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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.4直观图画法课件 苏教版必修2


1.1.4

直观图画法

学习目标 1.了解斜二测画法的概念; .了解斜二测画法的概念; 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形 . 和立体图形的直观图; 和立体图形的直观图; 3.通过观察三视图和直观图,了解空间图 .通过观察三视图和直观图, 形的不同表示形式及不同形式间的联系. 形的不同表示形式及不同形式间的联系.

课前自主学案 1.1.4 直 观 图 画 法

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.空间几何体的三视图:_______、_______、 .空间几何体的三视图 正视图 、 左视图 、 俯视图 . _______. 2.画三视图的规则:长_____、高_____、宽 .画三视图的规则: 对正 、 平齐 、 相等 _____.

知新益能 1.消点 . 在中心投影中,水平线 或铅直线 或铅直线)仍保持水平 在中心投影中,水平线(或铅直线 仍保持水平 (或竖直 ,但斜的平行线则会 相交 ,_____称 或竖直),但斜的平行线则会_____, 交点 称 或竖直 为消点. 为消点. 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直 . 观图的步骤

思考感悟 1.水平放置的直角三角形的直观图还是直 . 角三角形吗? 角三角形吗? 提示:不一定.因为用斜二测画法画水平放 提示:不一定. 置的平面图形的直观图时, 置的平面图形的直观图时,长度和角度一般 要发生变化, 要发生变化,故水平放置的直角三角形的直 观图一般为斜三角形. 观图一般为斜三角形.

2.用斜二测画法画直观图时,应如何在已 .用斜二测画法画直观图时, 知图形中建立直角坐标系? 知图形中建立直角坐标系? 提示:在已知图形中选 轴 轴时 轴时, 提示:在已知图形中选x轴、y轴时,要使尽 量多的点在x轴 轴上 或尽量在与x轴 轴上, 量多的点在 轴、y轴上,或尽量在与 轴、y 轴平行的线段上. 轴平行的线段上.

3.立体图形直观图的画法 . 画立体图形的直观图,在画轴时, 画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一 条与平面x′ ′ ′垂直的轴O′ ′ 且平行 条与平面 ′O′y′垂直的轴 ′z′.且平行 于O′z′的线段长度 不变 .其他同平面图 ′ ′的线段长度_____. 形的画法. 形的画法.

思考感悟 3.空间几何体的直观图一定惟一吗? .空间几何体的直观图一定惟一吗? 提示:不一定惟一.作直观图时, 提示:不一定惟一.作直观图时,由于选轴 不同,所画直观图就不一定相同. 不同,所画直观图就不一定相同.

课堂互动讲练

考点突破 画水平放置的平面图形的直观图 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观 图,首先要在平面上建立直角坐标系,一般 首先要在平面上建立直角坐标系, 是利用图形的特性(如对称性 来建立坐标系 是利用图形的特性 如对称性)来建立坐标系, 如对称性 来建立坐标系, 使尽可能多的点落在坐标轴上. 使尽可能多的点落在坐标轴上.

例1 画一个锐角为 °的平行四边形的直 画一个锐角为45°

观图(尺寸自定 . 观图 尺寸自定). 尺寸自定 【思路点拨】 思路点拨】 解答本题先根据斜二测画法

的规则, 的规则,在所给的平面图形中建立适当的平 面直角坐标系,再应用斜二测画法画直观图 面直角坐标系,再应用斜二测画法画直观图.

如图(1)所示 所示, 【解】 如图 所示,在平行四边形上建立坐 如图(2), 标系 xOy,再建立坐标系 x′O′y′.如图 , , ′ ′ ′ 如图 在 x′轴上截取 O′A′=OA,O′B′=OB, ′ ′ ′ , ′ ′

1 在 y 轴上截取 O′D′= OD,过 D′点作线 ′ ′ , ′ 2 段 D′C′=DC,且 D′C′∥A′B′.连结 ′ ′ , ′ ′ ′ ′ 连结 B′C′ , A′D′ , 则 A′B′C′D′ 即为 ? ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ABCD 的直观图. 的直观图.

【名师点评】 名师点评】

当已知平面图形中没有互相

垂直的线段时, 垂直的线段时,通常过平面图形的顶点作另 一线段的垂线,作为 轴和 轴和y轴 一线段的垂线,作为x轴和 轴.本题也可以 以A为原点,AB所在直线为 轴建系,但要 为原点, 所在直线为x轴建系, 为原点 所在直线为 轴建系 轴的垂线, 过D作x轴的垂线,以确定 在直观图中的位 作 轴的垂线 以确定D在直观图中的位 置D′. ′

变式训练1 变式训练

用斜二测画法画边长为

4 cm的水平放置的正三角形的直观图. 的水平放置的正三角形的直观图. 的水平放置的正三角形的直观图 如图① 解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为 如图 所示, 边所在的直线为 x轴,以BC边上的高线 所在的直线为 轴. 轴 边上的高线AO所在的直线为 边上的高线 所在的直线为y轴

(2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′ 画对应的 ′ ′ ′ ′ ′ =45°. 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=2 cm, ′ ′ ′ ′ ′ , 1 y′ O′A′ OA, A′B′ 在 y′轴上截取 O′A′= OA, 连结 A′B′ 2 A′C′, ′ ′ 则三角形 A′B′C′即为正三角形 ′ ′ ′ ABC 的直观图,如图②所示. 的直观图,如图②所示.

空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图, 画空间几何体的直观图,只需在水平放置的 平面图形的直观图画法步骤中多添画与 x′O′y′平面垂直的 ′轴. ′ ′ ′平面垂直的z′
例2

(本题满分 分)画正六棱柱 底面是正 本题满分14分 画正六棱柱 画正六棱柱(底面是正 本题满分

六边形,侧棱垂直于底面 的直观图 的直观图. 六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.

【思路点拨】 思路点拨】 → 成图
【规范解答】 规范解答】

画轴 → 画底面 → 画侧棱

画法:(1)画轴.画x′轴、 画法: 画轴. ′ 画轴

y′轴、z′轴,使∠x′O′y′=45°(或 ′ ′ ′ ′ ′ °或 135°),∠x′O′z′=90°. … … … 4分 °, ′ ′′ ° 分

(2)画底面.按x′轴,y′轴,画正六边形的 画底面. 画底面 ′ ′ 直观图ABCDEF. … … … … … … … … 8分 直观图 分 (3)画侧棱.过A、B、C、D、E、F各点分别 画侧棱. 画侧棱 、 、 、 、 、 各点分别 作z′轴的平行线,在这些平行线上分别截取 ′轴的平行线, AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 都等于侧棱长. 12分 都等于侧棱长. … … … … … … … … 12分 (4)成图.顺次连结 ′、B′、C′、D′、 成图. 成图 顺次连结A′ ′ ′ ′ E′、F′,并加以整理 去掉辅助线,将被遮 去掉辅助线, ′ ′ 并加以整理(去掉辅助线 挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观 挡的部分改为虚线 , 图. … … … … … … … … … … … … 14分 分

【名师点评】 名师点评】

利用斜二测画法画空间图形

的直观图应遵循的基本原则: 的直观图应遵循的基本原则: (1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情 画空间图形的直观图在要求不太严格的情 况下,长度和角度可适当选取. 况下,长度和角度可适当选取. (2)画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖 画法规则可简记为:两轴夹角为 ° 画法规则可简记为 轴垂直仍不变,平行不变,长度变, 轴垂直仍不变,平行不变,长度变,横竖不 变,纵折半. 纵折半.

变式训练2 变式训练

用斜二测画法画长、 用斜二测画法画长、宽、高分

别是4 的长方体ABCD- 别是 cm、3 cm、2 cm的长方体 、 、 的长方体 - A′B′C′D′的直观图. ′ ′ ′ ′的直观图. 解:(1)画轴.如图所示,画x轴、y轴、z轴, 画轴.如图所示, 轴 轴 轴 画轴 三轴相交于点O, 三轴相交于点 ,使∠xOy=45°,∠xOz = ° =90°. °

(2)画底面.以点 O 为中心,在 x 轴上取线段 画底面. 为中心, 画底面 MN,使 MN=4 cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 , = ; , 3 PQ= cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线, 轴的平行线, = 分别过点 2 轴的平行线, 过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分 别为 A,B,C,D,四边形 ABCD 就是长方体 , , , , 的底面 ABCD.

(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作 轴的 画侧棱. 各点分别作z轴的 画侧棱 , , , 各点分别作 平行线,并在这些平行线上分别截取 平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长 长 的线段AA′ 的线段 ′,BB′,CC′,DD′. ′ ′ ′ (4)成图.顺次连结A′,B′,C′,D′, 成图.顺次连结 ′ 成图 ′ ′ ′ 并加以整理(去掉辅助线, 并加以整理 去掉辅助线,将被遮挡的部分 去掉辅助线 改为虚线),就得到长方体的直观图. 改为虚线 ,就得到长方体的直观图.

由直观图还原平面图形 由直观图还原成平面图形, 由直观图还原成平面图形,实际上就是斜二 测画法画直观图的逆过程. 测画法画直观图的逆过程.
例3

已知水平放置的直观图

是一梯形(如图所示 , 是一梯形 如图所示),∠D′A′B′=45°, 如图所示 ′ ′ ′ ° A′B′=2D′C′=2A′D′,请画出它 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 的原图形. 的原图形.

【思路点拨】 逆用斜二测画法的规则,抓住 思路点拨】 逆用斜二测画法的规则, 平行关系及线段长短的变化是解本题的关键. 平行关系及线段长短的变化是解本题的关键 画法:建立∠ ′ ′ ′ 【解】 画法:建立∠x′O′y′为45°的坐 ° 标系,如图(1)所示 所示, 标系,如图 所示,然后按下面的步骤进行画 图: (1)在水平放置的直观图中延长 ′A′,交x′ 在水平放置的直观图中延长D′ ′ 在水平放置的直观图中延长 ′ 轴于E′ 轴于 ′. (2)如图 所示,画互相垂直的轴 ,Oy,取 如图(2)所示 如图 所示,画互相垂直的轴Ox, , OE=O′E′,过E作EF∥y轴,在EF上截取 = ′ ′ 作 ∥ 轴 上截取 AE=2A′E′,AD=2A′D′,再过 作 = ′ ′ = ′ ′ 再过D作 DC∥x轴,过A作AB∥x轴,并且截取 = ∥ 轴 作 ∥ 轴 并且截取DC= D′C′,AB=A′B′. ′ ′ = ′ ′

(3)连结 ,得直观图 ′B′C′D′的原 连结BC,得直观图A′ ′ ′ ′ 连结 图形,即直角梯形 图形,即直角梯形ABCD就是所求作梯形 就是所求作梯形 A′B′C′D′的原图形. ′ ′ ′ ′的原图形.

【名师点评】 名师点评】

解此类题目的方法是找与

x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于 ′ ′轴平行的直线或线段, x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴 ′轴的线段还原时长度不变,平行于 ′ 的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连结 倍 由此确定图形的各个顶点, 即可. 即可.

互动探究3 互动探究

试求本例中直观图与还原后平面

图形的面积之比. 图形的面积之比.

解:在直观图中,设 D′C′=a,则 A′B′ 在直观图中, ′ ′ , ′ ′ =2a,A′D′=a, , ′ ′ , ∵∠D′ ′ ′ ∵∠ ′A′B′=45°, 梯形 A′B′C′D′ , ∴ ′ ′ ′ ′ 2 的高为 a. 2

2 3 2 2 1 a. ∴S 梯形 A′B′C′D′= (a+2a)× a= + × = 2 4 2 在平面图形中, = , = , 在平面图形中,AB=2a,CD=a,高 AD=2a. = 1 ∴S 梯形 ABCD= (a+2a)·2a=3a2. + = 2 3 2 2 a S直观图 4 2 ∴ = = . 3a2 4 S平面图形

方法感悟 1.斜二测画法 . (1)“斜”:∠x′O′y′=45°或135°; “ ′ ′ ′ ° ° (2)“二测”:横不变,纵折半. “二测” 横不变,纵折半. 2.在直观图中,原来与轴平行的平行线仍然 .在直观图中, 与轴平行,角的大小一般都改变了, 与轴平行,角的大小一般都改变了,因此在 已知直观图而计算原图中的有关数据时, 已知直观图而计算原图中的有关数据时,首 先要将直观图复原. 先要将直观图复原.

3.为了增强立体感,画直观图时,被挡住的 .为了增强立体感,画直观图时, 部分通常用虚线来画. 部分通常用虚线来画. 4.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形 . 2 的直观图的面积是原图形面积的 倍. 4


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