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江苏省徐州市新沂市王楼中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析


江苏省徐州市新沂市王楼中学 2014-2015 学年高一上学期第一次 月考数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.下列四组对象,能构成集合的是(填序号) (1)某班所有高个子的学生 (2)著名的艺术家 (3)一本很大的书 (4)倒数等于它自身的实数. 2.若 M={1,2},N={2,3},则 M∪N=. 3.集合{1,2,3}的真子

集共有 个. 4.设 A=(﹣1,3],B=[2,4) ,则 A∩B=. 5.设集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A?B,则 a 的取值范围是. 6.下列各组函数中,是同一个函数的有(填序号) (1)y=x 与 y= (2)y=x 与 y=(x﹣1) (3)y= 与 y=|x| . + 的定义域是.
2 2

(4)y=x 与 y= 7.函数 y=

8.若函数 y=2x﹣1 的定义域是[﹣1,2],则其值域是. 9.函数 y=x ﹣4x+9 的增区间是.
2

10.已知

,则 f(f(﹣1) )=.

11.函数 y=﹣x +2+2x 在[0,10]上的最小值为. 12.函数 f(x)=x +ax+3 在区间(﹣∞,2]上递减,则实数 a 的取值范围是.
2

2

13.已知 f(x+1)=x +2x+3,则 f(x)=. 14.已知集合 A={x|ax ﹣3x+2=0,x∈R,a∈R}只有一个元素,则 a=.
2

2

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.设全集是数集 U={2,3,a +2a﹣3},已知 A={2,b},?UA={5},求实数 a,b 的值. 16. (16 分)已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=3x ﹣5 (1)求 f(1) ,g(2)的值 (2)求 g(a+1)的表达式 (3)求 f(g(x) )的表达式. 17.已知函数 .
2 2

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; (2)若 f(x)在
2

上的值域是

,求 a 的值.

18.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3=0},B={x|mx+1=0}. (1)若 m=1,求 A∩B; (2)若 A∪B=A,求实数 m 的值. 19. (16 分)已知 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x﹣3 (1)用分段函数的形式写出函数 f(x)的表达式; (2)作出函数 f(x)的简图; (3)指出函数 f(x)的单调区间. 20. (16 分)用一根细铁丝围一个面积为 4 的矩形, (1)试将所有铁丝的长度 y 表示为矩形的某条边长 x 的函数; (2)①求证:函数 f(x)=x+ 在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数; ②题(1)中矩形的边长 x 多大时,细铁丝的长度最短?
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江苏省徐州市新沂市王楼中学 2014-2015 学年高一上学 期第一次月考数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分)

1.下列四组对象,能构成集合的是(4) (填序号) (1)某班所有高个子的学生 (2)著名的艺术家 (3)一本很大的书 (4)倒数等于它自身的实数. 考点: 集合的含义. 专题: 阅读型. 分析: 由于选项(1) (2) (3)中的对象不满足元素的确定性,故(1) (2) (3)中的对象 不能构成集合.由于(4)中的对象满足元素的确定性和互异性,故(4)中的对象能构成集 合. 解答: 解:由于“高个子”没有确定的标准,故(1)中的对象不满足元素的确定性,故(1) 中的对象不能构成集合. 由于“著名”没有确定的标准,故(2)中的对象不满足元素的确定性,故(2)中的对象不能 构成集合. . 由于“很大”没有明确的标准,故(3)中的对象不满足元素的确定性,故(3)中的对象不能 构成集合. 由于“倒数等于它自身的实数”是确定的,故(4)中的对象满足元素的确定性和互异性,故 (4)中的对象能构成集合. 故答案为: (4) 点评: 本题主要考查集合中元素的确定性、互异性、无序性,属于基础题. 2.若 M={1,2},N={2,3},则 M∪N={1,2,3}. 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 M 和集合 N 的所有元素合并到一起, 构成 M∪N, 由此利用 M={1, 2}, N={2, 3},能求出 M∪N. 解答: 解:∵M={1,2},N={2,3}, ∴M∪N={1,2,3}. 故答案为:{1,2,3}. 点评: 本题考查并集及其运算,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 3.集合{1,2,3}的真子集共有 7 个. 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 集合{1,2,3}的真子集是指属于集合的部分,包括空集. 解答: 解:集合{1,2,3}的真子集有: ?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共 7 个. 故答案为:7 点评: 本题考查集合的真子集个数问题,对于集合 M 的真子集问题一般来说,若 M 中有 n n 个元素,则集合 M 的真子集共有(2 ﹣1)个

4.设 A=(﹣1,3],B=[2,4) ,则 A∩B=[2,3]. 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 结合数轴直接求解. 解:由数轴可得 A∩B=[0,2],

故答案为:[2,3]. 点评: 本题考查集合的运算,基础题.注意数形结合 5.设集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A?B,则 a 的取值范围是[2,+∞) . 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 由集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},A?B,结合数轴即可得出. 解答: 解:∵集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},A?B, ∴2≤a. ∴a 的取值范围是[2,+∞) . 故答案为:[2,+∞) .

点评: 本题考查了集合之间的关系、数形结合的思想方法,属于基础题. 6.下列各组函数中,是同一个函数的有(3) (填序号) (1)y=x 与 y= (2)y=x 与 y=(x﹣1) (3)y= 与 y=|x| .
2 2

(4)y=x 与 y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 探究型. 分析: 分别判断两个函数的定义域和对应关系是否一致即可. 解答: 解: (1)第一函数的定义域为 R,第二个函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定 义域不同,所以不是同一函数. (2)第一函数的定义域为 R,第二个函数的定义域为 R,但两个函数的对应关系不同,所 以不是同一函数. (3)第一函数的定义域为 R,第二个函数的定义域是 R,两个函数的定义域和对应关系相 同,所以是同一函数. (4)第一函数的定义域为 R,第二个函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同,所 以不是同一函数.

故答案为: (3) 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数, 判断的标准是判断函数的定义域和对 应关系是否一致,否则不是同一函数. 7.函数 y= + 的定义域是(1,8].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由偶次根式下被开方数大于等于 0,分式的分母不等于 0,求解 x 的取值范围后取 交集即可. 解答: 解:要使函数 y= + 有意义则

解得 1<x≤8 所以该函数的定义域为(1,8]; 故答案为: (1,8]. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法, 函数的定义域, 就是使函数解析式有意义的自 变量 x 的取值集合.是基础题. 8.若函数 y=2x﹣1 的定义域是[﹣1,2],则其值域是[﹣3,3]. 考点: 一次函数的性质与图象;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据一次函数的单调性可求得值域. 解答: 解:由于 y=2x﹣1 在[﹣1,2]上是增函数, 所以 2(﹣1)﹣1≤y≤2×2﹣1,即﹣3≤y≤3, 所以函数的值域为[﹣3,3], 故答案为:[﹣3,3]. 点评: 本题考查一次函数的单调性及函数值域的求解,属基础题. 9.函数 y=x ﹣4x+9 的增区间是[2,+∞) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将函数化为顶点式,得到函数的对称轴,从而得到函数的单调性. 2 解答: 解:∵y=(x﹣2) +5,对称轴 x=2,开口向上, ∴函数在[2,+∞)递增, 故答案为:[2,+∞) . 点评: 本题考查了二次函数的性质,函数的单调性,是一道基础题.
2

10.已知

,则 f(f(﹣1) )=5.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 利用分段函数的解析式可先求 f(﹣1) ,进而可求 f(f(﹣1) )即可 解答: 解:∵f(﹣1)=2>0 ∴f(f(﹣1) )=f(2)=5 故答案为:5. 点评: 本题主要考查了分段函数的定义及函数值的求解, 解题的关键是要判断变量 x 的范 围,进而确定对应关系. 11.函数 y=﹣x +2+2x 在[0,10]上的最小值为﹣80. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将函数化为顶点式,得到函数的单调区间,从而求出函数的最小值. 2 解答: 解:∵y=﹣(x﹣1) +3,对称轴 x=1,开口向上, ∴函数在[0,1)递增,在(1,10]递减, ∴x=10 时,函数取到最小值,最小值为﹣78, 故答案为:﹣78. 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,函数的最值问题,是一道基础 题. 12.函数 f(x)=x +ax+3 在区间(﹣∞,2]上递减,则实数 a 的取值范围是 a≤﹣4. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 综合题;数形结合;转化思想;数形结合法. 分析: 本题是二次函数中区间定轴动的问题, 先求出函数的对称轴, 再确定出区间与对称 轴的位置关系求出实数 a 的取值范围 解答: 解:由题意,函数的对称轴是 x=﹣ ∵函数 f(x)=x +ax+3 在区间(﹣∞,2]上递减 ∴﹣ ≥2,解得 a≤﹣4 故答案为:a≤﹣4 点评: 本题考查函数单调性的性质,解答本题的关键是熟练掌握了二次函数的性质与图 象,根据其性质与图象直接得出关于参数的不等式,求出其范围. 13.已知 f(x+1)=x +2x+3,则 f(x)=x +2. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 x+1=t,则 x=t﹣1,代入即可求出. 2 2 解答: 解:令 x+1=t,则 x=t﹣1,∴f(t)=(t﹣1) +2(t﹣1)+3,即 f(t)=t +2. 2 把 t 换成 x 得,f(x)=x +2.
2 2 2 2 2

故答案为 x +2. 点评: 本题求函数的解析式,换元法是常用方法之一. 14.已知集合 A={x|ax ﹣3x+2=0,x∈R,a∈R}只有一个元素,则 a=0 或 .
2

2

考点: 函数的零点. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 2 分析: 通过集合 A={x|ax ﹣3x+2=0,x∈R,a∈R}有且只有一个元素,方程只有一个解或 重根,求出 a 的值即可. 2 解答: 解:因为集合 A={x|ax ﹣3x+2=0,x∈R,a∈R}有且只有一个元素, 当 a=0 时,ax ﹣3x+2=0 只有一个解 x= , 当 a≠0 时,一元二次方程只有一个元素则方程有重根,即△ =9﹣8a=0 即 a= 所以实数 a=0 或 故答案为:0 或 . 点评: 解题时容易漏掉 a=0 的情况,当方程,不等式,函数最高次项系数带有参数时,要 根据情况进行讨论. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 2 15.设全集是数集 U={2,3,a +2a﹣3},已知 A={2,b},?UA={5},求实数 a,b 的值. 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题;对应思想. 分析: 由 A={2,b},CUA={5},推测出全集中的情况即 U={2,3,a +2a﹣3}={2,b,5}, 判断对应关系,建立方程求参数值 2 解答: 解:由题意 A={2,b},CUA={5},故有 U={2,3,a +2a﹣3}={2,b,5}, ∴ 解得 a=﹣4 或 a=2,b=3
2 2

实数 a,b 的值是 a=﹣4 或 a=2,b=3 点评: 本题考查补集及其运算, 解题的关键是根据补集的定义推测出全集的另一种表示形 式,由同一性建立方程求出参数的值. 16. (16 分)已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=3x ﹣5 (1)求 f(1) ,g(2)的值 (2)求 g(a+1)的表达式 (3)求 f(g(x) )的表达式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用.
2

分析: (1)根据函数 f(x) 、g(x)的对应法则,分别将 x=1、x=2 代入,即可求出 f(1) , g(2)的值; (2)根据 g(x)的对应法则,用 a+1 代替 x,化简即可得出 g(a+1)的表达式; (3)先在 f(x)表达式中用 g(x)代替 x,得 f(g(x) )=2g(x)+1,再将 g(x)表达式 代入即可得到所求. 解答: 解:根据题意,得 (1)f(1)=2×1+1=3,g(2)=3×2 ﹣5=7; 2 2 (2)g(a+1)=3(a+1) ﹣5=3a +6a﹣2; 2 2 (3)f(g(x) )=2g(x)+1=2[3x ﹣5]+1=6x ﹣9. 点评: 本题给出函数 f(x) 、g(x)的表达式,求 f(g(x)的表达式.着重考查了函数 的定义和解析式的求法等知识,属于基础题.
2

17.已知函数



(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; (2)若 f(x)在 上的值域是 ,求 a 的值.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)利用函数单调性的定义,设 x2>x1>0,再将 f(x1)﹣f(x2)作差后化积, 证明即可; (2)由(1)知 f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,从而在[ ,2]上单调递增,由 f(2) =2 可求得 a 的值. 解答: 证明: (1)证明:设 x2>x1>0,则 x2﹣x1>0,x1x2>0, ∵ ∴f(x2)>f(x1) , ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. (2)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递增的, ∴f(x)在 ∴ ∴ . 上单调递增, , = ,

点评: 本题考查函数单调性的判断与证明, 着重考查函数单调性的定义及其应用, 属于中 档题. 18.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3=0},B={x|mx+1=0}. (1)若 m=1,求 A∩B; (2)若 A∪B=A,求实数 m 的值.
2

考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)把 m=1 代入 B 中方程求出解,确定出 B,求出 A 中方程的解确定出 A,找 出两集合的交集即可; (2)由 A 与 B 的并集为 A,得到 B 为 A 的子集,确定出 m 的范围即可. 解答: 解: (1)由 A 中方程变形得: (x﹣3) (x+1)=0, 解得:x=3 或 x=﹣1,即 A={﹣1,3}, 把 m=1 代入 B 中方程得:x+1=0,即 x=﹣1, 可得 B={﹣1}, 则 A∩B={﹣1}; (2)∵A∪B=A,∴B?A, 当 m=0 时,B=?,满足题意; 当 m≠0 时,B={ }, ∵A={﹣1,3},∴﹣ =﹣1 或 3, 解得:m=1 或 m=﹣ , 综上,实数 m 的值为 0,1 或﹣ . 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 19. (16 分)已知 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x﹣3 (1)用分段函数的形式写出函数 f(x)的表达式; (2)作出函数 f(x)的简图; (3)指出函数 f(x)的单调区间. 考点: 二次函数的图象;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间;偶函 数. 专题: 综合题;数形结合. 分析: (1)设出 x<0,把﹣x 代入题设函数的解析式,利用函数奇偶性求得函数在(﹣ ∞,0)上的解析式,最后综合可得函数的解析式. (2)利用二次函数的性质,分别看 x≥0 和 x<0,函数的对称轴,开口方向以及与 x 轴,y 轴的交点画出函数的图象. (3)根据图象和二次函数的性质可推断出函数的单调性. 2 解答: 解: (1)设 x<0 则﹣x>0,f(﹣x)=x +2x﹣3 2 又∵f(x)为偶函数∴f(x)=f(﹣x)=x +2x﹣3
2



(2)

(3)如图:f(x)在(﹣∞,﹣1]与[0,1]单调递减, 在[﹣1,0]与[1,+∞)上单调递增. 点评: 本题主要考查了二次函数的图象, 函数的单调性及其求法等. 考查了学生的基础知 识的应用和数形结合思想的运用. 20. (16 分)用一根细铁丝围一个面积为 4 的矩形, (1)试将所有铁丝的长度 y 表示为矩形的某条边长 x 的函数; (2)①求证:函数 f(x)=x+ 在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数; ②题(1)中矩形的边长 x 多大时,细铁丝的长度最短? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用面积求出另一条边长为 ,则可得铁丝的长度; (2)①利用导数证明即可;②由①可知 x=3 时,函数取得最小值. 解答: (1)解:由题意,另一条边长为 ,则铁丝的长度 y=2x+ (x>0) ; (2)①证明:∵f(x)=2(x+ ) , ∴f′(x)=2﹣ ,

∴在(0,2]上,f′(x)<0,在[2,+∞)上,f′(x)>0, ∴函数 f(x)=2(x+ )在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数; ②解:由①可知 x=2 时,函数取得最小值 8. 点评: 本题考查函数模型的选择与应用,考查学生的计算能力,属于中档题.


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