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高二1-2-2正余弦定理应用(二)讲义


中国教育培训领军品牌

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: ______________ 副校长/组长签字: 学 员 编 号 : 学 员 姓 名 : 课 题 年 级 : 课 签字日期: 时 数 :

辅 导 科 目 :
正余弦定理应用(二)

学 科 教 师 :

授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点

【考纲说明】
1、掌握余弦定理的准确公式。 2、会应用公式解决相关问题。 3、高考占分 10 分左右。

【趣味链接】
2、正余弦图形就像正常人的心电图一样,上下波动幅度和周期都很固定。人体的特征周期也可以用三角函数的图像来 表示,如下图:

【知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 余弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?cos A, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

1

中国教育培训领军品牌 变 形 形式 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA=

a b c ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R

③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④

a?b?c a ? sin A ? sin B ? sin C sin A

b2 ? c2 ? a 2 ; 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? ; 2ca a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab cos A ?

解 决 的 问 题

① 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ① 已知三边,求各角; ② 已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他 ② 已知两角和它们的夹角, 求 两角。 第三边和其他两个角。

注:在Δ ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。 (∵sinA>sinB ? 二、应用举例

a b ? ? a>b ? A>B) 2R 2R

1、实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如图①)

(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α (如图②) 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正 北方向而言的。 (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东 ? ? 即由指北方向顺时针旋转 ? ? 到达目标方向; ②北偏本 ? ? 即由指北方向逆时针旋转 ? ? 到达目标方向; ③南偏本等其他方向角类似。 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ 为坡角) 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④, i 为坡比) 2、Δ ABC 的面积公式

1 a?ha (ha 表示a边上的高) ; 2 1 1 1 abc (2) S ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? ( R为外接圆半径) ; 2 2 2 4R 1 (3) S ? r (a ? b ? c)(r为内切圆半径) 。 2
(1) S ?

【经典例题】

2

中国教育培训领军品牌 【例 1】在 ?ABC中, ? B 是 sin A ? sin B 的 A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例 2】已知关于 x 的方程 x 2 ? x cos A ? cos B ? 2sin 2 ( )

C ? 0 的两根之和等于两根之积的一半,则 ?ABC 一定是 2

( ) (A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形. 【例 3】 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= 【例 4】如图,在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ? .

B
3
2? 3

2? ,则 a= 3



C

1

A
2 ,则角 A 的大小

【例 5】在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 为 .
2

【例 6】在 ? B 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且 4sin AC (1)求 ?A 的度数 (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值 【例 7】 在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 【例 8】如图,在△ABC 中,已知 a ?

B?C 7 ? cos 2 A ? 2 2

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c.

【例 9】(2010 洋浦高二检测)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边;(1) 若 ?ABC 面积

S ?ABC ?

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值;(2)若 a ? c cos B 且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状. 2

3

中国教育培训领军品牌 【例 10】 (2010 盐城高二检测)某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔 船在方位角为 45°、距离 A 为 10 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105°的方向,以 9 海里/h的速度向某小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/h的速度前去营救。 (1)试问舰艇应按照怎样的航向前进?(2)求出舰艇靠近渔船所用的时间。

(参考数据:cos21.8°=

3 3 13 , sin21.8°= , 14 14

tan21.8°=

3 3 ) 13

【课堂练习】
1.在△ABC 中,已知角 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求 AB. 2.在△ABC 中,已知 cosA= 3 5 ,sinB= ,求 cosC 的值. 5 13

3、在△ABC 中,已知 2cosBsinC=sinA,试判定△ABC 的形状. sinB+sinC 4.在△ABC 中,若 sinA= ,试判断△ABC 的形状. cosB+cosC

a2-b2 sin(A-B) 5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,求证: 2 = . c sinC

【课后作业】
1.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( ) cos A cos B cos C A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 3 2.在△ABC 中,sin A= ,a=10,则边长 c 的取值范围是( ) 4 ?15 ? ? 40? A.? ,+∞? B.(10,+∞) C.(0,10) D.?0, ? 3? ?2 ? ? 3.在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 B a+c 2 4.在△ABC 中,cos = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( ) 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

a

b

c

5、(2012 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

? A 2 5 ??? ???? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

4

中国教育培训领军品牌 6、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

??? ???? ? AB ? AC ? 3 . (I)求 ?ABC 的面积;
7、在 ? ABC 中,sin(C-A)=1,

A 2 5 , ? 2 5
A

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. sinB=

1 。 3

B

D

C

(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积。 cos A b 4 8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 c=10,又知 = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆半径. cos B a 3

【作业条】
本次______________同学课堂状态:_________________________________________________________________ 本次课后作业:___________________________________________________________________________________ 需要家长协助:____________________________________________________________________________________ 家长意见:________________________________________________________________________________________

【参考答案】
【典型例题答案】

1、 C ;2、C;3、由 A+C=2B 及 A ? B ? C ? 180 得 B ? 60 ,由正弦定理得
? ?

1 3 1 ? 得 sin A ? ,由 a ? b 知 ? sin A sin 60 2

A ? B ? 60? ,所以 A ? 30? , C ? 180? ? A ? B
? 90? ,所以 sin C ? sin 90? ? 1. ;4、1;5、30°或
6. 2 ?1 ? cos( B ? C )? ? 2cos A ? 1 ?
2

? 6
7 2
∴ cos A ?

7 2

2 ?1 ? cos ? ? ? 2cos 2 A ? 1 ?

1 2

0? A?

?
3

b ?c ?a 1 2 ? ? b ? c ? ? a 2 ? 3bc 将 a ? 3, b ? c ? 3 代入得 bc ? 2, 由 b ? c ? 3 及 bc ? 2 ,得 b ? 1, c ? 2 2bc 2 或 b ? 2, c ? 1 . cos A ?
2 2 2

7、由扩充的正弦定理:代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA;sinAcosB-cosAsinB=0 , sin(A-B)=0; A-B=0 A=B 即△ABC 为等腰三角形 8、由正弦定理得: sin A ?



a sin B 3 sin 45 ? 3 ? ? b 2 2
∴A=60?或 120?

∵B=45?<90? 即 b<a

5

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当 A=60?时 C=75?

b sin C c? ? sin B c?

2 sin 75 ? ? sin 45 ?

6? 2 2 6? 2 2

当 A=120?时 C=15?

b sin C 2 sin 15 ? ? ? sin B sin 45 ?

9、 (1)? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,? 1 b ? 2 sin 60? ? 3 ,得 b ? 1 , 2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 ,
2 2 2 2 2

所以 a ?

3 .

(2)由余弦定理得: a ? c ? 所以 ?C ? 90? ;

a 2 ? c2 ? b2 ,? a 2 ? b 2 ? c 2 , 2ac

在 Rt?ABC 中, sin A ?

a a ,所以 b ? c ? ? a c c



所以 ?ABC 是等腰直角三角形. 10、设舰艇靠近渔船所用的时间为 x 小时,则 AB=21x ,BC=9x 由题意知:∠ACB=45°+75°=120° (1)由正弦定理得:

AB BC ? sin ?ACB sin ?BAC
∴ ∠BAC=21.8°



21x 9x ? sin120 ? sin ?BAC
21.8°+45°=66.8° ---------8 分



sin∠BAC=

3 3 14

∴ 舰艇应按照北偏东 66.8°的航向前进。 (2)在Δ ABC 中, AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? COS?ACB
2 2 2



(21x) 2 ? 10 2 ? (9 x) 2 ? 2 ? 10 ? 9 x ? COS120 ?

解得:x=

2 3 2 小时。 3

∴ 舰艇靠近渔船所用的时间为

【课堂练习答案】

1、解:在△ADC 中, cosC=

AC2+DC2-AD2 72+32-52 11 = = , 2AC·DC 2×7×3 14

6

中国教育培训领军品牌 5 3 14

又 0<C<180°,∴sinC= 在△ABC 中, = sinB sinC

AC

AB

sinC 5 3 5 6 ∴AB= AC= · 2 ·7= . sinB 14 2 3 2 2、解:∵cosA= < =cos45°,0<A<π 5 2 ∴45°<A<90°,∴sinA= 4 5

5 1 ∵sinB= < =sin30°,0<B<π 13 2 ∴0°<B<30°或 150°<B<180° 若 B>150°,则 B+A>180°与题意不符. 12 ∴0°<B<30° cosB= 13 3 12 4 5 16 ∴cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB= · - · = 5 13 5 13 65 又 C=180°-(A+B). 16 ∴cosC=cos[180°-(A+B) ]=-cos(A+B)=- . 65 3、解:在原等式两边同乘以 sinA 得 2cosBsinAsinC=sin A, 2 2 2 2 由定理得 sin A+sin C-sin B=sin A, 2 2 ∴sin C=sin B ∴B=C 故△ABC 是等腰三角形. sinB+sinC sinB+sinC 4、解:∵sinA= ,∴cosB+cosC= , cosB+cosC sinA 应用正、余弦定理得
2 2 2 2

a2+c2-b2 a2+b2-c2 b+c + = , 2ac 2ab a
2 2 2

∴b(a c -b )+c(a -b c )=2bc(b+c) , 2 2 2 ∴a (b+c)-(b+c) b -2bc+c )=2bc(b+c) ( 2 2 2 即 a =b +c 故△ABC 为直角三角形. 2 2 2 2 2 2 5、证明:由 a =b +c -2bccosA. b =a +c -2accosB 2 2 两式相减得 a -b =c(acosB-bcosA) , ∴ 又

a2-b2 acosB-bcosA = . c2 c2 a sinA b sinB = , = , c sinC c sinC

a2-b2 sinAcosB-sinBcosA sin(A-B) ∴ 2 = = . c sinC sinC
【课后作业答案】

7

中国教育培训领军品牌 1 、 B ; 2 、 D ; 3 、 A ; 4 、 B ; 5 、 ( Ⅰ ) cos A ? 2 cos :

2

A 2 5 2 3 w.w ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5

又 A ? (0, ? ) ,

sin A ? 1 ? cos2 A ?

4 3 , 而 AB. AC ? AB . AC . c o s ? bc ? 3 , 所 以 bc ? 5 , 所 以 ?ABC 的 面 积 为 : A 5 5

1 1 4 bc s i n ? ? 5 ? ? 2 A 2 2 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 ,所以 a ? 6、解 (1)因为 cos

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

??? ???? ? A 2 5 A 3 4 ? ,? cos A ? 2cos 2 ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 2 5 2 5 5 1 得 bc cos A ? 3, ?bc ? 5 ,? S?ABC ? bc sin A ? 2 2 (2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,?b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5
7、 解: (I)由 sin(C ? A) ? 1, ?? ? C ? A ? ? , 知 C ? A ? 又 A ? B ? C ? ? , 所以 2 A ? B ?

?
2



?
2

, 即 2A ?

?
2

? B, 0 ? A ?

?

1 3 . . 故 cos 2 A ? sin B,1 ? 2sin 2 A ? ,sin A ? 3 3 4

(II)由(I)得: cos A ? 所以 S?ABC ?

6 BC AC sin A . 又由正弦定理,得: ? , BC ? ? AC ? 3 2, 3 sin A sin B sin B

1 1 AC ? BC ? sin C ? AC ? BC ? cos A ? 3 2. 2 2

sin B b cos A sin B 8、解 由正弦定理知 = ,∴ = .即 sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B. sin A a cos B sin A π 又∵a≠b,∴2A=π -2B,即 A+B= .∴△ABC 是直角三角形,且 C=90°, 2

?a +b =10 ? 由?b 4 ?a=3 ?

2

2

2

,得 a=6,b=8.故内切圆的半径为 r=

a+b-c 6+8-10
2 = 2

=2.

8


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