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导数与函数的极值


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导数与函数的极值、最值
1.函数的极值 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点 x=a 附近的左侧________,右侧________,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b)=0; 而且在点 x=b 附近的左侧________,右侧________,则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 2.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则________为函数的最小值,________为函数的最 大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则_______为函数的最大值,________为函数的最小 值. [课前做一做] 1.设函数 f(x)=xex,则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 2.函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________ 3.已知 x=3 是函数 f(x)=aln x+x2-10x 的一个极值点,则实数 a=________.

整合:
1.辨明两个易误点 (1)求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点; (2)易混极值与最值,注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. 2.明确两个条件 一是 f′(x)>0 在(a,b)上成立,是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件. 二是对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件.

考点一、函数的极值问题(高频考点)
例 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有( )

A.1 个

B.2 个
3 2

C.3 个

D.4 个

x -2x 练习 1.(1)已知函数 f(x)= .求 f(x)的极大值和极小值. ex (2)已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点.
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①求 a 和 b 的值;②设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点.

考点二、函数的最值问题
例 (2014· 高考江西卷)已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值.



1 设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切. 2

1 ? (1) 求实数 a,b 的值;(2)求函数 f(x)在? ?e,e?上的最大值和最小值.

考点三、利用导数研究生活中的优化问题
例 (2013· 高考重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底 面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成 本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大

例 (2014· 高考课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切 线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.

练习

ln x (2013· 高考北京卷)设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线. x

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

课堂练习
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x3 1.函数 f(x)= +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是( 3 17 A.- 3 C.-4 10 B.- 3 64 D.- 3

)

1 1 2. (2015· 四川内江模拟)已知函数 f(x)= x3- x2+cx+d 有极值, 则 c 的取值范围为( 3 2 1 A.c< 4 1 C.c≥ 4 1 B.c≤ 4 1 D.c> 4

)

3.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 =- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 ) )

a 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则 的值为( b 2 A.- 3 2 C.-2 或- 3 B.-2 2 D.2 或- 3

5.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则 函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

1 6.函数 y=2x- 2的极大值是________. x 7.函数 f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间是 __________.

课后练习:
1 8. 设函数 f(x)=ln x- ax2-bx, 若 x=1 是 f(x)的极大值点, 则 a 的取值范围为________ 2 9.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0, 2 若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. ex 10.(2015· 皖南八校第三次联考)已知函数 f(x)= .(1)求函数 f(x)的单调区间; x
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(2)设 g(x)=xf(x)-ax+1,若 g(x)在(0,+∞)上存在极值点,求实数 a 的取值范围. . 11.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 a x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 x-3 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大.

12.(2014· 高考福建卷)已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y =f(x)在点 A 处的切线斜率为-1.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值;(2)证明:当 x>0 时,x2<ex.

1 13.已知函数 f(x)= x3-ax+1.(1)当 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值;(2)求 f(x)在[0, 3 1]上的最小值; (3)若对任意 m∈R,直线 y=-x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的 取值范围.

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