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2012优化方案高考数学(文)总复习(人教A版)第2章第1课时


第 2章

基本初等函数

第1课时 函数及其表示

温故夯基·面对高考

第 1 课 时 函 数 及 其 表 示
考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

温故夯基·面对高考

1.函数与映射的概念 函数 映射

两集合 设A、B是两个非 设A、B是两个非空 数集 _____ 集合 A、B 空______

函数

映射

如果按照某种确定 的对应关系f,使对 对应关 任意 于集合A中的_____ 系 f: 数x ,在集合 一个_____ A→B 惟一确定 B中都有_________ 的数f(x)和它对应

如果按某一个确定 的对应关系f,使对 任意 于集合A中的_____ 一个元素x,在集合 B中都有惟一确定的 元素y与之对应

函数 f:A→B 为从 称___________ 名称 集合A到集合B的一 个函数 记法 y=f(x),x∈A

映射

对应f:A→B 为 称______________ 从集合A到集合B的 一个映射 对应f:A→B是一个 映射

思考感悟
映射与函数有什么区别? 提示:函数是特殊的映射,二者区别在于映射 定义中的两个集合是非空集合,可以不是数集, 而函数中的两个集合必须是非空数集.

2.函数的表示法 函数的表示法:解析法、图象法、列表法. (1)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中f(x)是用 自变量x 的代数式来表达的,则这种表示函 __________ 数的方法叫做解析法. (2) 图象法:对于函数 y = f(x)(x ∈ A) ,定义域内 每一个 x 的值都有惟一的 y 值与它对应,把这两 个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的 坐标,记作P(x,y),则所有这些点的集合构成 点的集合 表示函数的方 一个曲线,把这种用 __________ 法叫做图象法.

自变量x 与对应的 _______ 函数 (3) 列表法:用列出 _________ 值y 的表格来表达两个变量间的对应关系的方 ______ 法叫做列表法.

3.分段函数
对应关系 若函数在其定义域的不同子集上,因 _________ 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数 称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但 一个 函数. 它表示的是______

考点探究·挑战高考

考点突跛

函数的有关概念 由函数的定义可知,对于定义域内的任意一个
自变量的值都有惟一确定的函数值与之对

应.可以此判断在某种对应关系f的作用下,从
非空数集A到非空数集B的对应是否是函数.

下列对应关系是集合 P 上的函数的是 ________. (1)P= Z, Q= N* ,对应关系 f:对集合 P中的元 素取绝对值与集合Q中的元素相对应; (2)P={ - 1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系 f : x→y=x2,x∈P,y∈Q; (3)P={三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P 中三角形求面积与集合Q中元素相对应. 【思路分析】 利用函数的定义来判断.
例1

【解析】 由于 (1) 中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中 没有对应元素,并且(3)中集合P不是数集,从而 知只有(2)正确. 【答案】 (2) 【解题技巧】 函数是一种特殊的对应,要检 验给定的两个变量之间是否具有函数关系,只 需要检验: (1)定义域和对应关系是否给出; (2) 根据给出的对应关系,自变量在其定义域中的 每一个值,是否都有惟一确定的函数值.

求函数的解析式 求函数表达式的主要方法有:待定系数法、换元

法、消元法等,如果已知函数解析式的类型,可
用待定系数法;已知复合函数的表达式时,可用

换元法,这时要注意“元”的范围;当已知表达
式比较简单时,也可以用配方法;若已知抽象的

函数表达式,则常用解方程组,消元的方法求出
解析式.

(2011 年清远调研)(1)已知 f(x)是一次函 数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析式; (2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式.

例2

【思路分析】 (1)设出一次函数→利用方程 恒等建立待定字母的关系式→写出 f(x)的解析 式. (2)设 t= x+1→用 t 表示 x→确定 f(x)的定义 域→写出 f(x)的解析式.

【解】 (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 3ax + 3a + 3b - 2ax+2a-2b =ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成 立. ?a=2, ?a=2, ∴? 解得? ?b+5a=17, ?b=7, ∴f(x)=2x+7.

(2)法一:设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1). 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2- 1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵ x+ 2 x= ( x)2+ 2 x+ 1- 1= ( x+ 1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1).

【名师点评】

题 (1) 的求解是利用待定系数法 ,

待定系数法的关键是设出某种类型的函数,列出 方程组求待定系数;

题(2)的求解是利用换元法,做题时易忽略x的范
围.

互动探究

例 2(1) 中 f(x) 变为二次函数,且满足

f(0)=0,f(x+1)-f(x)=x+1,求f(x).
解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0知c=0,f(x)=ax2+bx. 又f(x+1)=f(x)+x+1, 所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
?2a+b=b+1, ? 所以?a≠0, ? ?a+b=1.

1 所以 a=b= . 2

1 2 1 因此 f(x)= x + x. 2 2

函数的三种表示方法 用解析式表示函数关系的优点是:函数关系清 楚,容易根据自变量的值求出对应的函数值, 便于用解析式来研究函数的性质. 用图象法表示函数关系的优点是:能直观形象 地表示出函数值的变化情况. 用列表法表示函数关系的优点是:不必通过计 算就知道自变量取某些值时函数的对应值.

例3

已知某人在2010年1月份至6月份的月经济

收入如下:1月份为1000元,从2月份起每月的月
经济收入是其上一个月的 2 倍,用列表、图象、 解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的 月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系,并指 出该函数的定义域、值域和对应法则.

【思路分析】
值.

月份为自变量,月工资为函数

【解】

列表:

x
y

1
1000

2
2000

3
4000

4

5

6

8000 16000 32000

图象:

解析式:y=1000· 2x-1(x∈{1,2,3,4,5,6}). 其 中 定 义 域 为 {1,2,3,4,5,6} , 值 域 为 {1000,2000,4000,8000,16000,32000}. 对应法则f:x→y=1000· 2x-1.

【规律小结】

列表法、图象法和解析式法是

表示函数的三种方法,其实质是一样的,只是 形式上的区别,列表和图象更加直观,解析式 更适合计算和应用.在对待不同题目时,选择 不同的表示方法,因为有的函数根本写不出其

解析式.

分段函数及实际应用 分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分

段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于
哪个区间段,再选取相应的对应关系,离开定 义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.

例4 甲、乙两地相距150千米,某货车从甲地运

送货物到乙地,以每小时50千米的速度行驶,到 达乙地后将货物卸下用了 1 小时,然后以每小时 60千米的速度返回甲地.从货车离开甲地起到货 车返回甲地为止,设货车离开甲地的时间和距离 分别为 x 小时和 y 千米,试写出 y 与 x 的函数关系 式. 【思路分析】 根据已知条件列出等式,这个 含有x、y的方程就是所求的函数,这是一个分段 函数,要注意距离与时间的变化关系.

【解】 由题意,可知货车从甲地前往乙地用了 3 小时,而从乙地返回甲地用了 2.5 小时. (1)当货车从甲地前往乙地时, 由题意,可知 y=50x(0≤x≤3); (2)当货车卸货时,y=150(3<x<4); (3)当货车从乙地返回甲地时, 由题意,知 y=150-60(x-4)(4≤x≤6.5).
?50x,0≤x≤3, ? 所以 y=?150,3<x<4, ? ?390-60x,4≤x≤6.5.

【思维总结】

(1) 由实际问题确定的函数,不

仅要确定函数的解析式,同时要求出函数的定 义域(一般情况下,都要受实际问题的约束). (2) 根据实际问题中自变量所表示的具体数量的 含义来确定函数的定义域,使之必须有实际意 义.

方法感悟 方法技巧 1 .若两个函数的对应关系一致,并且定义域相

同,则两个函数为同一函数.
2 .函数有三种表示方法 —— 列表法、图象法和

解析法,三者之间是可以互相转化的;求函数解
析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系 数法和解函数的方程等(如例2),特别要注意将实

际问题化归为函数问题,通过设自变量,写出函
数的解析式并明确定义域,还应注意使用待定系

数法时函数解析式的设法,针对近几年的高考分
段函数问题要引起足够的重视.

失误防范 1.判断对应是否为映射,即看A中元素是否满足 “每元有象”和“且象惟一”.但要注意: (1)A 中不同元素可有相同的象,即允许多对一,但不 允许一对多; (2)B 中元素可无原象,即 B 中元素 可有剩余(如例1). 2 .建立实际问题的函数式,首先要选定变量, 而后寻找等量关系,求函数解析式,但要根据实 际问题确定定义域(如例4).

考向瞭望·把脉高考

考情分析
通过对近几年广东高考试题的分析看出,本课时 内容也是高考考查的重点之一,题型是选择题、 填空题.主要考查函数的概念、解析式及分段函 数等,试题难度较. 预测 2012 年广东高考仍将对函数的三种表示方法 及分段函数作为考查重点,体现数形结合与分类 讨论思想.

真题透析

(2010 年高考陕西卷 )已知函数 f(x)= ?2x+1,x<1, ? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a 等 ?x +ax,x≥1, 于( ) 1 4 A. B. 2 5 C.2 D.9



【解析】

x ? 2 ? ? 1,x ? 1, f(x)=? 2 ? ? x ? ax, x ? 1.

∵0<1,∴f(0)=20+1=2.

∵f(0)=2≥1,∴f(f(0))=22+2a=4a,
∴a=2.故选C.

【答案】

C

【名师点评】 本题是课本 P45 第 4 题的延伸, 考查了分段函数的运算,学生得分率较高.若 ?2x+a,x<1 把 f(x)变为? 2 且 f(f(0))=4a,试 ?x +ax,x≥1 求 a 的值.

名师预测

1.已知 f(x)=π(x∈R),则 f(π2)等于( A.π2 C. π
答案:B

)

B.π D.不确定

2.下列四个命题正确的有( ) ①函数是其定义域到值域的映射; ②y= x-3+ 2-x是函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线; ?x2 ?x≥0? ④y=? 的图象是抛物线. 2 ?x<0? ?-x A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案:A

3.(教材习题改编)下列函数中,与 y=x 相等的 函数是( ) A.y= x2 B.y=( x-1)2+1 x2 C.y= x
? ?x ?x>0? ?x ? D.y=?0?x=0? ? 2 x ? - ?x<0? ? ? |x|
2

答案:D

? ?1-1x ?x≥0? ? 2 4.设函数 f(x)=? ?1 ?x<0? ? ?x

,若 f(a)

=a,则实数 a 的值是________.
2 答案:-1 或 3

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