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二次函数综合教案


二次函数综合题目 第一类:特定图形及探究题 1.已知二次函数 y ? ? x 2 ? 8x ? 15的图像交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C。 求:(1)求△ABC 的面积; (2)点 P 在这个二次函数的图像上运动,能使△PAB 的面积等于 1 个平方单位的 P 点共有多少个? 请写出满足条件的 P 点的坐标。

A

B

C
2.如图,矩形 OABC 中,OA=8,OC=4,OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上,点 D 在 OA 上,且 CD=AD. (1) 求直线 CD 的解析式 (2) 求经过 B、C、D 三点的抛物线解析式 (3) 在上述抛物线上位于 x 轴下方的图象上, 是否存在一点 P,使△PBC 的面积等于矩形的面积? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
C B y

O

D

A

x

第25题图

1

例. 如图,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求 b、c 的值; (2) P 为抛物线上的点,且满足 S△PAB=8, 求 P 点的坐标; (3)设抛物线交 y 轴于 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的周长最小?若存在,求 出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.

第三类:特定表示方法类问题 4. 如图所示, 在平面直角坐标中, 抛物线的顶点 P 到 x 轴的距离是4, 抛物线与 x 轴相交于 O 、M 两点, OM ? 4 ;矩形 ABCD 的边 BC 在线段 OM 上,点 A 、 D 在抛物线上. y (1) 、请写出 P 、 M 两点坐标,并求这条抛物线的解析式; (2)设矩形 ABCD 的周长为 l ,求 l 的最大值. P

D

A

O

C

B

M

x

5.已知抛物线 y=-x +mx-m+2. (1)求证:这个抛物线的图象与 x 轴有两个交点; (2)若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且 AB= 5 ,试求 m 的值; (3)设 C 为抛物线与 y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 △MNC 的面积等于 27,试求 m 的值.

2

2

练习 1、.如图,一元二次方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的二根 x1,x2 ( x1 ? x2 )是抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴
2

6) 的两个交点 B,C 的横坐标,且此抛物线过点 A(3, .
(1)求此二次函数的解析式. (2)设此抛物线的顶点为 P ,对称轴与线段 AC 相交于点 Q ,求点 P 和点 Q 的坐标. (3)在 x 轴上有一动点 M ,当 MQ ? MA 取得最小值时,求 M 点的坐标. y A(3,6) Q C P O B x

2、. 如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 C (1,0),直线 y ? x ? m 与该二次函数的图象交于 A 、 B 两 点,其中 A 点的坐标为(3,4),点 B 在轴 y 上. (1)求 m 的值及此二次函数的关系式; (2)点 P (a, b) 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A 、 B 不重合) ,过 P 作 x 轴的垂线与此二次函数 的图象交于点 E ,设线段 PE 的长为 h ,求 h 与 a 之间的函数关系式,并写出自变量 a 的取值范 围;

y

P D B O
-1 1

A E

C

x

3

3.已知:如图,抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 与 x 轴, y 轴分别相交于点 A(?1 0) B(0, 两点,其顶点为 D . ,, 3) (1)求该抛物线的解析式; (2)若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E .求四边形 ABDE 的面积; y D

B A -2-1

3 E O x

6、如图所示,经过原点 O(0,0)和 A(1,-3) ,B(-1,5)?两点的曲线是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0). (1)求出图中曲线的解析式; (2)设抛物线与 x 轴的另外一个交点为 C,以 OC 为直径作⊙M,? 如果抛物线上一点 P 作⊙M 的 切线 PD, 切点为 D, 且与 y 轴的正半轴交点为 E, 连结 MD, 已知点 E 的坐标为 (0, , m) 求四边形 EOMD 的面积(用含 m 的代数式表示) . (3)延长 DM 交⊙M 于点 N,连结 ON、OD,当点 P 在(2)的条件下运动到什么位置时,能使得 S 四边形 EOMD=S△DON 请求出此时点 P 的坐标.

4

7、已知二次函数 y ? x 2 ? (k ? 3) x ? 2k ? 1 。 (1) 当它的图象与 y 轴交于点 A(0,5)时,求 k 的值; (2) 对于(1)所求出的二次函数,设其图象与 x 的交点从左到右依次是 B,C,若点 P (x,0) 是 BC 上的一个动点(可以与 B 重合,但不能与 C 重合) ,点 D 的坐标为(0,3) ,写出四边形 ADPC 的面积 S 关于 x 的函数关系式; (3) 当 x 为何值时 S 最大,这个最大值是多少?

8.如右图所示,正方形 ABCD 的 BC 边上有一点 E,∠DAE 的平分线交 CD 于 F,试用旋转的思想方法说明 AE=DF+BE.

A

D

F B E C

5

10.小明的爷爷想在自己家的院子里买竹篱笆来围一个面积为 72m 的矩形养鸡场地, 其中一边就利用院子 里的围墙。已知市场上竹篱笆每米 8 元。 (1)如果靠墙的边 AB 长为 4 米,请问要建好这个场地需要花费多少元钱来买竹篱笆? (2)设所需篱笆总长为 y(米) ,靠墙的篱笆边 AB 长为 x 米,求 y 与 x 的函数关系式; (3)小明想到:自己学过一些关于函数有最大或最小值的问题,能不能设计一个方案,使爷爷在买篱笆 上的花费最少呢?请你帮小明设计一个花费最少的方案。 墙 A B D C 墙

2

11.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为 20 元/千克.市场调查发现,该产品每天的 销售量 w (千克)与销售价 x (元/千克)有如下关系: w ? ?2 x ? 80 .设这种产品每天的销售利润为 y (元) . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式. (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克,该农户想要每天获得 150 元的销售利润, 销售价应定为多少元?

6


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