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基本不等式完整版(非常全面)


基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式 (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

6、柯西不等式 (1) 若 a, b, c, d ? R , 则 (a2 ?b2 ) (c2 ? d2) ? (a c b ? d ) (2)若 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ?

R ,则有:
2

(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

a2 ? b2 2

(a12 ? a22 ? a32 )(1b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2
(3)设 a1 , a2 , ???, an与b1 , b2 , ???, bn 是两组实数,则有
(a12 ? a22 ???? ? an 2 )(b12 ? b22 ???? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ???? ? anbn )2

2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若 a, b ? R * ,则

二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式
2

a?b ? ab 2

* a ?b? (2)若 a, b ? R ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?

1、设 a , b 均为正数,证明不等式: ab ≥

2 1 1 ? a b

总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;

特别说明:以上不等式中,当且仅当 a ? b 时取“=”
2、已知 4、求最值的条件: “一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若 x ? 0 ,则 x ?

a , b, c

为两两不相等的实数,求证:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ) x
3、已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?
2 2 2

(2) 若x?0, 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “ =” )
a b (3) 若 ab ? 0 , 则 ? ?2 b a

1 x

(当且仅当 a ? b 时取 “=” )

1 3

(4)若 a, b ? R ,则 ab ? ( (5)若 a, b ? R ,则
*

a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? 2 2

1 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? 2 2
4、已 知 a, b, c ? R
?

, 且 a ?b ? c ?1 , 求 证 :

特别说明:以上不等式中,当且仅当 a ? b 时取“=”

(1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8a b c

5、已 知 a, b, c ? R ? , 且 a ? b ? c ? 1 , 求 证 :

? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? ? a ?? b

?? 1 1 ?? ? ?? c

? ? ?1 ?

8

6、 (2013 年新课 标Ⅱ卷数学(理)选 修 4—5:不等式选 讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

题型二:利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域 (1) y ? 3 x ?
2

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

1 2x2

(2) y ? x(4 ? x)

(3) y ? x ?

1 ( x ? 0) x

(4) y ? x ?

1 ( x ? 0) x

题型三:利用不等式求最值 (一) (凑项)
7、 (2013 年江苏卷(数学)选 修 4—5:不等式选 讲 已知 a ? b ? 0 ,求证: 2a ? b ? 2ab ? a b
3 3 2 2

1、已知 x ? 2 ,求函数 y ? 2 x ? 4 ?

4 的最小值; 2x ? 4

变式 1:已知 x ? 2 ,求函数 y ? 2 x ?

4 的最小值; 2x ? 4
变式 1:当 时,求 y ? 4 x(8 ? 2 x) 的最大值;

变式 2:已知 x ? 2 ,求函数 y ? 2 x ?

4 的最大值; 2x ? 4
变式 2:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

练习: 1、 已知 x ?

5 , 求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最小值; 4 4x ? 5
2、若 0 ? x ? 2 ,求 y ?

x (6 ? 3x ) 的最大值;

2、已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值; 4 4x ? 5
变式:若 0 ? x ? 4 ,求 y ?

x(8 ? 2x) 的最大值;

题型四:利用不等式求最值 (二) (凑系数)
1、当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值;

1 5 3、求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值; 2 2
(提示:平方,利用基本不等式)

法二:

变式 1: 已知 a, b ? 0, a ? 2b ? 2 , 求t ?

1 1 ? 的最小值; a b

3 11 变式:求函数 y ? 4 x ? 3 ? 11 ? 4 x ( ? x ? ) 的最大值; 4 4

变式 2:已知 x, y ? 0,

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值; x y

变式 3: 已知 x, y ? 0 , 且

1 1 求 x ? y 的最小值。 ? ?9, x y

题型五:巧用“1”的代换求最值问题
1、已知 a, b ? 0, a ? 2b ? 1 ,求 t ? 法一:

1 1 ? 的最小值; a b

变式 4: 已知 x, y ? 0 , 且

1 9 ? ? 4, 求 x ? y 的最小值; x y

变式 5: (1)若 x, y ? 0 且 2 x ?

y ? 1 ,求 ? 的最小值;
变式:求函数 y ?

1 x

1 y

? (2) 若 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1, 求x x y

? y 的最小值;

x2 ? 8 ( x ? 1) 的值域; x ?1

2、求函数 y ?

x?2 的最大值; (提示:换元法) 2x ? 5

变式 6:已知正项等比数列 ?a n ?满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若 存在两项 am , an , 使得 am an ? 4a1 , 求

1 4 ? 的最小值; m n

变式:求函数 y ?

x ?1 的最大值; 4x ? 9

题型六:分离换元法求最值(了解) 题型七:基本不等式的综合应用
1、求函数 y ?

x ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域; x ?1
2

1、已知 log2 a ? log2 b ? 1 ,求 3 ? 9 的最小值
a b

2、 (2009 天津)已知 a, b ? 0 ,求 1 ? 1 ? 2 ab 的最小值; a b

变式 1:已知 a, b ? 0 ,满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 范围;

变式 1: (2010 四川)如果 a ? b ? 0 ,求关于 a , b 的表达 式a ?
2

变式 2: (2010 山东)已知 x, y ? 0 ,

1 1 1 ? ? , 2? x 2? y 3

1 1 ? 的最小值; ab a (a ? b)

求 xy 最大值; (提示:通分或三角换元)

变式 2: (2012 湖北武汉诊断)已知,当 a ? 0, a ? 1 时, 函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 的图像恒过定点 A ,若点 A 在直
m n 线 m x ? y ? n ? 0 上,求 4 ? 2 的最小值;

变式 3: (2011 浙江)已知 x, y ? 0 , x ? y ? xy ? 1 ,
2 2

求 xy 最大值;

3、已知 x, y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,求 x ? 2 y 最小值;

4、 ( 2013 年 山 东 ( 理 )) 设 正 实 数 x, y , z 满 足

x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 , 则 当
时,

xy 取得最大值 z


2 1 2 ? ? 的最大值为( x y z

A. 0

B. 1

C.

9 4

D. 3

(提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值)

2 、已知 x ? y ? z ? 0 且

1 1 n ? ? 恒成立, x? y y?z x?z

如果 n ? N ,求 n 的最大值; (参考:4) (提示:分离参数,换元法)

?

变式:设 x, y , z 是正数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,求 最小值;

y2 的 xz

变式:已知 a, b ? 0 满则 求 c 的取值范围;

1 4 ? ? 2 ,若 a ? b ? c 恒成立, a b

题型八:利用基本不等式求参数范围 题型九:利用柯西不等式求最值
1 a 1、 (2012 沈阳检测) 已知 x, y ? 0 , 且 ( x ? y )( ? ) ? 9 x y
恒成立,求正实数 a 的最小值; 1、二维柯西不等式

(a , b , c , d ? R , 当且仅当

a b ? ;即 ad ? bc时等号成立 ) c d

(ai , bi ? R , 当且仅当

a a1 a2 ? ? ?? n 时等号成立) b1 b2 bn

若 a, b, c, d ? R ,则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2

题型分析 题型一:利用柯西不等式一般形式求最值
2、二维形式的柯西不等式的变式 1、设 x, y, z ? R ,若 x2 ? y 2 ? z 2 ? 4 ,则 x ? 2 y ? 2 z 的

(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
a b (a , b , c , d ? R , 当且仅当 ? ;即 ad ? bc时等号成立 ) c d
最小值为

时, ( x, y, z ) ?

析: ( x ? 2 y ? 2 z) 2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )[12 ? (?2) 2 ? 22 ]

(2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
a b (a , b , c , d ? R , 当且仅当 ? ;即 ad ? bc时等号成立 ) c d

? 4 ? 9 ? 36
∴ x ? 2 y ? 2 z 最小值为 ? 6

此时

x y z ?6 ?2 ? ? ? 2 ? 2 2 1 ? 2 2 1 ? (? 2) ? 2 3
x?
4 ?2 ?4 , y ? ,z ? 3 3 3

(3)(a ? b)(c ? d ) ? ( ac ? bd )2
(a , b , c , d ? 0 , 当且仅当 a b ? ;即 ad ? bc时等号成立 ) c d


2、设 x, y, z ? R , 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,求 x2 ? y 2 ?z 2 的最 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 小值 m ,并求此时 x, y , z 之值。

? ?? ? ? ?
(当且仅当? ? 0, 或存在实数k , 使 a ? k ? 时 , 等号成立)
? ? ? ?

4 2 4 Ans : m ? 4; ( x, y, z ) ? ( ,? ,? ) 3 3 3

4、三维柯西不等式 若 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ? R ,则有:

(a12 ? a22 ? a32 )(1b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2
(ai , bi ? R , 当且仅当 a1 a2 a3 ? ? 时等号成立) b1 b2 b3

3、 设 x, y, z ? R ,2 x ? 3 y ? z ? 3 , 求 x ? ( y ? 1) ? z
2 2

2

5、一般 n 维柯西不等式 设 a1 , a2 , ???, an与b1 , b2 , ???, bn 是两组实数,则有:
(a12 ? a22 ???? ? an 2 )(b12 ? b22 ???? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ???? ? anbn )2

之最小值为

,此时 y ?

(析: 2 x ? 3 y ? z ? 3 ? 2 x ? 3( y ? 1) ? z ? 0 )

4、 (2013 年湖南卷(理) )已知 a, b, c ?, a ? 2b ? 3c ? 6, 则 a ? 4b ? 9c 的最小值是
2 2 2

( Ans : 12 )

5 、( 2013 年 湖 北 卷 ( 理 )) 设

x, y , z ? R , 且 满

2 2 2 足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,求 x ? y ? z 的

值;

6、 求 2 sin ? ? 3 cos? sin ? ? cos? cos? 的最大值与最

n s 小值。 (A
?

:最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 )
?

析: 令 a ? (2sin?, 3 cos?, ? cos?),b ? (1, sin?, cos?)


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