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函数的奇偶性与周期性7


函数的奇偶性与周期性 知识点归纳 1 函数的奇偶性的定义; 2 奇偶函数的性质:
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(1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇 函数的图象关于原点对称;3 f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |)
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4 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则
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f (0) ? 0

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5 判断函数的奇偶性,函数式化简整理须注意使定义域不受影响; 6 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
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7 函数的奇偶性等价形式:
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f ( x) ? f (? x) ? 0 , f ( x) ? ?1
f (? x)

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8 设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域
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上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇
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5 若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立, 则称 T 为函数 f(x)的周期, 一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集 (5)函数的周期性 定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x ,使
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f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的

一个周期 题型讲解

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1 若函数 f ( x) 在 R 上是奇函数,且在 ?? 1, 0? 上是增函数,且
f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则① f ( x) 关于

对称;② f ( x) 的周期



; 函数(增、减) ;

③ f ( x) 在(1,2)是

1

( 0, 1 )时, f ④ 若x ?


( x) = 2

x

,则

f (log18 1 ) ?
2

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(2)

f ( x) 是定义在 (??,??) 上,以 2 为周期的周期函数,且 f ( x) 为

偶函数, 在区间[2, 3]上,f ( x) = ? 2( x ? 3) 2 ? 4 ,则 x ? [0,2]时, f ( x) =
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2 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图 象一定通过原点;③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数 又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是 _________ 3 判断下列各函数的奇偶性:
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(1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x lg(1 ? x 2 ) ; (2) f ( x) ? 2 ; 1? x | x ? 2 | ?2

2 ? ( x ? 0) ?x ? x f ( x ) ? (3) ? 2 ( x ? 0) ? ?? x ? x

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4

已 知 函 数

f ( x)

对 一 切

x, ? y

R 都 有 ,

f( ? x

)y ?

(f ? ) x,

(f

)y

(1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示
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f (12)

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5 ( 1 ) 已 知 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? (0, ??) 时 ,
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f ( x)? x(? 1 3 x, )
则 f ( x) 的解析式为________________
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6 设 a 为实数函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R 讨论 f ( x) 的奇偶性;
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7 函数 f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数,则 b= 8 函数 F(x)=(1+2/(2x?1))f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x) ______________函数
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2

9 已 知 函 数 f(x)=x2+lg(x+
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x 2 ? 1 ), 若 f(a)=M, 则 f(?a) 等 于

____________ 10 若对正常数 m 和任意实数 x,等式 f ( x ? m) ?
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1 ? f ( x) 成立,则下 1 ? f ( x)

列说法 11 已知 f(x) 是奇函数,且当 x?(0,1)时, f(x)=ln(1/(1+x)), 那么当 x?(?1,0)时,f(x)= _________________ 5 试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和 6 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(1?cosx+sinx)/(1+cosx+sinx); (2)f(x)=x/(ax?1)+x/2 (a>0 且 a≠1)(偶函数)
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2 ? ? x ( x ? 1) x ? 0 (3)f(x)= ? 2 ? ?? x ( x ? 1) x ? 0

3


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