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2016哈尔滨信息工程学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 哈尔滨信息工程学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={y|y=x-2},P={y|y= A.(1,+∞) +∞) x-1 },那么 M∩P= B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0



2.设 3a=4,3b=12,3c=36,那么数列 a,b,c A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列也是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

3.种植两株不同的花卉,它们的存活率分别为 p 和 q,则恰有一株存活的概率为 A.p+q-2p q B.p+q-pq C. p+q D. pq

4.函数 f(x)=sin(2x+φ )+ 3 cos(2x+φ )的图像关于原点对称的充要条件是 π A.φ =2kπ - ,k∈Z 6 π C.φ =2kπ - ,k∈Z 3 π B.φ =kπ - ,k∈Z 6 π D.φ =kπ - ,k∈Z 3

5.将棱长为 3 的正四面体的各棱长三等份,经过分点将原正四面体各顶点附近均截去 一个棱长为 1 的小正四面体,则剩下的多面体的棱数 E 为 A.16 B.17 C.18 D.19

6.设f(x)= x2+ax+b,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则点(a,b)在 aOb 平面上的区 域 的 面 积

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A.

1 2

B.1

C.2

D.

9 2

7.已知向量 OP =(2,1), OA =(1,7), OB =(5,1),设 X 是直线 OP 上的一点(O 为坐 标原点),那么 XA ? XB 的最小值是 A.-16B.-8 8.直线 C.0 D.4

x y x2 y2 + =1 与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点,椭圆上的点 P 使△PAB 的面 4 3 16 9

积等于 12.这样的点 P 共有 A.1 个 B.2 个 C 3个 D.4 个

9.函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中任何 x,有 2f(x) f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当 x≠0 时,g(x) ≠1,则 F ( x) = + g(x)-1

f ( x)
A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数
2

B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

10.当 x∈[0,2]时,函数 f(x)=ax +4(a-1)x-3 在 x=2 时取得最大值,则 a 的取值 范围是 A.[- 2 ,+∞]
1

B.[0,+∞]

C.[1, +∞]

D.[ 3 ,+∞]

2

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右准线与两条渐近线交于 A、B 两点,右焦点为 F,且 FA a2 b2
).

⊥FB,则双曲线的离心率为(

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12.已知一个球的半径为 1,若使其表面积增加到原来的 2 倍,则表面积增加后球的体 积是______________. 13.函数 y ? x3 ? 3x 2 ? 9x ? 5 的单调递减区间是______________. 14.已知 ? 、 ? 是实数,给出下列四个论断:(1) | ? ? ? |?| ? | ? | ? | ,(2)

| ? ? ? |?| ? ? ? | ,(3) | ? |? 2 2 , | ? |? 2 2 ,(4) | ? ? ? |? 5 .以其中的两个论
断为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________. 15.一天内的不同的时刻,经理把文件交由秘书打字。每次都将文件堆放在秘书的文 件堆的上面,秘书有时间就将文件最上面的那份文件取来打字。若有 5 份文件,且经 理是按 1,2,3,4,5 的顺序交来的,在下列的顺序①12345,②32415,③24351,④ 54321,⑤45231 中,秘书打字的可能顺序是________(只要填上序号). 三、解答题(本大题共 6 题 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题共 12 分,第①小题 4 分,第②小题 4 分,第③小题 4 分) 已知 f(x)=2sin(x+

? ? ? 2 )cos (x+ )+2 3 cos (x+ )- 3 2 2 2

①求 f(x)的最小正周期 ②若 0≤ ? ≤ ? 求使 f(x)为偶函数的 ? 的值。 ③在②条件下,求满足 f(x)=1, x∈[- ? , ? ]的 x 的集合。 17.(本题 12 分。第①题 5 分,第②题 7 分) 如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,AA1= M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N。 ①求证:EM∥A1B1C1D1 ②求二面角 B—A1N—B1 正切值。

1 AB,点 E、M 分别为 A1B,C1C 的中点,过 A1、B、 2

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18、(本题共 14 分) 设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数 列,数列{bn-2} (n∈N*)是等比数列。 (1)设 Cn=an+1-an,求数列{Cn}的通项公式 (2)求数列{an}和{bn}的通项公式。 (3) 是否存在 k∈N*,使得 ak-bk∈(0, 明理由。

1 )?若存在,求出 k;若不存在,请说 2

19.(本题 14 分)某学校为了解决教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总面 积为 A(m )的宿舍楼。已知土地的征用费为 2388 元/m ,且每层的建筑面积相同,土
2 2

地的征用面积为第一层的 2.5 倍。经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同, 都为 445 元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加 30 元/m2。试设计这幢宿舍楼的 楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用。(总费用为建筑费用与征地费用之 和。)

20.(本题 14 分。第(1)题 7 分,第(2)题 7 分)

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已知椭圆 C1:

x2 y2 25 ? 2 =1(a>b>0)的一条准线方程为 x ? 。其左、右顶点分别是 A、 2 4 a b

B;双曲线 C2:

x2 y2 ? =1 的一条渐近线方程为 3x-5y=0。 a2 b2

(1)求椭圆 C1 的方程及双曲线 C2 的离心率。 (2)在第一象限内,取双曲线 C2 上的一点 P,连结 AP 交椭圆 C1 于点 M,连结 PB 并延 长交椭圆 C1 于点 N,若 AM=MP,求证:MN·AB=0

21.(本题共 14 分,第(1)题 3 分,第(2)题 4 分,第(3)题 7 分) 已知函数 f(x)=

x ?1? a (a∈R 且 x≠a) a?x

(1)求证:f(x)+2+f(2a-x)=0 对定义域内的所有 x 都成立 (2)当 f(x)的定义域为[a+

1 ,a+1]时,求 f(x)的值域。 2

(3)设函数 g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,求 g(x)的最小值。

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参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.C. 7.B 二、 11. 2 12. 2.A 8.B 3.A 9.B 4.D 10.D 5.C 6. B

8 2π 3

13.[-1,3](填(-1,3)也算对)

14.①③ ?②④由①知 ? 与 ? 同号,故②成立;再由③得

| ? ? ? |?| ? | ? | ? |? 4 2 ? 5 故④成立
15.①②③④ 三、解答题(本大题共 6 题 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.解:①f(x)=sin(2x+ ? )+ 3 [2cos (x+
2

? -1)] 2

=sin (2x+ ? )+ 3 cos (2x+ ? )=2cos (2x+ ? - (或 f(x)=2sin(2x+ ? + ∴f(x)的最小正周期为

? )…………………(3 分) 6

? )) 3

2? ? ? …………………………………………4 分 2

②f(-x)=cos (-2x+ ? - -

? ) 6

? ? ? )=cos[2x-( ? - )]=cos2xcos ( ? - )+sin2xsin( ? 6 6 6

f(x)=cos(2x+( ? - 分)

? ? ? )=cos2xcos( ? - )-sin2xsin( ? - )……………………(6 6 6 6

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∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)即 sin2xsin( ? - ∵0≤ ? ≤ ? ,-

? ? )=0,∴sin( ? - )=0 6 6

? ? 5 ? ? ≤ ? - ≤ ? ,∴( ? - )=0, ? = ………………………(8 分) 6 6 6 6 6
1 ………………………………(10 分) 2

③由 f(x)=1 得 2cos2x=1,∴cos2x=

∵x∈[ ? ? , ? ],∴x=± ? 或 x=± 所以 x 的集合是{- ? , ? ,-

5 6

? 6

5 6

5 6

? ? , }…………………………(12 分) 6 6

17.解:(I)证明:取 A1B1 的中点 F,连 EF,C1F ∵E 为 A1B 中点,∴EF∥ == 又∵M 为 CC1 中点∴EF∥ C1M == ∴四边形 EFC1M 为平行四边形 ∴EM∥FC1……………………4 分 而 EM ? 平面 A1B1C1D1,FC1 ? 平面 A1B1C1D1 ∴EM∥平面 A1B1C1D1……………………5 分 (II)由(I)EM∥平面 A1B1C1D1 A1BMN 平面 A1BMN∩平面 A1B1C1D1=A1N ∴A1N∥EM∥FC1 ∴N 为 C1D1 中点 过 B1 作 B1H⊥A1N 于 H,连 BH,根据三垂线定理 BH⊥A1N ∴∠BHB1 即为二面角 B—A1N—B1 的平面 角…………………8 分 设 AA1=a,则 AB=2a,∵A1B1C1D1 为正方形 EM ? 平面

1 BB1………………………………2 分 2

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∴A1N= 5 a,又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H=

2a ? 2a 5a

?

4a 5

在 Rt△BB1H,tan∠BHB1=

BB1 a 5 = = , B1 H 4a 4 5
5 ……………………………………12 分 4

即二面角 B—A1N—B1 的正切值为

(B)(I)建立如图所示空间直角坐标系,设 AB=2a,AA1=a(a >0),则 A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a)………………2 分 ∵E 为 A1B 的中点,M 为 CC1 的中点 ∴E(2a,a,

a a ),M(0,2a, ) 2 2

∴EM∥平面 A1B1C1D1……………………………………5 分 (II)设平面 A1BM 的法向量为 n=(x,y,z) 又 A1B=(0,2a,-a) 由 n⊥A1B,n⊥BM,得 2ay-az=0 ,∴ -2ax+ BM=(-2a,0,

a ) 2

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

z 4 z 2

az =0 2

∴取 n=(

a a , , a )………………………………9 分 4 2

而平面 A1B1C1D1 的法向量 n1=(0,0,1),设二面角为 ? ,则

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| cos? |? | n ? n1 | 4 4 又:二面角为锐二面角∴cos ? = ,……………11 分 ? | n || n1 | 21 21
5 ………………………………………………………………12 分 4

从而 tan ? =

18、解:(I)由已知 a2-a1=-2,a3-a2=-1,则{Cn}的公差为 1………………1 分 ∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1)=n-3,即 Cn=n-3……………………3 分 (II)n≥2 时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

n 2 ? 7n ? 18 =(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6= 2
当 n=1 也适合上式,∴an= 又 b1-2=4、b2-2=2。而 即 bn=2+ ( ) n ?3

n 2 ? 7n ? 18 (n∈N*)………………………………5 分 2
∴bn-2=(b1-2)· ( ) n ?1

2 1 ? 4 2

1 2

1 2

∴数列{an}、{bn}的通项公式为:an= (III) 解法一:设 f(k)=ak-bk= 分 当 k≥4 时

n 2 ? 7n ? 18 1 ,bn=2+ ( ) n ?3 …………7 分 2 2

1 2 7 1 1 7 7 1 k - K+7-8· ( ) k = (k- )2+ -8· ( ) k ……9 2 2 2 2 8 2 2

1 1 7 1 (k- )2+ 为 k 的增函数,-8· ( ) k 也为 k 的增函数, 2 2 8 2

∴当 k≥4 时 f(k)=ak-bk 为 k 的增函数………………………………10 分 而 f(4)=

1 1 ,∴当 k≥4 时 ak-bk≥ ……………………………………11 分 2 2

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又 f(1)=f(2)=f(3)=0 分 解法二:设 f(k)= ak-bk= f(k+1)-f(k) =[ ∴不存在 k,使 f(k)∈(0,

1 )……………………12 2

1 2 7 1 k - K+7-8· ( ) k …………………………8 分 2 2 2

1 7 1 1 7 1 (k+1)2- (k+1)+7-8· ( ) k ?1 ]-[ k2- K+7-8· ( ) k ] 2 2 2 2 2 2

=k-3+22-k 当 k≥4 时,f(k+1)-f(k)>0,f(k)为 k 的增函数,……………………10 分 以下同解法一。 19.解:设楼高为 n 层,总费用为 y 元,则征地面积为

2 .5 A 2 m ,征地费用为 n

5970 A 元………………2 分 n
楼层建筑费用为{445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+[445+30×(n- 2)]}·

A n

=(15n+ 从而 y=

30 +400)A……………………………………6 分 n

5970 A 30 A +15Na+ +400A…………………………8 分 n n 6000 +400)A≥1000A(元)………………………………10 分 n
6000 ,n=20(层)时,总费用 y 最少。 n

y=(15n+

当且仅当 15n=

故当这幢宿舍档的楼高层数为 20 层时总费用最少,最少总费用为 1000A 元。……12 分

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? a 2 25 ?c ? 4 a?5 ? ?b 3 20.解:(I)由已知 ? ? 解之得: b ? 3 ………………………3 分 a 5 ? c?4 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
∴椭圆的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? ?1 =1,双曲线的方程 25 9 25 9
∴双曲线的离心率 e2=

又 C , = 25 ? 9 ? 34

34 ………………………6 分 5

? ? ??? (Ⅱ)由(I)A(-5,0),B(5,0)。设 M(x 0 , y0 )则由 ?? 得M AM MP
为 AP 的中点
2 x0 y2 ? 0 ?1 25 9 ∴P 点坐标淡(2x 0 ?5,2 y0 )将 M、P 坐标代入 c1、c2 方程得 消去 2 (2 x0 ? 5) 2 4 y 0 ? ?1 25 9 5 2 y0 得 2x 0 +5x 0 -25=0 解之得 x0= 或 x0= -5(舍) 由此可得 P(10,3 3 )当 P 为 2

(10,3 3 )时,PB:y=

3 3 3 3 ( x ? 5)即y ? ( x ? 5) 10 ? 5 5
x=

代入 ∴xN=

x2 y2 ? ?1 25 9

得:2x2-15x+25=0

5 或 x=5(舍) 2

5 ∴xN= xM MN⊥x 轴 即 2 ?MN ??? ? ?? ? 0 ………………………(12 分) AB

21.(I)证明:f(x)+2+f(2a-x)=

x ?1? a 2a ? x ? 1 ? a x ? 1 ? a a ? x ?1 ?2? ? ?2? a?x a ? 2a ? x a?x x?a
=

x ? 1 ? a ? 2a ? 2 x ? a ? x ? 1 ? 0 ∴结论成立………………………3 分 a?x

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(Ⅱ)证明:f(x) = 当 a+

? (a ? x) ? 1 1 ? ?1 ? ………………………………4 分 a?x a?x

1 1 1 1 ? ?1 ≤x≤a+1 时,-a-1≤-x≤-a- ,-1≤a-x≤- ,-2≤ 2 2 2 a?x

则-3≤-1+

1 ≤-2,即 f(x)值域为[-3,-2]…………………7 分 a?x
2

(Ⅲ)解:g(x)=x +|x+1-a|(x≠a)=

x 2 ? x ? 1 ? a( x ? a ? 1, x ? a) x 2 ? x ? 1 ? a( x ? a ? 1)
1 2 3 )+ ?a 2 4

……………8 分

(1) 当 x≥a-1 且 x≠a 时,g(x)=x2+x+1-a=(x+ 如果 a-1=-

1 1 即 a≧ 时,则函数在[a-1,a]和(a,+ ? )上单调调递增 2 2
2

g(x)min=g(a-1)=(a-1) 如果 a-1<- 当 a=- 分

1 1 1 1 3 即 a< 且 a≠- 时,g(x)min=g(- )= -a 2 2 2 2 4

1 时,g(x)最小值不存在………………………………………………10 2

(2)当 x<a-1 时 g(x)=x2-x-1+a=(x- 如果 a-1>

1 2 4 ) +a- 2 5

1 2 1 5 即 a> 时,g(x)min=g( )=a- 2 3 2 4 1 3 即 a≤ 时 g(x)在(- ? ,a-1)上是减函数,g(x)>g(a-1)= 2 2

如果 a-1≤

(a-1)2……………………………………………………………………………12 分 当 a> 当 a< 分

3 5 3 5 时(a-1)2-(a- )=(a- )2>0,即(a-1)2>(a— ) 2 4 2 4

1 1 1 3 3 且 a≠- 时,(a-1)2-( -a)=(a- )2>0,即(a-1)2>( - 4 2 2 2 4

a)……………………………………………………………………………………13

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综合得: a< 当

1 1 3 且≠- 是 g(x)最小值是 -a 4 2 2
1 3 ≤a≤ 时 g(x)最小值是(a-1)2 2 2 3 时 2 1 时 2
g(x)最小值为 a- g(x)最小值不存

当 a>

5 4

当 a=-

在…………………………………………………14 分


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