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湖北省2009年3月高三数学一模试题分类汇编——立体几何


湖北省 2009 年 3 月高三各地市一模数学试题分类汇编
第 7 部分:立体几何
一、选择题: 6. (湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测理)如图正方体 AC 1 中 P 为棱 BB 1 的中点, 则在平面 BCC 1 B 1 内过点 P 与直线 AC 成 50℃角的直 线有( C )条 A.0 B.1 C.2 D.无数 (湖北省黄冈市 2

009 年 3 月份高三年级质量检测文)

4.设直线m与平面?相交但不垂直,则下列 说法中正确的是
A, 在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B 过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直 C 与直线 ? 垂直的直线不可能与平面 ? 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 ? 垂直 4. (湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题)设 l、m、n 是空间三条直线, ? 、 ? 是空间两个 平面,则下列选项中正确的是( C ) A. 当 n ? l 时,“ ? ? ? ”是“ l // ? ”的充要条件 B. 当 m ? ? 且 n 是 l 在 ? 内的射影时,“m⊥n”是“l⊥m”的必要不充分条件 C. 当 m ? ? 时,“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 D. 当 m ? ? 且 n ? ? 时,“ n // ? ”是“m//n”的既不充分也不必要条件 7. (湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题) 四棱锥 P-ABCD 中,BC⊥平面 PAB,底面 ABCD 为 梯形,AD//BC,AD=4,BC=8,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥顶点 P 的轨迹是( B ) A. 圆 B. 不完整的圆 C. 抛物线 D. 抛物线的一部分 5 . ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) 两个正方体 M1、M2,棱长分别 a、 b,则对于正方体 M1、M2 有:棱长的比为 a∶b,表面积的比为 a2∶b2,体积比为 a3∶b3.我 们把满足类似条件的几何体称为“相似体” ,下列给出的几何体中是“相似体”的是(A) A.两个球 B.两个长方体 C.两个圆柱 D.两个圆锥 5 . ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 文 ) 对于平面 ? 和直线 m、n,给出下列 命题: ①若 m n ,则 m、n 与 ? 所成的角相等;②若 m ? , n ? ,则 m n ; ③若 m ? ? , m ? n ,则 n ? ;④若 m 与 n 是异面直线,且 m ? ,则 n 与 ? 相交. 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7. (湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理) 下列命题中正确命题的个数是( A ①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直; ②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直; ③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行; ④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直; )

? A?1

? B? 2

?C ? 3

? D? 4

8.(湖北省八校 2009 届高三第二次联考文)半径为 1 的球面上有 A,B,C 三点,其中点 A 与 B、C 两点间的球面距离均为 ( B ) A.

? ? ,B、C 两点间的球面距离为 ,则球心到平面 ABC 的距离为 2 3
2 21 7 3 21 7

21 14

B

21 7

C.

D.

4.(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)给出下列四个命题: ① 若直线 l⊥ 平面 α,l∥平面 β,则 α⊥ β; ② 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ③ 一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面,则这两 个二面角的平面角互为补角; ④ 过空间任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面。 其中正确的命题的个数有 A.1 B.2 C .3 D.4 8.(天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)如图在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, P 为 A1D1 的中点,Q 为 A1B1 上任意一点,E、F 为 CD 上任意两点,且 EF 的长为定值 b,则下列 四个值中不为定值的是 ( C ) A.点到平面的距离 B.二面角的大小 C.直线与平面所成的角 D.三棱锥的体积 10.(天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)平面 ? 、 ? 、? 两两互相垂直,点 A∈ ? ,点 A 到 ? 、? 的距离都是 3,P 是 ? 上的动点,P 到 ? 的距离是到点 A 距离的 2 倍,则点 P 的轨 迹上的点到 ? 的距离的最小值( A ) A. 3 ? 3 C. 6 ? 3 B. 3 ? 2 3 D. 3

5. (湖北省沙市中学 2009 届高三三月月考试题)对于不重合的两个平面 ? , ? , 给定下列条件: ①存在直线 l ,使得 l ? ? , l ? ? ;②存在平面 ? ,使 ? ? ? , ? ? ? ③ ? 内有不共线三点到 ? 的距离相等;④存在异面直线 l , m, 使l // ? , l // ? , m // ? , m // ? 其中可以确定 ? // ? 的有( B )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10. (湖北省宜昌市 2009 年 3 月高三年级第二次调研考试理)如图,在正四棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 1,

A1

D1
D

C1 B1
C
B

AA1 ? 2 .过顶点 D1 在空间作直线 l ,使 l 与直线 AC 和 BC1

A

所成的角都等于 60?,这样的直线 l 最多可作 A.1 条 B.2 条 C.3 条

D.4 条

10.D.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,连结 AD1 、 D1C ,则 AD1 // BC1 .在 ?AD1C 中, 易 得

D1 A ? D1C ? 5, AC ? 2
( ? sA
2


2





c ?D o1

)? ( 2 ? ? ? 5 2 AC 和 BC1 所成的角 ? 大于 60 ? 小于 90 ? .
2

?5 C 2?

) ?

2 1

,从而

(

5

C ')

B1 '

1

1

0

4 M
C1 '

空间中过不同的定点作直线与已知直线成一定条件的角的直 线条数相等,因此可作 l、AC、BC1 的平行线 l '、A ' C '、B ' C1 ' , 让 l '、A ' C '、B ' C1 ' 过同一点 M . 如图所示, ?B ' MA ' ? 180? ? ? ,同一平面内角 ? B ' MA ' 的

l'
A'

180? ? ? ? 60? .过此时 2 的角平分线作平面 ? ,使其垂直于 A ' C '、B ' C1 ' 所在的平面,当 l ' 绕着点 M 在平面 ? 内按逆 180? ? ? 时针方向转动时, l ' 与 A ' C '、B ' C1 ' 所成的角由 增大到 90?,再由 90? 减小到 2 180? ? ? (还原),符合条件的直线有 2 条. 2 ?B ' MC ' ? ? ? (60?,90?) ,同一平面内角 ?B ' MC ' 的平分线正好与 A ' C '、B ' C1 ' 成的角均
平分线正好与 A ' C '、B ' C1 ' 成的角均为 为

?
2

? 60? .过此时的角平分线作平面 ? ,使其垂直于 A ' C '、B ' C1 ' 所在的平面,当 l ' 绕着

点 M 在平面 ? 内按逆时针方向转动时, l ' 与 A ' C '、B ' C1 ' 所成的角由 90? 减小到

? (还原),符合条件的直线有 2 条.因此符合条件的直线共有 4 条,即 m ? 4 2

? 增大到 90?,再由 2

二、填空题: 15.(湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测理)如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E、F 分 别为 PA、PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF//平面 PBC; ④平面 BCE ? 平面 PAD 其中正确的有_________2_____个 1 3 . ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) 顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB = 1,AA1 =
2 ,则 A、C 两点间的球面距离为



? 2
32? , 3

13. ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 文 ) 已知正方体外接球的体积是 那么正方体的棱长等于 .
4 3 3

12. (湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理)已知矩形 ABCD 中, AB ? 8 ,BC ? 6 ,沿 AC 将 矩 形 A B C D折 成 一 个 二 面 角 B ? A C? D, 则 四 面 体 ABCD 的 外 接 球 的 表 面 积 为 _____________. 100? ;

12.(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)一个半径为1的球内切于正三棱柱,则该正三棱 柱的体积为__________。 6 3 12. (湖北省沙市中学 2009 届高三三月月考试题)四面体 ABCD 的外接球的球心在棱 CD 上, 且 CD=2, AB ? 3 ,则在外接球球面上 A、B 两点的球面距离是

2 ? 3

13.(湖北省宜昌市 2009 年 3 月高三年级第二次调研考试理)如图, A、 B、 C 是球面上三点, 且 AB ? 2cm , BC ? 4cm , ?ABC ? 60 ,若球心 O 到截面 ABC 的距 离为 2 2cm ,则该球的表面积为
2

.

13. 48? cm .由余弦定理得 AC ? 2 3 ,观察数据间的关系, 易 知 ?BAC 为 直 角 . O 在 面 ABC 上 的 射 影 为 BC 中 点 O1 , 从 而

O
A B

C

OO1 ? 2 2 .
在 RtΔAOO1 中, R ? OO1 ? AO1 ?
2 2

22 ? (2 2)2 ? 2 3

S ? 4? R2 ? 4? (2 3)2 ? 48? cm2 .

三、解答题: 18.(湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测文理)(本题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, AC ? BC ,AC=BC CC 1 ,D 为 AB 的中点. (1)求证: AC1 // 平面CDB1; (2)求二面角 B—B 1 C—D 的余弦值的大小。 18.解: (1)连接 BC 1 交 B 1 C 于 E,连接 DE,? BC ? CC 1 ,

?四边形BBC1 B1为矩形, ?点E为BC1的中点, (6 分) ? DE // AC1, ? AC1 // 平面CDB1 (2)作 BF ? B1 D 于 F,连接 EF ? AC ? BC,D为AB的中点, ? CD ? AB, ? CD ? 平面ABB1 A1, ? CD ? BF, ? BF ? 平面CDB1, ? EF为BE在平面CDB1内的射影 B — B1C — D的平面角。 又? BE ? B1C,EF ? B1C,?BEF为二面角 ? AC ? BC 设 AC ? BC ? CC1 ? 2a
? BD ? 2a,? B1 D ? 6a,? BF ?
又? BE ?

2 3 a, 3

2a,? sin BEF ?

6 3 ,? 二面角B — B1C — D的余弦值为 (12 分) 3 3

1 7 . ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) (本大题满分 12 分) 在如图所示的四面体 ABCD 中,AB、BC、CD 两两互相垂直,且 BC = CD = A 1.

(1)求证:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)求二面角 C-AB-D 的大小; (3)若直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 ? ,求 ? 的取值范围. 17.方法一 (1)证:∵CD⊥AB,CD⊥BC,∴CD⊥平面 ABC 又∵CD?平面 ACD,∴平面 ACD⊥平面 ABC 2分 4分 A

(2)解:∵AB⊥BC,AB⊥CD,∴AB⊥平面 BCD,故 AB⊥BD ∴∠CBD 是二面角 C-AB-D 的平面角 6分 ∵在 Rt△BCD 中,BC = CD,∴∠CBD = 45° 即二面角 C-AB-D 的大小为 45° 8分 (3)解:过点 B 作 BH⊥AC,垂足为 H,连结 DH ∵平面 ACD⊥平面 ABC,∴BH⊥平面 ACD, ∴∠BDH 为 BD 与平面 ACD 所成的角 10 分 AB ? BC a ? 设 AB = a,在 Rt△BHD 中, BD ? 2 , BH ? AC 1 ? a2 BH a 1 2 ? ? ? ∴ sin ? ? BD 2 2 2a 2 ? 2 2? 2 a 又 0 ?? ? B

H

C

D

?
2

,∴ 0 ? ? ?

?
4

12 分

方法二 (1)同方法一

4分

(2)解:设以过 B 点且∥ CD 的向量为 x 轴, BC 、BA 为 y 轴和 z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系,设 AB = a,则 A(0,0,a),C(0,1,0),D(1,1, z 0), BD = (1,1,0), BA = (0,0,a) 平面 ABC 的法向量 CD = (1,0,0) 设平面 ABD 的一个法向量为 n = (x,y,z),则 ? BD ? n ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? ? ?az ? 0 ? ? BA ? n ? 0 取 n = (1,-1,0)
| CD | ? | n | ∴二面角 C-AB-D 的大小为 45° cos ? CD , n ?? CD ? n ? 2 2

A

6分 B x C D 8分 y

(3)解: AC = (0,1,-a), CD = (1,0,0), BD = (1, 1,0) ? ? AC ? m ? 0 ? y ? az ? 0 设平面 ACD 的一个法向量是 m = (x,y,z),则 ? ? ? ?x ? 0 ? ?CD ? m ? 0 ∴可取 m = (0,a,1),设直线 BD 与平面 ACD 所成角为 ? ,则向量 BD 、m 的夹角为 故 cos(

?
2

??

?
2

??) ?

BD ? m | BD | ? | m |

?

a 2a 2 ? 2

10 分

即 sin ? ?

a 2a ? 2
2

?

1 2? 2 a2

?

2 2

又 0 ?? ?

?
2

,∴ 0 ? ? ?

?
4

12 分

18. (湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题)正方形 ABCD 边长为 3,点 E、F 分别在 AB、CD 上且 AE=2EB,CF=2FD,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折起到 A' EFD' 的位 置,使点 A' 在平面 ABCD 上的射影 G 恰好落在 BC 上. (1)判断直线 AA' 与直线 DD' 的位置关系并证明; (2)求二面角 A '? EF ? C 的大小; (3)求 VA ? A ' D ' E .

18 . ( 湖北 省孝感市 2009 届高三 3 月统考理)(本小题满分 12 分)

B1C1 的中点, 如图, 且棱 AA1 ? 8 ,AB ? 4 . D 、E 分别是正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的棱 AA1 、
(Ⅰ)求证: A1 E // 平面 BDC1 ; (Ⅱ) 在棱 AA1 上是否存在一点 M , 使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60 , 若存在, 求 AM 的长,若不存在,说明理由。

18【解】 【法一】 (Ⅰ)在线段 BC1 上取中点 F ,连结 EF 、 DF . 则 EF // DA1 ,且 EF ? DA1 ,∴ EFDA1 是平行四边形??3′ ∴ A1 E // FD ,又 A1 E ? 平面 BDC1 , FD ? 平面 BDC1 , ∴ A1 E // 平面 BDC1 .??5′ (Ⅱ)由 A1 E ? B1C1 , A1 E ? CC1 ,得 A1 E ? 平面 CBB1C1 . 过点 E 作 EH ? BC1 于 H ,连结 A1 H . 则 ?A1 HE 为二面角 A1 ? BC1 ? B1 的平面角??8′ 在 Rt ?BB1C1 中,由 BB1 ? 8 , B1C1 ? 4 得

8 5 4 5 ,∴ EH ? ,又 A1E ? 2 3 , 5 5 AE 15 ? 3 ,∴ ?A1HE ? 60 .??11′ ∴ tan?A1 HE ? 1 ? EH 2 ∴ M 在棱 AA1 上时,二面角 M ? BC1 ? B1 总大于 60 .

BC1 边上的高为

故棱 AA1 上不存在使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60 的点 M . ??12′ 【法二】建立如图所示的空间直角坐标系, ∴ DB ? ? ?4, ?4,0? 、 DC1 ? ?2, 4, 2 3

则 B ? ?2,0,0? 、 D ? 2,4,0 ? 、 A1 ? 2,8,0? 、 C1 0,8, 2 3 、 C1 ? ?2,8,0 ? 、 E ?1,8, 3 .

A1C1 ? ?2,0, 2 3 、

?

?

?

?

?



? A E ? ? ?3,0, 3 ?
1

?

?

、 A1B ? ? ?4, ?8,0? 、

BB1 ? ? 0,8,0? 、 BC1 ? 2,8, 2 3 .??4′
(Ⅰ)∵ A1E ?

?

?

1 DB ? DC1 且 A1E ? 平面 BDC1 , 2 ∴ A1 E // 平面 BDC1 .??5′

?

?

? 3 ? ,则 m ? A1B ? 0 , m ? A1C1 ? 0 . ,1? ? ? 2 ? ? ∴ m ? A1B , m ? A1C1 ,即 m 为面 A1BC1 的一个法向量???7′
(Ⅱ)取 m ? ? 3, ? 同理,取 n ? ? 3,0,1 ,则 n ? BB1 ? 0 , n ? BC1 ? 0 . ∴ n ? BB1 , n ? BC1 , n 为平面 B1BC1 的一个法向量??9′

?

?

cos ? m, n? ?

m?n m?n

??

2 19

,∴二面角 M ? BC1 ? B1 为 arccos

2 19

? arctan

15 . 2

15 ? 3 ,∴二面角 M ? BC1 ? B1 大于 60 . ??11′ 2 ∴ M 在棱 AA1 上时,二面角 M ? BC1 ? B1 总大于 60 .
又∵ 故棱 AA1 上不存在使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60 的点 M . ??12′ 18 . ( 湖北省八校 2009 届高三第二次联考文 ) ( 本题满分 12 分 ) 如图,已知正三棱柱

ABC ? A1B1C1 的各棱长都为 a , P 为棱 A1B 上的动点.
A1 P ? 1 时,求证: PC ? AB . PB AP 2 (Ⅱ) 若 1 ? ,求二面角 P ? AC ? B 的大小. PB 3
(Ⅰ)当

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求点 C1 到平面 PAC 的距离. 18. 解法一 公理化法

A1 P ? 1 时 , 取 AB 的 中 点 D ? , 连 接 CD?, PD? , 因 为 ?ABC 为 正 三 角 形 , 则 PB CD ? ? AB ,由于 P 为 A1 B 的中点时, PD? // A1 A PD ? ? ABC ABC ∵ 平 面 , ∴ 平 面 , ∴ A1 A ? PC ? AB .??????????????????4 分 AP 2 A1 ( 2 )当 1 ? 时,过 P 作 PD ? AB 于 D , 如图所示,则 PD ? 底面 PB 3 ABC ,过 D 作 DE ? AC 于 E ,连结 PE , E ? A C ,? ?DEP 为二面 则P B1 角 P ? AC ? B 的平面角, P BD BP 3 2 又 PD ∥ A1 A ,? ? ? ,? AD ? a, DA PA1 2 5 A 3 PD 3 3 ? DE ? AD ? sin 60 ? a, 又 ? , ? PD ? a , E D 5 AA1 5 5 B PD ? tan ?PED ? ? 3, DE P? ? A C的 B ??PED ? 60 , 即 二 面 角 大 小 为 60 .???????????????????8 分 (3)设 C1 到面 PAC 的距离为 d ,则 VC1 ?PAC ? VP? ACC1 , PD ∥ A1 A ,? PD ∥ 平面 AC 1 ,
(1)当

C1

C

? DE 即为 P 点到平面 AC 1 的距离,
2 2 3 ?3 ? ? 3 ? 又 PE ? PD ? DE ? ? a ? ? ? a? ? a, ? ? 5 ?5 ? ? 5 ? a 1 1 1 ?1 2 3 ? 1 1 3 ? ? S?PAC ? d ? ? S?ACC1 ? DE , 即 ? ? a? a? ? d ? ? a2 ? a, 解得 d ? , ? ? 2 3 3 3 ?2 5 ? 3 2 5 1 即 C1 到平面 PAC 的距离为 a .??????????12 分 2 解法二 向量法 z A1 以 A 为原点, AB 为 x 轴,过 A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴, AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示, B1 ? a 3a ? , 0 设 P ? x,0, z ? ,则 B ? a, 0, 0 ? , A1 ? 0, 0, a ? , C ? , ? ?2 2 ? P ? ? AP 1 (1)由 1 ? 1 得 x ? a , A 2 PB ? a 3a ? a? ? , z ? a , 0, 0 ? x ? 则 PC ? AB ? ? x ? , ? ? ? ? ? ??a ? 0, ? ? x B 2 2 2 ? ? ? ? 2 2 2

C1

y

C

? PC ? AB ,? PC ? AB ????????????4 分

(2)当

A1 P 2 ? 2a 3a ? ? 时, P 点的坐标是 ? , 0, ? PB 3 5 ? ? 5

? 2a 3a ? ? x, y , z ? ? ? ? , 0, ? ? 0 ? 5 ? ? ? 5 ? n ? AP ? 0 ? 设平面 PAC 的一个法向量 n ? ? x, y, z ? ,则 ? 即? a 3a ? ? ?n ? AC ? 0 ?? x, y, z ? ? ? , ,0? ? ? ??0 ? ?2 2 ? ? 3 ? 2 ax ? az ? 0 ? 5 ? 5 取 x ? 3 ,则 y ? ? 3, z ? ?2 ,? n ? 3, ? 3, ?2 ?? 1 3 ? ax ? ay ? 0 ? ?2 2 又平面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0,0,1?

?

?

m?n 1 ?? m?n 2 ? B ? 又 由 于 二 面 角 P? A C 是 一 个 锐 角 , 则 二 面 角 P? A C 60 .????????8 分 (3)设 C1 到面 PAC 的距离为 d , ? cos m, n ?
则d ?

B 的 大 小 是

n ? C1C n

?

a 2

1 ? C1 到平面 PAC 的距离为 a .??????????????????????12 分 2
18.(湖北省 2009 年 3 月高三八校第二次联考理科)(本小题满分 12 分)如图,已知正三棱 柱 ABC ? A1B1C1 各棱长都为 a , P 为棱 A1 B 上的动点。 (Ⅰ)试确定 A1 P : PB 的值,使得 PC ? AB ; (Ⅱ)若 A1 P : PB ? 2 : 3 ,求二面角 P ? AC ? B 的 大小; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点 C1 到面 PAC 的距离。 【法一】 (Ⅰ)当 PC ? AB 时,作 P 在 AB 上的射影 D . 连结 CD . 则 AB ? 平面 PCD ,∴ AB ? CD ,∴ D 是 AB 的中点,又 PD // AA1 ,∴ P 也是 A 1B 的中 点, 即 A1P : PB ? 1 . 反之当 A1P : PB ? 1 时,取 AB 的中点 D ? ,连接 CD? 、 PD? . ∵ ?ABC 为正三角形,∴ CD? ? AB . 由于 P 为 A1 B 的中点时, PD? // A1 A ∵ A1 A ? 平面 ABC ,∴ PD? ? 平面 ABC ,∴ PC ? AB .??4′ (Ⅱ)当 A1 P : PB ? 2 : 3 时,作 P 在 AB 上的射影 D . 则 PD ? 底面 ABC . 作 D 在 AC 上的射影 E ,连结 PE ,则 PE ? AC . ∴ ?DEP 为二面角 P ? AC ? B 的平面角。 BD BP 3 2 ? ? ,∴ AD ? a . 又∵ PD // AA1 ,∴ DA PA1 2 5 ∴ DE ? AD ? sin60 ? ∴ tan?PED ?

3 PD 3 3 a ,又∵ ? ,∴ PD ? a . 5 AA1 5 5

PD ? 3 ,∴ P ? AC ? B 的大小为 ?PED ? 60 .?8′ DE (Ⅲ)设 C1 到面 PAC 的距离为 d ,则 VC1 ? PAC ? VP? ACC1 ,∵ PD // AA1 ,∴ PD // 平面 A1C ,

∴ DE 即为 P 点到平面 A1C 的距离,
2 2 3 1 1 ?3 ? ? 3 ? a? ? a ,∴ ? S?PAC ? d ? ? S?ACC1 ? DE . 又 PE ? PD ? DE ? ? a ? ? ? ? ? 5 3 3 ?5 ? ? 5 ? 1 ?1 2 3 ? 1 1 2 3 a 1 即 ?? a? ,解得 d ? . 即 C1 到面 PAC 的距离为 a . ?? a? ??d ? 3 ? 2 a ? 5 a 3 ? 2 5 2 2 ? ? 12′ 【法二】以 A 为原点, AB 为 x 轴,过 A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴, AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示, 2 2 2

设 P ? x,0, z ? ,则 B ? a,0,0 ? 、 A1 ? 0,0, a ? 、 C ? , (Ⅰ)由 CP ? AB ? 0 得 ? x ? , ?

?a ?2 ?

3a ? . ,0 ? ? 2 ?

? ? ?

a 2

3a ? ,z? ? ? ? a,0,0 ? ? 0 , 2 ?

a? 1 ? 即 ? x ? ? ? a ? 0 ,∴ x ? a ,即 P 为 A1 B 的中点, 2? 2 ? 也即 A1P : PB ? 1 时, PC ? AB .????4′ ? 2a 3a ? ,0, ? . 取 m ? 3, ? 3, ?2 . (Ⅱ)当 A1 P : PB ? 2 : 3 时, P 点的坐标是 ? 5 ? ? 5

?

?

? 2a 3a ? 则 m ? AP ? 3, ? 3, ?2 ? ? ,0, ? ? 0 , m ? AC ? 3, ? 3, ?2 5 ? ? 5
∴ m 是平面 PAC 的一个法向量。 又平面 ABC 的一个法向量为 n ? ? 0,0,1? . ∴ cos ? m, n? ?

?

?

?

a ??? ? 2, ?

?

3a ? . ,0 ? ??0 2 ?

m?n m?n

?

1 ,∴二面角 P ? AC ? B 的大小是 60 .??8′ 2

(Ⅲ)设 C1 到面 PAC 的距离为 d ,则 d ?

n ?CC 1 n

?

a 1 ,∴ C1 到面 PAC 的距离为 a .?12′ 2 2

18.(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)(本小题满分12分)四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且 PA=2,E 点满足 PE ? PD . ⑴求证:PA⊥平面 ABCD; ⑵求二面角 E-AC-D 的大小; ⑶在线段 BC 上是否存在点 F 使得 PF∥面 EAC?若存在,确定 F 的位置;若不存在,请说明理 P 由。 E 18.解:⑴证明:在正方形 ABCD 中,AB⊥BC 又∵PB⊥BC ∴BC⊥面 PAB ∴BC⊥PA 同理 CD⊥PA ∴PA⊥面 ABCD 4分 A D ⑵在 AD 上取一点 O 使 AO= AD,连接 E,O, 则 EO∥PA,∴EO⊥面 ABCD 过点 O 做 OH⊥AC 交 AC 于 H 点,连接 EH,则 EH⊥AC, 从而∠EHO 为二面角 E-AC-D 的平面角 在△PAD 中,EO= AP= 在△AHO 中∠HAO=45°,
2 3 4 3 1 3

1 3

H

O

B

F

S

C

6分

∴HO=AOsin45°=

EO 2 2 2 ?2 2 , ,∴tan∠EHO= · ? HO 2 3 3

∴二面角 E-AC-D 等于 arctan 2 2 ⑶当 F 为 BC 中点时,PF∥面 EAC,理由如下: ∵AD∥2FC,∴
FS FC 1 PE 1 ? ? ,又由已知有 ? ,∴PF∥ES SD AD 2 ED 2

8分

∵PF ? 面 EAC,EC ? 面 EAC ∴PF∥面 EAC, 即当 F 为 BC 中点时,PF∥面 EAC 12分 19.(天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)(本小题满分 12 分) 已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F 为棱 BB1 的中点,M 为线段 AC1 的中点。 (1)求证:直线 MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1; (3)求平面 AFC1 与与平面 ABCD 所成二面角的大小。

19.解法一: (1)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN。因为 F 是 BB1 的中点, 所以 F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点。 · · · ·2 分 又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF∥AN。 · · · · ·3 分 又 MF ? 平面 ABCD,AN ? 平面 ABCD。 ∴MF∥平面 ABCD。 · · ·5 分 (2)证明:连 BD,由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 可知 A1A⊥平面 ABCD, 又∵BD ? 平面 ABCD, ∴A1A⊥BD。 ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD。 又∵AC∩A1A=A,AC,AA ? 平面 ACC1A1。 ∴BD⊥平面 ACC1A1。 · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 在四边形 DANB 中,DA∥BN 且 DA=BN,所以四边形 DANB 为平行四边形 故 NA∥BD,∴NA⊥平面 ACC1A1,又因为 NA ? 平面 AFC1 ∴平面 AFC1⊥ACC1A1 (3)由(2)知 BD⊥ACC1A1,又 AC1 ? ACC1A1, ∴BD⊥AC1,∴BD∥NA,∴AC1⊥NA。 又由 BD⊥AC 可知 NA⊥AC, ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角。 · · ·10 分 在 Rt△C1AC 中,tan CAC1

C1C 1 , ? CA 3

· · ·12 分

故∠C1AC=30° ∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°。 解法二: 设 AC∩BD=0,因为 M、O 分别为 C1A、CA 的中点,所以,MO∥C1C, 又由直四棱柱知 C1C⊥平面 ABCD,所以 MO⊥平面 ABCD。 在棱形 ABCD 中,BD⊥AC,所以,OB、OC、OM 两两垂直。

· · ·12 分

故可以 O 为原点,OB、OC、OM 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴如图建立空间直角坐 标系 若设|OB|=1,则 B(1,0,0) ,B1(1,0,2) , A(0, ? 3 ,0) ,C(0, 3 ,0) ,C1(0, 3 ,2) 。 (1)由 F、M 分别为 B1B、C1A 的中点可知:F(1,0,1) , M(0,0,1) ,所以 MF ? (1,0,0)= OB. 又 MF与OB 不共线,所以,MF∥OB。 ∵MF ? 平面 ABCD,OB ? 平面 ABCD, ∴MF∥平面 ABCD。 · · ·6 分 (2) OB ? (1,0,0)为平面的法 ACC1A1 的法向量。 设 n( x, y, z ) 为平面 AFC1 的一个法向量 则 n ? AF, n ? MF. 由 AF ? 得? ( 1 ,3, 1 ), MF ? ( 1 , 0, 0), 令 y=1,得 z= ? 3 ,此时 n(0,1,? 3) 由于 n ? OB ? (0,1,? 3) ? (1,0,0) ? 0 ,所以,平面 AFC1⊥平面 ACC1A1。 · · ·3 分

? x ? 3 y ? z ? 0, ?x ? 0
· · ·9 分 · · ·10 分

(3) OM ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的法向量,设平面 AFC1 与平面 ABCD 所成的二面角 的大小为 ? , 则 | cos ? |?| cos <OM , n> |?

| OM ? n | | OM || n |

?|

? 3 3 |? 1? 2 2

所以 ? =30°或 150°。 即平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°。 · · ·11 分 18.(湖北省沙市中学 2009 届高三三月月考试题)(本题总分 12 分)如图某一几何体的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,

SD ? PD ? 6 ,CR ? SC , AQ ? AP ,点 S 、 D 、 A 、Q 及 P 、

D 、 C 、 R 共线.沿图中虚线将它们折叠起来,使 P 、 Q 、 R 、
S 四点重合为点 P 。

(Ⅰ)请画出其直观图;

(Ⅱ)求二面角 P ? AB ? D 的大小; (Ⅲ)若 PC 的中点为 E,求点 C 到平面 EAB 的距离。 18.解:解: (1)它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥 (注:评分注意实线、虚线;垂直关系;长度比例等) ? 3分

(2)由(1)得, PD ? AD , PD ? CD ,得 PD ? 平面ABCD ∴ PD ? AB ,而 AB ? AD , PD ∴ AB ? 平面PAD …………6 分 ∴ AB ? AD,AB ? PA ∴ ?PAD为二面角P ? AB ? D的平面角 ………8 分 又在 Rt ?PDA 中, PD ? AD ,故 ?PAD ? ∴二面角 P ? AB ? D 的平面角为 (3)解略。

AD ? D

?
4

? … ………8 分 4

d?

4 5 5

18.(湖北省宜昌市 2009 年 3 月高三年级第二次调研考试理)(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 E ? ABCD 中 , AB ⊥ 平 面 BCE , CD ⊥ 平 面 B C E, AB ? BC ? CE ? 2CD ? 4 , ?BCE ? 60? . (1) 证明: 平面BAE ? 平面DAE ; (2) 点 P 为线段 AB 上一点,求直线 PE 与平面 DCE A 所成角的取值范围. 18.解法 1:取 BE 的中点 O ,连 OC . ∵ BC ? CE ,∴ OC ? BE . 又 AB ⊥平面 BCE . 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图, 则已知条件有: C(2 3,0,0), B(0, 2,0), E(0, ?2,0) ,

D E

B A P D B y

z

C

D(2 3,0, 2), A(0, 2, 4) ??????????????2 分 EA ? (0, 4, 4), DA ? (?2 3, 2, 2) . 设平面 ADE 的法向量为 n ? (a, b, c),
则由 n ? EA ? (a, b, c) ? (0, 4, 4) ? 4b ? 4c ? 0. 及 n ? DA ? (a, b, c) ? (?2 3,2,2) ? ?2 3a ? 2b ? 2c ? 0. 解得 a ? 0, b ? c ? 0 .可取 n ? (0,1, ?1) ???????4 分 又 AB ⊥平面 BCE . ∴ AB ? OC .又 OC ? BE ,∴ OC ⊥平面 ABE . ∴平面 ABE 的法向量可取为 m ? (1, 0, 0).

E

O C

x

∵ n ? m ? (0,1, ?1) ? (1,0,0) ? 0, ∴ n ⊥ m ,∴ 平面BAE ? 平面DAE . ???6 分 (2)平面 DCE 的一个法向量记为 t ? ( x, y,0) , 则?

? ? t ? CD ? 0

? ? t ? EC ? 0 取 x ? 1 ,则 y ? ? 3 .因此 t ? (1, ? 3,0) .???????????????9 分

,即 ?

? ?t ? CD ? 0

? ?( x, y, 0) ? (0, 0, 2) ? 0 ?? ? 2 3x ? 2 y ? 0 ?( x, y, 0) ? (2 3, 2, 0) ? 0 ?t ? EC ? 0 ? ?

记所求角为 ? ,设 P(0, 2, z ) ,( 0 ≤ z ≤ 4 ) 从而 sin ? ?| cos ? t , EP ?|?

| t ? EP | | (1, ? 3,0) ? (0, 4, z) | 2 3 . ??11 分 ? ? | t | ? | EP | 2 16 ? z 2 16 ? z 2 6 2 3 3 , 0 ≤ z ≤ 4,? ≤ ≤ 4 2 16 ? z 2
6 ? , ] . ?????????????12 分 4 3
1 BA . 2
A F P B

从而所求角的范围为 [arcsin

解法 2:(1)取 BE 的中点 O , AE 的中点 F ,连 OC , OF , DF . 则 OF ∵ AB ⊥平面 BCE , CD ⊥平面 BCE , AB ? 2CD .

1 BA , OF CD ,∴ OC // FD ?????3 分 2 ∵ BC ? CE,?OC ? BE . 又 AB ⊥平面 BCE , ∴平面 ABE ⊥平面 BCE . ∴ OC ⊥平面 ABE . ∴ FD ⊥平面 ABE . 从而 平面BAE ? 平面DAE . ??????????6 分 另解:取 AE 的中点 F ,连 DF , BF . 等腰直角三角形 ABE 中, AE ? 4 2 , AF ? BF ? 2 2 . RtΔDCE 中, DE ? 2 5 .
∴ CD 直角梯形 ABCD 中, AD ?

E

N O M

D

C

(4 ? 2) 2 ? 42 ? 2 5 .

? ?DAE 为等腰三角形, DF ? AE , DF ? AD2 ? AF 2 ? 2 3 . ????3 分 又等腰直角三角形 ABE 中 BF ? AE ,从而 ? BFD 为二面角 B ? AE ? D 的平面角.

RtΔDCB 中, DB ? 42 ? 22 ? 2 5 . 2 2 2 由 DB ? FD ? FB 知 ?BFD ? 90? . 平面BAE ? 平面DAE .??????6 分 (2)取 CE 中点 M ,则 BM ? CE ,从而 BM ? 平面DCE . ???????7 分 过 P 作 PN // DM 交平面 DCE 于点 N .则 ?PEN 为所求角. ???????8 分 又 AB // 平面DCE ,从而 AB // MN ,因此 PBMN 为矩形, PN ? MB ? 2 3 (定值).

MB MB 2 3 . ??????????10 分 ? ? 2 2 PE PB ? BE PB2 ? 16 6 2 3 3 又 0 ≤ PB ≤ 4,? ≤ ≤ 2 4 2 PB ? 16 ?sin ?PEN ?
从而所求角的范围为 [arcsin

6 ? , ] .??????????????????12 分 4 3


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