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2015届高三理科数学解答题训练


2015 届高三理科数学解答题训练
1、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R) .

(1)求函数 f ( x) 的图象的对称中心; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f ( A) ? 差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

1 ,b,a,c 成等 2

2、小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放 1 个. (Ⅰ)若小王发放 5 元的红包 2 个,求甲恰得 1 个的概率; (Ⅱ)若小王发放 3 个红包,其中 5 元的 2 个,10 元的 1 个.记乙所得红包的总钱数为 X, 求 X 的分布列和期望.

1

3、设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1 , an ?1 ? (1)数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ?

an
2an ? 1

? n ? 1,2,3 ? .

1

anan ?1

,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 . 2

4、 如图, 四边形 ABCD 为正方形,PD ? 平面 ABCD ,?DPC ? 30 ,AF ? PC 于点 F ,

FE //CD ,交 PD 于点 E .
(1)证明: CF ? 平面 ADF ; (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值.

2

1





1



? 3 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 6 2 2

=

3 1 sin 2x ? cos 2 2

? ? k? ? 2 x ? sin(2 x ? ) ,令 2 x ? =k? , (k ? Z ) ,得, x = ? , (k ? Z ) ,故函数 f ( x) 的 6 6 2 12 k? ? ( ? , 0), (k ? Z ) 对称中心坐标为 2 12
( 2 )

a2 ? 4a2 ? 54, a2 ? 18, a ? 3 2

? 5? ? 1 ? ? ? f ( A) ? sin(2 A ? ) ? , 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? 2? ? , 于 是 2 A ? ? ,故 6 6 6 2 6 6 6
A?

?

3

, 由 b, a, c 成 等 差 数 列 得 : 2a ? b ? c , 由 AB ? AC ? 9 得

1 bc cos A ? 9, bc ? 9, bc ? 18 ,由余弦定理得,a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 3bc , 2
于是
1 2、 (Ⅰ)设“甲恰得一个红包”为事件 A, P ( A) ? C2 ? ?

1 2 4 ? . 3 3 9

4分

(Ⅱ)X 的所有可能值为 0,5,10,15,20.

3

2 2 8 P( X ? 0) ? ( ) 2 ? ? , 3 3 27 1 2 8 1 P ( X ? 5) ? C2 ? ? ( )2 ? , 3 3 27 1 2 2 1 6 P( X ? 10) ? ( ) 2 ? ? ( ) 2 ? ? , 3 3 3 3 27 1 2 4 1 P( X ? 15) ? C2 ? ( )2 ? ? , 3 3 27 1 1 P ( X ? 20) ? ( )3 ? . 10 分 3 27
X 的分布列: X P 0 5 10 15 20

8 27

8 27

6 27

4 27

1 27
12 分

E(x ) ? 0 ?

8 8 6 4 1 20 ?5 ? ?10 ? ?15 ? +20 ? . = 27 27 27 27 27 3

3、(1)∵ an ?1 ?

an
2an ? 1

,则

1

an ?1

?

1

an

? 2,

1

an ?1

-

1

an

1 =2 ,所以{ }是首项为 1,

an

公差为 2 的等差数列,则 分 (3) ∵ an ? 分 则

1

an

? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,那么 an ?

1 2n ? 1

..6

1 1 1 = , 则 bn ? 2n ? 1 2n ? 1 ) ( 2 n 1 ) ?2 anan ?1 (

1 1 ? ? , . . 8 1n 2 ? 1 n ?

b1 ? b2 ? b3 ? ....... ? bn ?
+ 1 2n ? 1 2 ? 1 )? n ? 2

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5
1 ( ? 1 1 n ? 1 2





1

2

1

)?

12 分

4、(1) PD ? 平面 ABCD , ? PD ? AD ,又 CD ? AD , PD

CD ? D ,
4

? AD ? 平面 PCD ,

? AD ? PC ,又 AF ? PC , ? PC ? 平面 ADF ,即 CF ? 平面 ADF ;
(2)设 AB ? 1 ,则 Rt ?PDC 中, CD ? 1 ,又 ?DPC ? 30 ,

? PC ? 2 , PD ? 3 ,由(1)知 CF ? DF ,
? DF ? 3 , AF ? 2 AD 2 ? DF 2 ? 7 , 2 ?CF ? AC 2 ? AF 2 ? 1 ,又 FE //CD , 2
z A B

? DE ? CF ? 1 ,? DE ? 3 ,同理 EF ? 3 CD ? 3 , 4 PD PC 4 4 4
如图所示, 以 D 为原点, 建立空间直角坐标系, 则 A ? 0,0,1? ,
P x

D E F

y

? ? ? ? E ? 3 , 0, 0 ? , F ? 3 , 3 ,0 ? , P ? 4 ? ? 4 4 ?

?

3, 0, 0 , C ? 0,1,0? ,

?

? ? 3 ? ? AE ? ? 4 , 0, 0 ? ?m ? AE ? ? ?, 设 m ? ? x, y, z ? 是平面 AEF 的法向量,则 ? ,又 ? ?m ? EF ? EF ? 0, 3 , 0 ? 4 ?

?

?

? ? m ? AE ? 所以 ? ? m ? EF ? ?

3 x?z ?0 4 ,令 x ? 4 ,得 z ? 3 , m ? 4, 0, 3 , 3 y?0 4

?

?

由(1)知平面 ADF 的一个法向量 PC ? ? 3,1, 0 , 设二面角 D ? AF ? E 的平面角为 ? ,可知 ? 为锐角,

?

?

cos? ? cos m, PC ?

? 4 3 ? 2 57 19 19 ? 2 m ? PC

m ? PC

4 3 ? 2 57 ,即所求. 19 19 ? 2

【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角,属于中等题.

5


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