ,可求得 x1 ? x2 的值. 17.(1) f ( x) ? 【解析】 试题分析: (1)由函数 f ( x) ? m sin x ? cos x( x ? R ) 的图象经过点 ( 值,从而求得函数的解析式;(2)由 f (

2 sin( x ? ) ;(2) AC ? 3 , BC ? 7 . 4

?

?
2

,1) ,代入求得 m 的

?

12

) ? 2 sin A 求得角 A 的值,利用三角形面积公式

答案第 5 页,总 10 页

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求得 AC 的值,然后利用余弦定理求得 BC 的值. 试题解析: (1)∵函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R )的图象经过点 ( ∴ m sin

?
2

,1) ,

?
2

? cos

?
2

? 1 ,∴ m ? 1 ,

∴ f ( x) ? sin x ? cos x ? (2)∵ f (

) ? 2 sin A ,即 f ( ) ? 2 sin ? 2 sin A , 12 12 3

?

2 sin( x ? ) . 4

?

?

?

∴ sin A ? sin

?

3



∵ A 是面积为

? 3 3 的锐角△ ABC 的内角,∴ A ? , 3 2

∵ S?ABC ?

1 3 3 ,∴ AC ? 3 , AB ? AC sin A ? 2 2
2 2 2

由余弦定理得 BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC cos A ? 7 , ∴ BC ? 7 . 考点:1、两角和与差的三角公式;2、三角形面积公式;3、余弦定理. 18.(1) an ? 2n ;(2) Tn ? 【解析】 试题分析: (1) 利用当 n ? 1 时,由

n . n ?1

a1 ? S1 求 a1 的值,当 n ? 2 时,由 an ? Sn ? Sn?1 求得

an ? 2an?1 ,从而得数列 ?an ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,从而求得数列 ?an ? 的通

项公式; (2)由(1)可得, 法求得数列

bn ? log2 an ? log2 2 ? n ,代入
n

cn ?

1 bnbn ?1 ,利用裂项求和

?cn ? 的前 n 项和为 Tn .
1 Sn ? 1 , 2

试题解析: (1)由题意, an ? ∴ an ?1 ?

1 S n ?1 ? 1 ( n ? 2 , n ? N * ) , 2 1 两式相减:得 an ? an ?1 ? an , 2
即 an ? 2an?1 , 又 a1 ?

1 S1 ? 1 ,∴ a1 ? 2 , 2
答案第 6 页,总 10 页

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∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ an ? 2n . (2)由(1)可得, bn ? log2 an ? log2 2n ? n , ∴ cn ?

1 1 1 1 , ? ? ? bnbn ?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 2 1 1 2 3 1 n 1 1 n ) ? 1? ? . n ?1 n ?1 n ?1

∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ?

考点:1、数列的通项公式;2、裂项求和法. 19.(1)

7 ;(2)列联表见解析,有 97.5% 的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 10

【解析】 试题分析: (1)甲班数学成绩不低于 80 分的同学有 5 个, 其中分数不是 87 的同学不妨记为 a1 ,

a2 , a3 ,分数为 87 的同学不妨记为 b1 , b2 ,写出从 5 位同学任选 2 名所有共 10 个基本事
件,其中事件“成绩为 87 分的同学至少有一名被抽中”包含了 7 个基本事件,从而求得成 绩为 87 分的同学至少有一名被抽中的概率; (2)根据所给数据填入表格, 利用公式求得 K 的 值,从而得出结论. 试题解析: (1)甲班数学成绩不低于 80 分的同学有 5 个,其中分数不是 87 的同学不妨记为
2

a1 , a2 , a3 ,分数为 87 的同学不妨记为 b1 , b2 ;
从 5 位同学任选 2 名共有 a1a2 , a1a3 , a1b1 , a1b2 , a2 a3 , a2b1 , a2b2 , a3b1 , a3b2 , b1b2 10 个基本事件. 事件“成绩为 87 分的同学至少有一名被抽中”包含了 7 个基本事件, 所以 P (成绩为 87 分的同学至少有一名被抽中) ? (2) 甲班 优秀 不优秀 合计 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40

7 . 10

K2 ?

40 ? (6 ? 6 ? 14 ?14) 2 ? 6.4 , 20 ? 20 ? 20 ? 20

∵ 6.4 ? 5.024 , ∴在犯错误的概率不超过 2.5% 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关 (我们有 97.5% 的把 握认为成绩优秀与教学方式有关) . 考点:1、古典概型;2、独立性检验.
答案第 7 页,总 10 页

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20.(1)直线 AB / / 平面 DEF ,理由见解析;(2) VE ? DFC ?

3 . 3

【解析】 试题分析: (1)利用线面平行证得 AB / / EF , 利用线面平行判定定理证得 AB / / 平面 DEF ; (2)利用二面角 A ? DC ? B 是直二面角,得平面 ADC ? 平面 BDC ,利用面面垂直的判 定定理证得 AD ? BC ,然后利用线面垂直的判定定理证得 AD ? 平面 BDC ,从而求得点

E 到平面 BDC 的距离为

1 AD ? 1 ,求得 S ?DFC ,利用空间几何体的体积公式求得棱锥 2

E ? DFC 的体积.
试题解析: (1)证明:直线 AB / / 平面 DEF . 在△ ABC 中, E , F 为中点, ∴ AB / / EF , ∵ AB ? 平面 DEF , EF ? 平面 DEF , ∴ AB / / 平面 DEF . (2)∵二面角 A ? DC ? B 是直二面角, ∴平面 ADC ? 平面 BDC , ∵ AC ? BC , D 为 AB 中点, ∴ AD ? BC , ∵平面 ADC ? 平面 BDC ? DC , AD ? 平面 ADC , ∴ AD ? 平面 BDC , ∴点 E 到平面 BDC 的距离为 又∵ S ?DFC ? ∴ VE ? DFC ?

1 AD ? 1 , 2

1 1 S?DBC ? S?ABC ? 3 , 2 4

1 3 S?DFC ?1 ? . 3 3

考点:1、线面平行的性质定理;2、线面平行的判定定理;3、面面垂直的性质定理;4、线 面平行的判定定理;5、空间几何体的体积公式. 【方法点睛】本题主要考查线面线面平行的性质定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性 质定理、线面平行的判定定理、空间几何体的体积公式,属于难题.证明线面平行的常用方 法: ①利用线面平行的判定定理, 使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线 平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四 边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面 内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的. 21.(1) f ( x ) 的极小值是 ?6e ,极大值是 2e ; (2) a ? ?1 或 a ? ? . 【解析】 试题分析:(1)对函数求导,利用导数的正负求得函数的单调区间,从而求得函数的极值; (2) 要 使
?3

3 8

f ( x) 在 区 间 ?1 , ? 2上 单 调 , 则 f ' ( x?) x e 2(a?x

或) 2?a x ? 3

0

f '( x) ? e x (ax2 ? 2ax ? 3) ? 0 恒 成 立 , 即 ax2 ? 2 ax? 3 ? 0 或 ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 区 间

答案第 8 页,总 10 页

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从而求得 a 的取值范围. ?1, 2? 上恒成立,a ? ( x 2 ? 2 x )max ? ? 8 或 a ? ( x 2 ? 2 x )min ? ?1 . 试题解析: (1)当 a ? ?1 时,有 f ( x) ? ex (? x2 ? 3) ,

?3

3

?3

f '( x) ? ex (? x2 ? 2x ? 3) ? ?ex ( x ? 3)( x ?1) ,
令 f '( x) ? 0 ,即 ?ex ( x ? 3)( x ?1) ? 0 , ∴ ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,即 ?3 ? x ? 1 , ∴ f ( x ) 在 (?3,1) 上递增, (??,3) 和 (1, ??) 上递减, ∴当 x ? ?3 时, f ( x ) 有极小值 f (?3) ? ?6e?3 , 当 x ? 1 时, f ( x ) 有极大值 f (1) ? 2e . (2)要使 f ( x ) 在区间 ?1, 2? 上单调, 则 f '( x) ? e x (ax2 ? 2ax ? 3) ? 0 或 f '( x) ? e x (ax2 ? 2ax ? 3) ? 0 恒成立, 即 ax ? 2ax ? 3 ? 0 或 ax ? 2ax ? 3 ? 0 在区间 ?1, 2? 上恒成立,
2 2

?3 3 ?3 ) max ? ? 或 a ? ( 2 ) min ? ?1 . x ? 2x x ? 2x 8 3 综上, f ( x ) 在 ?1, 2? 上单调,则 a ? ?1 或 a ? ? . 8 a?(
2

考点:导数在研究函数中的应用. 【方法点睛】 本题主要考查导数在研究函数中的应用, 属于难题.求函数 f ? x ? 极值的步骤: (1) 确定函数的定义域;(2) 求导数 f ? ? x ? ;(3) 解方程 f ? ? x ? ? 0, 求出函数定义域内的 所有根;(4) 列表检查 f ? ? x ? 在 f ? ? x ? ? 0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负(左 增右减) ,那么 f ? x ? 在 x0 处取极大值,如果左负右正(左减右增) ,那么 f ? x ? 在 x0 处取 极小值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值; (6)如果求闭区间上的 最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小.
2 2 2 2 22.(1) x ? y ? 2 x ? 3 , x ? ( y ? 2) ? 4 ;(2) 11 .

【解析】 试题分析:(1)利用曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ? 1 ( ? 为参数) ,消去参数 ? 即可得 ? y ? 2sin ?
利用公式求得普通方程; ? ,

2 普通方程, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? , 即? ?4 ?n i s

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(2)利用两圆相减求得公共弦方程,利用圆心 C1 (1, 0) 到公共弦所在的直线的距离求得曲线

C1 和 C2 公共弦的长度.
试题解析: (1)曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ? 1 ( ? 为参数) ,消去参数 ? 可得普通 ? y ? 2sin ?

方程: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 . 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,即 ? 2 ? 4? sin ? , 可得直角坐标方程: x 2 ? y 2 ? 4 y ,配方得 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 . (2) x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 与 x 2 ? y 2 ? 4 y 相减可得公共弦所在的直线方程 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 圆心 C1 (1, 0) 到公共弦所在的直线的距离 d ?

| 2?3| 22 ? (?4) 2

?

5 , 2

∴公共弦长 ? 2 22 ? (

5 2 ) ? 11 . 2

考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、极坐标方程与直角坐标的方程互化;3、点到直 线距离公式;4、弦长公式.

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