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江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编


江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

集合与常用逻辑用语

2017.02

一、集合 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)已知全集为 R,集合 A={x|2x≥1},B={x|x2﹣3x+2≤0}, 则 A∩?RB=( ) A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x<1 或 x>2} D.{x|0≤x<1 或 x≥2} 2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )已知全集 U ? R ,集合

A ? x x2 ? x ? 6 ? 0 , B ? y y ? 2x ? 1 ,x ? 2 ,则 ? CU A? ? B ? (
A. ? ?3 ,3? B. ? ?1 ,2? C. ? ?3 ,2?

?

?

?

?



D. ? ?1 ,2?

3、 (南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017 届高三第四次联考)设集合

U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ? ? x ? Z | x 2 ? 5 x ? 4 ? 0? ,则 CU ? A ? B? ? (
A. ?0,1,2,3? B. ?5? C. ?1,2,4?



D. ?0, 4,5?

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)已知集合 A ? {x | x2 ? 6 x ? 5 ? 0} , B ? {x | x ? a ? 1} . 若 A ∩ B ? ? ,则 a 的取值范围为( A. (0, ??) B. [0, ??) ) C. (4, ??) D. [4, ??)

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知 R 为实数集,集合 A ? ?x | x ? 0? ,

B ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ,则 A ? (?R B) ? (
A. (0, 2] B. (?1, 2)

) C. ? ?1, 2? D. ? 0, 4?

2 6、 (江西省师大附中、 临川一中 2017 届高三 1 月联考) 已知全集 U ? R , 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 ,

?

?

? 4? x ? B ? ?x ? 0 ? ,那么集合 A ? ?CU B? ? ( ? x ?1 ?
A.



??2, 4?

B.

? ?1,3?

C.

??2, ?1?

D.

??1,3?
B ? x ln x ? 0 则,A ? B ?

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试) 设集合 A ? x ( ) A. ( ? , )

?

2 ? 2x ? 2 2
? 1? D. ? 0, ? ? 2?

?

?

?

1 1 2 2

B. (0, )

1 2

? 1 ? C. ?? ,1? ? 2 ?

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8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考) 若集合 B={x|x≥0}, 且 A∩B=A, 则集合 A 可能是 (



A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1}

D.R

9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)设集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,
2

?

?

B ? ? x | x ? 2 | ? 2? ,则 A ? B ? (
A. (?1, 0] B. [0,3)

) C. (3, 4] D. (?1,3)

10、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)定义集合

A ? x f ? x ? ? 2 x ? 1 , B ? y y ? log 2 ? 2 x ? 2 ? ,则 A ? ?R B ?
A. ?1, ?? ? B. ?0,1? C. ?0,1? D. ? 0, 2 ?

?

? ?

?

11、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试) 已知集合 A={x|y= x-4}, B={x|-1≤2x-1≤0}, 则(?RA)∩B=( A.(4,+∞) )

? 1? B.?0, ? ? 2?

?1 ? C.? ,4? ?2 ?

D.(1,4] )

12、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考) 已知集合 A ? {x | x2 ?16 ? 0} ,B ? {?5, 0,1} , 则 (

A . A? B ? ?

B .B? A

C . A ? B ? {0,1}

D.A? B

参考答案 1、C 2、D 3、D 4、A 5、A 6、D 7、D 8、A 9、B 10、B 11、B 12、C 二、逻辑用语 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考) 在 ? ABC 中, 角 A 、B 均为锐角, 则 cos A ? sin B 是 ? ABC 为钝角三角形的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 a 2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试 (二) ) 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? , 则“ 0 ? a ? 2 ” x 是“函数 f ? x ? 在 ?1 , ? ? ? 上为增函数”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3、 (上高县第二中学 2017 届高三下学期开学考试(第七次) )若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a )[ x ? ( a ? 2)] ? 0 ” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A. ( ??,0] ? [1, ??) B. ( ?1,0) C. ( ??, ?1) ? (0, ??) 4、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)下列说法正确的是( A. ?x , y ? R ,若 x ? y ? 0 ,则 x ? 1 且 y ? ?1 ) D. [ ?1,0]

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B. a ? R , “

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a
2 2

C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x ? 2 x ? 3 ? 0 ” D.设随机变量 X ~ N (1,52 ) ,若 P( X ? 0) ? P( X ? a ? 2) ,则实数 a 的值为 2 5、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)下列说法中错误的是_______(填序号) ①命题“ ?x1, x2 ? M , x1 ? x2 , 有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x2 ? x1 ) ? 0 ”的否定是 “ ?x1, x2 ? M , x1 ? x2 , 有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x2 ? x1 ) ? 0 ” ; ②已知 a>0,b>0,a ? b ? 1 ,则

2 3 ? 的最小值为 5 ? 2 6 ; a b

③设 x, y ? R ,命题“若 xy ? 0 ,则 x2 ? y 2 ? 0 ”的否命题是真命题;
2 ④已知 p : x ? 2x ? 3 ? 0 , q :

1 ? 1 ,若命题 ( ? q) ? p 为真命题,则 x 的取值 3? x

范围是 (??, ?3) ? (1, 2) ? [3, ??) . 6、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)给出下列三个命题: ①“若 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 则 x ? 1 ”为假命题; ②若 p ? q 为假命题,则 p 、q 均为假命题; ③命题 p : ?x ? R,2 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R,2 ? 0 ,其中正确的个数是(
x x



A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

7、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 若直线 l 过三角形 ABC 内心(三角形 内心为三角形内切圆的圆心) ,则“直线 l 平分三角形 ABC 周长”是“直线 l 平分三角形 ABC 面积” 的( ) 条件 B.必要不充分 D.既不充分也不必要

A.充分不必要 C.充要

8、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)下列说法正确的是 A. a ? R ,“

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a

B.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件
2 2 C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”

D.命题 p :“ ?x ? R , sin x ? cos x ? 2 ”,则 ? p 是真命题 9、(南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)下列说法正确的是( )

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A. a ? R ,“

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a

B.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” D.命题 p :“ ?x ? R , sin x ? cos x ? 2 ”,则 ? p 是真命题

o s 10、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考) 在△ ABC 中, “ A ? B ”是 “c
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件

2A ? c o s 2B ” 的 (



C .充要条件

参考答案 1、C 2、A 7、C 8、A

3、D 9、A

4、B 10、C

5、①④

6、B

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函数
A. B.y=﹣log2x

2017.02


一、选择、填空题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考) 下列函数中, 在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( C.y=3
x

D.y=x +x
x2 e
x ?1

3

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) ) 函数 y ? 的图象大致是( )

(其中 e 为自然对数的底)

A.

B.

C.

D. 有两个不等的实根 和 ,则

3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)设方程 ( A. ) B. C.

D.

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4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试).函数 y ?

sin x ( x ? 0) 的图象大致是( ln | x |



A.

B.

C.

D. )

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)函数 y ?

x 的图象不可能是( x ?a
2

6、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)已知 f ? x ? 为奇函数,函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的 图像关于直线 y ? x ? 1 对称,若 g ?1? ? 4 ,则 f ? ?3? ? ( A. ?2 B. 2 C. ) D. 4

?1

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)下列四个图中,函数 y ?

10 ln x ? 1 x ?1

的图象可能是(



8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)若 a=20.5,b=log0.25,c=0.52,则 a、b、c 三个数的大

小关系式( A.c<a<b

) B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c

9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶 函数,且在 (??, 0] 上是增函数,若不等式 f (a) ? f ( x) 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,则实数 a 的取值

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范围是( A. (??,1]

) B. [ ?1,1] C. (??,2] D. [?2,2]

??2 x( x ? 0) 10、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)已知函数 f ( x) ? ? ? x ,若关于 x 的方 ??e ( x ? 0)

程 f [ f ( x)] ? m ? 0 恰有两个不等实根 x1 、 x 2 ,则 x1 ? x2 的最小值为

.

11、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)设函数 f ( x ) 是周期为 6 的偶函数,且当 x ? [0,3] 时

f ( x) ? 3x ,则 f(2017)=
12、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)已知函数 f(x)=ln ( A.6 )=503(a+b),则 a2+b2 的最小值为( B.8 C.9 ) D.12 ,若 f( )+f( )+…+f

?10 x ? 1 ,x ? 0 13、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试 (二) ) 已知函数 f ? x ? ? ? x (e为 ?e ,x ? 0

自然对数的底) ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx 恰好有两个零点,则实数 k 的取值范围是( A. ?1 ,e ? B. ? e , 10? C. ? e , 10 ? D. ?10 , ? ? ?



14 、 ( 新 余 市 2017 高 三 上 学 期 期 末 考 试 ) 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 若

?log 2 ( x ? 1), x ? [0,1) ? , 则 关 于 x 的 方 程 f ( x)? a ? 0 ( 0? a ? 1) 的所有根之和为 f ( x) ? ? 1 2 7 x ? 3 x ? , x ? [1, ?? ) ? ?2 2
( )

a A. 1 ? ( )

1 2

a B. ( ) ? 1

1 2

C. 1 ? 2

a

D. 2 ? 1
a

15、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)函数 f(x)= +ln|x|的图象大致为(



A.

B.

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C.

D.

16、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,

f(x)=﹣x2+2x,则当 x<0 时,f(x)的解析式是( A.f(x)=﹣x(x+2) C.f(x)=﹣x(x﹣2) B.f(x)=x(x﹣2) D.f(x)=x(x+2)



17、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考)若 ( ).

f ( x) ? 1 ? 2 x, g[ f ( x)] ? 2x ? x, 则g (?1) 的值为

A. ?

1 2

B .6

C .1

D.3

二、解答题 1、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考)方便、快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。可是, 随着电动车的普及,它的安全性也越来越受到人们关注。为了出行更安全,交通部门限制电动车的 行驶速度为 24km/h。若某款电动车正常行驶遇到紧急情况时,紧急刹车时行驶的路程 S(单位:m) 和时间 t(单位:s)的关系为: S (t ) ? ? t ? t ? 5ln(t ? 1) 。
2

3 8

(Ⅰ)写出速度 v 关于时间 t 的函数,并求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间; (Ⅱ)求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内?

参考答案 一、选择、填空题 1、D 2、A 3、D 7、C 8、B 9、B 12、B 13、答案:B

4、A 5、C 10、 1 ? ln 2 11、 3

6、A

解析:过原点且与曲线 y ? e x 相切的直线斜率是 e ,作出 f ? x ? , y ? kx 图象可以看出斜率 k 的取值
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范围. 14、C 15、B 16、D 17、D 二、解答题 1、解析: (Ⅰ)? 紧急刹车后电动车的速度 v(t ) ? S ' (t )

3 5 v(t ) ? ? t ? 1 ? ,??2 分 4 t ?1
当电动车完全停止时 v(t ) ? 0 m
2

s

,令 v(t ) ? ?

3 5 t ?1? =0, 4 t ?1

得 3t ? t ? 24 ? 0 ,解得 t ? 3 或 t ? ?

8 (舍去), 3

即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s。??6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s, 又由车的速度 v(t ) ? ?

3 5 t ?1? ,??4 分 4 t ?1

∴车子正常行驶的速度为:当 t ? 0 时, v(0) ? 6 m 故在限速范围内。??12 分

s

? 21.6km / h ? 24km / h ,

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导数及其应用
一、选择、填空题

2017.02

1、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)设函数 f '( x) 是函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (0) ? 1 , 且 f ( x) ?

1 f '( x) ? 1 ,则 4 f ( x) ? f '( x) 的解集为( 3
B. (



A. (

ln 4 , ?? ) 3

ln 2 , ?? ) 3

C. (

3 , ??) 2

D. (

e , ??) 3

2、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知 f ( x ) 是定义域为 (0, ??) 的单调函数,若对任意的

? ? x ? (0, ??) ,都有 f ? f ( x ) ? log 1 x ? ? 4 ,且方程 | f ( x) ? 3|? x3 ? 6x2 ? 9x ? 4 ? a 在区间 ?0,3? 上 3 ? ?
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有两解,则实数 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 5 B. a ? 5

) C. 0 ? a ? 5 D. a ? 5

3、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)已知 f ? x ? ? x3 ? 3x ? 2 ? m

? m ? 0? ,在

区间 ? 0, 2? 上存在三个不同的实数 a, b, c , 使得以 f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 为边长的三角形是直角三角形, 则 m 的取值范围是 ( A. m ? 4 ? 4 2 C. 4 ? 4 2 ? m ? 4 ? 4 2 ) B. 0 ? m ? 2 ? 2 2 D. 0 ? m ? 4 ? 4 2

4、 (新余市 2017 高三上学期期末考试) 曲线 f ( x) ? 程为 。

f '(1) x 1 e ? f (0) x ? x 2 在点 (1, f (1)) 处的切线方 e 2

5、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)已知定义在 R 上的函数 f ( x) 和 g ( x) 分别满足

f ( x) ?

f '(1) 2 x? 2 ?e ? x2 ? 2 f (0) ? x, g ' ( x) ? 2 g ( x) ? 0 ,则下列不等式成立的是( 2
B. f (2) ? g (2015) ? g (2017) D. g (2015) ? f (2) ? g (2017)

)

A. f (2) ? g (2015) ? g (2017) C. g (2015) ? f (2) ? g (2017)

二、解答题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)已知函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1). (1)求函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数),求实数 a 的取值范围. 2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )已知 f ? x ? ? a ln x2 ? 1 ? bx 存在两个 极值点 x1 ,x2 . (1)求证: x1 ? x2 ? 2 ; (2)若实数 ? 满足等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a ? ?b ? 0 ,试求 ? 的取值范围.

?

?

3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)设函数 f ? x ? ? e ? ax ?1, 对 ?x ? R, f ? x ? ? 0 恒
x

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成立. (1)求 a 的取值集合; (2)求证: 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ln ? n ? 1? ? n ? N ? ? . . 2 3 n

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)已知函数 f ( x) ? ln x ? 2ax, a ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,求实数 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 ln x1 1 x ,若 g ( x) 有极大值点 x1 ,求证: ? 2 ? a. 2 x1 x2

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ( m 为常数) . (1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

(2)当 m ? ?

1 2 3 2 时,设 g ( x) ? f ( x) ? x 的两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 )恰为 2 2

h( x) ? 2ln x ? ax ? x2 的零点,求 y ? ( x1 ? x2 )h '(

x1 ? x2 ) 的最小值. 2

6、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)已知函数 f ? x ? ? 1 x 2 , g ? x ? ? a ln x . 2 (1)若曲线 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 x ? 1 处的切线的方程为 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求实数 a 的值; (2)设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若对任意两个不等的正数 x1 ,x2 ,都有 数 a 的取值范围; (3)若在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ? ? x0 ? ?
h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 2 恒成立,求实 x1 ? x2

1 ? g x ? g ? x 成立,求实数 a 的取值范围. ? 0? ? 0? f ? ? x0 ?

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 3mx, g ? x ? ? mx cos x ? mx . (1)讨论 f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 上的单调性; (2)若对任意 x ? 0 ,都有 f ? x ? ? g ? x ? ,求实数 m 的取值范围.

8、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 若 ?x ? D, 总有 f ( x) ? F ( x) ? g ( x), 则

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称 F ( x) 为 f ( x ) 与 g ( x) 在 D 上的一个“严格分界函数”. (1)求证: y ? e x 是 y ? 1 ? x 和 y ? 1 ? x ? (2)函数 h( x) ? 2e x ?

x2 在 (?1, 0) 上的一个“严格分界函数” ; 2

M 1 在 x ? (?1, 0) 恒成立,求 M 的 ? 2 ,若存在最大整数 M 使得 h( x ) ? 1? x 10
1

值.( e ? 2, 718 ?是自然对数的底数, 2 ? 1.414, 2 3 ? 1.260 ) 9、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx (a, b ? R ) ,

g ( x) ?

1 2 1 x ? (m ? ) x (m ? 0) ,且 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 2 m

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 (0, 2) 内有且仅有一个极值点,求 m 的取值范围;

1 (Ⅲ)设 M (x,y)( x ? m ? ) 为两曲线 y ? f ( x) ? c (c ? R) , y ? g ( x) 的交点,且两曲线在交点 M m
处的切线分别为 l1 , l2 .若取 m ? 1 ,试判断当直线 l1 , l2 与 x 轴围成等腰三角形时 c 值的个数并说明理 由.

10、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试) 已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a ? b(a, b ? R, a ? 1) ,e 是 自然对数的底数. (1)当 a ? e, b ? 4 时,求整数 k 的值,使得函数 f ( x) 在区间 (k , k ? 1) 上存在零点; (2)若存在 x1 , x2 ?[?1,1], 使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,试求 a 的取值范围.

11、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考)已知函数 f ? x ? ? ln x ? (1)判断函数 f ( x) 在区间 e ?2 ,??) 上的零点个数; (2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 0 . 且在 ?1, e? ? e ? 2.71828...? 上存在一点 x0 ,使得 x0 ?

a ?a ? R? . x

?

1 ? mf ? x0 ? 成立.求实数 m x0

参考答案
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一、选择、填空题 1、B 提示:观察 3 f ( x) ? f ?( x) ? 3 ,由已知可设函数 f ( x) ? 2e3x ?1 . 2、A 3、D 4、y= ex ?

1 2

5、D

二、解答题 1、解:(1)∵f(x)=ax+x2﹣xlna, ∴f′(x)=axlna+2x﹣lna, ∴f′(0)=0,f(0)=1 即函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为 0, ∴图象在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1; (2)由于 f'(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna ①当 a>1,y=2x 单调递增,lna>0,所以 y=(ax﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(ax﹣1)lna 单调递 增, ∴2x+(ax﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0),所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 0<a<1,y=2x 单调递增,lna<0,所以 y=(ax﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(ax﹣1)lna 单 调递增, ∴2x+(ax﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0),所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 综上,函数 f(x)单调增区间(0,+∞); (3)因为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1, 所以当 x∈[﹣1,1]时,|(f(x))max﹣(f(x))min| =(f(x))max﹣(f(x))min≥e﹣1, 由(2)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增, 所以当 x∈[﹣1,1]时,(f(x))min=f(0)=1, (f(x))max=max{f(﹣1),f(1)}, 而 f(1)﹣f(﹣1)=(a+1﹣lna)﹣( +1+lna)=a﹣ ﹣2lna, 记 g(t)=t﹣ ﹣2lnt(t>0), 因为 g′(t)=1+
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﹣ =( ﹣1)2≥0(当 t=1 时取等号),

所以 g(t)=t﹣ ﹣2lnt 在 t∈(0,+∞)上单调递增,而 g(1)=0, 所以当 t>1 时,g(t)>0;当 0<t<1 时,g(t)<0, 也就是当 a>1 时,f(1)>f(﹣1); 当 0<a<1 时,f(1)<f(﹣1) ①当 a>1 时,由 f(1)﹣f(0)≥e﹣1? a﹣lna≥e﹣1? a≥e, ②当 0<a<1 时,由 f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1? +lna≥e﹣1? 0<a≤ ,

综上知,所求 a 的取值范围为 a∈(0, ]∪[e,+∞). 2ax bx2 ? 2ax ? b 2、.解: (1)∵ f ' ? x ? ? 2 , ?b ? x ?1 x2 ? 1 ∴结合题意, x1 ,x2 为一元二次方程 bx 2 ? 2ax ? b ? 0 的两根,??????????2 分
a ?a? 于是, ? ? 4a 2 ? 4b2 ? 0 且 b ? 0 ,可得: ? ? ? 1 ? ? 1 , b ?b?
2

∴ x1 ? x2 ? ?

2a a , x1 ? x2 ? 2 ? 2 .????????????5 分 b b

(2)由(1)可得 x1 x2 ? 1 , ∵ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a ? a ln x12 ? 1 ? bx1 ? a ln x22 ? 1 ? bx2 ? a
2 2 2 2 ? ? a ln ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1? ? b ? x1 ? x2 ? ? a
2 ? a ln ?1 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 1? ? a ? ?

?

?

?

?

? a ln x1 ? x2 ? a ? 2a ln x1 ? x2 ? a ? 2a ln

2

2a ?a, b

∴由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a ? ?b ? 0 得 2a ln

2a ? a ? ? b ? 0 ,整理可得 b

??

a 2a 2a ? ln ,??????????????7 分 b b b

1 令, ? ? t ? t ln t . 2
?1 ? 1 x ? x ln x ,x ? 2 ? x ? ln x ,x ? 2 ? ? ?2 ? 2 设函数 y ? ? ,求导得: y ' ? ? ,所以 y ' ? 0 , ? 1 x ? x ln ? ? x ? ,x ? ?2 ?? 1 ? ln ? ? x ? ,x ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ?1 ? x ln x ,x ? 2 ? ?2 函数 y ? ? 在 ? ?? , ? 2 ? 和 ? 2 ,? ?? 上为减函数,??????11 分 ? 1 x ? x ln ? ? x ? ,x ? ?2 ? ?2
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该函数的值域为 ? ?? , 1 ? 2ln 2? ? ? ?1 ? 2ln 2 ,? ? ? , 因此 ? 的取值范围为 ? ?? , 1 ? 2ln 2? ? ? ?1 ? 2ln 2 ,? ? ? .????????12 分 3、 (解: (1) f ( x) ? e x ? ax ? 1 , f ?( x) ? e x ? a ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 (不恒为 0), f ( x) 在 R 上单调递增,又 f (0) ? 0 ,所以当 x ? (??,0), f ( x) ? 0 , 不合题意,舍去; ②当 a ? 0 时, x ? (??, ln a), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减, x ? (ln a,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递 增, f ( x) min ? f (ln a) ? a ? a ln a ? 1 ,则需 a ? a ln a ? 1 ? 0 恒成立. 令 g (a) ? a ? a ln a ? 1 , g ?(a) ? ? ln a , 当 a ? (0,1) 时 , g ?(a) ? 0, g (a) 单 调 递 增 , 当

a ? (1,??) 时 , g ?(a) ? 0, g (a) 单调递减 , 而 g (1) ? 0 , 所以 a ? a ln a ? 1 ? 0 恒成立 . 所以 a 的取值

1? . 集合为 ?

??????????????????????7 分
1 ,则 n

(2)由(1)可得 e x ? x ? 1 ? 0( x ? 0) , x ? ln(x ? 1)(x ? 0) ,令 x ?

1 1 n ?1 ? ln( ? 1) ? ln ? ln( n ? 1) ? ln n ,所以 n n n 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) ? ln( n ? 1)( n ? N ? ) 2 3 n ??????????????????????????????12 分

4、 (1)因为 f ?( x) ?

1 ? 2a, x ? 0 ?????????????????????1 分 x

因为函数 y ? f ( x) 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线, 所以 f ?( x) ? 2 在 (0, ??) 上有解???????????????????????2 分 即

1 1 ? 2a ? 2 在 (0, ??) 上有解,也即 2 ? 2a ? 在 (0, ??) 上有解, x x

所以 2 ? 2a ? 0 ,得 a ? ?1 故所求实数 a 的取值范围是 (?1, ??) ?????????????????????4 分 (2)因为 g ( x) ? f ( x) ? 因为 g ?( x) ? x ?

1 2 1 2 x ? x ? ln x ? 2ax 2 2

1 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a ? ????????????????????5 分 x x

①当 ?1 ? a ? 1 时, g ( x) 单调递增无极值点,不符合题意????????????6 分
2 ②当 a ? 1 或 a ? ?1 时,令 g ?( x) ? 0 ,设 x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根为 x1 和 x2 ,

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因为 x1 为函数 g ( x) 的极大值点,所以 0 ? x1 ? x2 , 又 x1 x2 ? 1, x1 ? x2 ? 2a ? 0 ,所以 a ? 1,0 ? x1 ? 1 , 所以 g ?( x1 ) ? x1 ? 2ax1 ?
2

1 x 2 ?1 ???????????????8 分 ? 0 ,则 a ? 1 x1 2 x1

要证明

ln x1 1 ? 2 ? a ,只需要证明 x1 ln x1 ? 1 ? ax12 x1 x1
2

因为 x1 ln x1 ? 1 ? ax1 ? x1 ln x1 ?

x13 ? x1 x3 1 ? 1 ? ? 1 ? x1 ? x1 ln x1 ? 1 , 0 ? x1 ? 1, 2 2 2

x3 1 ? x ? x ln x ? 1 , x ? (0,1) ?????????????????9 分 令 h( x ) ? ? 2 2
所以 h?( x) ? ?

3x 2 1 3x 2 1 ? ? ln x ,记 p( x) ? ? ? ? ln x , x ? (0,1) , 2 2 2 2 1 1 ? 3x 2 ? x x

则 p?( x) ? ?3x ? 当0 ? x ?

3 3 时, p?( x) ? 0 ,当 ? x ? 1时, p?( x) ? 0 , 3 3 3 3 ) ? ?1 ? ln ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ???????????11 分 3 3

所以 p( x) max ? p(

所以 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,所以 h( x) ? h(1) ? 0 ,原题得证????????12 分

1 1 ? mx ?m? ,x ? 0, x x 1 1 当 m ? 0 时,由 1 ? mx ? 0 ,解得 x ? ? ,即当 0 ? x ? ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;由 m m 1 1 1 ? mx ? 0 解得 x ? ? ,即当 x ? ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; m m 1 当 m ? 0 时, f '( x ) ? ? 0 ,即 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; x
5、解: (1) f '( x) ? 当 m ? 0 时, 1 ? mx ? 0 ,故 f '( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增. 所以当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?

1 1 ) ,单调递减区间为 ( ? , ?? ) ; m m

当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . (2)由 g ( x) ? ln x ? mx ?
2

1 2 1 x 2 ? mx ? 1 x 得 g '( x) ? ? m ? x ? , 2 x x

由已知 x ? mx ? 1 ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 ,
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由根与系数的关系得 x1 ? x2 ? ?m , x1 x2 ? 1 , 因为 x1 , x2 ( x1 ? x2 )是 h( x) 的两个零点,故 h( x1 ) ? 2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 ①

h( x2 ) ? 2ln x2 ? x22 ? ax2 ? 0 ②
由② ? ①得: 2ln

x2 ? ( x2 2 ? x12 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 0 , x1

x2 x1 解得 a ? ? ( x2 ? x1 ) , x2 ? x1 2 ln
因为 h '( x ) ?

2 x ?x x ?x 4 ? 2 x ? a ,得 h '( 1 2 ) ? ? 2? 1 2 ? a , x 2 x1 ? x2 2

x2 x1 将a ? ? ( x2 ? x1 ) 代入得 x2 ? x1 2 ln x x ? ? 2 ln 2 2 ln 2 ? ? x1 x ?x x ?x x1 4 4 ? h '( 1 2 ) ? ? 2? 1 2 ? ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? ? 2 x1 ? x2 2 x2 ? x1 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? ? ? ? ?

x ? ? ( 2 ? 1) ? ? x x 2 ? x2 2( x2 ? x1 ) ? 2 ?ln 2 ? 2 1 ?, ?? ?ln ? ??? x2 x2 ? x1 ? x1 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 ?1 ? ? ? x ? 1 ? x2 ? ? ? 1? ? x1 ? x2 x2 x1 ?, 所以 y ? ( x1 ? x2 )h '( ) ? 2 ?ln ? 2 x2 2 ? x1 ? 1? ? ? x1 ? ?
设t ?

9 x2 ? 1 ,因为 ( x1 ? x2 ) 2 ? x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ? m 2 ? , 2 x1
2 2

所以 x1 ? x2 ? 所以 t ? ?

5 x 2 ? x2 2 x1 x2 5 ,所以 1 ? ? ? , 2 x1 x2 x2 x1 2

1 t

5 ,所以 t ? 2 . 2

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构造 F (t ) ? ln t ? 2 则 F (t ) ? ln t ? 2 所以 F ( x) min

t ?1 1 4 (t ? 1)2 ,得 F '(t ) ? ? ? ?0, t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2

t ?1 在 [2, ??) 上是增函数, t ?1 x ?x 2 4 ? F (2) ? ln 2 ? ,即 y ? ( x1 ? x2 )h '( 1 2 ) 的最小值为 2 ln 2 ? . 3 2 3

6、 (1)由 y ? f ? x ? ? g ? x ? ? 1 x 2 ? a ln x ,得 y ? ? x ? a , 2 x 由题意, 1 ? a ? 3 ,所以 a ? ?2 . (2) h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 1 x 2 ? a ln x , 2 因为对任意两个不等的正数 x1 ,x2 ,都有
h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 2, x1 ? x2

????????????(1 分)

设 x1 ? x2 ,则 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ,即 h ? x1 ? ? 2x1 ? h ? x2 ? ? 2x2 恒成立, 问题等价于函数 F ? x ? ? h ? x ? ? 2 x ,即 F ? x ? ? 1 x 2 ? a ln x ? 2 x 在 ? 0, ?? ? 为增函数.??(3 分) 2 所以 F ? ? x ? ? x ? a ? 2≥0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,即 a≥2 x ? x 2 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, x 所以 a≥ 2 x ? x2

?

?

max

? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? .???????????(5 分)
1 ? g x ? g ? x 等价于 x ? 1 ? a ln x ? a , ? 0? ? 0? 0 0 x0 x0 f ? ? x0 ?

(3)不等式 f ? ? x0 ? ?

整理得 x0 ? a ln x0 ? 1 ? a ? 0 . x0 设 m ? x ? ? x ? a ln x ? 1 ? a ,由题意知,在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 m ? x0 ? ? 0 .???(6 分) x 由 m? ? x ? ? 1 ? a ? 1 ?2a ? x x

x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1 ? a)( x ? 1) . ? x2 x2

因为 x ? 0 ,所以 x ? 1 ? 0 ,即令 m? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ? a .????????????(7 分) ① 当 1 ? a ≤ 1 ,即 a ≤ 0 时, m ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 只需 m ?1? ? 2 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 . ??????????????????(8 分) ② 当 1 ? 1 ? a ≤ e ,即 0 ? a ≤ e ? 1时, m ? x ? 在 x ? 1 ? a 处取最小值. 令 m ?1 ? a ? ? 1 ? a ? a ln(1 ? a) ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ? 1 ? a ln(a ? 1) ,可得 a ? 1 ? 1 ? ln(a ? 1) . a 考查式子 t ? 1 ? ln t , t ?1 因为 1 ? t ≤ e ,可得左端大于 1,而右端小于 1,所以不等式不能成立.?????(10 分)

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③ 当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, m ? x ? 在 ?1,e? 上单调递减,
2 只需 m ? e ? ? e ? a ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? e ? 1 . e e ?1

2 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? ? e ? 1 , ?? .

? e ?1 ?

??????????(12 分)

7、 【解析】 (1) f ? ? x ? ? cos x ? 3m ,

1 时, f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 上为减函数; 3 1 当 m ? ? 时, f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 上为增函数; 3 1 1 当 ? ? m ? 时,则存在 x0 ? ? 0, ? ? 使得 cos x0 ? 3m ,因此 f ? x ? 在区间 ?0, x0 ? 上为增函数,在 3 3
当m ? 区间 ? x0 , ? 上为减函数. (2) f ( x) ? g ( x), x ? 0 ? sin x ? 2mx? mxcos x ? 0, x ? 0

?

? sin x ? ? ? 2 ? cos x ? ? ? mx ? ? 0, x ? 0 , (*) ? 2 ? cos x ?
设 h ? x? ? 则 h? ? x ? ?

sin x ? mx ? x ? 0 ? , 2 ? cos x

2cos x ? 1

? 2 ? cos x ?
2

2

1 1 ? ? ? ? ? m ? ?3 ? ? ? 2? ??m ? 2 ? cos x ? ? 2 ? cos x ?

2

1 1? 1 ? ? ?3 ? ? ? ? ?m ? 2 ? cos x 3 ? 3
①当

1 1 ? m ? 0 即 m ? 时, h? ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? 在 ?0, ??? 递减,所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,因此(*) 3 3

恒成立; ②当 m ? 0 时,取 x ? ③当 0 ? m ?

?
2

,则有 h ? x ? ?

1 ? ? m ? 0 ,因此(*)不恒成立; 2 2

1 时,则由(1)可知存在 x0 ? ? 0, ? ? 使得 f ? x ? 在 ? 0, x0 ? 递增, 3

所以 f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,即 sin x ? 3mx , 因此当 x ? ? 0, x0 ? 时, h ? x ? ?

sin x ? mx ? 0 ,因此(*)不恒成立, 3

综上,实数 m 的取值范围是 [ ,?? ) . 8、解: (1)证明:令 ? ( x) ? ex ? 1 ? x, ,

1 3

[

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? '( x) ? ex ? 1 .
当 x ? 0 时, ? '( x) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 (?1,0) 上为减函数, 因此 ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,故 e x ? 1 ? x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2(分) 再令 t ( x) ? ex ? 1 ? x ?

x2 ,当 x ? 0 时, t ' ( x) ? e x ? 1 ? x ? 0 , 2 x2 , 故 y ? ex 是 y ? 1 ? x 和 2

故 t ( x ) 在 区 间 (? 1, 0)上 为增 函 数. t ( x) ? t (0) ? 0 , 所 以 ex ? 1 ? x ?

y ? 1? x ?

x2 在 (?1, 0) 上的一个“严格分界函数” · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5(分) 2
1 1 ? 2 ? 2(1 ? x) ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 0.828 . 1? x 1? x

(2)由(1)知 h( x) ? 2e x ? 又 h( x) ? 2ex ?

1 x2 1 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分) ? 2 ? 2(1 ? x ? ) ? ? 2 ? x2 ? 2 x ? 1? x 2 1? x 1? x 1 1 1 ? ( x ? 1) 2 ? ? 1, m' ( x) ? 2( x ? 1) ? , m' ( x) ? 0, 令 m( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1? x 1? x (1 ? x) 2
解得 x0 ? ?1 ? ( ) 3 ,易得 m( x) 在 (?1, ?1 ? ( ) 3 ) 单调递减,在 (?1 ? ( ) 3 , 0) 单调递增,则
1 1 1 1 2 33 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9(分) (m( x))min ? m(?1 ? ( ) 3 ) ? ( ) 3 ? 2 3 ? 1 ? ? 1 ? 0.890 · 2 2 2

1 2

1

1 2

1

1 2

1

又 h ' ( x ) ? 2e x ?

1 在 x ? (?1, 0) 存在 x0 使得 h' ( x0 ) ? 0 ,故 h( x) 在 x ? (?1, 0) 上先减后增,则有 (1 ? x) 2

h( x)min

1 1 1 1 3 ? h(?1 ? ( ) ) ? m(?1 ? ( ) 3 ) ? 0.890 ,则 0.828 ? h (x ) 2 2

min

?0.890 ,所以 h( x ) min ?

M , 10

则M ? 8· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12(分)

a ? b ,∴ f ?(1) ? a ? b ? 1 ,又 f (1) ? b ? 0 ,∴ a ? 1, b ? 0 . x 1 1 1 1 (Ⅱ) h( x) ? ln x ? x 2 ? (m ? ) x ; ∴ h?( x) ? ? x ? ( m ? ) 2 m x m 1 1 由 h?( x) ? 0 得 ( x ? m)( x ? ) ? 0 , ∴ x ? m 或 x ? . m m 1 1 ? 2 ? m 时,函数 h( x) 在区间 (0, 2) 内有且仅有一个极 ∵ m ? 0 ,当且仅当 0 ? m ? 2 ? 或 0 ? m m
9、解:(Ⅰ) f ?( x) ? 值点. 若0 ? m ? 2 ?

极大值点 x ? m , 若0 ?

1 1 ,即 0 ? m ? ,当 x ? (0, m) 时 h?( x) ? 0 ;当 x ? (m, 2) 时 h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 有 m 2

1 1 1 ? 2 ? m ,即 m ? 2 时,当 x ? (0, ) 时 h?( x) ? 0 ;当 x ? ( ,2) 时 h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 有 m m m

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1 1 ? , 综上, m 的取值范围是 ? ?m | 0 ? m ? 或m ? 2? . m 2 ? ? (Ⅲ)当 m ? 1 时,设两切线 l1 , l2 的倾斜角分别为 ? , ? , 1 an? = g ?( x) ? x ? 2 , ∵ x ? 2 , ∴ ? , ? 均为锐角, 则 tan ? ? f ?( x) ? ,t x
极大值点 x ? 当 ? ? ? ,即 2 ? x ? 1 ? 2 时,若直线 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三角形,则 ? ? 2? ; 当 ? ? ? ,即 x ? 1 ?

2 时,若直线 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三角形,则 ? ? 2? .

1 2( x ? 2) 2 tan ? = 由 ? ? 2? 得, tan ? ? tan 2? ? ,得 , x 1 ? ( x ? 2) 2 1 ? tan 2 ?
即 3x 形.
2

? 8x ? 3 ? 0 ,此方程有唯一解 x ?

4? 7 ? (2,1 ? 2) ,l1 , l2 能与 x 轴围成一个等腰三角 3

1 x 2 tan ? 由 ? ? 2? 得, tan ? ? tan 2? ? ,得 x ? 2 ? 2 1 1 ? tan ? 1? 2 x 3 2 2 设 F ( x) ? x ? 2 x ? 3x ? 2 , F ?( x) ? 3x ? 4 x ? 3 , 2?
于 F(

,即 x

3

? 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,

当 x ? (2, ??) 时, F ?( x) ? 0 ,∴ F ( x) 在 (2, ??) 单调递增,则 F ( x) 在 (1 ? 2, ??) 单调递增,由

5 ) ? 0 ,且 1 ? 2 ? 5 ,所以 F (1 ? 2) ? 0 ,则 F (1 ? 2) F (3) ? 0 , 2 2
3 2

即方程 x ? 2 x ? 3x ? 2 ? 0 在 (2, ??) 有唯一解,直线 l1 , l2 能与 x 轴围成一个等腰三角形. 因此,当 m ? 1 时,有两处符合题意,所以 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三角形时, c 值的个数有 2 个. 10、解: f ( x) ? e x ? x 2 ? x ? 4 ,? f '( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,? f '(0) ? 0 当 x ? 0 时, e x ? 1 ,? f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 是 (0, ??) 上的增函数, 同理 f ( x) 是 (??,0) 上的减函数,

f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? e ? 4 ? 0, f (2) ? e2 ? 2 ? 0 ,且 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,
故当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的零点在(1,2)内,? k ? 1 满足条件. 同理,当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的零点在(-2,-1)内,? k ? ?2 满足条件, 综上 k ? 1, ?2 .....................5 分 (2)问题 ? 当 x ? [?1,1] 时, | f ( x)max ? f ( x)min |? f ( x)max ? f ( x) min ? e ? 1 ,

f '( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ? 1)ln a
①当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a x ? 1 ? 0,ln a ? 0,? f '( x) ? 0 ; ②当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a x ? 1 ? 0,ln a ? 0,? f '( x) ? 0 ; ③当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,? f ( x) 在 [?1,0] 上递减, [0,1] 上递增,

?当 x ? [?1,1] 时, f ( x)min ? f (0), f ( x)max ? max{ f (?1), f (1)} ,
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而 f (1) ? f (?1) ? a ?

1 1 ? 2ln a ,设 g (t ) ? t ? ? 2ln t (t ? 0), a t

? g '(t ) ? 1 ?

1 2 1 , ? ? ( ? 1)2 ? 0 (仅当 t ? 1时取等号) 2 t t t

? g (t ) 在 (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 ,

?当 t ? 1时, g (t ) ? 0 即 a ? 1 时, a ?

1 ? 2ln a ? 0 , a

? f (1) ? f (?1),? f (1) ? f (0) ? e ? 1 即 a ? ln a ? e ? 1 ? e ? ln e ,
构造 h(a) ? a ? ln a(a ? 1) ,易知 h '(a) ? 0 ,? h(a) 在 (1, ??) 递增,

?a ? e ,即 a 的取值范围是 [e, ??) .....................12 分
11、 【解析】 (1)令 f ( x) ? ln x ?

记 H ( x) ? x ln x, x ? e ?2 ,??) , H ' ( x) ? 1 ? ln x, 由此可知

?

a ?2 ? 0 , x ? e ,??) x

?

得 ? a ? x ln x

H ( x ) 在 e ?2 , e ?1 上递减,在 (e ?1 ,??) 上递增,
且 H (e ?2 ) ? ?2e ?2 , H (e ?1 ) ? ?e ?1 , x ? ?? 时 H ( x) ? ??

?

?

1 时, f ( x) 在 e ?2 ,??) 无零点 e 1 2 a ? 或a ? 2 时, f ( x) 在 e ?2 ,??) 恰有一个零点 e e 2 1 ? a ? 时, f ( x) 在 e ?2 ,??) 有两个零点??5 分 e2 e 1 a (2) f ( x) 的定义域为 (0,??), ? 0, ?? ? ,? f ' ? x ? ? ? 2 ,函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于直线 x x
故a ?

?

?

?

2 x ? y ? 0 .? f ? ?1? ? 1 ? a ? 2,?a ? ?1 .

, ?? e ? 若 在 ?1 e
h ? x? ? x ?

2. 71? 8上 2 8存 . .在 . 一 点 x0 , 使 得 x0 ?


1 ? mf ? x0 ? 成 立 , 构 造 函 数 x0
的 最 小 值 小 于

1 1 m ? mf ? x ? ? x ? ? m ln x ? x x x

?1, e?



零. h ' ? x ? ? 1 ?

1 m m x 2 ? mx ? m ? 1 ? x ? 1?? x ? m ? 1? , ? ? ? ? x2 x x2 x2 x2

① 当 m ? 1 ? e 时 , 即 m ? e ? 1 时 , h ? x ? 在 ?1, e? 上 单 调 递 减 , 所 以 h ? x ? 的 最 小 值 为 h ? e ? , 由

h ?e? ? e ?

1? m e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 ? m ? 0 可得 m ? ,? ; ? e ? 1,? m ? e e ?1 e ?1 e ?1

第 21 页 共 99 页

② 当 m ? 1 ? 1 时 , 即 m ? 0 时 , h ? x ? 在 ?1, e? 上 单 调 递 增 , 所 以 h ? x ? 的 最 小 值 为 h ?1? , 由

h ?1? ? 1 ?1 ? m ? 0 可得 m ? ?2 ;
③ 当 1 ? m ?1 ? e 时 , 即

0 ? m ? e ?1 时 , 可 得 h ? x?

的 最 小 值 为 , 此

h ?1? m? ,?0 ? ln ?1 ? m? ? 1,?0 ? m ln ?1? m? ? m, h ?1? m? ? 2 ? m ? m ln ?1? m? ? 2
时, h ?1 ? m? ? 0 不成立.综上所述:可得所求 m 的范围是 m ?

e2 ? 1 或 m ? ?2 .?12 分 e ?1

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

平面向量
一、选择、填空题

2017.02

1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考) 已知点 O 为 ? ABC 的外心,且 BA ? 2, BC ? 6 ,则 BO ? AC = ( A.-32 ) B.-16 C.32 D.16

??? ?

??? ?

??? ? ????

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )在正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中
??? ? 点,点 F 是 BC 的一个三等分点(靠近点 B ) ,那么 EF ? (

) D.

A.

? 1 ???? 1 ??? AB ? AD 2 3

B.

? 1 ???? 1 ??? AB ? AD 4 2

? 1 ???? 1 ??? C. AB ? AD 3 2

? 2 ???? 1 ??? AB ? AD 2 3
绕其起点

3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)已知对任意平面向量 沿逆时针方向旋转 角得到向量

=(x,y),把

, 叫做把点 B 绕点 A 逆时

针方向旋转 角得到点 P.设平面内曲线 C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点的轨迹 是曲线 ,则原来曲线 C 的方程是___ .

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)已知 O 为 ?ABC 内一点,且 AO ?

????

? ???? 1 ??? (OB ? OC ) , 2

???? ???? AD ? t AC ,若 B, O, D 三点共线,则 t 的值为(
A.



1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

第 22 页 共 99 页

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)在边长为 1 的正方形 ABCD 中, 2 AE ? EB , BC 的中 点为 F , EF ? 2FG ,则 EG ? BD ? 6 、( 江 西 省 师 大 附 中 、 临 川 一 中 2017 届 高 三 1 月 联 考 ) 在 直 角 ?ABC 中 , ?BCA ? 900 , CA ? CB ? 1 , P 为 AB 边上的点 AP ? ? AB , 若 值是( A. ) B.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

, 则 ? 的最大

2? 2 2

2? 2 2

C.

1

D.

2
? ?

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)非零向量 a, b 夹角为 60? ,且 a ? b ? 1,则 a ? b 的取值范 围为 8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)已知向量 a , b ,那么

? ?

? ?

?

?

? ? 1 ? (2a ? 4b) ? 2b 等于( 2



? ? A. a -2 b

? ? B. a -4 b

? C. a

? D. b

9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 已知向量 a, b 满足: | a |?| b |? 1 ,且

? ?

?

?

? ? 1 ? ? ? ? a ? b ? ,若 c ? xa ? yb ,其中 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ? 2 ,则 | c | 最小值是 2 r r ? ? ? ? 10、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)已知向量 a, b 满足 | a |? 2, a ? (b ? a) ? ?3 ,则 r r b 在 a 方向上的投影为
A. ?
2 3

B.

2 3

C. ?

1 2

D.

1 2

? ? ? 11、(南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)已知向量 a, b 的夹角为 120 ,且 | a |= 1 , | b |= 2 ,则
向量 a ? b 在向量 a 方向上的投影是( A.0 B.
2 3

) C.-1 D.
1 2

12、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考)已知点 A(1,0) ,点 B 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上运动,若 点 C 满足 2OC ? OA ? OB ,则点 C 的轨迹是( )

A .直线

B .圆

C .抛物线

D .椭圆

二、解答题 1、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )在 △ ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分

第 23 页 共 99 页

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 别为 a ,b ,c ,且 ? c ? 2a ? AB ? BC ? cBC ? AC .
(1)求角 B 的大小; (2)已知 f ? x ? ? cos x ? a sin x ? 2cos x ? ? 1 ,若对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? ? f ? B ? ,求函数 f ? x ? 的 单调递减区间.

b ? ( 3 sin x,? ) , 2、 (江西省师大附中、 临川一中 2017 届高三 1 月联考) 已知向量 a ? (cos x,?1) ,
a ? 2. 函数 f ? x ? ? a ? b ?
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过点 ( A,

?

?

?? ? ?

?

1 2

1 ), 2

??? ? ??? ? b、a、c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

参考答案 一、选择、填空题 1、D 2、答案:D
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? 解析:在 △CEF 中, EF ? EC ? CF ,因为点 E 为 DC 的中点,所以 EC ? DC ,因为点 F 为 BC 的 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? 2??? ? 1??? ? 2???? 一个三等分点,所以 CF ? CB .所以 EF ? EC ? CF ? DC ? CB ? AB ? AD ,故选 D. 3 2 3 2 3

3、xy =-1 7、 (1, 3]

4、B 8、C

5、 ?

1 4

6、C 10、D 11、A 12、B

9、 3

二、解答题 1、

第 24 页 共 99 页

a 又 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ,周期为 ? ,??????????9 分 2 5? ? ? ?? 在 x ? 所在周期内,递减区间为 ? , ? , 6 ? 3 ?3

? 5? ? ? 所以函数 f ? x ? 的递减区间是 ? k? ? ,k? ? , k ? Z .??????12 分 3 6 ? ? ?
2、试题解析:

? ? ? 1 3 ?? ? ? ? ? f ? x ? ? a ? b ?a ? 2 ?| a | 2 ?a ? b ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin? 2 x ? ? 2 2 6 ? ????(3 分) ?

?

?

(1)最小正周期: T ? 由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

2? ? ? , ????????????(4 分) 2

? 2 k? ?

?

2

(k ? Z ) 得: k? ?

?

所以 f ( x ) 的单调递增区间为: [k? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? ) ?

?
3

, k? ?

?
6

3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z )

](k ? Z ) ; ??????????(6 分)

?

6

1 ? ? 5? ? ? 2k? (k ? Z ) 所以 A ? , ?? 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6 6 3

(8 分) 又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c , 而 AB ? AC ? bc cos A ?

??? ? ????

1 bc ? 9,? bc ? 18 ????????(10 分) 2

? cos A ?

1 (b ? c)2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 , ? a ? 3 2 . ??????(12 分) 2 2bc 36 12

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

三角函数
第 25 页 共 99 页

2017.02

一、选择、填空题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考).△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b, c 成等比数列,若 sinB= ,cosB= ,则 a+c 的值为

?x ? y ? 2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )设 x , y 满足约束条件 ? y ? 4 x ? 3 , ? x ? 0 ,y ? 0 ?

?? ? ? 若目标函数 2 z ? 2 x ? ny ? n ? 0? , z 最大值为 2,则 y ? tan ? nx ? ? 的图象向右平移 后的表达式为 6? 6 ?
( )

?? ? A. y ? tan ? 2 x ? ? 6? ?

?? ? B. y ? cot ? x ? ? 6? ?

?? ? C. y ? tan ? 2 x ? ? 6? ?

D. y ? tan 2 x

3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)已知 f ? x ? ? sin ? 2017 x ?

? ?

??

?? ? ? ? cos ?2017 x ? ? 6? 6? ?

的最大值为 A,若存在实数 x1 , x2 使得对任意实数 x 总有 f ? x1 ? ? f ? x ? ? f ? x2 ? 成立,则 A x1 ? x2 的最小值为( A. ) B.

?
2017

2? 2017

C.

4? 2017

D.

?
4034 3? 个单位,得 4?


4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)将函数 f ( x) ? cos 2? x 的图象向右平移 到函数 y ? g ( x) 的图象,若 y ? g ( x) 在 [ ? A.

? ?

, ] 上为减函数,则正实数 ? 的最大值为( 4 6
D.3

1 2

B.1

C.

3 2

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知 sin(? ?

1 17? ) ? ,则 cos(? ? ) 的值等于( 12 3 12
D. ?

?



A.

1 3

B.

2 2 3

C. ?

1 3

2 2 3
2

6、 (江西省师大附中、 临川一中 2017 届高三 1 月联考) 已知将函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos x ? 的图像向左平移

1 2


5? ? ? ?? 个单位长度后得到 y ? g ? x ? 的图像, 则 g ? x ? 在 ? ? , ? 上的值域为 ( 12 ? 12 3 ?
B. ? ?1, ? 2

A. ? ? ,1? ? 2 ?

? 1 ?

? ?

1? ?

C. ? ?

? ?

3 1? , ? 2 2?

D. ? ?

? 1 3? , ? ? 2 2 ?

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x( x ? R) ,又 f (? ) ? ?2 ,

第 26 页 共 99 页

f (? ) ? 0 ,且 | ? ? ? | 的最小值为
A.

1 3

B.

3 2

3? ,则正数 ? 的值是( 4 4 C. 3

) D.

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 间 [?

?

2 3

) 和函数 g ( x) ? cos(? x ? ) 在区 4 4


?

5 7 , ] 上的图像交于 A, B, C 三点,则 ?ABC 的面积是( 4 4

A.

2 2

B.

3 2 4

C. 2

D.

5 2 4

9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)为了得到函数 y ? 3cos 2 x 的图象,只需 把函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象上所有的点 A.向右平移 C.向左平移

? 6

? 个单位 3 ? 个单位 3

B.向右平移 D.向左平移

? 个单位 6 ? 个单位 6


10、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考) sin 570 ? 的值是(

A .?

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D .?

3 2

11、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,若存在 a ? (0, ? ) ,使得

f ( x ? 2a) ? f ( x) 恒成立,则 a 的值是(
A.
?
6



B.

?
4

C.

?
3

D.

? 2

二、解答题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)已知函数 f(x)=2 (1)当 x∈[0,
第 27 页 共 99 页

sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3.

]时,求 f(x)的值域;

(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = =2+2cos(A+C),求 f(B)的值.



2、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考) 已知函数





(Ⅰ)若



上单调函数,求 的取值范围;

(Ⅱ)若

时,



上的最小值为

,求

的表达式.

3、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,

a 2 ? b2 ? c2 ? ac ? bc ? ca .

(1)证明: ?ABC 是正三角形; (2)如图,点 D 的边 BC 的延长线上,且 BC ? 2CD , AD ? 7 ,求 sin ?BAD 的值.

4、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.

(1)A=60° ,a=4 3 ,b=4 2 ,求 B; (2)已知 a=3 3 ,c=2,B=150° ,求边 b 的长.
5、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对应的边分别为
a , b , c , 已知
a?b a?c ? sin( A ? B ) sin A ? sin B

(Ⅰ)求角 B ;

(Ⅱ)若 b ? 3, cos A ?

6 ,求 ?ABC 的面积. 3

6、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)在△ ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,
第 28 页 共 99 页

cos C 2a ? c ? ,且 a ? c ? 2 . cos B b
(1)求角 B ; (2)求边长 b 的最小值. 7、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , sin B ? sin C ? 的半径)且 ?ABC 的面积 S ? a 2 ? (b ? c)2 . (1)求 tan A 的值; (2)求 ?ABC 的面积 S 的最大值.

1 (其中 R 为 ?ABC 的外接圆 R

参考答案 一、选择、填空题 1、3 7 2、答案:C

2 n 解析: 作出可行域与目标函数基准线 y ? ? x , 由线性规划知识, 可得当直线 z ? x ? y 过点 B ?1 , 1? n 2 ?? n ? ? 时, z 取得最大值,即 1 ? ? 2 ,解得 n ? 2 ;则 y ? tan ? nx ? ? 的图象向右平移 个单位后得到的 6 2 6 ? ?
? ? ?? ?? ?? ? 解析式为 y ? tan ? 2 ? x ? ? ? ? ? tan ? 2 x ? ? .故答案为 C. 6 6 6? ? ? ? ? ?

3、B 7、D

4、B 8、C

5、A 9、D

6、B 10、A

11、D

二、解答题 1、解:(1)∵f(x)=2 = = sin2x﹣3 ﹣ sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3 +3 )+1,

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

第 29 页 共 99 页

∵x∈[0, ∴sin(2x+

],∴2x+ )∈[

∈[ ,1],



],

∴f(x)=2sin(2x+ (2)∵

)+1∈[0,3]; =2+2cos(A+C),

∴sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), ∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), ∴﹣sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA,即 sinC=2sinA, 由正弦定理可得 c=2a,又由 = 可得 b= a,

由余弦定理可得 cosA=

=

=



∴A=30°,由正弦定理可得 sinC=2sinA=1,C=90°, 由三角形的内角和可得 B=60°, ∴f(B)=f(60°)=2 2、解:⑴ 在 上单调. 或 ,对称轴为 , · · · ·3 分 . · · ·1 分



.又





. · · · · · · · ·5 分

⑵若

,则

, · · ·6 分



,即

时,

. · · ·8 分



,即

时,

. · · ·10 分

综上所述: 3、解: (1)由 a 2 ? b2 ? c2 ? ac ? bc ? ca

. · · · · · ·12 分

第 30 页 共 99 页

得 (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? 0 ??????????????????????3 分 所以 a ? b ? b ? c ? c ? a ? 0 ,所以 a ? b ? c ??????????????????4 分 即 ?ABC 是正三角形????????????????????????????5 分 (2)因为 ?ABC 是等边三角形, BC ? 2CD ,
o 所以 AC ? 2CD , ?ACD ? 120 ??????????????????????7 分

所以在 ?ACD 中,由余弦定理可得: AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD cos ?ACD ,
2 2 2 2 2 o 可得 7 ? 4CD ? CD ? 4CD ? CD cos120 ,解得 CD ? 1 ????????????9 分

在 ?ABC 中, BD ? 3CD ? 3 ,由正弦定理可得

BD ? sin B sin ?BAD ? ? AD

3?

3 2 ? 3 21 ???????????????????12 分 14 7

4、解:(1)由正弦定理可知:

∴b=7, 边 b 的长 7.
5、解: (Ⅰ)因为

a?b a?c ? sin( A ? B ) sin A ? sin B

所以

a?b a?c , ? c a ?b

a 2 ? c2 ? b2 ac 1 ? ? ? ,又因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? 2ac 2ac 2 3 6 3 a b (Ⅱ)由 b ? 3, cos A ? 可得 sin A ? , 由 可得 a ? 2 , ? 3 3 sin A sin B 3 ?3 2 而 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? 6 3 ?3 2 1 所以 ?ABC 的面积 S ? ab sin C ? 2 2 cos C 2sin A ? sin C ? , 即 cos C sin B ? ? 2sin A ? sin C ? cos B, 6、 (I)由已知 cos B sin B
所以 a 2 ? b 2 ? ac ? c 2 , 所以 cos B ?

sin ? B ? C ? ? 2sin A cos B,
第 31 页 共 99 页

7、 解: (1)由 S ? a 2 ? ?b ? c ? 得
2

1 bc sin A ? 2bc - 2bc cos A ??2 分 2

A 2 tan 1 A A A A 1 2 ? 8 ?6 分 sin A ? 2?1 ? cos A?, sin cos ? 4 sin 2 , tan ? ??4 分 tan A ? A 15 2 2 2 2 2 4 1 ? tan2 2 1 (2)由 sin B ? sin C ? 得 b ? c ? 2 ??7 分 R 8 8 由 tan A ? 得 sin A ? ??9 分 15 17

1 4 4 ?b?c? 4 ??11 分 S ? bc sin A ? bc ? ? ? ? 2 17 17 ? 2 ? 17
当且仅当 b ? c ? 1 时,取“=”号 于是,△ ABC 的面积 S 最大值为

2

4 .??12 分 17

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

数列
一、选择、填空题

2017.02

1、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考) 在 ?ABC 中, 已知 sin A cos (其中角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ) ,则 (

2

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B , 2 2 2


A .a,b,c 依次成等差数列

B .b,a,c 依次成等差数列 D .a,b,c 依次既成等差数列,也成等比数列

C .a,c,b 依次成等差数列
第 32 页 共 99 页

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )将正整数 12 分解成两个正整数的乘积 有 1 ? 12 ,2 ? 6 ,3 ? 4 三种,其中 3 ? 4 是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称 3 ? 4 为 12 的 最佳分解.当 p ? q ( p ? q 且 p ,q ? N* )是正整数 n 的最佳分解时,我们定义函数 f ? n ? ? q ? p ,例 如 f ?12? ? 4 ? 3 ? 1 .数列 f ? 3n ? 的前 100 项和为

?

?

. 的前 项和分别为

3、 ( 赣 中 南 五 校 2017 届 高 三 下 学 期 第 一 次 联 考 ) 等 差 数 列 , A.63 B.45 ( C.36 ) D.27

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 an?1 ? (?1) n an ? n ,则

S40 ?



5、 (江西省师大附中、 临川一中 2017 届高三 1 月联考) 已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 bn ? log2 an , n ? N? , 其中 ?bn ? 是等差数列,且 a9 a2009 ? 4 ,则 b1 ? b2 ? b3 ?? ? ? ?b2017 ? ( A. 2016 B. 2017 C. log2 2017 ) D.

2017 2

6、 (江西省师大附中、 临川一中 2017 届高三 1 月联考) 已知数列 ?an ? 为等比数列,Sn 是它的前 n 项 和,若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2a7 的等差中项为

5 ,则 S5 等于 4



7、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考) 设 Sn, 为数列{an}的前 n 项和, 若 Sn=2n﹣1, 则

的最大值为



8、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若公 差 d ? 0, (S8 ? S5 )(S9 ? S5 ) ? 0 ,则( A. | a7 |?| a8 | B. | a7 |?| a8 | ) C. | a7 |?| a8 | D. a7 ? 0

9、 ( 江 西 师 范 大 学 附 属 中 学 2017 届 高 三 12 月 月 考 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 满 足
a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, bn ? 1 (n ? N ? ), 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 则 S100 的值为( an ? 1
2



A.

101 25

B.

35 36

C.

25 101

D.

3 10

10、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)在公比大于 1 的等比数列{an}中,a3a7=72,a2+a8=

第 33 页 共 99 页

27,则 a12=( A.64

) B. 96 C.72 D.48

11、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考)已知数列 ?an ? ,若点 (n, an )(n ? N? )在经过点 (10,6) 的 定直线 l 上,则数列 ?an ? 的前 19 项和 S19 ? ( )

A . 110

B . 114

C . 119

D . 120

12、 (九江市十校 2017 届高三第一次联考)设正项等比数列 ?an ?的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,且 2

210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 ,则 an ?

二、解答题 1





九江市十校2017届高三第一次联考
*



已知首项为 学科网 的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N ), 且-2S2,S3 , 4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对于数列 ?An ? ,若存在一个区间 M ,均有 Ai ? M , (i ? 1,2,3?) ,则称 M 为数列 ?An ? 的“容值区间”。设 bn ? S n ?

3 2

1 ,试求数列 ?bn ? 的“容值区间”长度的最小值. Sn

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试 (二) ) 已知由实数组成的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 8a4 ? a7 ,S7 ? 254 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对 n ? N* , bn ?
2n ? 1

? log 2 an ? ? ? log 2 an?1 ?
2

2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

3、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试) 已知公比不为 1 的等比数列 ?an ? 的前 5 项积为 243, 且 2a3 为 3a2 和 a4 的等差中项.
第 34 页 共 99 页

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? bn?1 ? log3 an?2 ( n ? 2 且 n ? N * ) ,且 b1 ? 1 ,求数列 ? 项和 Sn .

? ( n ? 1)!? ? 的前 n ? bn ?1 ?

4、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)已知等差数列 {d n } 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? n ,且 d 2 , d 4 为等 比数列数列 ?an ? 的第 2、3 项。 (1)求 ?an ? 的通项方式; (2)设 bn ?

n 求证: b1 ? b2 ??? bn ? 2 an ,

5、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S6=9S3.

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=1+log2an,求数列{bn}的前 n 项和.
6、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 5 ,

an?2 ? 2an?1 ? an ? 1.
(1)设 bn ? an?1 ? an ,证明 ?bn ? 是等差数列,并求 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? tan bn ? tan bn?1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn 7、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考) 已知正项等比数列 {an } 满足 a1 , 2a2 , a3 ? 6 成等差
2 ? 9a1a5 . 数列,且 a4

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (1 ? log 3 an ) ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

参考答案
第 35 页 共 99 页

一、选择、填空题 1、A 2、.答案: 350 ? 1 解析:当 n 为偶数时, f 3n ? 0 ,当 n 为奇数时, f ? 3n ? ? 3 所以 S100 ? 2 30 ? 31 ? 32 ? … ? 349 ? 350 ? 1 3、D 4、提示:由条件得 a5 ? a1 , a9 ? a1 ,?, a41 ? a1 ,

? ?

n ?1 2

?3

n ?1 2

? 2?3

n ?1 2



?

?

S40 ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ?? (a40 ? a41 ) ? a41 ?
5、B 7、7 6、31 8、B 9、C 10、B 11、B

20 ? (2 ? 40) ? 420 2
1 2n

12、

二、解答题 1、 【解析】 (1) a n ?

3 1 ? ( ? ) n ?1 2 2 1 2
n

??5 分

(2)由(1)可知 S n ? 1 ? (? )

当 n 为偶数时 S n ? 1 ? ( ) ,易知 S n 随 n 增大而增大,
n

1 2

∴ S n ? ? ,1? ,此时 bn ? S n ? ? ? 2, S n ? 12 ? ?4 ? ? 当 n 为奇数时 S n ? 1 ? ( ) ,易知 S n 随 n 增大而增小,
n

?3 ?

1

?

25?

1 2

∴ S n ? ?1, ? ,此时 bn ? S n ? ? ? 2, Sn ? 6 ? ? 2? ? 又

? 3?

1

? 13?

13 25 ? 6 12

, ∴ bn ? ? 2,

? 13? ? 6? ?

??11 分

故数列 ?bn ? 的“容值区间”长度的最小值为 2、解: (1)由条件得
a1 ?1 ? 27 ? 1? 2

1 ??12 分 6

a7 ? 8 ? q 3 ? 8 ? q ? 2 .??????????2 分 a4

S7 ? 254 ?

? 254 ? a1 ?

254 ? 2 .??????????????4 分 27 ? 1

所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n ;??????????6 分

第 36 页 共 99 页

(2) bn ?

2n ? 1 n ? ? n ? 1?
2 2

?

1 1 ? ,??????????9 分 n2 ? n ? 1?2

? 1 1? 1 ? 1 ?1 1 ? ? 1 ? ? 1? 所以 Tn ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? … ? ? 2 ? .????12 分 2 2 ? ? 1 2 2 3 n ? ? ? ? n ? 1 n ? 1 ? ? ? ? ? ?

3、.解: (1)由前 5 项积为 243 得: a3 ? 3 ,设等比数列的公比为 q , 由 2a3 为 3a2 和 a4 的等差中项得: 3 ? 所以 an ? 3n?2 . (2)由 bn ? bn ?1 ? log3 an ?2 ? bn ?1 ? n ,得 bn ?

3 ? 3q ? 4 ? 3 ,由公比不为 1,解得: q ? 3 , q

bn bn?1 b ? ?… ? 2 ? b1 ? n ? (n ? 1)…2 ?1 ? n! , bn?1 bn?2 b1

数列

(n ? 1)! (n ? 1)! 1 1 1 , ? ? ? ? bn?1 (n ? 1)! (n ? 1)n n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ? ? ?…? ? ? 1? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 4、解: (Ⅰ)由 Sn ? n 2 ? n ,则
所以它的前 n 项和 Sn ? 1 ? 当 n ? 2 时, d n ? S n ? S n?1 ? 2n 且 n ? 1 满足上式 所以 a2 ? d 2 ? 4, a3 ? d 4 ? 8 所以 an ? 2n ??6 分 (Ⅱ)令 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 3 n ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2

1 1 2 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n Tn ? ? 2 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 ?Tn ? 1 ? 1 1 n ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2

1 ? 2 ? (n ? 2)( ) n ? 2 ??12 分 2
5、解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,

a1=1,S6=9S3,知 q≠1,

第 37 页 共 99 页

故有

=



即(1﹣q3)(1+q3)=9(1﹣q3), 即有 1+q3=9,即 q3=8,解得 q=2, 则 an=a1qn﹣1=2n﹣1; (Ⅱ)bn=1+log2an=1+log22n﹣1=1+n﹣1=n, 则数列{bn}的前 n 项和为 1+2+…+n= n(1+n).
6、解: (1)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 1,得 (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ?1 ,即 bn?1 ? bn ? 1 ,所以 ?bn ? 为 等差数列,且 bn ? b1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5(分) (2)因为 tan(bn ?1 ? bn ) ? 所以 cn ? tan bn ? tan bn ?1 ? 则 Sn ?

tan bn?1 ? tan bn · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8(分) ? tan1 , 1 ? tan bn ?1 tan bn
tan(n ? 4) ? tan(n ? 3) ? 1, tan1

tan(n ? 4) ? tan 4 ?n· · · · · · ·12(分) tan1 7、 解:(Ⅰ)设正项等比数列 ?a n ?的公比为 q?q ? 0?
2 2 由 a4 ? 9a1a5 ? 9a3 ? q2 ?

2 a4 ? 9 ? q ? ?3 ,因为 q ? 0 ,所以 q ? 3 . 2 a3 又因为 a1 ,2a2 , a3 ? 6 成等差数列,所以 a1 ? ?a3 ? 6? ? 4a2 ? 0 ? a1 ? 9a1 ? 6 ?12a1 ? 0 ? a1 ? 3

所以数列 ?a n ?的通项公式为 an ? 3n . (Ⅱ) 依题意得 bn ? ?2n ? 1?? 3n ,则

Tn ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n ?????

3Tn ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n ? ?2n ?1?? 3n?1 ????? 2Tn ? ?2n ?1?? 3
n?1

由?-?得

? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ?2n ? 1? ? 3n?1 ? 2 ?
2 3 n 2

?

?

所以数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ? n ? 3n?1 8、9、10、11、12、13、

32 ? 3n?1 2 ? 3 ? 2n ? 3n?1 1? 3

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

不等式
一、选择、填空题
第 38 页 共 99 页

2017.02

1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)设 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by

(a>0,b>0)的最大值为 2,当 + 的最小值为 m 时,则 y=sin(mx+ 的表达式为 .

)的图象向右平移



?x ? y ? 2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )设 x , y 满足约束条件 ? y ? 4 x ? 3 , ? x ? 0 ,y ? 0 ?

?? ? ? 若目标函数 2 z ? 2 x ? ny ? n ? 0? , z 最大值为 2,则 y ? tan ? nx ? ? 的图象向右平移 后的表达式为 6? 6 ?
( )

?? ?? ? ? A. y ? tan ? 2 x ? ? B. y ? cot ? x ? ? 6 6? ? ? ? 3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)

?? ? C. y ? tan ? 2 x ? ? 6? ?

D. y ? tan 2 x

? x ? y ? 2 ? 0, ? 4、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知 x , y 满足约束条件 ?5 x ? 3 y ? 12 ? 0, 当目标函数 ? y ? 3, ?
z ? ax ? by ( a ? 0 , b ? 0 )在该约束条件下取得最小值 1 时,则
A. 4 ? 2 2 B. 4 2 C. 3 ? 2 2

1 2 ? 的最小值为( 3a b



D. 3 ? 2

?x ? y ? 5、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x , ?6 ? x ? y ?
则 z ? x ? 2 y 的取值范围是___________ 6、 (新余市 2017 高三上学期期末考试) 若实数 x 、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,将一颗骰子投掷 两次得到的点数分别为 a 、b ,则函数 ? ? 2ax ? by 在点 (2, ?1) 处取得最大值的概率为( A.
1 5
? ?x ? y ?1 ? 0 ? ? y ?1 ? 0



B.

2 5

C.

1 6

D.

5 6

第 39 页 共 99 页

7、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)已知关于 x 的不等式 kx2﹣6kx+k+8≥0 对任意 x∈R 恒

成立,则 k 的取值范围是(

) D.k≤0 或 k≥1

A.0≤k≤1 B.0<k≤1 C.k<0 或 k>1

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最

大值为



9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)已知实数 x , y 满足 | x |? y ? 1 ,且

? 1 ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值(
A.2 B.4

) C.5 D.6

10、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)在平面直角坐标系中,点 P 是由不等式组
?x ? 0 ??? ? ???? ? O 为坐标原点, Q 是直线 2 x ? y ? 0 上任意一点, 则 | OP ? OQ | ? y ? 0 所确定的平面区域内的动点, ?x ? y ? 1 ?

的最小值为 A.
5 5

B.

2 3

C.

2 2

D. 1

?y ? 1 ? 11、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)动点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 2 y ? 5 ,点 Q 为 (1,?1) , O 为 ?x ? y ? 3 ? ???? ??? ? ???? 原点, ? OQ ? OP ? OQ ,则 ? 的最大值是( )
A. ?1 B. 1 C. 2 D. 2

二、解答题 1、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考) (1)设函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a | ,若关 于 x 的不等式 f ( x) ? 3 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
第 40 页 共 99 页

(2)已知正数 x, y , z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1,求

3 2 1 ? ? 的最小值. x y z

2、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)已知关于实数 x 的不等式是 2 x ?1 ? x ?1 ? log2a (1)当 a ? 8 时,求该不等式的解集; (2)若该不等式有解,求实数 a 的范围。

3、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)设 f ( x) ? x ?1 ? x ?1 , (x? R) (1)求证: f ( x) ? 2 ; (2)若不等式 f ( x) ?

2b ? 1 ? 1 ? b b

对任意非零实数 b 恒成立,求 x 的取值范围.

4、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)已知函数 f ? x ? ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ? x ? ? x ?1 ? 2 . (1)解不等式 g ? x ? ? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立, 求实数 a 的取值范围.

参考答案 一、选择、填空题 1、 y=sin2x 2、答案:C

2 n 解析: 作出可行域与目标函数基准线 y ? ? x , 由线性规划知识, 可得当直线 z ? x ? y 过点 B ?1 , 1? n 2 ?? n ? ? 时, z 取得最大值,即 1 ? ? 2 ,解得 n ? 2 ;则 y ? tan ? nx ? ? 的图象向右平移 个单位后得到的 6 2 6 ? ?
? ? ?? ?? ?? ? 解析式为 y ? tan ? 2 ? x ? ? ? ? ? tan ? 2 x ? ? .故答案为 C. 6 ? 6? 6? ? ? ?

第 41 页 共 99 页

3、A 7、A

4、C 8、8

5、 ? ??, ?3 9、C

?

6、D 10、A 11、D

二、解答题 1、(1) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a |?| x ? 2 ? x ? a |?| a ? 2 | ????????(2 分) ∵原命题等价于 f ( x) min ? 3 , ????????????????????(3 分) 所以 | a ? 2 |? 3 ,? a ? ?5或a ? 1. ??????????????????(5 分) (2)由于 x, y, z ? 0 ,所以

3 2 1 3 2 1 ? ? ? ( x ? 2 y ? 3z )( ? ? ) x y z x y z

?( x

3 2 1 2 ? 2y ? 3z ) ? ( 3 ? 2 ? 3)2 ? 16 ? 8 3 x y z ???????????(8 分)
x 2 y 3z ? ? ,即 x : y : z ? 3: 3 :1 时,等号成立. 3 2 1 x y z

当且仅当



3 2 1 ? ? 的最小值为 16 ? 8 3 . ????????????????(10 分) x y z
1 时 原不等式为 ?2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?3 ? x ? ?3 2
即 即 ?3 ? x ?

2、 解: (1)当 x ? 当

1 2

1 5 ? x ? 1 时,原不等式为 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ? x ? 2 3

1 ? x ?1 2

当 x ? 1 时,原不等式为 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ? x ? 3 所以该不等式解集为 x ? 3 ? x ? 3? ??5 分 (2)由题知 loga 2 ? f ( x) min

即1 ? x ? 3

?

第 42 页 共 99 页

1 ? ? ? x, x ? 2 ? 1 ? 由 f ( x ) ? ?3 x ? 2, ? x ? 1 2 ? ? x, x ? 1 ? ?
1 2 ??10 分 ? log a ?a? 2 ?? 2 2

知 f ( x ) min ? ?

1 2

3、解析: (1) f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |?| 1 ? x ? x ? 1 |? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4(分) (2) g (b) ?

| 2b ? 1 | ? | 1 ? b | | 2b ? 1 ? 1 ? b | ? ? 3, |b| |b|

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? f ( x) ? 3, 即 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 ,化简 ? ,或? ,或? , ?? 2 x ? 3 ? 2 ? 3 ?2 x ? 3
解得 x ? ? 4、

3 3 或 x ? ,即为所求· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10(分) 2 2

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

第 43 页 共 99 页

程序框图

2017.02


1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(

A.14

B.15

C.16

D.17

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )运行如图所示框图的相应程序,若输 入 a ,b 的值分别为 log 4 3 和 log 3 4 ,则输出 M 的值是( )

A.0

B.1

C.3

D. ?1

3、 (南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017 届高三第四次联考)执行如图所示的算法,则输出的结 果是( A.1 )

4 3 5 C. 4
B. D.2 4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)阅读如下程序框图,如果输出 k ? 5 ,那么空白的判断框

第 44 页 共 99 页

中应填入的条件是(



A. S ? ?25

B. S ? ?26

C. S ? ?25

D. S ? ?24

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)执行如图所示的程序框图,如果输出 T ? 6学科网 ,那么 判断框内应填入的条件是( )

A. k ? 32

B. k ? 33

C. k ? 64

D. k ? 65

6、 (江西省师大附中、 临川一中 2017 届高三 1 月联考) 按流程图的程序计算, 若开始输入的值为 x ? 3 , 则输出的 x 的值是 ( )

A. 6

B. 21

C. 156

D. 231

?2 x , x ? 0 ? 7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试) 在如图所示的程序框图中, 若函数 f ? x ? ? ?log x, x ? 0 , 则 1 ? ? 2
输出的结果是( )

第 45 页 共 99 页

A. ?2

B. 0.0625

C. 0.25

D. 4

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)关于右面两个程序框图,说法正确的是(



A.(1)和(2)都是顺序结构 B.(1)和(2)都是条件分支结构 C.(1)是当型循环结构,(2)是直到型循环结构 D.(1)是直到型循环结构,(2)是当型循环结构
9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)如果执行 如图所示的程序框图, 输入正整数 N ? N ? 2? 和实数 a1 ,a2 ,?,aN , 输出 A , B ,则( )

A. A + B 为 a1 , a2 ,?, aN 的和 B. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, aN 中最大的数和最小的数 C.

A? B 为 a1 , a2 ,?, aN 的算术平均数 2

D. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, aN 中最小的数和最大的数
第 46 页 共 99 页

10、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 2,则输 出的 x 值为 ( A.25 ) B.24 C.23 D.22

11、 (吉安一中 2017 届高三上学期期中考试)阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是(



A.计算数列{2 }前 5 项的和 n﹣1 C.计算数列{2 }前 6 项的和

n﹣1

B.计算数列{2 ﹣1}前 5 项的和 n D.计算数列{2 ﹣1}前 6 项的和

n

参考答案 1、C 2、D 3、A 4、D 5、C 6、D 7、C 8、C 9、B 10、C 11、 【解答】解:由算法的流程知,第一次运行,A=2×0+1=1,i=1+1=2; 第二次运行,A=2×1+1=3,i=2+1=3; 第三次运行,A=2×3+1=7,i=3+1=4; 第四次运行,A=2×7+1=15,i=5; 第五次运行,A=2×15+1=31,i=6; 第六次运行,A=2×31+1=63,i=7;满足条件 i>6,终止运行,输出 A=63, ∴A=1+2+22+…+25= 故选:C.
第 47 页 共 99 页

=26﹣1=64﹣1=63.

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

复数与推理
一、复数 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)若复数 z= 等于( A.2 ) B.2 C.4

2017.02

(a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i| D.8

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )已知 i 为虚数单位, a ? R ,若

? a ? 1?? a ? 1 ? i ? 是纯虚数,则 a 的值为(
A. ?1 或 1 B.1 C. ?1

) D.3

3、 2017 届高三第四次联考) (南昌市三校 (南昌一中、 南昌十中、 南铁一中) 在复平面内, 复数 ( i 是虚数单位)对应的点位于( A. 第四象限 B. 第三象限 ) C. 第二象限 D.第一象限

2?i 1? i

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)已知复数 则 a ? i 的模为( A. )

2?i (其中 a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数, a?i

5 2

B.

5 5

C.5

D. 5

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)设复数 z ? 1 ? A.1 B. 1 ? i C. ?1 ? i D. 1 ? i

1 ,则 z 的共轭复数是( i3



6、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)若复数 z ?

1? i , z 为 z 的共轭复数,则 1? i

? z?

2017

? (

) B. ?i C. ?2
2017

A. i

i

D. 2

2017

i

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)复数 Z ? ( )

3? i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 1? i

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ? i , 则复数 z 在复平面内对应的点在(
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A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4 3 9、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考) 若复数 z ? (cos? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数 (i 为 5 5
虚数单位) ,则 tan(? ? ) 的值为 4 A. ? 7 B. ?
1 7

?

C. 7

D. ? 7 或 ?

1 7

10、 (南昌市八一中学2017届高三2月测试)已知复数 z ? i (1+ i) (i为虚数单位) ,则复数 z 在复平面 上所对应的点位于 ( ) C.第三象限 D. 第四象限

A.第一象限 B.第二象限

11、 (上高县第二中学 2017 届高三下学期开学考试(第七次) )已知复数满足 1 ? 3i z ? 2 3i (为 虚数单位) ,则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?

?

参考答案 1、B 2、B 7、A 8、D

3、A 9、A

4、B 5、D 10、B 11、A

6、B

二、推理 1、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )将正整数 12 分解成两个正整数的乘积 有 1 ? 12 ,2 ? 6 ,3 ? 4 三种,其中 3 ? 4 是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称 3 ? 4 为 12 的 最佳分解.当 p ? q ( p ? q 且 p ,q ? N* )是正整数 n 的最佳分解时,我们定义函数 f ? n ? ? q ? p ,例 如 f ?12? ? 4 ? 3 ? 1 .数列 f ? 3n ? 的前 100 项和为

?

?



2、 (南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017 届高三第四次联考)如果 f ( x) 的定义域 为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立, 则称此函数具有“ P ( a ) 性质”. 给出下列命题: ①函数 y

? sin x 具有“ P(a ) 性质”;

②若奇函数 y ? f ( x) 具有“ P (2) 性质”,且 f (1) ? 1 ,则 f (2015) ? 1 ;

0) 成中心对称,且在 (?1, 0) 上单调递减, ③若函数 y ? f ( x) 具有“ P (4) 性质”, 图象关于点 (1,


y ? f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增;
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④若不恒为零的函数 y ? f ( x) 同时具有“ P (0) 性质”和 “ P(3) 性质”,且函数 y ? g ( x) 对

?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,则函数 y ? g ( x) 是周期函数.
其中正确的是 (写出所有正确命题的编号). 3、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ”时,某同 学学到了如下一种方法: 先改写第 k 项: k (k ? 1) ?

1 [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)] 3

1 由此得 1? 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) . 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) 3
. . . . . . . . . . . . .

1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] . 3 1 相加,得 1×2+2×3+. . .+n(n+1) ? n(n ? 1)(n ? 2) 3
类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4 ??? n(n ? 1)(n ? 2) ” ,其结果是__________. (结果写出关于 n 的一次因式 的积 的形式) .... .. 4、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型: 数字 1 出现在第 1 行;数字 2, 3 出现在第 2 行;数字 6,5, 4 (从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出 现在第 4 行,依此类推,則第 20 行从左至右的第 4 个数字应是 .

(14 题图)

参考答案 1、答案: 350 ? 1 解析:当 n 为偶数时, f 3n ? 0 ,当 n 为奇数时, f ? 3n ? ? 3

? ?

n ?1 2

?3

n ?1 2

? 2?3

n ?1 2



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所以 S100 ? 2 30 ? 31 ? 32 ? … ? 349 ? 350 ? 1 . 2、①③④ 3、

?

?

1 n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 4

4、194

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

立体几何

2017.02

一、选择、填空题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考) 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为 (



A.

B.

C.

D.

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )设 a ,b 是两条不同的直线,? ,? 是 两个不同的平面,则( ) B.若 a ∥ ? , ? ∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 a ∥ ? , ? ? ? ,则 a ? ?

A.若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b C.若 a ∥ b , a ? ? ,则 b ? ?

3、 ( 赣 中 南 五 校 2017 届 高 三 下 学 期 第 一 次 联 考 ) 如 图 所 示 , 在 四 边 形 A B C D中 ,

A D/ / B C, A D ?

A? ,B

? BC ?D4 5? ,

? ,0 将 ?ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BA ?D 9

BCD ,构成四面体 A ? BCD ,则在四面体中,下列说法正确的是(
A.平面 ABD ? 平面 ABC C. 平面 ABC ? 平面 BCD B.平面 ACD ? 平面 BCD D.平面 ACD ? 平面 ABC



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4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图,则 该几何体的体积为 .

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.5

B.

16 3

C. 7

D.

17 3

6、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考) 某空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为 A.

7 3

B.

8?? 3

C.

8 3

D.

7 ?? 3

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的 正方形,正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等,则该几何体的体积是( )

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A. 8 ?

? 3

B. 8 ?

? 6

C.

20 3

D.

16 3

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、

BC 的中点,过点 D1、E、F 的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分 别为 V1、V2(V1<V2),则 V1:V2=( )

9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 若一个空间几何体的三视图如右图所示, 且已知该几何体的体积为

3 ? ,则其表面积为( 6
B. ?



A.

3 ?? 3 2

3 2

C.

3 ? ?2 3 4

D.

3 ?? 3 4

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10、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)如图,正三棱柱 ABC?A1B1C1 的各条棱长均相 等,D 为 AA1 的中点.M,N 分别是线段 BB1 和线段 CC1 上的动点(含端点) ,且满足 BM=C1N.当 M,N 运动时,下列结论中不正确 的是 ... A.平面 DMN⊥平面 BCC1B1 B.三棱锥 A1?DMN 的体积为定值 C.△DMN 可能为直角三角形
[

? D.平面 DMN 与平面 ABC 所成的锐二面角范围为 (0, ] 4

11、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试) “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的 过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆 柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖) .其直观图如下左图,图中四边形是为 体现其直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同时,它 的正视图和俯视图分别可能是( )

A. a , b

B. a , c

C. c , b

D. b, d

12、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )中国古代数学名著《九章算术》中记

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载了公元前 344 年商鞅制造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图(单位:寸)如图所示,若 ? 取 3,其体积为 12.6 (立方寸) ,则图中的 x 为( )

A. 2.5

B.3

C. 3.2

D.4

二、解答题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2, BC= AD=1,CD= .

(1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值.

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )已知三棱台 ABC ? A1 B1C1 中,平面
BB1C1C ? 平面ABC , ?ACB ? 90? , BB1 ? CC1 ? B1C1 ? 2 , BC ? 4 , AC ? 6 .

(1)求证: BC1 ? 平面AA1C1C ; (2)点 D 是 B1C1 的中点,求二面角 A1 ? BD ? B1 的余弦值.

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3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 平面 A 1 BC ? 侧面 ABB1 A 1 ? AB ? 2. 1 ,且 AA (1)求证: AB ? BC ; (2)若直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角为

A ? BE ? C 的大小为

2? ,请说明理由. 3

? E ,使得二面角 ,请问在线段 AC 1 上是否存在点 6

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)如图甲所示, BO 是梯形 ABCD 的高, ?BAD ? 45° ,

OB ? BC ? 1 , OD ? 3OA ,现将梯形 ABCD 沿 OB 折起如图乙所示的四棱锥 P ? OBCD ,使得

PC ? 3 ,点 E 是线段 PB 上一动点.

(1)证明: DE 和 PC 不可能垂直; (2)当 PE ? 2 BE 时,求 PD 与平面 CDE 所成角的正弦值.

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5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知侧面 ABB1 A 1 是菱形,

ABC 的投影为 AB 的中点 D . 侧面 BCC1B1 是正方形,点 A 1 在底面

(1)证明:平面 AA 1C1C ; 1B 1 B ? 平面 BB (2)设 P 为 B1C1 上一点,且 B1 P ?

????

? 1 ???? B1C1 ,求二面角 A1 ? AB ? P 的正弦值. 3

6、 ( 江 西 省 师 大 附 中 、 临 川 一 中 2017 届 高 三 1 月 联 考 ) 如 图 1 , 在 ?ABC 中 ,

AC ? 2, ?ACB ? 900 , ?ABC ? 300 , P 是 AB 边的中点,现把 ?ACP 沿 CP 折成如图 2 所示的三棱
锥 A ? BCP ,使得 AB ? 10 . (1)求证:平面 ACP ? 平面 BCP ; (2)求平面 ABC 与平面 ABP 夹角的余弦值.

7、 ( 新 余 市 2017 高 三 上 学 期 期 末 考 试 ) 如 图 ( 1 ) , 在 平 行 四 边 形 ABB1 A 1 中,
? , 分别为 AB, A1B1 的中点.现把平行四边形 AAC ?A B B ? 4, A ? 2, C ,C 1 1C 沿 CC1 折 1 ?6 0 , A B 1 A 1

起,如图(2)所示,连结 B1C, B1 A, B1 A1 .

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图(1) (1)求证: AB1 ? CC1 ; (2)若 AB1 ? 6 ,求二面角 C ? AB1 ? A1 的余弦值.

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,

∠ABC=90° ,AB=2,BC=BB1=1,D 是棱 A1B1 上一点. (Ⅰ)证明:BC⊥AD; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣ACD 的体积.

9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)如图,在棱台 ABC ? FED 中,?DEF 与 ?ABC 分别是棱长为 1 与 2 的正三角形,平面

ABC ? 平面 BCDE ,四边形 BCDE 为直角梯形, BC ? CD, CD ? 1 ,点 G 为 ?ABC 的重
心, N 为 AB 中点, AM ? ? AF (? ? R, ? ? 0) , (1)当 ? ?

???? ?

??? ?

2 时,求证: GM //平面 DFN ; 3

(2)若直线 MN 与 CD 所成角为 弦值.
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?
3

,试求二面角 M ? BC ? D 的余

10、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为 矩形, ?ADE , ?BCF 均为等边三角形, EF / / AB, EF ? AD ? (Ⅰ)过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N ,使得

1 AB . 2

E
D

F

C
B

AF ∥平面 BDN ,试确定点 N 的位置,并予以证明;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求直线 BN 与平面 ABF 所成角 的正弦值.

A

11、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)如图,在矩形 ABCD 中, BC ? 2 , E , F 分别为

AB , CD 的中点,且沿 AF , BF 分别将 ?AFD 与 ?BFC 折起来,使其顶点 C 与 D 重合于点

P ,若所得三棱锥 P ? ABF 的顶点 P 在底面 ABF 内的射影 O 恰为 EF 的中点。
(1)求三棱锥 P ? ABF 的体积; (2 求折起前的 ?BCF 与侧面 BPF 所成二面角的大小.

参考答案 一、选择、填空题 1、D 7、C 2、C 8、C 3、D 9、A 4、

8 3

5、D 11、A

6、B

10、C

12、答案:B 解析:由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成,由题意得:
1? ? 5.4 ? 1.6 ? ? x ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1.6 ? 12.6 , x ? 3 . ? 2?
2

二、解答题 1、(Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD.
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又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. … 证法二:AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.… (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 Q(0,0,0), 设 M(x,y,z),则 ∵ , , , ; , . ,



,∴



在平面 MBQ 中, ∴平面 MBQ 法向量为 ∵二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°, ∴ ∴t=3.…

, .…





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2、 (1)证明:梯形 BB1C1C 中, BB1 ? CC1 ? B1C1 ? 2 ,BC ? 4 ,得: ?C1CB ? 60? , BC1 ? 2 3 , 从而 BC12 ? CC12 ? BC 2 ,所以 BC1 ? CC1 ,????????3 分 因为平面 BB1C1C ? 平面ABC ,且 AC ? BC ,所以
AC ? 平面BB1C1C ,因此 BC1 ? AC ,

所以 BC1 ? 平面AA1C1C ;??????????6 分 (2)如图,以 CA ,CB 所在直线分别作为 x 轴, y 轴,点 C 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz ,则
A ? 6 ,0 ,0 ? ,B ? 0 ,4 ,0 ? ,C ? 0 ,0 ,0 ? ,C1 0 ,1 , 3 , B1 0 ,3 , 3 , D 0 ,2 , 3 ,

?

?

?

?

?

?

B1C1 AC 1 ? 1 1? , BC AC 2 ????? 1 ??? ? C1 A1 ? CA ? A1 3 , 1 , 3 ,????????7 分 2 ?? ? 平面 BB1 D 的法向量 m ? ?1 ,0 ,0? ,设平面 A1 BD 的法向量为 n ? ? x , y, z? ,


?

?

???? ? 则 DA1 ? n ? ?3 ,? 1 ,0? ? ? x , y, z ? ? 3x ? y ? 0 ,
??? ? DB ? n ? 0 ,2 , ? 3 ? ? x ,y ,z ? ? 2 y ? 3z ? 0 ,

?

?

? ?1 3 ? 令 z ? 3 ,得 n ? ? , , 3 ? ,????????10 分 2 2 ? ?

?? ? ?? ? m?n 所以 cos ? m ,n ?? ?? ? ? m?n

1 22 2 ? , 22 1 9 ? ?3 4 4
22 .??????12 分 22

所以所求二面角的余弦值是

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3、 (1)证明:连接 AB1 交 AB1 于点 D , 因 AA 1 ? AB ,则 AD ? A 1B

? 侧面 A1 ABB1 ? A1 B , 由平面 A 1 BC 1BC ? 侧面 A 1 ABB1 ,且平面 A

BC ? 平面 A1 BC , 所以 AD ? BC . 得 AD ? 平面A 1BC ,又

??2 分

三棱柱 ABC —A1B1C1 是直三棱柱,则 AA ??3 分 1 ? 底面ABC ,所以 AA 1 ? BC .

BC ? 侧面 A1 ABB1 ,又 AB ? 侧面 A1 ABB1 ,故 AB ? BC . 又 AA 1 ? AD=A ,从而
??5 分

AC 与平面 A1 BC 所成的角 (2)由(1) AD ? 平面A 1BC ,则 ? ACD 直线
所以 ?ACD ?

?
6,

又 AD ? 2 ,所以 AC ? 2 2

??7 分

E ,使得二面角 A ? BE ? C 的大小为 假设在线段 AC 1 上是否存在一点

2? 3

由 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以以点 A 为原点,以 AC、AA 1 所在直线分别为 x , z 轴建立空间直 角坐标系 A ? xyz ,如图所示,且设 A 1 (0, 0, 2) , C (2 2,0,0) ,得 1E ? ? AC 1 (0 ? ? ? 1) ,则由 A

????

????

E(2 2? , 0, 2? 2? )
所以 AE ? (2 2?,0, 2 ? 2? ) , AB ? ( 2, 2,0) 设平面 EAB 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z) ,由 AE ? n1 , AB ? n1 得:

??? ?

??? ?

??

??? ?

??

??? ?

??

?? ? 2x ? 2 y ? 0 2? ? ) ,取 n1 ? (1, ?1, ? ? ? 1 2 2 ? x ? (2 ? 2 ? ) z ? 0 ? ?

??9 分

由(1)知 AB1 ? 平面A 1BC ,所以平面 CEB 的一个法向量 AB 1 ? ( 2, 2, 2) ??10 分

????

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???? ?? AB1 ? n1 2? ? ???? ?? ? 所以 cos 3 AB1 n1

2 2? ? ?1 2?( 2? 2 ) ?2 2 ? ?1

?

1 1 ,解得 ? ? 2 2

2? ??12 分 3 ? 4、解:如图甲所示,因为 BO 是梯形 ABCD 的高, ?BAD ? 45 ,

A ? BE ? C 的大小为 ∴点 E 为线段 AC 1 中点时,二面角

所以 AO ? OB ???????????????????????????????1 分 因为 BC ? 1 , OD ? 3OA ,可得 OD ? 3 , OC ? 2 ??????????????2 分 如图乙所示, OP ? OA ? 1 , OC ? 2 , PC ? 3 , 所以有 OP ? OC ? PC ,所以 OP ? OC ??????????????????3 分
2 2 2

而 OB ? OP , OB ? OC ? O ,所以 OP ? 平面 OPD ??????????????4 分 又 OB ? OD ,所以 OB 、 OD 、 OP 两两垂直. 故以 O 为原点,建立空间直角坐标系(如图) , 则 P(0, 0,1) , C (1,1, 0) , D(0,3,0) ?????????5 分

z
P

E O B C D

y

x

(1)设 E ( x,0,1 ? x) 其中 0 ? x ? 1 ,所以 DE ? ( x, ?3,1 ? x) , PC ? (1,1, ?1) , 假设 DE 和 SC 垂直,则 DE ? PC ? 0 ,有 x ? 3 ? (1 ? x) ? (?1) ? 0 ,解得 x ? 2 , 这与 0 ? x ? 1 矛盾,假设不成立,所以 DE 和 SC 不可能垂直??????????6 分 (2)因为 PE ? 2 BE ,所以 E ( , 0, ) ???????????????????7 分 设平面 CDE 的一个法向量是 n ? ( x, y, z) , 因为 CD ? (?1,2,0) , DE ? ( , ?3, ) ,所以 n ? CD ? 0 , n ? DE ? 0 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

2 3

1 3

?

??? ?

????

1 3

1 3

? ??? ?

? ??? ?

第 63 页 共 99 页

?? x ? 2 y ? 0 ? 即 ?2 ???????????????????????????9 分 1 x ? 3 y ? z ? 0 ? 3 ?3 ? 取 n ? (2,1,5) ??????????????????????????????10 分
??? ? ? ??? ? ? ??? ? PD ? n 3 而 PD ? (0,3, ?1) ,所以 cos ? PD, n ? ? ??? ? ? ? 15 PD ? n
所以 PD 与平面 CDE 所成角的正弦值为

3 ?????????????????12 分 15

ABC 的投影为 AB 的中点 D , 5、 (1)证明:点 A 1 在底面
所以 A1D ? 平面 ABC ,所以 A1D ? BC , 又因为侧面 BCC1B1 是正方形, B1B ? BC ,

BC ? 平面 ABB1 A1 , 因为 B1B 与 A1D 在平面 ABB1 A 1 上不平行所以必相交于一点,由上可得:
所以平面 AA 1C1C . 1B 1 B ? 平面 BB (2)如图所示,以点 D 为坐标原点建立空间直角坐标系, 不妨设菱形边长为 2,易知 D(0,0,0) , A(0, ?1, 0) , B(0,1, 0) ,因为 D 为中点且有 A1D ? AB ,所 以 AA1 ? A1B , 又因为平面 ABB1 A 1 AB 为等边三角形, 1 为菱形,所以 ?A 从而 ?A1 AD ?

?
3

,从而 A1 D ? 2sin

?
3

? 3,

所以点 A 1 的坐标为 (0,0, 3) , 因为 A 1B 1 ? AB ? (0,2,0) ,所以 B 1 (0,2, 3) ,

???? ? ??? ?
????

? 1 ??? ? 2 ? ???? 2 B1C1 ? BC ? ( , 0, 0) ,所以 P ( , 2, 3) , 3 3 3 3 ?? 设平面 ABP 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,
又因为 B1 P ?

??? ? 2 ??? ? BP ? ( ,1, 3) , AB ? (0, 2,0) , 3 ?? ??? ? ?2 ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? y ? 3z ? 0, 所以 ? ?? ??? 即 ?3 ? n ? AB ? 0, ? ? ? 1 ?2 y ? 0,
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?? 2 2 , y ? 0 ,所以 n1 ? ( 3, 0, ? ) , 3 3 ?? ? 易知平面 ABB1 A 1 的法向量 n2 ? (1,0,0) ,
令 x ? 3 ,则 z ? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? | n1 | ? | n2 |
?? ?? ?

3 3 93 , ? 31 31 9

所以 sin ? n1 , n2 ??

2 31 , 31 2 31 . 31

从而二面角 A1 ? AB ? P 的正弦值为

6、试题解析: (1)在图 1 中,取 CP 的中点 O ,连接 AO 交 CB 于 E ,则 AE ? CP , 在图 2 中,取 CP 的中点 O ,连接 AO , OB ,因为 AC ? AP ? CP ? 2 , 所以 AO ? CP ,且 AO ? 3 ,??????????????????????(2 分) 在 ?OCB 中,由余弦定理有 OB2 ? 12 ? 2 3

?

?

2

? 2 ?1? 2 3 cos300 ? 7 ,??????(3 分)

2 2 2 所以 AO ? OB ? 10 ? AB ,所以 AO ? OB .????????????????(4 分)

又 AO ? CP, CP ? OB ? O ,所以 AO ? 平面 PCB , 又 AO ? 平面 ACP ,所以平面 ACP ? 平面 CPB ????????????????(6 分)

(2)因为 AO ? 平面 CPB ,且 OC ? OE ,故可如图建立空间直角坐标系,则

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O ? 0, 0, 0 ? , C ?1, 0, 0 ? , A 0, 0, 3 , P ? ?1, 0, 0 ? , B ?2, 3, 0 , ??? ? ???? AB ? ?2, 3, ? 3 , AC ? 1, 0, ? 3 ,??????????????????(8 分)

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ? ?m ? AB ? 0 ? 设平面 ABC 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,则由 ? 得 m ? ( 3,3,1) ;????????(10 ? ? ? ?m ? AC ? 0
分) 同理可求得平面 ABP 的法向量为 n ? (? 3,?1,1) ,????????????????(11 分) 故所求角的余弦值 cos? ?| cos ? m, n ?|?|

?

? ?

? 5 13

|?

65 .??????????(12 分) 13

2 的菱形,且 7、 【解析】 ( 1 ) 由 已 知 可 得 , 四 边 形 ACC1 A 1 均为边长为 1 , BCC1B

?ACC1 ? ?B1C1C ? 60? .在图 (1)中,取 CC1 中点 O , 连结 AO, B1O, AC1 ,故 ?ACC1 是等边
三角形, 所以 AO ? CC1 , 同理可得,B1O ? CC1 , 又因为 AO ? B1O ? O , 所以 CC1 ? 平面 AOB1 , 又因为 AB1 ? 平面 AOB1 , 所以 AB1 ? CC1 .

(2)由已知得, OA ? OB1 ? 3, AB1 ? 6 , 所以 OA2 ? OB12 ? AB12 , 故 OA ? OB1 .如图(2) ,分 别以

???? ???? ? ??? ? OB1, OC1, OA 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 得
C ? 0, ?1, 0 ? , B1

?

3, 0, 0 , A 0, 0, 3 , A1 0, 2, 3

? ?

? ?

?

,







CAB1









???? ?? ? ??? ? ? ? AB1 ?m ? 0 ? 3x1 ? 3z1 ? 0 3, 0, ? 3 , AC ? 0, ?1, ? 3 , 由 ? ???? ?? , 得? , AC ? m ? 0 ? y ? 3 z ? 0 ? ? ? ? 1 1 ?? 令 x1 ? 1 , 得 z1 ? 1, y1 ? ? 3 , 所以平面 CAB1 的法向量为 m ? 1, ? 3,1 , 设平面 AA 1B 1 的法向
?? ???? m ? ? x1 , y1 , z1 ? , AB1 ?

?

?

?

?

?

?


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? ???? n ? ? x2 , y2 , z2 ? , AB1 ?

???? ? ???? ? ? ? 3 x2 ? 3 z2 ? 0 ? AB1 ?n ? 0 3, 0, ? 3 , AA1 ? ? 0, 2, 0 ? , 由 ? ???? ? , 得? , 令 ? ? ? 2 y2 ? 0 ? AA1 ?n ? 0 ? x2 ? 1 , 得 z2 ? 1, y2 ? 0 , 所 以 平 面 AA1B1 的 法 向 量 为 n ? ?1 , 0 ? ,, 1 于 是

?

?

?? ? ?? ? m?n 2 1 0 , 因为二面角 C ? AB1 ? A1 的 平面角为钝角 , 所以二 面角 c o?sm n ?? , ?? ? ? ? 5 5? 2 m n

C ? AB1 ? A1 的余弦值为 ?

10 . 5

8、证明:(Ⅰ)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,∠ABC=90° ,

∴BC⊥AB, ∵BB1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BB1⊥BC, ∵BB1∩AB=B, ∴BC⊥平面 ABB1A1, ∵AD?平面 ABB1A1, ∴BC⊥AD. (Ⅱ)∵BC⊥平面 ABB1A1, ∴BC 是三棱锥 C﹣ABD 的高,

9、解: (Ⅰ)连 AG 延长交 BC 于 P ,

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因为点 G 为 ?ABC 的重心,所以

AG 2 ? AP 3

又 AM ?

???? ?

2 ???? AG AM 2 AF ,所以 ? ? ,所以 GM // PF ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3(分) 3 AP AF 3

N 为 AB 中点, P 为 BC 中点, NP // AC ,又 AC // DF ,
所以 NP // DF ,得 P, D, F , N 四点共面

? GM //平面 DFN · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6(分)
(Ⅱ)平面 ABC ? 平面 BCDE , AP ? BC,? AP ? 平面 BCDE ,连接 PE, 易得 PE ? BC , 以 P 为原点, PC 为 x 轴, PE 为 y 轴, PA 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 C (1,0,0), D(1,1,0), A(0,0, 3), F ( ,1,

1 2

3 1 3 ), B( ?1,0,0), N ( ? , 0, ) ,设 M ( x, y, z ) , 2 2 2

???? ? ? ?1 ???? ? ??? ? ??? ? ? 3 3 ? ) , NM ? ( , ?, (1 ? ? )) , CD ? (0,1,0) ? AM ? ? AF , ? M ( , ? , 3 ? 2 2 2 2
???? ? ??? ? NM ? CD 因为 MN 与 CD 所成角为 ,所以 cos 60? ? ???? ? ??? ? ? 3 NM ? CD

?

?
(

? ?1

3 ) 2 ? ? 2 ? (1 ? ? ) 2 2 4

?

1 , 2

1 1 1 3 3 ), ,? M ( , , · · · · · · · · · · · · · ·8(分) 2 4 2 4 ? ??? ? ? ? ? ? n ? BC ? 0 设平面 MBC 的法向量 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ???? ,取 n ? (0,3 3, ?2) , ? ? ?n ? BM ? 0 ? 平 面 B C D 的 法 向 量 v ? (0,0,1) , 所 以 二 面 角 M ? BC ? D 的 余 弦 值 ? ? n ? v 2 31 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12(分) cos ? ? ? ? ? 31 n?v
得 2? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,? ? ? 10、 19. 解: (Ⅰ)当 N 为线段 FC 的中点时,使得 AF // 平面 BDN , 证法如下:连结 AC , BD ,设 AC ? BD ? O , ∵四边形 ABCD 为矩形 ∴ O 为 AC 的中点 又∵ N 为 FC 的中点 ∴ ON 为 ?ACF 的中位线 ∴ AF // ON ∵ AF ? 平面 BDN , ON ? 平面 BDN ∴ AF // 平面 BDN ,故 N 为 FC 的中点时,使得 AF // 平面 BDN .

E
D

F

N C O
B

A

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z
E
D

MF

N
P

C O

A

Q y
B

x

G

(Ⅱ)过 O 作 PQ // AB 分别与 AD, BC 交于 P, Q , 因为 O 为 AC 的中点,所以 P, Q 分别为 AD, BC 的中点 ∵ ?ADE 与 ?BCF 均为等边三角形,且 AD ? BC ∴ ?ADE ≌ ?BCF ,连结 EP, FQ ,则得 EP ? FQ ∵ EF // AB , AB//PQ , EF ? ∴ EF // PQ

1 AB 2

1 PQ ∴四边形 EPQF 为等腰梯形. 2 取 EF 的中点 M ,连结 MO ,则 MO ? PQ , 又∵ AD ? EP, AD ? PQ, EP ? PQ ? P ∴ AD ? 平面 EPQF 过 O 点作 OG ? AB 于 G ,则 OG // AD ∴ OG ? OM , OG ? OQ ???? ??? ? ???? ? 分别以 OG, OQ, OM 的方向为 x, y, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 不妨设 AB ? 4 ,则由条件可得: 1 3 2 O(0, 0, 0), A(1, ?2, 0), B(1, 2, 0), F (0,1, 2), D( ?1, ?2, 0), N (? , , ) ?8 分 2 2 2 ? ??? ? ? ?n?AB ? 0 ? ?4 y ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABF 的法向量,则 ? ? ??? 即? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?n?AF ? 0 ? ??? ?? ???? ??? ? ? ? 3 1 2 | BN ?n | 2 ? ? ? 所以可取 n ? ( 2,0,1) 由 BN ? (? , ? , ) ,可得 | cos ? BN , n ?|? ??? 2 2 2 | BN || n | 3 EF ?
[

∴直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值为 11、(1)依题设:

? PA, ?PF PF ? PB, ? PF ?

2 . 3

面 PAB

又依题设:O 为 EF 的中点,且 PO ? EF ? PE ? PF ,故 ?PEF 是斜边为 EF ? 2 的等腰 Rt ? , 故 PO ? 1, PE ? PF ? 2 , 且 AB ? DC ? 2PF ? 2 2 , 又 ABCD 为矩形, 且 E , F 为边的中点 EF ? AB , 故 VP ? ABF ?

1 1 2 2 。....................6 分 S ?ABF ? PO ? ? 2 2 ? 1 ? 3 3 3

(2)因所求二面角与二面角 P ? BF ? O 互补,故先求二面角 P ? BF ? O 。作 OH ? BF 于 H,连 PH ,则 由 PO ? 面ABCD 知:OH 为 PH 的射影 ? PH ? BF ? ?PHO 为二面角 P ? BF ? O 的平面角,在

2 Rt ?PBE 中,由 PH ? BF ? PF ? PB 易求得: PH ? 3 ,又 PO ? 1 ,故在 Rt ?PHO 中,由
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sin ?PHO ?

? PO 3 ? ?PHO = ,由此即知二面角 C ? BF ? P 的大小为 ? 3 PH 2
z P
D
(1, ? 2, 0) x
(0, 0,1)

2? 。..................12 分 3
(2)设平面 PBF 与平面 BCF 的夹角为 ? , 并设其法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由 BF ? (?2, ? 2, 0) , A

F (?1, 0, 0) C O
(1, 0, 0)

?

??? ?

E

B (1,

2, 0)

y

? ? ??? ??? ? n ? BF ??? ?? ,以及 PF ? (?1, 0, ?1) ? n ? PF
? ? ??? ?n ? BF ??? ? ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ? ?n ? PF ? ?x ? z ? 0 ?

?

? y ? ? 2 x, ? z ? ? x, 取 x ? 1 ,得平面 PBF ?
?

的一个法向量为: n ? (1, ? 2, ?1) ;而平面 BCF 的一个法向量为: m ? (0, 0,1) , 故由 cos ? ? cos ? n, m ? =

?

? ?

1 ? 2? ? ? ? 。而所求二面角为钝二面角,故其大小为 ? ? ? ? 2 3 3

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

统计与概率
一、选择、填空题

2017.02

1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)已知直线 AB:x+y﹣6=0 与抛物线 y=x 及 x 轴正半轴围成 的图形为 ? ,若从 Rt△AOB 区域内任取一点 M(x,y),则点 M 取自图形 ? 的概率为 . 2、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)已知变量 x, y 成负相关,且由观测数据算得样本平均数

2

x ? 3 , y ? 3.5 ,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(
A.y ? 0.4 x ? 2.3 B.y ? 2 x ? 2.4

) D. y ? ?0.4 x ? 4.4

C.y ? ?2 x ? 9.5

3、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考) “微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在 某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为 10 元,被随机分配为 1.49 元,1.81 元,2.19 元,3.41 元,0.62 元,0.48 元,共 6 份,供甲、乙等 6 人抢,每人只能抢一次,则甲、 乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是( A. )

1 2

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 6

4、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)若实数 x 、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,将一颗骰子投掷两

? ?x ? y ?1 ? 0 ? ? y ?1 ? 0

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次得到的点数分别为 a 、b ,则函数 ? ? 2ax ? by 在点 (2, ?1) 处取得最大值的概率为( B.
1 5



B.

2 5

C.

1 6

D.

5 6

5、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 已知变量 x , y 呈现线性相关关系,回

? ? 1 ? 2 x ,则变量 x, y 是( 归方程为 y
A.线性正相关关系 B.由回归方程无法判断其正负相关关系 C.线性负相关关系



D.不存在线性相关关系 6、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考) 如右图所示矩形

ABCD 边长 AB ? 1, AD ? 4 ,抛物线顶点为边 AD 的中点 E ,且 B, C 两点在
抛物线上,则从矩形内任取一点落在抛物线与边 BC 围成的封闭区域(包含边 界上的点)内的概率是 .

二、解答题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)某电视台推出一档游戏类综艺节目,选手面对 1﹣5 号五扇 大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答这首歌的名字,回答正确,大 门打开,并获得相应的家庭梦想基金,回答每一扇门后,选手可自由选择带着目前的奖金离开,还 是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金,但是一旦回答错误,游戏结束并将之前获得的所有梦 想基金清零;整个游戏过程中,选手有一次求助机会,选手可以询问亲友团成员以获得正确答案.1 ﹣5 号门对应的家庭梦想基金依次为 3000 元、6000 元、8000 元、12000 元、24000 元(以上基金金 额为打开大门后的累积金额,如第三扇大门打开,选手可获基金总金额为 8000 元);设某选手正确 回答每一扇门的歌曲名字的概率为 pi(i=1,2,…,5),且 pi= (i=1,2,…,5),亲友团正

确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为 ,该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的 门的概率均为 ; (1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率; (2)若选手在整个游戏过程中不使用求助,且获得的家庭梦想基金数额为 X(元),求 X 的分布列 和数学期望. 2、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考 生的笔试成绩,分为 5 组制出频率分布直方图如图所示. (1)求 a, b, c, d 的值; (2)该校决定在成绩较好的 3、 4、 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试, 则每组应各抽多少名学生? (3)在(2)的前提下,已知面试有 4 位考官,被抽到的 6 名学生中有两名被指定甲考官面试,其余 4 名则随机分配给 3 位考官中的一位对其进行面试,求这 4 名学生分配到的考官个数 X 的分布列和期
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望.

3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)江西景德镇某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同 的 2017 年新上市工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧 制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品 合格的概率依次为 , . , , , 经过第二次烧制后, 甲、 乙、 丙三件产品合格的概率依次为 ,

(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ,求随机变量 的期望.

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风 貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了 2017 年 普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效 果, 进行了一次阶段检测, 并从中随机抽取 80 名同学的成绩, 然后就其成绩分为 A、B、C、D、E 五个等级进行数据统计如下:

根据以上抽样调查数据,视频率为概率. (1)若该校高二年级共有 1000 名学生,试估算该校高二年级学生获得成绩为 B 的人数; (2)若等级 A、B、C、D、E 分别对应 100 分、80 分、60 分、40 分、20 分,学校要求“平均分 达 60 分以上”为“教学达标” ,请问该校高二年级此阶段教学是否达标? (3)为更深入了解教学情况,将成绩等级为 A、B 的学生中,按分层抽样抽取 7 人,再从中任意抽
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取 3 名,求抽到成绩为 A 的人数 X 的分布列与数学期望.

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)水是地球上宝贵的资源,由于介个比较便宜在很多不缺水 的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费.某市政府为了提倡低碳环保的生活理念 鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准 x (吨) ,一 位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况, 通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨) ,将数据按照 [0, 0.5) , [0.5,1) ,

[1,1.5) ,?, [4, 4.5) 分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)若全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万,试估计全市有多少居民?并说明理由; (2)若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 [1,1.5) 和 [1.5, 2) 之间选取 7 户居民作为议 价水费价格听证会的代表,并决定会后从这 7 户家庭中按抽签方式选出 4 户颁发“低碳环保家庭” 奖,设 X 为用水量吨数在 [1,1.5) 中的获奖的家庭数, Y 为用水量吨数在 [1.5, 2) 中的获奖家庭数, 记随机变量 Z ?| X ? Y | ,求 Z 的分布列和数学期望.

6、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)某理科考生参加自主招生面试,从 7 道题中 (4 道理科题 3 道文科题)不放回地依次任取 3 道作答. (1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率; (2)规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题,该考生答对理科题的概率均为 的概率均为

2 ,答对文科题 3

1 ,若每题答对得 10 分,否则得零分.现该生已抽到三道题(两理一文) ,求其所得总分 4

X 的分布列与数学期望 E X .
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( )

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)现有清华、北大、上海交大三所大学的招生负责人各一人来 我市宣讲 2017 年高考自主招生政策,我市四所重点中学必须且只能邀请其中一所大学的负责人,且 邀请其中任何一所大学的负责人是等可能的。 (Ⅰ)求恰有两所重点中学邀请了清华招生负责人的概率; (Ⅱ)设被邀请的大学招生负责人的个数为 ? ,求 ? 分布列与期望;

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率

分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.

(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高; (Ⅲ)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的 试卷中,至少有一份分数在[90,100)之间的概率.
9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)2016 年 11 月 20 日-22 日在江西省南昌 市举行了首届南昌国际马拉松赛事,赛后某机构用“10 分制”调查了很多人(包括普通市民,运动员, 政府官员,组织者,志愿者等)对此项赛事的满意度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以下茎叶图 记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):

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(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若满意度不低于 9.5 分,则称该被调查者的满意度为“极满意”.求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极满意”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据,若从该被调查群体(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“极满意”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

参考答案 一、选择、填空题 1、 2、C 3、C 4、D 5、C 6、

2 3

二、解答题 1、解:设事件“该选手回答正确第 i 扇门的歌曲名称”为事件 Ai,“使用求助回答正确歌曲名称”为事 件 B, 事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件 C; 则 , ,P(B)= ,P(C)= … , , ,

(1)设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金”为事件 A,则:

A=A1CA2C

BCA4 =

×

=

… ;…

∴选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率为 (2)X 的所有可能取值为:0,3000,6000,8000,12000,24000;… P(X=3000)=P(A1 )= P(X=6000)=P(A1 CA2 )=
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=

; = ;

P(X=8000)=P(A1 CA2 CA3 )= P(X=12000)=P(A1 CA2 CA3 CA4 )= P(X=24000)=P(A1 CA2 CA3 CA4 CA5)= P(X=0)=P( = ∴X 的分布列为: )+P(A1C = )+P(A1CA2C

=

; = = ; ;… )

)+P(A1CA2CA3C

)+P(A1CA2CA3CA4C

;…

∴EX=0×

+3000×

+6000× +8000×

+12000×

+24000×

=1250+1000+500+250+250=3250(元) ∴选手获得的家庭梦想基金数额为 X 的数学期望为 3250(元)…. 2、解: (1)由题意知 b=0.06 ? 5=0.3, a =100 ? 0.3=30, d=1-0.05-0.35-0.1=0.2,c=100 ? 0.2=20....................3 分 (2)三个组共 60 人,所以第三组应抽 6 ?

30 =3 人, 60 20 10 第四组应抽 6 ? =2 人,第五组应抽 6 ? =1 人 60 60

....................6 分

(3) X 的所有可以取的分别为 1,2,3

P ( X ? 1) ?

3 1 ? 4 3 27
1 3 2 2 C32 (C2 C4 ? C4 C2 ) 14 C32 (24 ? 2) 14 ? P ( X ? 2) ? ? (或 ) 34 27 34 27 1 2 1 2 3 C3 C4 C2 4 C4 A3 4 ? P ( X ? 3) ? ? ) (或 4 4 3 9 3 9

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

所以 X 的分布列为: X p 所以 X 的数学期望 1 2 3

1 27

14 27

4 9

E ( X ) ? 1?

1 14 4 65 ? 2 ? ? 3? ? 27 27 9 27

...............................12 分

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3、解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 (1)设 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则







.……………5 分 (2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 所以 故 , .……………12 分 ,则 ,

解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 , 所以 , , , . 于是, .

4、解: (1)由于这 80 人中,有 12 名学生成绩等级为 B , 所以可以估计该校学生获得成绩等级为 B 的概率为

12 3 ? ???????????2 分 80 20 3 ? 150 ??????????3 分 20

则该校高二年级学生获得成绩为 B 的人数约有 1000 ? (2)由于这 80 名学生成绩的平均分为:

1 [9 ?100 ? 12 ? 80 ? 31? 60 ? 22 ? 40 ? 6 ? 20] ? 59 ??????????????4 分 80
且 59 ? 60 ,因此该校高二年级此阶段教学未达标????????????????6 分 (3)成绩为 A 、 B 的同学分别有 9 人, 12 人, 所以按分层抽样抽取 7 人中成绩为 A 的有 3 人,成绩为 B 的有 4 人?????????7 分 则由题意可得: P( X ? 0) ?
0 3 2 C3 C4 4 C1 18 3 C4 , ? P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C7 35 C7 35

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P( X ? 2) ?

2 1 0 C3 C4 12 C3 1 3C 4 , ? P ( X ? 3) ? ? ??????????????10 分 3 3 C7 35 C7 35

所以 EX ? 0 ?

4 18 12 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ????????????????12 分 35 35 35 35 7

5、解: (1)由图,不低于 3 吨人数所占百分比为 0.5 ? (0.12 ? 0.08 ? 0.04) ? 12% , 所以假设全市的人数为 x (万人) ,则有 0.12 x ? 3.6 ,解得 x ? 30 , 所以估计全市人数为 30 万. (2)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为 1, 因为频率 ?

频率 ? 组距 , 组距

所以 0.5 ? (0.08 ? 0.16 ? 0.4 ? 0.52 ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04 ? 2a) ? 1 ,得 a ? 0.3 , 用水量在 ?1,1.5? 之间的户数为 100 ? 0.3 ? 0.5 ? 15 户,而用水量在 ?1.5, 2? 吨之间的户数为

100 ? 0.4 ? 0.5 ? 20 户,根据分层抽样的方法,总共需要抽取 7 户居民,所以用水量在 ?1,1.5? 之间
应抽取的户数为 15 ?

7 7 ? 3 户,而用水量在 ?1.5, 2? 吨之间的户数为 20 ? ? 4 户. 35 35

据题意可知随机变量 Z 的取值为 0,2,4.

P( X ? 0) ? P( X ? 2, Y ? 2) ?

2 C32C4 18 ? , 3 C7 35 1 3 3 1 C3 C4 ? C3 C4 16 ? , 3 C7 35

P( X ? 2) ? P( X ? 1, Y ? 3) ? P( X ? 3, Y ? 1) ?
0 4 C3 C4 1 P(Z ? 4) ? P( X ? 0, Y ? 4) ? ? , 3 C7 35

其分布列为:

Z P

0

2

4

18 16 35 35 18 16 1 35 ? 2? ? 4? ? 期望为: E ( Z ) ? 0 ? . 35 35 35 36

1 35

6、 (1)记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 A , “该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事 件 B ,则 P A =

( )

4 4 , P ( AB) = , 7 35 ??????(4 分)

第 78 页 共 99 页

所以该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率为

P BA =

(

)

P ( AB) P ( A)

=

1 5

????????(5 分)

(2) X 的可能取值为 0,10,20,30, ????????????(6 分) 则 P ? X ? 0? ?

1 1 3 1 ? ? = 3 3 4 12
2 1 2

???????????????(7 分)

2 1 3 ? 1 ? 1 13 P ? X ? 10? ? C ? ? ? + ? ? ? = 3 3 4 ? 3 ? 4 36 ????????????(8 分) ?2? 3 1 1 2 1 4 P ? X ? 20? ? C ? ? ? ? +C2 ? ? ? = 3 3 4 9 ??????????(9 分) ?3? 4 1 13 4 1 P ? X ? 30 ? ? 1 ? ? ? = ??????????(10 分) 12 36 9 9
2 2 2

所以 X 的分布列为

X

0

10

20

30

P

1 12

13 36

4 9

1 9
95 6
????????(12 分)

所以, X 的数学期望 E X =

( )

7、解: (Ⅰ)设每所重点中学邀请负责人为一次实验这是 4 次独立重复实验,记“邀请清华负责人” 为事件 A 则 p(A) ?

1 从而设 3 8 ??4 分 27

恰有“两所重点中学邀请清华负责人”为事件 B
2 2 2 则 P( B) ? C4 ( ) ? ( ) ?

1 3

2 3

(另解: P ?

2 C4 ? 2? 2 8 ? ) 27 34

(Ⅱ) ? 的所有可能值为 1, 2,3 则

P (? =1 ) =
P (? =2) = P (? =3) =

1 C3 1 ? 4 3 27

2 1 3 2 2 2 4 C( C4 ? C4 · C2 ) C( ) 14 3 C2 · 3 2 ?2 = = 4 4 3 3 27 1 2 1 2 3 C3 C4 · C2 C4 · A3 4 = = ??9 分 4 4 3 3 9

则 ? 分布列如下
第 79 页 共 99 页

?
P
则 E? ? 1?

1

2

3
4 9
[

1 27

14 27

1 14 4 65 ? 2 ? ? 3? ? ??12 分 27 27 9 27

8、解:(Ⅰ)分数在[50,60)的频率为 0.008× 10=0.08,

由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2, ∴全班人数为 .

(Ⅱ)分数在[80,90)之间的频数为 25﹣22=3; 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 .

(Ⅲ)将[80,90)之间的 3 个分数编号为 a1,a2,a3,[90,100)之间的 2 个分数编号 为 b1,b2, 在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为: (a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2), (a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)共 10 个, 其中,至少有一个在[90,100)之间的基本事件有 7 个, 故至少有一份分数在[90,100)之间的概率是 .

9、解: (1)众数:8.6;中位数:8.75 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2(分) (2)由茎叶图可知,满意度为“极满意”的人有 4 人。 设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极满意”,至多有 1 人是“极满意”记为事件 A ,

P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?

3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? 3 3 140 C16 C16

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6(分)

(3)从16人的样本数据中任意选取1人,抽到“极满意”的人的概率为 顾客群体中任选1人,抽到“极满意”的人的概率 P ?
3 考. P (? ? 0) ? ( ) ?

4 1 ? ,故依题意可知,从该 16 4

1 ξ . 的可能取值为0,1,2,3高. 4

3 4

27 27 1 1 3 2 ; P (? ? 1) ? C 3 ( ) ? ; 64 4 4 64

1 3 1 1 3 9 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ; P (? ? 3) ? ( ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9(分) 4 64 4 4 64
所以 ξ 的分布列为
第 80 页 共 99 页

ξ
P

0

1
27 64

2
9 64

3

27 64

1 64

E? ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64
1 4
所以 E? = 3 ?

另解:由题可知 ? ~ B (3, ) ,

1 ? 0.75 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12(分) 4

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

排列组合二项式定理

2017.02

一、排列组合 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)有 7 张卡片分别写有数字 1,1,1,2,2,3,4,从中任取 4 张,可排出的四位数有( )个. A.78 B.102 C.114 D.120 2、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家 庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的 A , B , C , D 四个家庭各有两个小孩共 8 人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 名小 孩不考虑位置) , 其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车, 则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同 一个家庭的乘坐方式共有( A.18 种 ) C.36 种 D.48 种

B.24 种

3、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言,

要求甲、乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有( A.336 种 B.320 种 C.192 种 D.144 种



4、 (南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017 届高三第四次联考)冬季供暖就要开始, 现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区 都要有人去检查,那么分配的方案共有 种.(用数字作答) 参考答案 1、C 2、B 二、二项式定理 1、 ( 赣 州 市 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 ) 在 (1 ? x ?
第 81 页 共 99 页

3、A

4、150

1 x
2017

)10 的 展 开 式 中 , 含 x 2 项 的 系 数





2、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知 a ? 0 , (

a ? x)6 展开式的常数项为 15 ,则 x

?

a

?a

( 1? x 2 ? sin 2x ) dx ?



3、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)若 A、B、C、D 四人站成一排照相,A、B 相 邻的排法总数为 k ,则二项式 ?1 ?

? ?

x? 2 ? 的展开式中含 x 项的系数为______________. k?
?
0

k

4、 ( 新 余 市 2017 高 三 上 学 期 期 末 考 试 ) 设 a ? ? 2 cos xdx , 则 ( 2x ? 为 。

a 6 展开式中常数项 ) x


5、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)二项式

展开式中 x 的系数为

6、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)二项式 ( 项的系数为 .

1 2 x ? 3 )6 的展开式中第四 2 x
n

?1 ? 7、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)设函数 f ?x ? ? ? x ? 2 ? ,其中 n ? 3? 2? cos xdx, ? ?2 ? 2
则 f ?x ? 的展开式中 x 的系数为(
2

?

) C.

A. 15

B.

? 15

60

D. ? 60 (sinx﹣1+2cos2 )dx,

8、 (宜春市丰城中学 2017 届高三(课改班)上学期第二次段考)设 a= 则(a ﹣ )6?(x2+2)的展开式中常数项是 ﹣332 .

9、 (吉安一中 2017 届高三上学期期中考试)已知 a= 的系数为 ﹣80 .

?

e

1 e

1 dx ,则二项式(1﹣ )5 的展开式中 x﹣3 x

10、 2017 届高三第四次联考) (南昌市三校 (南昌一中、 南昌十中、 南铁一中) 若二项式 ( 的展开式中的常数项为 m ,则 A.

5 2 1 6 x ? ) 5 x

?

m

1

( x2 ? 2 x)dx ? (
C. ?



1 3

B. ?

1 3

2 3

D.

2 3

参考答案
第 82 页 共 99 页

1、45 7、A

2、

? 2

3、

11 24

4、-160

5、10

6、20

8、 【解答】解:设 =1+1=2, 则多项式(a ﹣ )6?(x2+2)=(2 ﹣

=

=(﹣cosx+sinx)

)6?(x2+2)

=[

?

?

+

+

+…+

](x2+2) ,

故展开式的常数项为﹣ 故答案为:﹣332. 9、 【解答】解:a=

×2×1﹣

×2=﹣12﹣320=﹣332,

?

e

1 e

1 dx = x

=2, =(﹣2)5﹣r xr﹣5.

则二项式(1﹣ )5= 令 r﹣5=﹣3,解得 r=2. ∴展开式中 x﹣3 的系数= 故答案为:﹣80. 10、D

的展开式的通项:Tr+1=

=﹣80.

江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编

圆锥曲线
一、选择、填空题

2017.02

1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考) 已知过抛物线 G : y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 焦点 F 的直线 l 与抛物线 G ???? ? ???? 16 交于 M 、 N 两点( M 在 x 轴上方) ,满足 MF ? 3FN , MN ? ,则以 M 为圆心且与抛物线准线 3 相切的圆的标准方程为( )
2 1? ? 2 3 ? 16 ? A. ? x ? ? ? ? y? ? ? ? 3? ? 3 ? 3 ? ? 2 2 1? ? 3 ? 16 ? B. ? x ? ? ? ? y? ? ? ? 3? ? 3 ? 3 ? ? 2

C. ? x ? 3? ? y ? 2 3
2

?

?

2

? 16

D. ? x ? 3? ? y ? 3
2

?

?

2

? 16

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试 (二) ) 已知双曲线
第 83 页 共 99 页

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的 a 2 b2

左右焦点分别为 F1 ? ?c ,0? ,F2 ? c ,0 ? ,以线段 F1 F2 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 P ,
c? b2 ? 若直线 PF2 与圆 E : ? x ? ? ? y 2 ? 相切,则双曲线的渐近线方程是( 2? 16 ?
2



A. y ? ? x

B. y ? ? 2 x

C. y ? ? 3x

D. y ? ?2 x

3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,若双 曲线 C 的一条渐近线与直线 3x ? y ? 4 ? 0 平行,则双曲线 C 的离心率为( )

A.

2 3 3

B. 2

C.

3

D. 2

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)若双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 a 2 b2


x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 相切,则该双曲线 C 的离心率为(
A. 2 3 B.2 C. 3 D.

2 3 3
x2 y2 ? ? 1 ,若其过焦点的最短 m2 ? 4 b2

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知双曲线方程为 弦长为 2,则该双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, )

6 ] 2

B. [

6 , ??) 2

C. (1,

6 ) 2

D. (

6 , ??) 2
2

6、 (江西省师大附中、临川一中 2017 届高三 1 月联考)已知点 M , N 是抛物线 y ? 4 x 上不同的两 点,F 为抛物线的焦点,且满足 ?MFN ? 若 MN A.
2

2? 1 ,弦 MN 的中点 P 到直线 l : y ? ? 的距离记为 d , 3 16
) C. 1 ? 3 D. 4

? ? ?d 2 ,则 ? 的最小值为 (
B.

3

3

F2 是双曲线 7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)已知 F1 、

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a2 b2

点 F1 关于渐近线的对称点恰好落在以 F2 为圆心, | OF2 | 为半径的圆上,则该双曲线的离心率为 ( A. 2 )
[

B. 3

C. 2

D. 3

第 84 页 共 99 页

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点和上顶点分别 a 2 b2

为 A、B,左、右焦点分别是 F1,F2,在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1⊥PF2, 则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

9、 ( 江 西 省 重 点 中 学 协 作 体 2017 届 高 三 下 学 期 第 一 次 联 考 ) 设 A 、 B 分 别 为 双 曲 线

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右顶点, P, Q 是双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点,设直线 a 2 b2 2b a 1 ? ? ? ln | m | ? ln | n | 取得最小值时,双曲线 C 的离心 a b 2 | mn |

AP, BQ 的斜率分别为 m, n ,则
率为( A. 2 ) B.

3

C. 6

D.

6 2

10、(江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)
2 2 2 两圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4by ? 1 ? 4b ? 0 恰有三条公切线,

若 a ? R, b ? R 且 ab ? 0 ,则 A. 1 B. 3

1 1 ? 2 的最小值为 2 a b
C.

1 9

D.

4 9

11、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),过其左焦点 F 作 x 轴的垂线,交双曲线于 A,B 两点,若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的 取值范围是( ) B.(1,2)

x2 y2 a b

? 3? A.?1, ? ? 2?

?3 ? C.? ,+∞? ?2 ?

D. (2,+∞)

二、解答题 1、 (红色七校 2017 届高三第二次联考)已知椭圆的焦点坐标为 F1(﹣1,0),F2(1,0),过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△F1MN 的内切圆的面积是否存在最大值?若 存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

2、 (赣吉抚七校 2017 届高三阶段性教学质量监测考试(二) )已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的 a 2 b2

第 85 页 共 99 页

离心率 e ?

3 2 5 ,右顶点、上顶点分别为 A ,B ,直线 AB 被圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 截得的弦长为 . 2 5

(1)求椭圆 C 的方程;

???? ??? ? ???? ? (2)设过点 B 且斜率为 k 的动直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 M , ON ? ? OB ? OM ,若点 N 在

?

?

圆 O 上,求正实数 ? 的取值范围.

3、 (赣中南五校 2017 届高三下学期第一次联考)已知抛物线 点为 点 , ,交 的圆心在 于另一点 和抛物线 上的动点

:

的准线为 的直线 ,交

,焦 于

轴的正半轴上,且与 轴相切,过原点作倾斜角为 ,且 的方程;

(I) 求 (II) 过



的切线,切点为



,求当坐标原点

到直线

的距离取得最

大值时,四边形

的面积.

4、 (赣州市 2017 届高三上学期期末考试)已知圆 E : x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

9 ,经过椭圆 4

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 F1 , F2 ,且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A ,且 F1,E, A a 2 b2

三点共线,直线 l 交椭圆 C 于两点 M ,N ,且 MN ? ?OA(? ? 0) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 ?AMN 的面积取到最大值时,求直线 l 的方程.

???? ?

??? ?

5、 (上饶市 2017 届高三第一次模拟考试)已知椭圆 C :
第 86 页 共 99 页

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,圆 Q : a 2 b2

x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 的圆心 Q 在椭圆 C 上,点 P(0,1) 到椭圆 C 的右焦点的距离为 2.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P 作直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,若 S?AQB ? tan ?AQB ,求直线 l 的方程.

6、 ( 江 西 省 师 大 附 中 、 临 川 一 中 2017 届 高 三 1 月 联 考 ) 已 知 右 焦 点 为 F 的 椭 圆

M:

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 3) 与直线 y ? 相交于 P 、 Q 两点,且 PF ? QF . 2 a 3 7

(1)求椭圆 M 的方程; (2) O 为坐标原点, A , B , C 是椭圆 E 上不同的三点,并且 O 为 ?ABC 的重心,试探究 ?ABC 的面积是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

7、 (新余市 2017 高三上学期期末考试)已知椭圆 M :

x2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 右顶点、上顶点分别为 A、 a2

B,且圆 O : x ? y ? 1 的圆心到直线 AB 的距离为
2 2

3 . 2

(1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 相切,且与椭圆 M 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的最大值.

8、 (宜春中学 2017 届高三 2 月月考)已知抛物线 E:y2=2px(P>0)的准线为 x=﹣1,M,

N 为直线 x=﹣2 上的两点,M,N 两点的纵坐标之积为﹣8,P 为抛物线上一动点,PN,
第 87 页 共 99 页

PM,分别交抛物线于 A,B 两点. (1)求抛物线 E 的方程; (2)问直线 AB 是否过定点,若过定点,请求出此定点;若不过定点,请说明理由.

9、 (江西省重点中学协作体 2017 届高三下学期第一次联考)已知椭圆 C : 左右焦点分别为 E , F ,过点 F 作直线交椭圆 C 于 A, B 两点,若 AF ? 2 FB 且 AE ? AB ? 0. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 已知圆 O 为原点, 圆 D : ( x ? 3) ? y ? r (r ? 0) 与椭圆 C
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 3) 的 9 b2

??? ? ??? ?

交于 M , N 两点, 点 P 为椭圆 C 上一动点, 若直线 PM , PN 与 x 轴分别交于点 R, S , 求证: | OR | ? | OS | 为常数.

10、 (江西师范大学附属中学 2017 届高三 12 月月考)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 a 2 b2

2 与抛物线 C2 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 重合,且点 F 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 , C1 与 C2 的

一个交点的纵坐标为 6 . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线 l 与 C1 交于 A, B 两点,与 C2 交于 C , D 两点,求
1 1 ? 的取值范围. | AB | | CD |

x2 y 2 11、 (南昌市八一中学 2017 届高三 2 月测试)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F 与 a b

第 88 页 共 99 页

抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合,直线 x ? y ? 的圆相切. (1)求该椭圆 C 的方程;

2 ? 0 与以原点 O 为圆心,以椭圆的离心率 e 为半径 2

(2)过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别 交于 D, E 两点.记 ? GFD 的面积为 S1 , ? OED 的面积为 S2 .试问:是否存在直线 AB ,使得

S1 ? S2 ?说明理由.

参考答案 一、选择、填空题 1、C 2、答案:D 解析:设切点为 M ,则 EM ∥ PF1 ,又
2

F2 E 1 ? ,所以 PF1 ? 4r ? b ,所以 PF2 ? 2a ? b , F2 F1 4

因此 b2 ? ? 2a ? b ? ? 4c2 ? b ? 2a ,所以渐近线方程为 y ? ?2 x . 3、A 7、C 9、D 4、B 8、D 5、A 6、A

解 析 : 设 点 P( x0 , y0 ) 则 Q( x0 , ? y0 ) , 所 以 m ? k AP ?

y0 ? y0 ,即 , n ? k BQ ? x0 ? a x0 ? a

m?n ?

2 2 2 x0 y0 b2 b2 y0 2 2 2 y ? ( x ? a ) m ? n ? ? ? ? 1 , 又 , 即 , 所 以 , 则 0 0 2 a2 a2 a 2 b2 a 2 ? x0

2b a 1 2b a a 2 b2 ? ? ? ln | m | ? ln | n |? ? ? ? ln 2 a b 2 | mn | a b 2b2 a





x?

b a



1 1 2b a a 2 b2 1 1 ? ? ln x , 由 ? ? 2 ? ln 2 ? 2 x ? ? ? ln x , 考 查 函 数 f ( x) ? 2 x ? a b 2b a x 2x x 2x
第 89 页 共 99 页

f '( x) ?

1 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ,知 x ? (0, ) 时 f ( x) 单调递减, x ? ( , ??) 时 f ( x) 单调递减,所以当 2 2 2 2x

x?

1 b2 1 1 6 时, f ( x) 取得唯一极小值即为最小值,此时 2 ? ,所以 e ? 1 ? ? 2 a 2 2 2
11、D

10、A

二、解答题 1、解:(1)设椭圆方程为 =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1…

由|PQ|=3,可得

=3,… ,…

又 a2﹣b2=1,解得 a=2,b= 故椭圆方程为 =1…

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),不妨 y1>0,y2<0,设△F1MN 的内切圆的径 R,

则△F1MN 的周长=4a=8, 因此 最大,R 就最大,…

(|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,



得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,…









=

,…

令 t=

,则 t≥1,



,…

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t)=3﹣



第 90 页 共 99 页

当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t)≥f(1)=4,S△F1MN≤3,

即当 t=1,m=0 时,S△F1MN≤3, S△F1MN=4R,∴Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 故直线 l:x=1,△F1MN 内切圆面积的最大值为 2、解: (1) e ? π.

π.

3 x y ? a ? 2b ,所以直线 AB 的方程为 ? ? 1 即 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,??2 分 2 2b b

圆心 O ? 0 ,0 ? 到直线 AB 的距离为 d ? 1 ?

1 2 5 2 5 2b ? ? ? b ? 1, ,所以 5 5 5 5

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;??????????????6 分 4

(2)设点 M 的坐标为 ? x0 ,y0 ?? y0 ? 0 ? 则 N 点的坐标为 ? ? x0 , ? ? y0 ? 1?? ,
1 2 所以 ? 2 ? x0 2 ? ? y0 ? 1? ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ,??8 分 ? ? x0 ? y0 2 ? 2 y0 ? 1
x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4 1 3 ,y0 ? ? ?1 , 1? ,得 ? 2 ? . 所以 ? 2 ? 2 3 y0 ? 2 y0 ? 5 16



?3 ? 所以正实数 ? 的取值范围是 ? , ? ? ? .????????????12 分 ?4 ?

3、 (1)准线 L 交 抛物线方程是

轴于

,在 (3 分)



所以

,所以





中有

,所以 (6 分) 设 ;切线 (8 分)

所以⊙M 方程是: (2)解法一 所以:切线 因为 SQ 和 TQ 交于 Q 点所以 和 所以 ST 方程:
第 91 页 共 99 页

成立 (10 分)

所以原点到 ST 距离

,当

即 Q 在 y 轴上时 d 有最大值

此时直线 ST 方程是

(11 分)

所以

所以此时四边形 QSMT 的面积 4、 (1)

(12 分)

y

A E F1 O F2 x

如图,圆 E 经过椭圆 C 的左、右焦点 F 1 , F2 , 所以 c ? (0 ? ) ?
2 2

1 2

9 ,解得 c ? 2 ????????????????????1 分 4

E , A 三点共线,所以 AF1 为圆 E 的直径, 因为 F 1,
所以 AF2 ? F 1F 2 ????????????????2 分 因为 AF2
2

? AF1 ? AF2 ? 1 ,

2

2

所以 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 4. 所以 a ? 2 ???????????????????4 分 由 a ? b ? c ,得 b ?
2 2 2

2.

x2 y 2 ? ? 1 ??????????????????????5 分 4 2 ???? ? ??? ? (2)由(1)得,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,因为 MN ? ?OA(? ? 0)
所以椭圆 C 的方程为 所以直线 l 的斜率为

2 2 x ? m ???????????6 分 ,设直线 l 的方程为 y ? 2 2

第 92 页 共 99 页

? 2 y? x?m ? ? 2 2 2 联立 ? ,得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 ???????????????7 分 2 2 ?x ? y ?1 ? ?4 2
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ? ? ( 2m)2 ? 4(m2 ? 2) ? 0 ,得 ?2 ? m ? 2 . 因为 ?

? x1 ? x2 ? ? 2m ?
2 ? ? x1 ? x2 ? m ? 2
2

所以 MN ? 1 ? k

x1 ? x2 ? 12 ? 3m 2 ??????????????????9 分

又点 A 到直线 l 的距离为 d ?

6 m, 3

S?AMN ?

1 1 6 MN d ? 12 ? m2 ? m 2 2 3

2 2 4 ? m2 ? m2 2 2 ? (4 ? m )m ? ? ? 2 ????????????????10 分 2 2 2
当且仅当 4 ? m ? m ,即 m ? ? 2 时,等号成立??????????????11 分
2 2

所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ? x ? 2 ?????????????12 分 2 2

5、解: (1)因为椭圆 C 的右焦点 F (c, 0) , | PF |? 2 ,所以 c ? 3 , 因为 Q(2,1) 在椭圆 C 上,所以
2 2 2

4 1 ? ? 1, a 2 b2

由 a ? b ? 3 ,得 a ? 6 , b ? 3 ,
2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 6 3

1 QA ? QB sin ?AQB ? tan ?AQB , 2 ??? ? ??? ? 即 QA ? QB cos ?AQB ? 2 ,可得 QA ? QB ? 2 ,
(2)由 S?AQB ? tan ?AQB 得: ①当 l 垂直 x 轴时, QA ? QB ? (?2, 3 ?1) ?(?2, ? 3 ?1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 2 , 此时满足题意,所以此时直线 l 的方程为 x ? 0 ; ②当 l 不垂直 x 轴时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,

??? ? ??? ?

第 93 页 共 99 页

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 6 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 4 ? 0 , 3 ? y ? kx ? 1 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x2 ?

代入 QA ? QB ? 2 可得: ( x1 ? 2, y1 ?1) ? ( x2 ? 2, y2 ?1) ? 2 , 代入 y1 ? kx1 ? 1, y2 ? kx2 ? 1 ,得 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2 , 代入化简得:

??? ? ??? ?

?4 k ?4 , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

1 ?4(k 2 ? 1) 8k ? ? 2 ? 0 ,解得 k ? , 2 2 4 1 ? 2k 1 ? 2k

经检验满足题意,则直线 l 的方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 , 综上所述直线 l 的方程为 x ? 0 或 x ? 4 y ? 4 ? 0 . 6、 (1)设 F (c, 0) , P(t ,

3 3 ) ,则 Q (?t , ) ,??????????(1 分) 7 7

?

t2 3 4 ? ? 1 ,即 t 2 ? a 2 ,①??????????(2 分) 2 7 a 7

3 3 9 7 ? 7 ? ?1 2 2 ,即 c ? t ? ? ,②??????????(3 分) ? PF ? QF ,? t ? c ?t ? c 7
4 9 ? 由①②得 c 2 ? a 2 ? ? , 7 7
2 2 又 a ? c ? 3 ,? a 2 ? 4 ,??????????(4 分)

? 椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .??????????(5 分) 4 3

(2)设直线 AB 方程为: y ? kx ? m ,

?8km ? x1 ? x2 ? ? x2 y 2 ? ?1 ? ? ? 3 ? 4k 2 2 2 2 ? 由? 4 得 , (3 ? 4 k ) x ? 8 kmx ? 4 m ? 12 ? 0 ? 3 ? y ? y ? 6m ? y ? kx ? m 1 2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
???? ??? ? ??? ? 8km ?6m , ) ,??????????(7 分) ? O 为重心,? OC ? ?(OA ? OB) ? ( 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

第 94 页 共 99 页

8km 2 ?6m 2 ) ( ) 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k ? C 点在椭圆 E 上,故有 ? ?1 , 4 3 (
可得 4m2 ? 4k 2 ? 3 ,??????????????????????????????(8 分) 而 | AB |? 1 ? k 2 (

?8km 2 4m2 ? 12 2 4 1 ? k 2 ) ? 4( ) ? 12k 2 ? 9 ? 3m2 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
| 3m | 1? k 2
( d 是原点到 AB 距离的 3 倍得到) , ???????? (9 分)

点 C 到直线 AB 的距离 d ?

1 6|m| 6| m| 9 | AB |?d ? 12k 2 ? 9 ? 3m 2 ? 12m 2 ? 3m 2 ? ,?????(10 分) 2 2 2 3 ? 4k 4m 2 9 当直线 AB 斜率不存在时, | AB |? 3 , d ? 3 , S ?ABC ? , 2 9 ? ?ABC 的面积为定值 .??????????????????????(12 分) 2 x 7、 【解析】 (1)据题意: A(a,0), B(0,1) ,故直线 AB 的方程为: ? y ? 1 ,即: x ? ay ? a ? 0 。 a ? S?ABC ?
所以点 O 到直线 AB 的距离为:

a 1? a2

?

3 x2 ? y 2 ? 1. ,解得 a ? 3 ,故椭圆的方程为 2 3

( 2 )当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,代入

x2 6 ? y 2 ? 1 ,得 y ? ? ,此时 3 3

PQ ?

2 6 . 3

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 因为直线 l 与圆 O 相切,所以

m 1? k 2

? 1,

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 即 m2 ? 1 ? k 2 , 由 ? 3 消去 y ,整理得 ?1 ? 3k ? x ? 6kmx ? 3 ? m ? 1? ? 0 , ? y ? kx ? m ?
? ? 36k 2 m 2 ? 12 ?1 ? 3k 2 ?? m 2 ? 1? ? 12 ?1 ? 3k 2 ? m 2 ? ? 24k 2 , 由 ? ? 0 , 得 k ? 0 , 设

3 ? m2 ? 1? 6km , P ? 1x , ? y , ? Q 2 ,x , x1 x2 ? ? ,则 1 2 y x1 ? x2 ? ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
所 以

x1 ? x ?

?x

? 2 x

?

2

? 4x x ?

2 6k 1 1 ? 3k 2

2



所1

以2

第 95 页 共 99 页

PQ ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 1 ? k 2 x1 ? x2
2 2

[来

?1 ? k ??2k 2 6k ? 1? k 2 ? ? 2 3 ? ? 2 3? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
8、解:(1)由﹣ =﹣1 得 p=2,

?1 ? k ? ? 2k
2

2

2 1 ? 3k 2

? 3 , 当且仅当 1 ? k 2 ? 2k 2 , 即

k ? ?1 时, PQ 取得最大值 3 .综上所述, PQ 最大值为 3 .

故抛物线方程 y2=4x..…(4 分) (2)设 P(x0,y0)、A(x1,y1)、B(x2,y2),直线 AB 方程为 x=my+n. 联立抛物线方程得 y2﹣4ny﹣4m=0,则 y1y2=﹣4m..…(6 分) 由直线 PA 的斜率 ,

则直线 PA 的方程:y﹣y0=

(x﹣x0),

又 y02=4x0,即直线 PA 的方程:4x﹣(y1+y0)y+y1y0=0, 令 x=﹣2,得 yM= ,同理 yN= ..…(8 分)

yMyN=

?yN=

=﹣8,

整理得(y1y2+8)(y02+8)=0. 则 y1y2=﹣8,即﹣4m=﹣8,∴m=2. 故直线 PA 的方程:x=ny+2,即直线 AB 过定点(2,0)..…(12 分)
9、解:(1)设 BF ? m ,则 AF ? 2m , BE ? 6 ? m , AE ? 6 ? 2m , AB ? 3m .
2 2 2 则有 (6 ? 2m) ? (3m) ? (6 ? m) ,解得 m ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3(分)

? AF ? 2 , BE ? 5 , AE ? 4 , AB ? 3 ,
? AB ? AE
2 2

? BE ,? AE ? AF .
2

2

于是,在 Rt △ AEF 中, EF

? AE ? AF

2

2

? 4 2 ? 2 2 ? 20 ,

第 96 页 共 99 页

所以 EF ? 2 5 ,所以 b 2 ? 9 ? ( 5 ) 2 ? 4 ,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .· · · · · · · ·6(分) 9 4

(2)由条件可知 M 、 N 两点关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , P( x0 , y0 ) ,则 N ( x1 ,? y1 ) ,
2 2 x0 y0 x12 y12 9 9 2 2 ? (4 ? y 0 ). ? ? 1, ? ? 1 ,所以 x12 ? (4 ? y12 ) , x 0 4 4 9 4 9 4

直线 PM 的方程为 y ? y 0 ?

y1 ? y 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9(分) ( x ? x0 ) , x1 ? x0 x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , 同理可得点 S 的 横坐标 x S ? 1 0 . 于是 y 0 ? y1 y 0 ? y1

令 y ? 0 得 点 R 的横坐标 x R ?

OR ? OS ?

2 2 x1 y 0 ? x0 y1 x1 y 0 ? x0 y1 x 2 y 2 ? x0 y1 ? ? 1 0 2 2 y 0 ? y1 y 0 ? y1 y 0 ? y1

?

1 9 9 1 2 2 2 ? [ (4 ? y12 ) y 0 ? (4 ? y 0 ) y12 ] ? 2 ? 9( y 0 ? y12 ) ? 9 , 2 4 y ? y1 4 y 0 ? y12
2 0

所以, OR ? OS 为常数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12(分) 10、解: (Ⅰ)∵ C2 : y 2 ? 2 px 的焦点 F 的坐标为 (

p , 0) 2

p ? 1| ? 2 由点 F 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 得 2 2 ,0) 为椭圆的一个焦点 ∵p?0 解得 p ? 2 又 F (1 |
∵ C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 x 轴对称,

∴a ?b ?1
2 2



2 而 C2 的方程为 y ? 4 x ,从而 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( , ? b ) ∴

3 2

9 6 ? 2 ?1 ② 2 4a b

x2 y 2 ? ? 1 ,点 F 的坐标为 (1, 0) 9 8 8 x2 y 2 ? ? 1 求得 y ? ? (Ⅱ)当 l 过点 F 且垂直于 x 轴时, l 的方程为 x ? 1 代入 C1 : 3 9 8 16 ∴ | AB |? 把 x ? 1 代入 C2 : y 2 ? 4 x 求得 y ? ?2 ∴ | CD |? 4 3
联立①②解得 a ? 9, b ? 8 ,
2 2

∴ C1 的方程为

此时

1 1 3 1 7 ? ? ? ? | AB | | CD | 16 4 16

当 l 与 x 轴不垂直时,要使 l 与 C2 有两个交点,可设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 此时设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 )

第 97 页 共 99 页

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 把直线 l 的方程与椭圆 C1 的方程联立得 ? x 2 y 2 得 (8 ? 9k ) x ?18k x ? 9k ? 72 ? 0 ? ? ?1 ?9 8
2 2 可得 x1 ? x2 ? 18k 2 , x1 x2 ? 9k ? 72 , ?1 ? 36 ? 64(k 2 ? 1) ? 0 2 8 ? 9k 8 ? 9k

∴ | AB |? 1 ? k

2

2 2 48(k 2 ? 1) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ( 18k 2 )2 ? 4?9k ? 72 ? 2 2

8 ? 9k

8 ? 9k

8 ? 9k

把直线 l 的方程与抛物线 C2 的方程联立得 ? 可得 x3 ? x4 ?
2

? y ? 4x
2

? y ? k ( x ? 1)

得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,
2 2 2 2

2k ? 4 , ?2 ? 16(k 2 ? 1) ? 0 2 k 2k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) ? 2 ? ∴ | CD |? x3 ? x4 ? 2 ? k2 k2 1 1 8 ? 9k 2 k2 8 ? 9k 2 ? 12k 2 21k 2 ? 8 7 13 ∴ ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 | AB | | CD | 48(k ? 1) 4(k ? 1) 48(k ? 1) 48(k ? 1) 16 48(k 2 ? 1) 1 7 13 13 1 1 2 ?( , ) ?? ?0 ? ∵ k ?1 ? 1 ∴? ∴ 2 6 16 48 48(k ? 1) | AB | | CD | 1 7 1 1 ? 综上可得, 的取值范围是 ( , ] . 6 16 | AB | | CD |
|0?0? 2 | 2 ? 1, 2 2

11、 【解析】(1) 依题意,得 c ? 1 , e ?



c 1 ? ,? a ? 2,? b ? 1, a 2
(5 分)

x2 y 2 ? 1. ? 所求椭圆 C 的方程为 ? 4 3

第 98 页 共 99 页

? △ GFD ∽△ OED ,?

| GF | | DG | | GF | | DG | | DG | 2 ? ,? ? ?( ) , | OE | | OD | | OE | | OD | | OD |
(11 分)



S1 | DG | 2 ?( ) , 又? S1 ? S2 ,? | GD |?| OD | , | OD | S2
( ?k 2 ?4k 2 2 3k 2 ?k 2 ? ) ? ( ) ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2

所以

整理得 8k ? 9 ? 0 ,因为此方程无解,

第 99 页 共 99 页


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