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2014-2015学年安徽省亳州市涡阳四中高二(下)第二次质检数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年安徽省亳州市涡阳四中高二(下)第二次质检数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,m 和 n 都是实数,且 m(1+i)=7+ni,则 A. ﹣1 B. 1 C. ﹣i D. i 2.设 f(x)=sinx﹣cosx,则 f(x)在 x= A. B. ﹣ C. 0 D. 处的导数 f′( )=( ) ( )

3.设定义在(a,b)上的可导函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的极 值点的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中 至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 不都是偶数 B. 假设 a,b,c 都不是偶数 C. 假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D. 假设 a,b,c 至多有两个是偶数 5.曲线 y=cosx(0≤x≤ A. 4 B. 2 C.
5 2

)与 x 轴以及直线 x= D. 3
6 7

所围图形的面积为(



6.观察下列各式:5 =3125,5 =15625,5 =78125,…,则 5 A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125

2015

的末四位数字为(



7.由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中,若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件,用 B 表示“第 一位数字为 0”的事件,则 P(A|B)=( )

A.

B.

C.

D.

8. 已知点 P 在曲线 y=

上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是 ( .



A. 上有最小值 3,那么在上 f(x)的最大值是

12.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) .
2 50

13.已知
2

=a0+a1x+a2x +…+a50x ,其中 a0,a1,a2,…,a50 是常数,计算
2

(a0+a2+a4+…+a50) ﹣(a1+a3+a5+…+a49) = 14. ( ﹣2x)dx= .



15.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数, f″(x)是函数 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称(x0,f(x0) )为函数 y=f (x)的“拐点”.可以证明,任何三次函数都有“拐点”,任何三次函数都有对称中心,且“拐点” 就是对称中心,请你根据这一结论判断下列命题: ①任意三次函数都关于点 对称:

3

2

②存在三次函数 f′(x)=0 有实数解 x0,点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的对称中心; ③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心; ④若函数 g(x)= x ﹣ x ﹣
3 2

,则 .

其中正确命题的序号为

(把所有正确命题的序号都填上) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16. (12 分) (2013 春?亳州校级期末)若( (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求展开式中的常数项; (Ⅲ)求展开式中二项式系数的最大项. 17. (12 分) (2015 春?亳州校级月考)六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (l)甲不站两端; (2)甲、乙不相邻; (3)甲、乙之间间隔两人; (4)甲不站左端,乙不站右端. ﹣ ) 的展开式的二项式系数和为 128.
n

18. (12 分) (2013 春?亳州校级期末)证明:



19. (12 分) (2013?福建)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 20. (13 分) (2011?天津)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个 黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子 里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) . 21. (14 分) (2015 春?亳州校级月考)设函数 f(x)=(x﹣1)e ﹣kx (k∈R) . (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k∈( ,1]时,求用 k 表示函数 f(x)在(0,+∞)的最小值.
x 2

2014-2015 学年安徽省亳州市涡阳四中高二(下)第二次 质检数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,m 和 n 都是实数,且 m(1+i)=7+ni,则 A. ﹣1 B. 1 C. ﹣i D. i 考点: 专题: 分析: 值. 解答: ∴ 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 直接利用复数相等的条件求得 m,n 的值,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求 解:由 m(1+i)=7+ni,得 m+mi=7+ni,即 m=n=7, = . ( )

故选:D.

点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,是基础题.

2.设 f(x)=sinx﹣cosx,则 f(x)在 x= A. B. ﹣ C. 0 D.

处的导数 f′(

)=(



考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据求导法则计算即可. 解答: 解:∵f(x)=sinx﹣cosx, ∴f′(x)=cosx+sinx, ∴f′( )=cos +sin = = .

故选:A. 点评: 本题主要考查了求导的运算法则,属于基础题. 3.设定义在(a,b)上的可导函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的极 值点的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 数形结合. 分析: 导数的正负与函数单调性的关系是:导数小于 0 则函数是减函数,导数大于 0 则函数 是增函数,进而可以分析出正确答案. 解答: 解:根据导数与函数单调性的关系可得函数 f(x)在区间(a,b)上的单调性为:增, 减,增,减, 结合函数的单调性可得函数有 3 个极值点. 故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是准确理解导数的符号与原函数单调性之间的关系,导数小于 0 则函数是减函数,导数大于 0 则函数是增函数,进而可以分析出正确答案. 4.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中 至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 不都是偶数 B. 假设 a,b,c 都不是偶数 C. 假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D. 假设 a,b,c 至多有两个是偶数
2

考点: 反证法与放缩法. 专题: 证明题;反证法. 分析: 本题考查反证法的概念, 逻辑用语, 否命题与命题的否定的概念, 逻辑词语的否定. 根 据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定 即可. 解答: 解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”. 即假设正确的是:假设 a、b、c 都不是偶数 故选:B. 点评: 一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定:“不 都是”;“至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多 有 n 个”的否定:“至少有 n+1 个”;“任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”; “所有的”的否定:“某些”. 5.曲线 y=cosx(0≤x≤ A. 4 B. 2 C. )与 x 轴以及直线 x= D. 3 所围图形的面积为( )

考点: 余弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据所围成图形用定积分可求得曲线 y=cosx 以及直线 x= 然后根据定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:由定积分定义及余弦函数的对称性, 可得曲线 y=cosx 以及直线 x= 所围图形部分的面积为: 所围图形部分的面积,

S=3∫

cosxdx=3sinx|

=3sin

﹣3sin0=3,

所以围成的封闭图形的面积是 3. 故选:D.

点评: 本题主要考查了定积分在求面积中的应用,考查运算求解能力,化归与转化思想思想, 属于基本知识的应用. 6.观察下列各式:5 =3125,5 =15625,5 =78125,…,则 5
5 6 7 2015

的末四位数字为(



A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125 考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 5 6 7 8 9 10 分析: 根据 5 =3125,5 =15625,5 =78125,5 =390625,5 =1953125,5 =9765625,…可得 2014 末四位数字为 3125、5625、8125、0625,每 4 个为一个循环,判断出 5 是哪个循环的第几 个数,即可判断出其末四位数字为多少. 解答: 解:根据 5 =3125,5 =15625,5 =78125,5 =390625,5 =1953125,5 =9765625,… 可得末四位数字为 3125、5625、8125、0625,每 4 个为一个循环, 因为 2015÷4=503…3, 2015 所以 5 是第 503 个循环的第 3 个数,故末四位数字为 8125. 故选:D. 点评: 本题主要考查了归纳推理的灵活运用,考查了学生的逻辑思维能力,解答此题的关键 是推理出末四位数字的规律:3125、5625、8125、0625,每 4 个为一个循环. 7.由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中,若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件,用 B 表示“第 一位数字为 0”的事件,则 P(A|B)=( ) A. B. C. D.
5 6 7 8 9 10

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 直接利用条件概率的计算公式求解即可. 解答: 解:∵P(B)= ∴P(A|B)= = , = ,P(AB)= = ,

故选:B. 点评: 题考查了条件概率与独立事件,解答的关键是对条件概率计算公式的理解,是基础题. 8. 已知点 P 在曲线 y= 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是 ( )

A. 上有最小值 3,那么在上 f(x)的最大值是 57 . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 要求 f(x)的最大值,先求出函数的导函数,令其等于 0 求出驻点,在上分三种情况 讨论得函数的极值,然后比较取最大值即可. 2 解答: 解析:f′(x)=3x +6x,令 f′(x)=0,得 3x(x+2)=0?x=0,x=﹣2. (i)当 0≤x≤3,或﹣3≤x≤﹣2 时,f′(x)≥0,f(x)单调递增, (ii)当﹣2<x<0 时,f(x)单调递减,由最小值为 3 知,最小为 f(﹣3)或 f(0)? 3 2 f(﹣3)=(﹣3) +3×(﹣3) +a=a,f(0)=a,则 a=3, 3 2 ∴f(x)=x +3x +3,其最大值为 f(﹣2)或 f(3) , 3 2 3 2 f(﹣2)=(﹣2) +3×(﹣2) +3=7,f(3)=3 +3×3 +3=57,则最大值为 57.

故答案为:57. 点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力. 12.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 36 种(用数字作答) . 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 由题意知将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,需要先从 4 个 人中选出 2 个作为一个元素看成整体,再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列,根据 分步乘法原理得到结果. 解答: 解:∵将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名, ∴先从 4 个人中选出 2 个作为一个元素看成整体, 2 3 再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列,共有 C 4A 3=36. 故答案为:36 点评: 本题考查排列组合及简单的计数问题,是一个基础题,本题又是一个易错题,排列容 易重复,注意做到不重不漏.
2 50

13.已知
2

=a0+a1x+a2x +…+a50x ,其中 a0,a1,a2,…,a50 是常数,计算
2

(a0+a2+a4+…+a50) ﹣(a1+a3+a5+…+a49) = 1 . 考点: 二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据所给的等式,给变量赋值,当 x 为﹣1 时,得到一个等式,当 x 为 1 时,得到另 一个等式,再利用平方差公式即可求得结论. 解答: 解:∵ ∴当 x=1 时, 当 x=﹣1 时, ∴ =(a0+a1+a2+…+a50) (a0﹣a1+a2﹣…+a50) = =1 ,

故答案为 1 点评: 本题考查二项式定理的性质,考查的是给变量赋值的问题,结合要求的结果,观察所 赋得值,当变量为﹣1 时,当变量为 0 时,两者结合可以得到结果. 14. ( ﹣2x)dx= ﹣1 .

考点: 定积分. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 由差的积分等于积分的差得到 ( dx,求出定积分 解答: 解: = 令 ( ( )dx﹣ )dx﹣ ( ﹣2x)dx= ( )

2xdx,然后由微积分基本定理求出

2xdx,则答案可求. ﹣2x)dx 2xdx.
2 2

,则(x﹣1) +y =1(y≥0) ,

表示的是以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆. ∴ 又 ∴ ( 2xdx= ( . . ﹣2x)dx= . )等于四分之一圆的面积,为 .

故答案为:

点评: 本题考查了定积分,考查了微积分基本定理,是基础的计算题. 15.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数, f″(x)是函数 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称(x0,f(x0) )为函数 y=f (x)的“拐点”.可以证明,任何三次函数都有“拐点”,任何三次函数都有对称中心,且“拐点” 就是对称中心,请你根据这一结论判断下列命题: ①任意三次函数都关于点 对称:
3 2

②存在三次函数 f′(x)=0 有实数解 x0,点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的对称中心; ③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心; ④若函数 g(x)= x ﹣ x ﹣
3 2

,则 .

其中正确命题的序号为 ①②④ (把所有正确命题的序号都填上) . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 新定义. 分析: ①根据函数 f(x)的解析式求出 f′(x)和 f″(x) ,令 f″(x)=0,求得 x 的值,由此 3 2 求得三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的对称中心; ②③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断;

④由函数 g(x)的对称中心是( ,﹣ ) ,得 g(x)+(g(1﹣x)=﹣1,由此能求出 g( +…+g( )的值.
3 2



解答: 解:∵f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) , 2 ∴f′(x)=3ax +2bx+c,f''(x)=6ax+2b, ∵f″(x)=6a×(﹣ )+2b=0, ,f(﹣ ) )对称,即①正确;

∴任意三次函数都关于点(﹣

∵任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心, ∴存在三次函数 f′(x)=0 有实数解 x0,点(x0,f(x0) )为 y=f(x)的对称中心,即②正确; 任何三次函数都有且只有一个对称中心,故③不正确; 2 ″ ∵g′(x)=x ﹣x,g (x)=2x﹣1, 令 g (x)=0,可得 x= ,∴g( )=﹣ , ∴g(x)= x ﹣ x ﹣
3 2 ″

的对称中心为( ,﹣ ) ,

∴g(x)+g(1﹣x)=﹣1, ∴g( )+g( )+…+g( )=﹣1×1006=﹣1006,故④正确.

故答案为:①②④. 点评: 本小题主要考查函数与导数等知识,考查化归与转化的数学思想方法,考查化简计算 能力,求函数的值以及函数的对称性的应用,属于难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16. (12 分) (2013 春?亳州校级期末)若( (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求展开式中的常数项; (Ⅲ)求展开式中二项式系数的最大项. 考点: 二项式定理. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用( ﹣ ) 的展开式的二项式系数和为 128,可得 2 =128,从而可求 n
n n



) 的展开式的二项式系数和为 128.

n

的值; (Ⅱ)写出展开式的通项,令 x 的指数为 0,即可求展开式中的常数项; (Ⅲ) ) ( ﹣ ) 的展开式,共 8 项,第 4 项与第 5 项的二项式系数最大,从而可求展开
7

式中二项式系数的最大项. 解答: 解: (Ⅰ)∵(
n



) 的展开式的二项式系数和为 128,

n

∴2 =128,∴n=7…(3 分)

(Ⅱ) (III) ( ﹣
7

,令

,r=1,∴常数项为﹣7…(8 分)

) 的展开式,共 8 项,第 4 项与第 5 项的二项式系数最大

∴最大项为

…(12 分)

点评: 本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,正确运用展开式的通项是关键. 17. (12 分) (2015 春?亳州校级月考)六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (l)甲不站两端; (2)甲、乙不相邻; (3)甲、乙之间间隔两人; (4)甲不站左端,乙不站右端. 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 排列组合. 分析: (1)根据题意,首先分析甲的情况,易得甲有 4 种情况,再将剩余的 5 个人进行全 排列,安排在其余 5 个位置,由分步计数原理计算可得答案; (2)根据题意,因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队;第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,由分步计数原理计算 可得答案; (3)根据题意,先把甲乙排好,再从其余的 4 人中选出 2 人放到甲乙中间,把排好的这 4 个 人看做一个整体,再与其他的 2 个人进行排列,由分步计数原理计算可得答案, (4)根据题意,首先考虑特殊,甲站右端,其他 5 人全排,甲不站右端,则甲有 4 种站法, 乙有 4 种站法,其他 4 人全排,问题得以解决. 1 解答: 解: (1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A4 5 种站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A5 种站法,根据分步计数原理,共有站 1 5 A4 A5 =480(种) . 2 方法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站,有 A5 种站法,然 4 2 4 后中间 4 人有 A4 种站法,根据分步计数原理,共有站法 A5 A4 =480(种) . 6 5 方法三:若对甲没有限制条件共有 A6 种法,甲在两端共有 2A5 种站法,从总数中减去这两 6 5 种情况的排列数,即得所求的站法数,共有 A6 ﹣2A5 =480(种) . (2)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队, 4 2 有 A4 种;第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A5 种,故共有站法 4 2 为 A4 A5 =480(种) . 2 (3)先把甲乙排好,有 A2 =2 种方法,再从其余的 4 人中选出 2 人放到甲乙中间,方法有 2 A4 =12 种. 3 把排好的这 4 个人看做一个整体,再与其他的 2 个人进行排列,方法有 A3 =6 种. 根据分步计数原理,求得甲、乙之间间隔两人的排法共有 2×12×6=144 种 5 (4)首先考虑特殊,甲站右端,其他 5 人全排,有 A5 =120 种,甲不站右端,则甲有 4 种站 4 法,乙有 4 种站法,其他 4 人全排,4×4×A4 =384 种, 根据分类计数原理得 120+384=504 种.

点评: 本题主要考查排列组合的实际应用,本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排, 特殊位置要优先排.相邻的问题用捆绑法,不相邻的问题用插空法,体现了分类讨论的数学 思想,是一个中档题目. 18. (12 分) (2013 春?亳州校级期末)证明: .

考点: 不等式的证明. 专题: 证明题. 分析: 利用数学归纳法的证题步骤证明即可.先证当 n=1 时,不等式成立;再假设当 n=k 时 不等式成立,可以分析法去证明当 n=k+1 时不等式也成立即可. 解答: 证明: (ⅰ)当 n=1 时,T1= (ⅱ)假设当 n=k 时,Tk< 则当 n=k+1 时,Tk+1=Tk+ , =1, = ,1< ,不等式成立;



+



要证:Tk+1< 只需证: +







由于



=

=





所以:

+





于是对于一切的自然数 n∈N ,都有 Tn<

*



点评: 本题考查不等式的证明,突出考查数学归纳法,考查分析法与综合法的应用,考查推 理分析与证明的能力,属于中档题. 19. (12 分) (2013?福建)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 a=2 代入原函数解析式中,求出函数在 x=1 时的导数值,直接利用直线方程 的点斜式写直线方程;

(2)求出函数的导函数,由导函数可知,当 a≤0 时,f′(x)>0,函数在定义域(0,+∝) 上单调递增,函数无极值,当 a>0 时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段, 利用原函数的单调性得到函数的极值. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , (1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx, , .

因而 f(1)=1,f′(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) , 即 x+y﹣2=0 (2)由 ,x>0 知:

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程, 考查了利用导数研究函数的极值, 考查了分类讨论得数学思想,属中档题. 20. (13 分) (2011?天津)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个 黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子 里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件与对立事件;古典概型及其概率计算公式; 离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (I) (i)甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这 2 2 些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,事件数是 C5 C3 ,摸 出 3 个白球事件数为 C3 C2 C2 ;由古典概型公式,代入数据得到结果, (ii)获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个白 球,且它们互斥,根据(i)求出摸出 2 个白球的概率,再相加即可求得结果,注意运算要正 确,因为第二问要用本问的结果. (II)连在 2 次游戏中获奖次数 X 的取值是 0、1、2,根据 上面的结果,代入公式得到结果,写出分布列,求出数学期望. 解答: 解: (Ⅰ) (i)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=,0,1,2,3) ,则 P(A3)= ,
2 1 1

(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3,又

P(A2)=



且 A2、A3 互斥,所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= (Ⅱ)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)=(1﹣ P(X=1)=C2 P(X=2)=(
1



)= (1﹣

2

, )= , ,

)=

2

所以 X 的分布列是 X012 p X 的数学期望 E(X)=0× .

点评: 此题是个中档题.本题考查古典概型及共概率计算公式,离散型随机变量的分布列数 学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 21. (14 分) (2015 春?亳州校级月考)设函数 f(x)=(x﹣1)e ﹣kx (k∈R) . (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k∈( ,1]时,求用 k 表示函数 f(x)在(0,+∞)的最小值.
x 2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. x x x 分析: (1)当 k=1 时,f′(x)=e +(x﹣1)e ﹣2x=x(e ﹣2) .令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=ln 2,列表讨论,能求出函数 f(x)的单调区间. (2)f′(x)=e +(x﹣1)e ﹣2kx=x(e ﹣2k) ,由此利用导数性质能求出函数 f(x)在(0, +∞)的最小值. x 2 解答: 解: (1)当 k=1 时,f(x)=(x﹣1)e ﹣x , x x x ∴f′(x)=e +(x﹣1)e ﹣2x=x(e ﹣2) . 令 f′(x)=0 得 x1=0,x2=ln 2. 列表如下: x (﹣∞,0) 0 (0,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可知,函数 f(x)的递减区间为(0,ln 2) ,递增区间为(﹣∞,0) , (ln 2,+∞) . x x x (2)f′(x)=e +(x﹣1)e ﹣2kx=x(e ﹣2k) , ∵ <k≤1,∴1<2k≤2, 由(1)可知 f(x)在(0,ln 2k)上单调递减,
x x x

在(ln 2k,+∞)上单调递增. ∴ .

点评: 本题考查函数的单调区间的求法,考查函数的最值的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意导数性质的合理运用.


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