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第五章 专题研究 平面向量的综合应用


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第五章

专题研究

专题研究 平面向量的综合应用
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专题讲解
题型一 向量在平面几何中的应用 例1 (1)已知正方形OABC的边长为1,点D、E分别 为AB、BC的中点,试求cos∠DOE的值.
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以 OA、 OC 为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.则 1 1 → → 由已知条件,可得OD = (1, ),OE =( ,1), 2 2 1 1 1× + ×1 →· → OD OE 2 2 4 故 cos∠ DOE= = = . 5 → |OE 5 5 |OD |·→ | × 2 2 → → → → (2)O 为△ABC 所在平面内一点,且|OA |2+|BC|2=|OB |2+|CA|2= → → → → |OC |2+|AB|2.求证:AB⊥OC . → → → 【证明】 设OA =a,OB =b,OC = c, → → → 可得BC= c-b,CA=a- c,AB=b-a. → → → → → → 由已知|OA |2+ |BC|2= |OB |2+|CA|2=|OC |2+ |AB|2, 得 a2+ (c- b)2=b2+(a- c)2= c2+(b-a)2. 即 a2+ c2+b2- 2c· b=b2+a2+ c2-2a· c 2 2 2 = c +b +a -2a· b. 整理得 c· b=a· b· c= a. → OC → ∴AB· =(b-a)· b· a· 0. c= c- c= → → ∴AB⊥OC .
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【解析】

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探究1

用向量法解决几何问题时,先用向量表示

相应的点、线段、夹角等几何元素,常通过平面 向量基本定理、加、减法运算,向量坐标法进行 转化,然后通过向量运算研究关系.

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例 2 (09· 海南、宁夏)已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内, → → → → → → → PB → PC → PA → → → 且|OA |=|OB |=|OC |,NA +NB +NC =0,PA · =PB· =PC· ,则 点 O,N,P 依次是△ABC 的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 → → → 【解析】 由|OA |=|OB |=|OC |知 O 到 A、B、C 三点的距离相等, 即为外心. → → → → → 由NA +NB +NC =0,设 D 为 BC 中点,则有NA +2ND =0. 则 N 为中线靠近中点的三等分点,即为重心. → PB → PC → (PC → → → → AC → → 由PA · =PB· ?PB·→ -PA )=0?PB· =0, 同理, → · 有PA BC → AB → =0,PC· =0. 则 P 为垂心,故选 C.

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【答案】

C

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探究 2

利用三角形中与向量相关的常见结论来命制考题,突出了向

量在研究平面几何问题中的工具性. 常见的结论有: 在△ABC 中,→ AB → → → 1 → → +BC+CA=0;若 D 为 BC 边的中点,则AD = (AB+AC);若 G 是 2 △ABC 的重心, → +GB +GC =0; O 是△ABC 的内心, aOA 则GA → → 若 则 → → → +bOB +cOC =0 等.

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题型二 向量在物理中的应用
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例 3 已知力 F 与水平方向的夹角为 30° (斜向上), F 的大小为 50 N,F 拉着一个重 80N 的木块在摩擦因数 μ=0.02 的水平平面上运动了 20 mm,问 F、摩擦力 f 所 做的功分别为多少? 【解析】 设木块的位移为 s, 3 则 F· s=|F|· |s|cos30° =50×20× =500 3 J, 2 F 在竖直方向上的分力的大小为 1 |F|sin30° =50× =25(N),所以摩擦力 f 的大小为 2 |f|=(80-25)×0.02=1.1(N), 所以 f· s=|f|· |s|cos180° =1.1×20×(-1)=-22(J). 即 F,f 所做的功分别是 500 3 J,-22 J.
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探究3 用向量方法解决物理问题的步骤:一是把 物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向 量问题的模型,通过向量运算解决问题;三是将

结果还原为物理问题.
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题型三
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向量在三角函数中的应用

→ → 已知 O 为坐标原点,向量OA =(sinα,1),OB =(cosα,0), → → → OC =(-sinα,2),点 P 满足AB=BP. 例4 π π → CA → (1) 记函数 f(α)=PB· ,α∈(- , ),讨论函数 f(α)的单调性, 8 2 并求其值域; → → (2)若 O,P,C 三点共线,求|OA +OB |的值. → → → 【解】 (1)AB=(cosα-sinα,-1),设OP=(x,y),则BP=(x- cosα,y). → → 由AB=BP得 x=2cosα-sinα,y=-1, → 故OP=(2cosα-sinα,-1). → → PB=(sinα-cosα,1),CA=(2sinα,-1),
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→ CA → f(α)=PB· =(sinα-cosα,1)· (2sinα,-1)=2sin2α-2sinαcosα-1=- π π π π 5π (sin2α+cos2α)=- 2sin(2α+ ),又 α∈(- , ),故 0<2α+ < , 4 8 2 4 4 π π π π 当 0<2α+ ≤ ,即- <α≤ 时,f(α)单调递减; 4 2 8 8 π π 5π π π 当 <2α+ < ,即 <α< 时,f(α)单调递增. 2 4 4 8 2 π π π π 故函数 f(α)的单调递增区间为( , ),单调递减区间为(- , ], 8 2 8 8 π 2 因为 sin(2α+ )∈(- ,1],故函数 f(α)的值域为[- 2,1). 4 2 → → (2)OP=(2cosα-sinα,-1),OC =(-sinα,2),由 O,P,C 三点共线可 4 2sinαcosα 得 (- 1)×(- sinα)= 2×(2cosα- sinα),得 tanα= , sin2α= 2 = 3 sin α+cos2α 2tanα 24 . 2 = 1+tan α 25 74 → → |OA +OB |= ?sinα+cosα? 2+1= 2+sin2α= . 5 探究 4 这类试题的难度一般不大,但解题时要细心,要正确利用向量的相关
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知识,特别是向量中的共线、垂直关系.
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