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2015-2016学年高中数学 1.1.1任意角课件 新人教A版必修4


第一章
三角函数

到过海边的人都知道,海水有涨潮和落潮现象,涨潮时, 海水上涨,波浪滚滚,景色十分壮观;退潮时,海水悄然退去, 露出一片海滩.在我国,有闻名中外的钱塘江涨潮,当潮流涌 来时,潮端陡立,水花四溅,像一道高速推进的直立水墙,形 成“滔天浊浪排空来,翻江倒海山为摧”的壮观景象.科学地 讲,潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动, 是海洋中常见的自然现象之一.实际上,现实中的许多运动变 化都有着循环反复、周而复始的现象,这种变化规律称为周期 性.在唐代诗人王湾的《江南恋》中有这样的诗句:“客路青 山外,行舟绿水前.潮平两岸阔,风正一帆悬 .海日生残夜, 江春入旧年.”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期 性变化规律.

如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢?本章 将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型.通过

本章的学习,我们将知道:三角函数是怎样的一种函数?具有
哪些特有的性质?在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些 重要作用?

第一章
1.1 任意角和弧度制

1.1.1 任意角

1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

优效预习

●知识衔接
1 .初中我们已经学习过角,那么初中对角的定义是什么 呢?所谓角就是________________. [答案] 由两条具有公共端点的射线组成的图形

2 .角按大小进行分类,可分为锐角、钝角和直角.锐角
的范围为 ________ ,钝角的范围为 ________ ,直角的度数为 ________. [答案] 0°<α<90° 90°<α<180° 90°

●自主预习 1.角

(1) 定义:平面内一条射线绕着 _____ 端点 从一个位置旋转到另
一个位置所成的图形称为角 ,所旋转射线的端点叫做角的 顶点 ,开始位置的射线叫做角的 ______ 始边 ,终止位置的射 _________

终边 .如图所示. 线叫做角的______

(2)分类:如下表. 任意角 正角 负角 零角 定义 逆 时针方向旋转形成的角 按____ 顺 时针方向旋转形成的角 按____ 旋转 形成的角 一条射线没有作任何_____

(3)记法:用一个希腊字母表示,如α、β、γ、?;也可用3 个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”),其中中间字母 表示角的顶点,如∠AOB、∠DEF、?.

[ 破疑点 ](1) 确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转 量;(2)零角的始边和终边重合,但始边和终边重合的角不一定 是零角,如周角等; (3) 角的范围由 0°~ 360°推广到任意角

后,角的加减运算类似于实数的加减运算.(4)画图表示角时,
应注意箭头的方向不可丢掉,箭头方向代表角的正负.

2.象限角 使角的顶点与______ 轴的非负半 x 原点 重合,角的始边与______ 轴重合.那么,角的______( 终边 除原点外)在第几象限,就说这个 角是第几____________ ,即象限角的终边在第一或第二或第三 象限角 或第四象限内,不与____________ 坐标轴 重合. 如果角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限.

3.终边相同的角 (1) 研究终边相同的角的前提条件是:角的顶点与原点重 合,角的始边与x轴的非负半轴重合.

(2)终边相同的角的集合:所有与角 α终边相同的角,连同
角α在内,可构成一个集合 S={β|β=___________ ,k∈Z},即 α+k· 360° 任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的 和.

[破疑点 ]理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以 下几点: (1)式中角α为任意角; (2)k∈Z这一条件必不可少;

(3)k·360°与 α 之间是 “ + ” ,如 k·360°- 30°应看成
k·360°+(-30°),即与-30°角终边相同; (4) 当 α 与 β 的终边相同时, α - β = k·360°(k∈Z) .反之亦 然.

[ 拓展 ]1. 象限角与轴线角 ( 终边在坐标轴上的角 ) 的集合表


(1)象限角:

象限角

集合表示

第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}

(2)轴线角: 角的终边的位置 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 集合表示 {α|α=k·360°,k∈Z} {α|α=k·360°+180°,k∈Z} {α|α=k·360°+90°,k∈Z} {α|α=k·360°+270°,k∈Z}

终边落在y轴上
终边落在x轴上 终边落在坐标轴上

{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
{α|α=k·180°,k∈Z} {α|α=k·90°,k∈Z}

●预习自测 1.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为
( ) A.120° C.60° [答案] A 2.-30°是( A.第一象限角 C.第三象限角 ) B.第二象限角 D.第四象限角 B.-120° D.240°

[答案] D

3.与95°角终边相同的角是( A.-5°

)

B.85°

C.395°
[答案] D

D.-265°

4.已知角α是第二象限角,是第______象限角.

[答案] 一、三
[ 解析 ] 可用不等式来表示第二象限角,然后对式中的 k 进行讨论.讨论时分奇数和偶数两类进行;也可采用几何法, 即将每一象限分成两等份,从第一象限开始按逆时针方向在每 一个区域依次标上 1、2 、 3 、 4,循环标注,则标有2 的区域即

为所求.

5.下列说法中,正确的是________. (1)终边落在第一象限的角为锐角;

(2)锐角是第一象限角;
(3)第二象限角为钝角; (4)小于90°的角一定为锐角.

[答案] (2)
[解析] 终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的 角是第一象限角,但不是锐角,故(1)的说法是错误的;同理第 二象限角也不一定是钝角,故(3)的说法也是错误的;小于90° 的角不一定为锐角,如负角,故(4)的说法是错误的;综上,只

有(2)的说法是正确的.

[警误区]注意锐角、钝角、直角、平角、周角的概念与象 限角、正角、负角、零角等概念的区别以及它们之间的关系.

高效课堂

●互动探究
任意角

写出图(1)、(2)中的角α、β、γ的度数.

[探究] 1.弄清角的始边与终边.

2.弄清逆时针还是顺时针. [解析] 图(1)中,α=360°-30°=330°; 图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°;

γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.

(1) 时 钟 走 了 3 小 时 20 分 , 则 时 针 所 转 过 的 角 的 度 数 为 ________,分针转过的角的度数为________. (2) 如图,射线 OA 绕顶点 O 逆时针旋转 45°到 OB 位置,并 在 此 基 础 上 顺 时 针 旋 转 120° 到 达 OC 位 置 , 则 ∠ AOC = ________.

[答案] (1)-100° -1 200° (2)-75°
[解析] (1)从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切

入,时针每小时转 30° ,分针每小时转 360° ,每分钟转 6° .时针、 分针都按顺时针方向旋转,故转过的角度数都是负的,3 小时 1 1 20 分即 33小时,故时针转过的角度数为-33×30° =-100° ; 1 分针转过的角度数为-33×360° =-1 200° . (2) 由角的定义可得∠ AOC =∠ AOB +∠ BOC = 45° +(- 120° )=-75° .

终边相同的角 (1)与-457°角的终边相同的角的集合是( A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z} B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z} C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z} )

D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}
(2) 已 知 α = - 1 910° , ① 把 α 写 成 β + k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,指出它是第几象限角;②

求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.

(3) 若角 α 的终边在函数 y =- x 的图象上,试写出角 α 的集 合.
[探究] 1.寻找与-457° 终边相同的角. 2.用 α 除以 360° ,使余数为正且使余数落在[0° ,360° )即 可;利用公式 α+k· 360° 列不等式求解. 3.函数 y=-x 的图象是第二、四象限的平分线,可以先 在 0° ~360° 范围内找出满足条件的角,进一步写出满足条件的 所有角,并注意化简.

[ 解析 ] 263° ,故选 C.

(1) 由于- 457° =- 1×360° - 97° =- 2×360° +

(2)①∵-1 910° ÷ 360° =-6 余 250° , ∴-1 910° =-6×360° +250° , ∴β=250° ,从而 α=-6×360° +250° 是第三象限角. ②令 θ=250° +k· 360° (k∈Z), ∵-720° ≤θ<0° , ∴-720° ≤250° +k· 360° <0° , 97 25 即-36≤k<-36.

∵k∈Z,∴k=-1 或-2. 即 250° +(-1)· 360° =-110° , 250° +(-2)· 360° =-470° . (3)由于 y=-x 的图象是第二、 四象限的平分线, 故在 0° ~ 360° 范围内所对应的两个角分别为 135° 及 315° ,从而角 α 的集 合为 S={α|α=k· 360° +135° 或 α=k· 360° +315° ,k∈Z}={α|α =2k· 180° +135° 或 α=(2k+1)· 180° +135° ,k∈Z},∴S={α|α =k· 180° +135° ,k∈Z}.

[规律总结]

写出终边落在某条过原点的直线上的角集合

有两种方法:一是分别写出每条终边所代表的角的集合,再取 并集;二是在其中一条终边上找出一个角,然后再加上 180°

的整数倍.

(1)与405°角终边相同的角是( A.k·360°-45°,k∈Z

)

B.k·360°±405°,k∈Z
C.k·360°+45°,k∈Z D.k·180°+45°,k∈Z

(2)已知角α=2016°.
①把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指 出它是第几象限角; ②求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°. (3)已知角β的终边在直线x-y=0上.

①写出角β的集合S;②写出S中适合不等式-
360°≤β<720°的元素. [答案] (1)C

[解析]

(1)∵405°=360°+45°,是与45°终边相同的

角,即与405°终边相同的角是k·360°+45°,故选C. (2)①用2016°除以360°商为5,余数为216°, ∴ k=5,

∴α=5×360°+216°(β=216°),
∴α为第三象限角. ②∵θ=k·360°+216°,k∈Z, 又-360°≤θ<720°,∴k=-1,0,1, ∴θ=-144°、216°、576°.

(3)①如图,直线 3x-y=0 过原 点, 倾斜角为 60° , 在 0° ~360° 范围内, 终边落在射线 OA 上的角是 60° ,终边 落在射线 OB 上的角是 240° , 所以以射 线 OA、OB 为终边的角的集合为: S1={β|β=60° +k· 360° ,k∈Z},S2={β|β=240° +k· 360° , k∈Z},

所以,角 β 的集合 S=S1∪S2 ={β|β=60° +k· 360° ,k∈Z}∪{β|β=60° +180° +k· 360° ,k ∈Z} ={β|β=60° +2k· 180° ,k∈Z}∪{β|β=60° +(2k+1)· 180° , k∈Z} ={β|β=60° +n· 180° ,n∈Z}.

②由于-360° ≤β<720° ,即-360° ≤60° +n· 180° <720° ,n ∈Z, 7 11 解得-3≤n< 3 ,n∈Z,所以 n=-2、-1、0、1、2、3. 所以 S 中适合不等式-360° ≤β<720° 的元素为: 60° -2×180° =-300° ; 60° -1×180° =-120° ; 60° -0×180° =60° ; 60° +1×180° =240° ; 60° +2×180° =420; 60° +3×180° =600° .

区域角的表示 区域角及其表示方法

区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可
分为三步: (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; (2) 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的- 360°到 360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β}; (3)起始、终止边界对应角 α、 β再加上360°的整数倍,即 得区间角集合.

若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内,则

α角组成的集合为________.

[解析]

在0°~360°范围内,终边落在阴影范围内的角

是 60°≤α≤150° , 故 满 足 条 件 的 角 的 集 合 为 {α|k·360° + 60°≤α≤k·360°+150°,k∈Z}. [答案] {α|k·360°+60°≤α≤k·360°+150°,k∈Z}

写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界).

[解析]

(1){α|k·360° + 30°≤α≤k·360° + 90° ,

k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}或写成
{α|k·180°+30°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}. (2){α|k·360°-45°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}.

●探索延拓

判断角所在的象限
α 若角 α 是第一象限,问-α、2α、3是第几象限 角?

[探究] 解决这类问题有两种方法:分类讨论或几何法. [解析] ∵α是第一象限角,

∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).
(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z), ∴-α所在区域与(-90°,0°)范围相同, 故-α是第四象限角.

(2)2k· 360° <2α<2k· 360° +180° (k∈Z), ∴2α 所在区域与(0° ,180° )范围相同, 故 2α 是第一、二象限角或终边落在 y 轴的正半轴. α (3)k· 120° < 3 <k· 120° +30° (k∈Z) 方法一:(分类讨论)当 k=3n(n∈Z)时, α n· 360° <3<n· 360° +30° (n∈Z), α ∴3是第一象限角;

当 k=3n+1(n∈Z)时, α n· 360° +120° <3<n· 360° +150° (n∈Z), α ∴3是第二象限角; 当 k=3n+2(n∈Z)时, α n· 360° +240° <3<n· 360° +270° (n∈Z), α ∴3是第三象限角.

α 综上可知:3是第一、二或第三象 限角. 方法二:(几何法)如右图,先将各 象限分成 3 等份,再从 x 轴的正向的 上方起,依次将各区域标上 1、2、3、 α 4,则标有 1 的区域即为3终边所落在 α 的区域,故3为第一、二或第三象限角.

[规律总结]

此题几何法依据的是数形结合的思想,简洁

直观;分类讨论要对n的取值分以下几种情况进行讨论:被n整

除;被 n 除余 1 ;被 n 除余 2 ; ? ;被 n 除余 n - 1. 然后方可下结
论.

φ 若 φ 是第二象限角,那么 2和 90° -φ 都不是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

)

[答案]
[ 解析 ]

B
∵ φ 是第二象限角,∴ k· 360° + 90° <φ<k· 360° +

φ φ 180° ,k∈Z,∴k· 180° +45° < 2<k· 180° +90° ,k∈Z,即 2 终边是 第一或第三象限角,而-φ 显然是第三象限角,∴90° -φ 是第 四象限角,故选 B.

●误区警示 易错点 集合概念理解错误 已知集合A={α|α=k·180°±45°,k∈Z},集 合 B = {β|β = k·90°+ 45°, k∈Z} ,则 A 与 B 的关系正确的是 ( ) A.A?B C.A=B B.B?A D.A?B且B?A

[错解] ∵k=0 时,集合 A 中角 α=± 45° ,集合 B 中角 β =45° ,∴B? A,故选 B.

[辨析]错解对集合概念理解错误.应从集合中角的终边所 在位置随k的变化入手解决,或用列举法解决.

[正解]

当k为偶数时,集合A中角α的终边为一、四象限角

的平分线,当k 为奇数时,集合 A中角α的终边为二、三象限角 的 平 分 线 , 角 α 的 终 边 如 图 所 示 , 故 可 以 表 示 为 k·90° + 45°,∴A=B,故选C.

[点评] (1)可直接用列举法 A={??-225° , -135° ,- 45° ,45° ,135° ,225° ,??},B={??-135° ,-45° ,45° , 135° ,225° ,??},∴A=B. (2)可从分析两集合中相等的角入手解决.由 k· 180° ± 45° = n· 90° +45° 得,n=2k 或 n=2k-1,∵k∈Z,n∈Z,∴A=B.

已 知 集 合 A = {α|k·180° + 30°<α<k·180° + 90° ,
k∈Z} , 集 合 B = {β|k·360° - 45°<β<k·360° + 45° , k∈Z}.求A∩B. [思路点拨] 在直角坐标平面内,分别找出集合A,B中角 的终边所在的区域,结合图形写出A∩B.

[解析]

如下图所示,A∩B中的角的始边和终边对应30°

和45°角的终边,

∴A∩B={α|k·360°+30°<α<k·360°+45°,k∈Z}.

当堂检测

1.下列命题中,正确的是( A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角必相等 C.相等角的终边位置必相同

)

D.不相等的角其终边位置必不相同
[答案] C [ 解析 ] 锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐 角,因此A错误;由终边相同角的概念知C正确.

2.-215°是(
A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] B [ 解析 ]

)
B.第二象限角 D.第四象限角

由于- 215°=- 360°+ 145°,而 145°是第二 )

象限角,则-215°也是第二象限角.
3.下列各组角中,终边相同的是( A.390°,690° C.480°,-420° [答案] B B.-330°,750° D.3000°,-840°

4.若α是第三象限角,则-α是(
A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] B [解析]

)

B.第二象限角 D.第四象限角

令α=-120°是第三象限角,则-α=120°是第

二象限角.

5. 如图所示, 终边落在阴影部 分的角的集合是( )

A.{α|-45° ≤α≤120° } B.{α|120° ≤α≤315° } C.{α|k· 360° -45° ≤α≤k· 360° +120° ,k∈Z} D.{α|k· 360° +120° ≤α≤k· 360° +315° ,k∈Z}

[答案] [ 解析 ]

C 如题图所示,终边落在阴影部分的角的取值是

k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z,故选C.


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