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高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.3.2 第二课时 双曲线方程及几何性质的应用


考点一

把握热点考向
2.3

考点二 考点三

第 二 章

2.3. 2

第 二 课 时

应用创新演练

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

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第二课时

双曲线方程及几何性质的应用

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[例1]

已知直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1.当k为何

值时,直线与双曲线:

(1)有两个公共点;(2)有一个公共点;(3)没有公共点?
[思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题,可以

将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的 个数问题.

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[精解详析] =0.(*)

?y=kx-1, ? 由? 2 ?4x -y2=1, ?

消去 y 得(4-k2)x2+2kx-2

若 4-k2=0,即 k=± 时,方程(*)为一次方程,只有一解. 2 若 4-k2≠0 时,Δ=4k2+8(4-k2)=4(8-k2). 当 Δ>0 即-2 2<k<2 2时,方程(*)有两个不同的解. 当 Δ=0 即 k=± 2时,方程(*)有一解. 2 当 Δ<0 即 k<-2 2或 k>2 2时,方程 (*)无解. 综合以上得:当-2 2<k<2 2时,直线与双曲线有两个公共 点;当 k=± 或 k=± 2时,直线与双曲线有一个公共点;当 k< 2 2 -2 2或 k>2 2时,直线与双曲线没有公共点.
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[一点通]

一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0),① ②

x2 y2 双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0). 把①代入②得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

b (1)当 b -a k =0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近 a
2 2 2

线平行,直线与双曲线 C 相交于一点.

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b (2)当 b -a k ≠0,即 k≠± 时, a
2 2 2

Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲 线相交; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲 线相切; Δ<0?直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线 相离.
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1.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个交点,

则k的值为________.
?y=kx-1, ? 解析:由? 2 2 ?x -y =1, ?

得(1-k2)x2+2kx-2=0.

当 1-k2=0 时,即 k=± 时, 1 方程变为± 2x-2=0,则 x=± 1. 此时直线与双曲线渐近线平行,有且只有一个交点.

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当 1-k2≠0 时,Δ=4k2+8(1-k2)=0, 解得 k=± 2. 此时直线与双曲线相切,有且只有一个公共点. 综上所述,k=± 1,± 2.

答案:± 1,

± 2

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x2 2 2.直线 l:x+y=1 与双曲线 C: 2-y =1(a>0)相交于两个不同 a

? ??? 5 ??? 点 A,B,与 y 轴交于点 P,且 PA= PB ,求 a 的值. 12 x2 2 解:将 y=-x+1 代入 2-y =1(a>0),得 a
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易得 P(0,1).

? ??? 5 ??? 5 因为 PA= PB ,所以(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 12

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5 由此得 x1= x2.因为 x1,x2 是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 12 的两根,且 1-a2≠0, 17 2a2 5 2 2a2 所以 x2=- x =- 2, 2.消去 x2,得 12 12 2 1-a 1-a 2a2 289 17 - = .由 a>0,解得 a= . 13 1-a2 60

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[例 2]

x2 y2 斜率为 2 的直线 l 在双曲线 3 - 2 =1 上截得的弦长

为 6,求 l 的方程.

[思路点拨]
[精解详析]

设直线l的方程为y=2x+m,由题意建立
设直线 l 的方程为 y=2x+m,

关于m的等式,求出m即可.
?y=2x+m, ? 2 2 由 ?x y 得 10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*) ? 3 - 2 =1, ? 设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系,
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6 3 2 得 x1+x2=-5m,x1x2=10(m +2). ∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 36 2 3 2 =5[(x1+x2) -4x1x2]=5[25m -4×10(m +2)].
2

36 2 ∵|AB|= 6,∴ 5 m -6(m2+2)=6. ∴m2=15,m=± 15. 由(*)式得 Δ=24m2-240, 把 m=± 15代入上式,得 Δ>0, ∴m 的值为± 15, ∴所求 l 的方程为 y=2x± 15.
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[一点通]

(1)弦长公式

斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = = 1+k2|x1-x2| 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 1 1+ 2 k ?y1+y2?2-4y1y2.

1 1+ 2|y1-y2|= k

(2)与弦中点有关的问题主要用点差法,根与系数的关系解 决.另外,要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中 点、弦长等问题解决.

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3.过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A,B两
点,且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.
解:设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 则 x1-4y1=4,

① ②

x2-4y2=4. 2 2 ①-②得 (x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.

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∵P 是线段 AB 的中点, ∴x1+x2=16,y1+y2=2. y1-y2 x1+x2 ∴ = =2. x1-x2 4?y1+y2? ∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8), 即 2x-y-15=0.

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4.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点F2,且倾 斜 角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两 点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.

解:∵直线l过点F2且倾斜角为45°,
∴直线l的方程为y=x-2. 代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2).
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7 ∵x1·2=- <0, x 2 ∴A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1·2=- , x 2 ∴|AB|= 1+12|x1-x2|

= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 7 = 2· ?-2? -4?- ?=6. 2
2

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[例 3]

x2 2 已知直线 l: x+y=1 与双曲线 C: 2-y =1(a>0). a

1 (1)若 a=2,求 l 与 C 相交所得的弦长; (2)若 l 与 C 有两个不同的交点,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.

[思路点拨]

将l与C的方程联立消去一个未知数,得到

一元二次方程,利用根与系数的关系可求得弦长;由l与C相 交,知Δ>0,从而求出a的范围,可得离心率的范围.

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1 [精解详析] (1)当 a= 时,双曲线 C 的方程为 4x2-y2=1. 2
?x+y=1, ? 联立? 2 2 ?4x -y =1, ?

消去 y 得 3x2+2x-2=0.

设两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 则 x1+x2=- ,x1x2=- , 3 3 于是|AB|= 2· ?x1+x2? -4x1x2= 2×
2

28 2 14 = . 9 3

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x2 2 (2)将 y=-x+1 代入 2-y =1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0, a
?1-a2≠0, ? ∴? 4 ?4a +8a2?1-a2?>0. ?

解得 0<a< 2且 a≠1. 1 +1, a2

1+a2 又双曲线的离心率 e= a = 6 ∴e> 且 e≠ 2, 2 即离心率 e 的取值范围是( 6 , 2

2)∪( 2,+∞).

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[一点通] (1)直线和双曲线的交点问题,可转化为由它们的方程 组成的方程组的解的问题,而方程组的解往往转化为一元

二次方程的解.讨论一元二次方程根的基本步骤:①观察二
次项系数,看是否需要讨论;②分析判别式,看是否有根;③ 应用根与系数的关系,虽不解方程却能观察根的情况.遵循 以上原则,养成良好的思维习惯. (2)直线与双曲线有两个不同交点时,应要求方程组有 两个不同的解,因此一元二次方程中二次项的系数一定不 能为零.
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x2 2 5.已知双曲线 C: 2 -y =1. (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知点 M 的坐标为(0,1).设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P ???? ???? MQ 关于原点的对称点,记 λ= MP · .求 λ 的取值范围.

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2 2 解:(1)所求渐近线方程为 y- 2 x=0,y+ 2 x=0. (2)设 P 的坐标为(x0,y0),则 Q 的坐标为(-x0,-y0), ???? ???? MQ λ= MP · =(x0,y0-1)· 0,-y0-1) (-x 3 2 2 2 =-x0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ≤-1.

∴λ 的取值范围是(-∞,-1].

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x2 2 6.若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 3 -y =1 恒有两个不同的交点 A ??? ??? ? ? 和 B,且 OA· >2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. OB

?y=kx+ 2, ? 2 解:由?x 消去 y 得 2 ? 3 -y =1, ? (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ?1-3k2≠0, ? Δ=?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0 , ?

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1 即 k2≠ 且 k2<1. 3 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 -9 6 2k xA+xB= ,xAxB= . 1-3k2 1-3k2 ??? ??? ? ? 由 OA· >2 得 xAxB+yAyB>2, OB xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 6 2k =(k +1)· + 2· k +2 1-3k2 1-3k2
2



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3k2+7 = 2 . 3k -1 3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 解此不等式得 <k2<3. 3 1 由①②得 <k2<1. 3 3 3 故 k 的取值范围为(-1,- )∪( ,1). 3 3 ②

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1.研究直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以 后的方程的二次项系数,即若二次项系数为0,则直线

与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,
则进一步研究二次方程的判别式Δ,得到直线与双曲线 的交点个数. 2.在解决直线与双曲线的综合问题时,若遇到向量 关系,一般将其转化成坐标运算求解.

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