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【数学】2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教A版必修4)


2.3.2 《平面向量的坐标表示》

教学目标
? (1)理解平面向量的坐标的概念; ? (2)理解平面里的任何一个向量都可以用 两个不共线的向量来表示,初步掌握应用 向量解决实际问题的重要思想方法; ? (3)能够在具体问题中适当地选取基底, 使其他向量都能够用基底来表达. ? 教学重点:平面向量基本定理. ? 教学难点:平面向量基本定理的理解与

应 用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

平面向量的坐标表示及运算
y

M ( x, y)

O

x

课前复习:

1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.

4 向量坐标:


3 实数与向量积的运算法则: λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)

a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)

5向量平行的坐标表示:

AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )

若向量a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a // b的充要条件是x1 y2 ? x2 y1 ? 0

课堂练习:
1、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同, 则n =(C) 1 1 A. B.± C.2 D.±2 2 2
2、 ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则 顶点D的坐标为( C ) A(8,9) B(5,1) C(1,5) D(8,6)

()平面向量的坐标表示 1
Y
A y

1. a ? OA ? xi ? y j ? (x, y)
X

O

x

且 a ? OA ? x ? y
2

2

2. 若A ( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则
AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )
| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2 2

练习:
1、下列向量中不是单位向量的有(B )
① a= (cos ? , ? sin ? ) ② b= (

lg 2, lg5) x ?x ③ c= (2 , 2 ) ④ d=(1-x,x)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2、已知单位正方形ABCD,

AB ? a, BC ? b, AC ? c, 求 2 a ? 3b ? c 的模 5 。

1 则? ? ? 10 2

3.已知p ? (?3, ?1), 且 | ? p |? 5, 4.已知m ? (sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ),
1 5、若 a ? (? ,sin ? ) 为单位向量,则符合 2
题意的角? 的取值集合为 ;

则m的长度为 2

(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。

设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ? x1 ? x2 则a ? b ? ? ? y1 ? y2

例题1、已知向量a ? (2 x ? y ? 1, x ? y ? 2), b ? (2, ?2).x, y为何值时, a与b共线?

解? (2 x ? y ? 1) ? (?2) ? ( x ? y ? 2) ? 2 ? 0 ? 2 x ? y ? 1 ? ?( x ? y ? 2)
1 ? ?x ? 解得: 3 ? ? ?y ? R
1 ? x ? ? ? 3 (2)解得: ? ?y ? ? 1 ? 3 ?

又问:x, y为何值时, a与b相等?

例题2、已知 a ? 10, b ? (3, ?4)且a // b, 求向量a.
解:设a ? ( x, y),则a ? x ? y ? 10
2 2

又 ? b ? (3,?4), a // b
? x ? y ? 10 ?x ? 6 ? x ? ?6 ?? 解得: 或? ? ?? 4 x ? 3 y ? 0 ? y ? ?8 ? y ? 8
2 2

?a ? (6,?8)或a ? (?6,8)

课堂练习:
1、已知两点A(0,2),B(2,0),则与向量AB 同向量的单位向量是( B)
2 2 A.(? ,? ) 2 2

2 2 B.( ,? ) 2 2

2 2 C.(? , ) 2 2

2 2 D.( , ) 2 2

2、已知a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b 且u∥v,求x,

1 (x= ) 2

3、已知a ? (1,0)、 b ? (1,1), c ? (?1,0), 求实数?与?,使c ? ? a ? ? b.

4、已知?ABC中,( A 7, 8),( B 3, 5), C (4, 3),M 、N 是AB、AC边的中点,D是 BC中点,MN与AD交于F,求DF .

课后作业: 1.已知? ? [0, 2? ), OP 1 ? (cos ? ,sin ? )

OP2 ? (3 ? cos ? , 4 ? sin ? ), 则 | P 1P 2 |的 取值范围是
2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k (4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且 |d-c|=1,求d.

附加题:

1.已知( A 4, 5),( B 1, 2), C ( 12, 1 ),D(11,6), 求AC与BD交 点的坐标.

2、已知点P、( A 3, 7)、( B 4, 6), C (, 1 ? 2),是一个平行四边形的四个 顶点,求P的坐标.

2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c; (0, 6) 5 8 m ? ,n ? (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; 9 9 16 (3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k k ? ? 13 (4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且 |d-c|=1,求d.
20 ? 5 5 ? 2 5 20 ? 5 5 ? 2 5 d ?( , )或( , ) 5 5 5 5

向量坐标定义
在平面直角坐标系内,我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底,任作一向量 a,由平面向量基本定理知,有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的(直角)坐标, 记为:a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)

4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =(1,0),j =(0,1)

= (0,0) 0


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