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3.2.1立体几何中的向量方法-平行与垂直2


平行

垂直

题型一

利用空间向量证明平行问题

?

已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2, E、F分别是BB1、DD1的中点,求证: ? (1)FC1∥平面ADE; ? (2)平面ADE∥平面B1C1F.

[解题过程] 证明:如图所示,建立空间直角坐标系 D-xyz, 则有 D(0,0,0)、 A(2,0,0), C(0,2,0), 1(0,2,2), C E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), → 所以FC1=(0,2,1), → → DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).

(1)设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 的法向量, → → 则 n1⊥DA,n1⊥AE, → ?x =0 ?n· =2x1=0 ? DA ? 1 即? ,得? , ?z1=-2y1 → =2y1+z1=0 ? ?n1· ? AE 令 z1=2,则 y1=-1, 所以 n1=(0,-1,2). → n 因为FC1· 1=-2+2=0, → 所以FC1⊥n1. → 又因为FC1?平面 ADE,所以 FC1∥平面 ADE.

→ (2)∵C1B1=(2,0,0), 设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → 由 n2⊥FC1,n2⊥C1B1, → ?x =0 ?n2· 1=2y2+z2=0 ? FC ? 2 得? ,得? , ?z2=-2y2 ? ? C1 B ?n2·→ 1=2x2=0 令 z2=2 得 y2=-1, 所以 n2=(0,-1,2),因为 n1=n2, 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.

? 1. 在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 求 证 : 平 面 A1BD∥平面CB1D1.

证明:

以 D 为原点,分别以 DA,DC,

DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标 系,设正方体的棱长为 1. 则 A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1), C(0,1,0) → → → → ∴A1D=(-1,0,-1),A1B=(0,1,-1),D1B1=(1,1,0),D1C= (0,1,-1),

设平面 A1DB 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), → ?-x -z =0, ?n1· 1D=0, ? A ? 1 1 ? ? 则 ? ?y1-z1=0 → ? ? A ?n1· 1B=0, 令 z1=1,得 x1=-1,y1=1. ∴平面 A1DB 的一个法向量为 n1=(-1,1,1). 设平面 CB1D1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),
?x +y =0, ?n2·→ 1=0, ? D1B ? 2 2 ? ? 则 ? ?y2-z2=0, → =0, ? ?n2· 1C ? D

令y2=1,得x2=-1,z2=1, ∴n2=(-1,1,1), ∴n1=n2,即n1∥n2. ∴平面A1BD∥平面CB1D1

? 2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、M、N 分别是BC、AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB =2a. ? 求证:MN∥平面ADD1A1.

?证明:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直
角坐标系,

?1 ? 则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E?2a,2a,0?. ? ?

∵M、N分别为AE、CD1的中点,
?3 ? ? ? 3 1 ? 1 ? → ∴M?4a,a,0?,N?0,a,2a?,∴MN=?-4a,0,2a?, ? ? ? ? ? ?

→ n=0, 即n=(0,1,0),显然n⊥平面ADD1A1,且MN· → ∴MN⊥n.又MN?平面ADD1A1, ∴MN∥平面ADD1A1.

题型二

利用空间向量证明垂直问题

已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1,M 是 1 底面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=4CC1. 求证:AB1⊥MN.

→ → → [解题过程] 证法一:设AB=a,AC=b,AA1=c, 则由已知条件和正三棱柱的性质,得 |a|=|b|=|c|=1,a· c=b· c=0, →1=a+c,AM=1(a+b), → AB 2 → =b+1c,MN=AN-AM=-1a+1b+1c, → → → AN 4 2 2 4
? ? →1· =(a+c)· 1a+1b+1c? → ?- ∴AB MN 2 2 4 ? ?

1 1 1 =-2+2cos 60° +0-0+0+4=0. → → ∴AB1⊥MN, ∴AB1⊥MN.

证法二:设 AB 中点为 O,作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得
? N?0, ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? A?-2,0,0?,B?2,0,0?C?0, ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ,0?, ? 2 ?

?1 ? 3 1? ? ? , ?,B1?2,0,1?, ? 2 4? ? ?

∵M为BC中点,
?1 ∴M? , ?4 ? ? 3 ? ,0?. 4 ?

? ? → =?-1, 3,1?,AB1=(1,0,1), → ∴MN ? ? 4 4? ? 4

1 1 → AB → ∴MN· 1=-4+0+4=0. → → ∴MN⊥AB1, ∴AB1⊥MN.

?

如图所示,正方体ABCD- A1B1C1D1 中,M、N分别为AB、B1C 的中点.试用向量法判断MN与平面 A1BD的位置关系.

解:设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz



? ?1 1 ? 1? ? ? ? B(1,1,0),A1(1,0,1),M?1,2,0?,N?2,1,2?, ? ? ? ? ?

? ? →1=(1,0,1),DB=(1,1,0),MN=?-1,1,1?. → → ? ∴DA 2 2 2? ? ?

设平面 A1BD 的一个法向量为 n0=(x,y,z), → n → n 则 DA1· 0=0,?DB· 0=0, 即{x+z=0,?x+y=0. 取 x=1,则 y=z=-1, ∴n0=(1,-1,-1). → → ∴n0=-2MN,即 n0∥MN. ∴MN⊥平面 A1BD.
? ? ?

? [题后感悟] 骤

用向量法证明线面垂直的方法与步

三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图 所示, 截面为 A1B1C1, ∠BAC=90° A1A⊥平面 ABC, 1A= 3, , A AB=AC=2A1C1=2,D 为 BC 中点. 求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.

[解题过程] 证法一:如图,建立空间直角坐标 系.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), A1(0,0, 3),C1(0,1, 3), ∵D为BC的中点, ∴D点坐标为(1,1,0), → → ∴BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0), → AA1=(0,0, 3),

→ AD → → AA → ∵BC· =-2+2+0=0,BC· 1=0+0+0=0, → → → → ∴BC⊥AD,BC⊥AA1,∴BC⊥AD,BC⊥AA1, 又AD∩AA1=A,∴BC⊥平面ADA1, 而BC?平面BCC1B1. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

→ → 证法二:同证法一,得AA1=(0,0, 3),AD=(1,1,0), → → BC=(-2,2,0),CC1=(0,-1, 3), 设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2). → ? 3z =0 ?n1· 1=0 ? AA ? 1 ? 由? ,得 , ?x1+y1=0 ? ?n1· →=0 ? AD 令y1=-1,得x1=1,z1=0, ∴n1=(1,-1,0).

?-2x +2y =0 ?n2· →=0 ? BC ? 2 2 ? 由? ,得 . ?-y2+ 3z2=0 → ? ?n2· 1=0 ? CC

3 令y2=1,得x2=1,z2= , 3
? ∴n2=?1,1, ? ?

3? ? . 3? ?

∴n1·2=1-1+0=0,∴n1⊥n2, n ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

? 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB⊥BC,|AB|=|BC| =2,|BB1|=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥ 平面AA1C1C. ? 证明: 由题意得AB,BC,B1B两两垂直,以B为原 点,以直线BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立如图 所示的空间直角坐标系,

? 1? 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E?0,0,2?, ? ?

→ → → → AA1 =(0,0,1), AC =(-2,2,0), AC1 =(-2,2,1), AE =
? 1? ?-2,0, ?. 2? ?

设平面AA1C1C的法向量为n1=(x1,y1,z1), → ?z =0, ?n1· 1=0, ? AA ? 1 则? ?? ?-2x1+2y1=0. ? ?n1· →=0 ? AC 令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).

设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
?z =4x , ?n2· →=0, ? AE ? 2 2 ? ? 则 ? ?-2x2+2y2+z2=0 →1=0, ? ? n2 · ? AC

令x2=1,则n2=(1,-1,4),n1·2=1-1=0, n 即平面AEC1⊥平面AA1C1C.


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