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高考数学专题四----函数的零点


高考数学专题四------函数的零点
一.技能演练
1.下列函数中在[1,2]上有零点的是( D A. f ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 5 C. f ( x) ? ln x ? 3x ? 6
2



B. f ( x) ? x 3 ? 5x ? 5 D. f ( x) ? e x ? 3x ? 6



2.若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一个实根,则 a 的取值范围是( B A. (??,?1) B. (1,??) C. (?1,1) D. ?0,1?

3.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,则 f ( x) 在 (1,2) 上零点的个数为 ( C ) D.一个也没有

A.至多有一个
x

B.有一个或两个

C.有且只有一个 )

4.函数 f ( x) ? log3 ? x ? 3零点所在大致区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5.已知函数 y ? f ( x) 是R上的奇函数,其零点 x1 ,x2 ?? x2007 ,则 x1 ? x2 ? ? ? x2 0 0 7 = 0 。

6.一次函数 f ( x) ? mx ? 1 ? m 在[0,1]无零点,则 m 取值范围为 m ? 1 10.关于 x 的二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 , 若方程式有两根, 其中一根在区间 (?1,0) 内,
2

另一根在(1,2)内,求 m 的范围。

? m?2 ?? 2 ? 2 ?m ? ?2 ? ? ? ?m ? ?5 ? ?5 ? m ? ?4 6.解 ? f (2) ? 0 ?? ? (m ? 2) 2 ? 4(5 ? m) ? 0 ?m ? 4或m ? ?4 ? ? ?
参考答案: 例 1.解:①若 a ? 0 f ( x) ? ? x ? 1 为一次函数,易知函数仅有一个零点。 ②若 a ? 0 f ( x) 为二次函数, ax ? x ? 1 ? 0 仅有一个实根,△= 1+4
2

a?0

a??

1 4 1 时,函数仅有一个零点。 4
第 1 页 共 5 页

综上: a ? 0 或 a ? ?

例 2.C 例 3.解:由题意知

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0 ? m?R ? f (?1) ? 2 ? 0 ? 5 1 ? ? ?? 1 ?? ?m?? ? 6 2 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0 ?m ? ? 2 ? ? ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?

二.能力提升
1.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的区间是( C )

(A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 提示:f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 2.函数 f(x)= 2 x ? 3 x 的零点所在的一个区间是 ( B ) (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 3.若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是(C ) A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 解析:对于 A 选项:可能存在;对于 B 选项:必存在但不一定唯一 3*.已知函数 f (x)在区间 [a,b]上单调,且 f (a)?f (b)<0,则方程 f (x)=0 在区间[a,

b]内( D ).
A.至少有一实根 B.至多有一实根 ) D. 0 C.没有实根 D.必有惟一实根 4.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( D A.无穷多 B. 3 C. 1

作出 y1 ? lg x, y2 ? x 的图象,发现它们没有交点 5.如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( D )
2

A. ?? 2,6?
3

B. ?? 2,6?

C. ?? 2,6?

D. ? ??, ?2?

?6, ???

6.函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 ( C ) A. 1 B. 2
3

C. 3
3

D. 4
2

提示: f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 ? 2 x ? 2 x ? x ? 1 ? 2 x( x ?1) ? ( x ?1)

第 2 页 共 5 页

? ( x ?1)(2 x2 ? 2 x ?1) , 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 显然有两个实数根,共三个;
7.设 f ?x? ? 3 x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( B A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定 )

[来源:Z&xx



2 8.直线 y ? 3 与函数 y ? x ? 6 x 的图象的交点个数为( A

A. 4 个
x

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个 )

9.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, 2) D. (0, ??)

提示:作出图象,发现当 a ? 1 时,函数 y ? a x 与函数 y ? x ? a 有 2 个交点 10.已知 f ( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下 面命题错误的( C ) A.函数 f ( x) 在 (1, 2) 或 ? 2,3? 内有零点 C.函数 f ( x) 在 (2,5) 内有零点 B.函数 f ( x) 在 (3,5) 内无零点 D.函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 ( D )

11.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A)(0,1). (B)(1,1.25).

(C)(1.25,1.75) (D)(1.75,2)

解析: 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg

7 4

7 1 ? ?0 4 4

f (2) ? lg 2 ? 0 知 x0 属于区间(1.75,2)
12.已知 x0 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ), x 2 ∈( x 0 ,+ ? ),则 1? x
(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 13.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x2 是 10 ? x ? 3 的解,则 x1 ? x2 的值为( C )
x

A.

3 2

B.

2 3

C. 3

D.

1 3
交点横坐标为

解析:作出 y1 ? lg x, y2 ? 3 ? x, y3 ? 10x 的图象, y2 ? 3 ? x, y ? x 而 x1 ? x2 ? 2 ?
5

3 , 2

3 ?3 2
B )

14.函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的实数解落在的区间是(

第 3 页 共 5 页

A. [0,1]

B. [1, 2]

C. [2,3]

D. [3, 4]

15.在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, 使 f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( )? 2 2 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

B )

16.若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( C ) B.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 D.函数 f ( x ) 在区间 (1,16) 内无零点

A.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点 C.函数 f ( x ) 在区间 ? 2,16? 内无零点 唯一的一个零点必然在区间 (0, 2)

17.求 f ( x) ? 2 x3 ? x ? 1 零点的个数为 ( A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



令 2 x3 ? x ?1 ? ( x ?1)(2 x2 ? 2 x ? 1) ? 0 ,得 x ? 1 ,就一个实数根 18.若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为( C )
3

A. ? 1

B. ? 2

C. ?3
[来源:学

D. ? 4

容易验证区间 (a, b) ? (?2, ?1)

二、填空题
19. 已知函数 f ( x) ? 3x ? x ? 5 的零点 x0 ??a, b? , 且 b ? a ? 1 ,a ,b ? N , 则a ?b ?
?

3

20.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么
3

下一个有根的区间是
3

。 [2, 2.5)
3

提示: 令 f ( x) ? x ? 2x ? 5, f (2) ? ?1 ? 0, f (2.5) ? 2.5 ?10 ? 0 21.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 2 。

分别作出 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? 2 的图象; 22.设函数 y ? f ( x) 的图象在 ? a, b? 上连续,若满足 f (a) f (b) ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 在 ? a, b? 上有实根.
[来源:学#科#网]

23.已知函数 f ( x) ? x2 ?1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__0, 2____.

第 4 页 共 5 页

24.函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则 这三个实根的和为 提示: 对称轴为 x ? 1.5 。

1 2

1 2

1 1 1 ,可见 x ? 是一个实根,另两个根关于 x ? 对称 2 2 2

2 25.若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? __4____。 2 提示: 作出函数 y ? x ? 4 x 与函数 y ? 4 的图象,发现它们恰有 3 个交点

26 . 设 x1 与 x2 分 别 是 实 系 数 方 程 ax ? bx ? c ? 0 和 ?ax ? bx ? c ? 0 的 一 个 根 , 且
2 2

a x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,求证:方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间. 2 a 2 解:令 f ( x) ? x ? bx ? c, 由题意可知 ax12 ? bx1 ? c ? 0, ?ax22 ? bx2 ? c ? 0 2 a a a bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax22 , f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2 a a 3a 2 f ( x2 ) ? x2 2 ? bx2 ? c ? x2 2 ? ax2 2 ? x2 , 因为 a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 a 2 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间. 2

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