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高中数学导数知识点归纳总结及例题


导 数
考试内容: 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的 最大值和最小值.考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意 义. (3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数. (4) 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极

大 值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值 和最小值.

§ 14. 导 数 知识要点
导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导 数 导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处 有 增 量 ?x , 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ; 比 值
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 称为函数 y ? f ( x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化率;如果极限 ? ?x ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在, 则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x lim
y ? f ( x) 在 x 0 处的导数, 记作 f ' ( x0 ) 或 y ' | x? x0 , 即 f ' ( x0 ) = lim
?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ? x ? 0 ?x ?x

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y ? f ( x) 定义域为 A , y ? f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B . 2. 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系: ⑴ 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续是 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,那么 y ? f ( x) 点 x 0 处连续. 事实上,令 x ? x 0 ? ?x ,则 x ? x 0 相当于 ?x ? 0 .
1

于是 lim f ( x) ? lim f ( x 0 ? ?x) ? lim [ f ( x ? x 0 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 )]
x ? x0 ?x ?0 ?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ? f ( x0 )] ? lim ? lim ? lim f ( x0 ) ? f ' ( x0 ) ? 0 ? f ( x0 ) ? f ( x0 ). ?x?0 ?x?0 ?x?0 ?x?0 ?x ?x ⑵ 如果 y ? f ( x) 点 x 0 处连续,那么 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,是不成立的. ? lim[

例: f ( x) ?| x | 在点 x 0 ? 0 处连续,但在点 x 0 ? 0 处不可导,因为
?y ?y ?y 不存在. ? 1 ;当 ?x <0 时, ? ?1 ,故 lim ?x ?0 ?x ?x ?x

?y | ?x | ,当 ?x >0 时, ? ?x ?x

注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也 就 是 说 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P ( x 0 , f ( x)) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ' ( x0 ) , 切 线 方 程 为
y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ).

4. 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

注:①u, v 必须是可导函数. ② 若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 2 2 例如:设 f ( x) ? 2 si nx ? , g ( x) ? cos x ? ,则 f ( x), g ( x) 在 x ? 0 处均不可导,但它们和 x x f ( x) ? g ( x) ? sin x ? cos x 在 x ? 0 处均可导. 5. 复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ⑴ 函数单调性的判定方法: 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0, 则 y ? f ( x) 为 增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f ( x) 为减函数. ⑵ 常数的判定方法; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f ( x) 为常数. 注:① f ( x) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 (??,??) 上并不是 都有 f ( x) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) ? 0 是 f(x)递减的充分非必
2

要条件. ② 一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么 f(x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0 . 此外,函数不


可导的点也可能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确 定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注①: 若点 x 0 是可导函数 f ( x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进 行比较.注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为常数)



(sin x) ' ? cos x

(arcsin x) ' ?

1 1? x 2

( x n ) ' ? nxn?1 ( n ? R )
1 x

(cos x) ' ? ? sin x

(arccos x) ' ? ?

1 1? x 2

II. (ln x) ' ?

(loga x) ' ?

1 loga e x

(arctan x) ' ?

1 x 2 ?1
1 x ?1
2

(e x ) ' ? e x
III. 求导的常见方法: ①常用结论: (ln | x |) ' ?

(a x ) ' ? a x ln a

(arccot x) ' ? ?

( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 1 .②形如 y ? ( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 或 y ? 两 ( x ? b1 )( x ? b2 )...( x ? bn ) x

边同取自然对数,可转化求代数和形式. ③无理函数或形如 y ? x x 这类函数,如 y ? x x 取自然对数之后可变形为 ln y ? x ln x ,对两边

求导可得

y' 1 ? ln x ? x ? ? y ' ? y ln x ? y ? y ' ? x x ln x ? x x . y x
3

导数中的切线问题
例题 1:已知切点,求曲线的切线方程
, ? 1) 处的切线方程为( 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1



例题 2:已知斜率,求曲线的切线方程 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( )

例题 3:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
, ? 1) 的切线方程. 求过曲线 y ? x3 ? 2 x 上的点 (1

例题 4:已知过曲线外一点,求切线方程 1 0) 且与曲线 y ? 相切的直线方程. 求过点 (2, x
16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程. 练习题: 已知函数 y ? x3 ? 3x ,过点 A(0,

看看几个高考题 1.(2009 全国卷Ⅱ)曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
2

2.(2010 江西卷)设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为

y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
3.(2009 宁夏海南卷)曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x



4. (2009 浙江) (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; 5.(2009 北京)(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值;

4

.1

函数的单调性和导数
1.利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导, 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 ; 。

2.利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间; 解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递减区间.

【例题讲解】 a) b) 求证: y ? x ? 1 在 (??, 0) 上是增函数。
3

确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.

【课堂练习】 1.确定下列函数的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x (2)y=3x-x3 2.已知函数 f ( x) ? x ln x ,则( ) A.在 (0,??) 上递增 B.在 (0,??) 上递减

? 1? ? 1? ? e? ? e? 3 2 3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 的单调递增区间是_____________.
C.在 ? 0, ? 上递增 D.在 ? 0, ? 上递减

5

函数图象及其导函数图象 3 1. 函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导, 其图象如 2
图,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f / ( x) ,则不等 式 f / ( x) ? 0 的解集为_____________ 2. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (? ,3) ,导函数

3 2

y ? f ?( x)

3 f ?( x) 在 (? ,3) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 2
的单调增区间是_____________
y

3. 如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象, f '( x) 为函数
f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为_____
_
- 3

o

3

x

4. 若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则其导函数 f '( x) 的图象是(



5. 函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 f '( x ) 的图象是如图所示的一 条直线,则 y ? f ( x) 图象的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 6.
y ? f ?( x)

D.第四象限 y

(2007 年广东佛山)设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图 象如右图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是( y y y 2 ) y

O

1 2

x

O 1 A 7.

2

x

O

1 2 B

x

O

1 C

x

O

1 2 D

x

设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下左图所示,则导函数 y=f ?(x)的图象可能 为( )

6

8.

(安微省合肥市 2010 年高三第二次教学质量检测文科) 函数 y ? f ( x) 的图像如下右图 所示,则 y ? f ?( x) 的图像可能是 ( )

9.

(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已

y o x

( x)? ax2 ? bx ? c 的图象如右图,则 知函数 f ( x)的导函数 f ?
f ( x)的图象可能是(

)

10. (2010 年浙江省宁波市高三“十校”联考文科)如右图所示是某一 容 器的三视图, 现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

正 视图

侧 视图

h

h

h

h
俯 视图

O
(A)

t

O
(B)

t

O
(C)

t

O
(D)

t
'

11. (2008 广州二模文、理)已知二次函数 f ?x ? 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f 象大致形状是( )

?x ? 的图

7

12. (2009 湖南卷文) 若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, 则函数 y ? f ( x) ... 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a
A .

b x

o

a

B.

b x

o

a

C.

b x

o

a

b x
D.

13. (福建卷 11)如果函数 y ? f ( x) 的图象如右图,那么导

函数 y ? f ?( x) 的图象可能是 (

)

14. ( 2008 年 福 建 卷 12) 已 知 函 数 y=f(x),y=g(x) 的 导 函 数 的 图 象 如 下 图 , 那 么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ( )

15. (2008 珠海一模文、理)设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ' ( x) 的图 像画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

8

A.

B.

C.

D. y

16. ( 湖南 省株 洲 市 2008 届高 三第 二 次质 检 ) 已知 函 数 则 ( y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如下, ) 函数 f ( x ) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 函数 f ( x ) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 函数

f ( x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点

函数 f ( x ) 有 1 个极大值点,3 个极小值点

?1 x

x? 2

? x3O
o O

?4 x

x

17. (2008 珠海质检理)函数 f ( x) 的定义域为

( a, b) ,其导函数 f ?( x)在(a, b) 内的图象如图所示,则函 数 f ( x) 在区间 ( a, b) 内极小值点的个数是( )
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4

18. 【湛江市· 文】函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 x 的图象大致是 2

y
O

y
x
O

y
x
O

y

x
C.

O

x

A.

B.
2

D.

19. 【珠海·文】如图是二次函数 f ( x) ? x ? bx ? a 的部分图 象, 则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是 ( )

1 1 4 2 C. (1,2)

A. ( , )

B. ( ,1)

1 2 D. (2,3)

20. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,
3 2

其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所 示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.

9


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