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第二节离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其概率分布


第二节 离散型随机变量及其分布函数

离散型随机变量及其概率分布 常用离散分布 二项分布的泊松近似 例题选讲: 例题选讲:

一、离散型随机变量及其概率分布 定义 设离散型随机变量 的所有可能取 值为 x (i = 1,2,L) , 称 P{X = x } = p , i = 1,2, L 为 X 的概率分布或分布律, 也称概率函数. 常

用表格形式来表示 X 的概率分布:
i

X

i

i

X pi

x1 p1

x2 L p2 L

xn L pn L

二、常用离散分布

退化分布 两点分布 个点上的均匀 分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布:泊松分布是概率论中最重 要的几个分布之一. 实际问题中许多随机 现象都服从或近似服从泊松分布.

三、二项分布的泊松近似
定理1 定理 (泊松定理) 在 n 重伯努利试验中, 事件 A 在每次试验中发生的概率为 (注意这与试验的 次数 n 有关), 如果 n → ∞ 时, np → λ ( λ > 0 为常数), 则对任意给定的 k , 有
pn
n

.

n→∞

lim b(k , n, pn ) =

λk
k!

e? λ

例题选讲: 例题选讲:
离散型随机变量及其概率分布 讲义例1) 例1 (讲义例 某篮球运动员投中篮圈的概率是 讲义例 0.9, 求他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布. 解 X 可取0, 1, 2为值,
P{ X = 0} = (0.1)(0.1) = 0.01 P{ X = 1} = 2(0.9)(0.1) = 0.18 P{ X = 2} = (0.9)(0.9) = 0.81 P{ X = 0} + P{ X = 1} + P{ X = 2} = 1

且 于是, 的概率分布可表示为
X

X Pi

0 1 2 . 0.01 0.18 0.81

例2 设随机变量 X 的概率分布为: . P{X = K} = a λk! , k = 0, 1, 2, L , λ > 0 试确定常数 a . 解 依据概率分布的性质:
k

? P{ X = k} ≥ 0 ? ? P{ X = k} = 1, ? k ?



欲使上述函数为概率分布应有
a = e ?λ .

a ≥ 0,

∑ a K! = aeλ = 1,
k =0



λk

从中解得
λk

注: 这里用到了常见的幂级数展开式

e =

λ

∑ K!.
k =0



两点分布 讲义例2) 例3 (讲义例 200件产品中, 有196件是正品, 讲义例 4 4件是次品, 今从中随机地抽取一件, 若规定 , , ?1, 取到正品 X =? , 于是, X 服从参 ?0, 取到次品 则 数为0.98的两点分布.
P{ X = 1} =
196 = 0.98, 200

P{ X = 0} =

4 = 0.02. 200

二项分布 讲义例3) 例4 (讲义例 已知100个产品中有5个次品, 现从中有 讲义例 放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个 次品的概率. 解 因为这是有放回地取3次, 因此这3次试验的条件完 全相同且独立, 它是伯努利试验, 依题意, 每次试验取 到次品的概率为0.05. 设 X 为所取的3个中的次品数, 则
X ~ b(3,0.05),

于是, 所求概率为:

2 P{ X = 2} = C3 (0.05) 2 (0.95) = 0.007125.

注: 若将本例中的 “有放回” 改为 “无放 回”, 那么各次试验条件就不同了, 已不是伯努 利概型, 此时, 只能用古典概型求解.
P{ X = 2} =
1 2 C95C5 3 C100

≈ 0.00618.

讲义例4) 例5 (讲义例 某人进行射击, 设每次射击的命 讲义例 中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两 次的概率. 解 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数 为 X , 则 X ~ b(400,0.02). ? 400 ? X P{ X = k} = ? , ? k ?(0.02) (0.98) ? 的分布律为 ? ? 于是所求概率为
k 400 ? k

k = 0,1,L,400.

400 399 P{ X ≥ 2} = 1 ? P{ X = 0} ? P{ X = 1} = 1 ? (0.98) ? 400(0.02)(0.98)

= 0.9972.

设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发 例6 生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人 处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维 护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台. 试比较 这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的 大小.

解 按第一种方法. 以 X 记 “第1人维护的20台 中同一时刻发生故障的台数”, 以 表示 i “第人维护的20台中发生故障不能及时维修”, 则知80台中发生故障不能及时维修的概率为 80
Ai (i = 1,2,3,4)

P ( A1 U A2 U A3 U A4 ) ≥ P ( A1 ) = P{ X ≥ 2}.



X ~ b(20,0.01),
1

故有
1

P{ X ≥ 2} = 1 ?

∑ P{ X = k} = 1 ? ∑ ? k ?(0.01) ? ? ? ?
k =0 k =0

? 20 ?

k

(0.99) 20 ? k = 0.0169.



P ( A1 U A2 U A3 U A4 ) ≥ 0.0169 .

按第二种方法. 以 Y 记80台中同一时刻发生 故障的台数. 此时 Y ~ b(80,0.01),故80台中发生故障而 不能及时维修的概率为
P{Y ≥ 4} = 1 ?



? 80 ? ? ?(0.01) k (0.99) 80? k = 0.0087 ?k? ? k =0 ?
3

结果表明, 在后一种情况尽管任务重了(每人平 均维护约27台), 但工作效率不仅没有降低, 反 而提高了.

例7 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他 每发命中的概率是 p , 求所需射击发数 X 的概率分布. 解 显然, X 可能取的值是 1,2,L, 为计算 P{X = k}, k = 1,2,L,设 A = {第 k 发命中}, k = 1,2,L, 则
k

P{ X = 1} = P ( A1 ) = p,

P{ X = 2} = P( A1 A2 ) = (1 ? p) ? p,
P{ X = 3} = P( A1 A2 A3 ) = (1 ? p) 2 ? p,

………… 可见所求需射击发数的概率分布为

P{ X = k} = (1 ? p) k ?1 ? p, k = 1,2,L.

泊松分布 讲义例5) 例8 (讲义例 某一城市每天发生火灾的次数 讲义例 X服从参数λ = 0.8 的泊松分布, 求该城市一天内发 , 生3次或3次以上火灾的概率. 解 由概率的性质, 得
P{ X ≥ 3} = 1 ? P{ X < 3} = 1 ? P{ X = 0} ? P{ X = 1} ? P{ X = 2}
? 0.8 0 0.81 0.8 2 ? = 1 ? e ?0.8 ? ? 0! + 1! + 2! ? ≈ 0.0474. ? ? ?

二项分布的泊松近似 讲义例6) 例9 (讲义例 某公司生产的一种产品300件. 讲义例 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这 0.01. 300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?

解 把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 它有两个 结果: A = {正品}, A = {废品}.检验300件产品就是作300 次独立的伯努利试验. 用 X 表示检验出的废品数, 则
X ~ b(300,0.01),

我们要计算 P{X > 5}. 对 n = 300, p = 0.01, 有 λ = np = 3, 于是, 得
P{ X > 5} =


k =6



b(k ;300,0.01) = 1 ?


k =0

5

b( k ;300,0.01) ≈ 1 ?



3k ? 3 e . k! k =0

5

查泊松分布表, 得
P{ X > 5} ≈ 1 ? 0.916082 = 0.08.

讲义例7) 例10 (讲义例 一家商店采用科学管理,由该商店过 讲义例 去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数 的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件? 解 设该商品每月的销售数为X , 已知 X , 服从参数 λ = 5 的 泊松分布. 设商店在月底应进该种商品 m 件, 求满足 e 5 > 0.95 P{ X ≤ m} > 0.95 的最小的 m, 即 ∑ k! e 5 e 5 查泊松分布表, 得 ∑ k! ≈ 0.968172, ∑ k! ≈ 0.931906 于是得 m = 9 件.
m ?5 k k =0

9

?5 k

8

?5 k

k =0

k =0

例11 自1875年至1955年中的某63年间, 上 海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立 上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型. 解 每年夏季共有 n = 153(= 31 + 30 + 31 + 31 + 30) 天, 每次暴雨 发生以1天计算, 则夏季每天发生暴雨的概率
p = 180 /(63 × 153).

将暴雨发生看做稀有事件, 利用泊松分布来建 立上海市一个夏季暴雨发生 k (k = 0,1,2,L) 次的概率分 布模型.

设 X 表示夏季发生暴雨的次数, 由于 故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为
λ = np = 153 ×

180 = 2.9, 63 × 153

P{ X = k} =

2.9 k ? 2.9 e , k!

k = 0,1,2,L.

由上述 X 的概率分布计算63年中上海市夏季发 生 k 次暴雨的理论年数 63P{X = k}, 并将它与资料记 载的实际年数作对照, 这些值及 的值均列入 下表.
P{ X = k}

课堂练习
1.某类灯泡使用时数在 1000 小时以上的 概率是 0.2, 求三个灯泡在使用 1000 小时以后 最多只有一个坏了的概率. 2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均 设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿 与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种 信号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次 遇到红灯前已通过的路口的个数, 求 X 的概率 分布.


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