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黑龙江省双鸭山市一中2014届高三数学12月考试题 文 新人教A版


黑龙江省双鸭山市第一中学 2014 届高三上学期第二次月考 数 学 (文科)

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)

? ? 1 ?x ? ? ? 1. 已 知 全 集 为 R , 集 合 A ? ? x ? ? ? 1? , B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? , 则 ? ?2? ? ? ?

A ? CR B ? (
A. ? x | x ? 0? C.

) B. ? x | 2 ? x ? 4? D.

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?
) D.第四象限 )

2.在复平面内,复数 A.第一象限

i ? ( 1 ? 2i )2 对应的点位于 ( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

3.设 p: x 2 ? x ? 20 ? 0 ,q: log 2 ( x ? 5) ? 2 ,则 p 是 q 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? y ? 1, ? 4. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? x ? y ? 2 ? 0, ?
A.4 B.3 C.2 D.1 5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( A.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? , 则m//n C.若 m ? ? , n // ? , ? // ? , 则m ? n

)



B.若 ? ? ? , ? ? ? ? m, m ? n, 则n ? ? D.若 m // ? , n // ? , m ? ? , n ? ? , 则? // ?

6.右图给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个 ? ? ? ??? ? 2 4 6 20
) B. i ? 10 D. i ? 20

开始

程序框图,判断其中框内应填入的条件是( A. i ? 10 C. i ? 20

s ? 0, n ? 2, i ? 1
是 否

7. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 4a1, 2a2 , a3 成等差数列. 若 a1 ? 1 ,则 S 4 =( )

s ? s?

1 n

输出 s

n ? n?2
i ? i ?1
1

结束

A.7 C.15

B.8 D.16

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.



8? 3

B. 3?

C.

10? 3

D. 6?

9.从集合{1,2,3,4,5}中,选出由 3 个数组成子集,使得这 3 个数中 任何两个数的和不等于 6,则取出这样的子集的概率为( A.
3 10
2 2

). D.
2 5

B.

7 10

C.

3 5

10. 双曲线 x ? y ? 1 的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点) , 则直线 PF 的斜率的变化范围是 ( ) A. (-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)
1 ? ,x ? , 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x 2 g ( x) ? ? 1 ?| log 2 x | , x ? ? 2

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个不同的零 x?b ,

点, 则实数 b 的取值为( ) A. ?1 或

3 2

B. 1 或 ?

3 2

C.1 或

3 2

D. ?1 或 ?

3 2

2 2 12. 已知椭圆 M: x ? y ? 1 (a>b>0) ,D(2,1)是椭圆 M 的一条弦 AB 的中点, 2 2

a

b

点 P(4,-1)在直线 AB 上,求椭圆 M 的离心率 ( A.

) D.

2 3

B.

2 3

C.

1 2

2 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.)

1? 13..曲线 y ? e ? 2 x 在点 ? 0, 处的切线方程为
x

14.已知向量 a ? ?1,3? , b ? ? ?2,1? , c ? ? 3, 2 ? .若向量 c 与向量 a ? kb 的夹角为锐角, 则实数 k 的取值范围为 15.已 知 P 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , BC ? BA ? 2 BP ,现 将 一 粒 黄 豆 随 机 撒 在 △ ABC 内 , 则 黄 豆 落 在 △ PBC 内 的 概 率 是 _____________.

?

?

?

?

?

?

2

16. 有下列命题:①圆 2 x ? 2 y ? 1 与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? R, ? ?
2 2

?
2

? k? ,k ? z )

相交; ②过抛物线 y =4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6, 那么|AB|= 8 ③已知 A( ?1,0), B(1,0), 动点 C 满足 | CA | ? | CB |? 2, 则 C 点的轨迹是椭圆; 其中正确命题的序号是___ _____
2

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(本题 12 分) 在锐角 ?ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,向量

?? ? ?? ? B m ? (2sin( A ? C ), 3), n ? (cos 2 B, 2cos 2 ? 1) ,且向量 m // n . 2
(1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值.

18. (本题 12 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分 成六段 ?40,50 ? , ?50,60 ? … ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回 答下列问题: (Ⅰ)求分数在 ? 70,80 ? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段为 ?60,80 ? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本 看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段 ?70,80? 的概率.

第 18 题

3

19.(本题 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2,AA1=3,D 是 BC 的中点, 点 E 在棱 BB1 上运动. (Ⅰ)证明:AD⊥C1E; (Ⅱ)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时, 求三棱锥 C1-A1B1E 的体积.

20.如图所示,椭圆 C:

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左焦 2 2 a b

( , ,短轴两个端点为 A、B .与 x 轴不垂直的直线 l 与 ( , ), 点为 F -1 0 右焦点为 F2 1 0) 1
椭圆 C 交于不同的两点 M 、 N ,记直线 AM 、 AN 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,且 k1k2 ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证直线 l 与 y 轴相交于定点,并求出定点标.

3 . 2

21.设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 3 x .
3 2

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值与单调区间; (2)若函数 f ( x) 的图象在 x ? ?1 处的切线与 直线 y ? 3 x 平行,求 a 的值; (3)若函数 f ( x) ? ax ? 3 x 的图象与直线 y ? ?2 有 三个公共点,求 a 的取值范围.
3 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
4

如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B、C 两点,D 是 OC 的中点, 连结 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2 3 ,∠APB=30°. (Ⅰ)求∠AEC 的大小; (Ⅱ) 求 AE 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 1 ? 2 ,圆 C 的圆心是

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。 C ( 2, ) ,半径为 2 。 4

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 3 | 。 (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的 取值范围。

黑龙江省双鸭山市第一中学 2014 届高三上学期第二次月考 数 学 (文科)答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) DBBBCA CBDCDD 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13..3x-y+1=0 14. k<9/4 15.1/2 16. ___②_____。 三、解答题:

B ? 1) ? 3 cos 2 B 2 ? 2sin B cos B ? 3 cos 2 B ? sin 2 B ? 3 cos 2 B 即? tan 2 B ? 3
17 解: (1)? m // n

?? ?

? 2sin( A ? C )(2cos 2

又? 0 ? B ?

?
2

,所以 0 ? 2B ? ? ,则 2 B ?

?
3

,即 B ?

?
6

2 2 2 (2)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2accosB 即 1 ? a ? c ? 3ac
2 2

a 2 ? c 2 ? 1 ? 3ac ? 2ac ,当且仅当 a ? c 时等号成立
所以 (2 ? 3) ac ? 1 , 得 ac ? 2 ? 3

5

所以 S? ABC ?

1 1 ac sin B ? (2 ? 3) 2 4

所以 S? ABC 的最大值为

1 (2 ? 3) 4

18.解析:(Ⅰ)分数在 ? 70,80 ? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3 , 0.3 故 ? 0.03 ,如图所示: 10 (Ⅱ)由题意, ? 60, 70 ? 分数段的人数为: 0.15 ? 60 ? 9 人;

?70,80 ? 分数段的人数为: 0.3 ? 60 ? 18 人; ∵在 ?60,80 ? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,∴ ? 60, 70 ? 分数段抽取 m, n ; ? 70,80 ? 分数段抽取 4 人,分别记为 a, b, c, d ; 设从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段 ?70,80 ? 为事件 A ,
则基本事件空间包含的基本事件有: (m, n) 、 (m, a) 、 (m, b) 、 (m, c) 、 (m, d ) 、……、 (c, d ) 共 15 种, 则事件 A 包含的基本事件有: (m, n) 、 (m, a ) 、 (m, b) 、 (m, c) 、

2 人,分别记为

(m, d ) 、 (n, a) 、 (n, b) 、 (n, c) 、 (n, d ) 共 9 种,∴ P( A) ?

9 3 ? . 15 5

19.解: (Ⅰ)∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC. ① 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,而 AD? 平面 ABC, ∴AD⊥BB1. ② 由①,②得 AD⊥平面 BB1C1C. 由点 E 在棱 BB1 上运动,得 C1E? 平面 BB1C1C, ∴AD⊥C1E.………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)∵AC∥A1C1, ∴∠A1C1E 是异面直线 AC,C1E 所成的角,由题设,∠A1C1E=60°. ∵∠B1A1C1=∠BAC=90°, ∴A1C1⊥A1B1,又 AA1⊥A1C1, 从而 A1C1⊥平面 A1ABB1,于是 A1C1⊥A1E. 故 C1E= =2 2,又 B1C1= A1C1 +A1B1 =2, cos60° ∴B1E= C1E -B1C1 =2. 1 1 1 2 从而 V 三棱锥 C1-A1B1E= S△A1B1E×A1C1= × ×2× 2× 2= .…………………13 分 3 3 2 3
6
2 2

A1C1

2

2

20.解: (1)由题意可知:椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 ? ,c ?1 a 2

? b2 ? 1, a 2 ? 2
故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………2 分 2

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b ,M、N 坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 由? 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0 ? y ? kx ? b ?
∴ x1 ? x2 ? ?

4kb 2b2 ? 2 …………………………………………………4 分 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵ k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 . x1 x2
(kx1 ? 1 ? b) (kx2 ? 1 ? b) k 2 x1 ? x2 ? (1 ? b)k ( x1 ? x2 ) ? (1 ? b) 2 3 ? ? ? x1 x2 x1 ? x2 2

∴ k1 ? k2 ?

将韦达定理代入,并整理得

2k 2 (b ? 1) ? 4k 2b ? (1 ? 2k 2 )(b ? 1) ? 3 ,解得 b ? 2 . b ?1

∴直线 l 与 y 轴相交于定点(0,2)………………………………………………7 分

2 21 解: f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 x( ax ? 2)

(1) a ? 1 时, f ?( x) ? 3 x( x ? 2) ,当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 ,或 x ? 2 时, 当 f ?( x) ? 0 ,所以, f ( x) 的单调减区间为 [0, 2] ,单调增区间为 (??, 0) 和 (2, ??) ; x ? 2 时, f ( x) 有极小值 f (2) ? ?4 ,当 x ? 0 时, f ( x) 有极大值 f (0) ? 0 .

7

(2) f ?(?1) ? 3a ? 6 ? 3 ,所以 a ? ?1 ,此时,切点为 (?1, ?2) ,切线方程为 y ? 3 x ? 1 , 它与已知直线平行,符合题意.

(3)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3 x 2 ,它与 y ? ?2 没有三个公共点,不符合题意. 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 3 x( ax ? 2) 知, f ( x) 在 (??, 0) 和 ( , ??) 上单调 递 增 , 在 (0, ) 上 单 调 递 减 , 又 f (0) ? 0 , f ( ) ? ?

2 a

2 a

2 a

4 4 , 所 以 ? 2 ? ?2 , 即 2 a a

?2 2 ? a ? 2 2 ,
又因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 2 2 ; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 x( ax ? 2) 知, f ( x) 在 (??, ) 和 (0, ??) 上单调递减, 由
2

2 a

在 (0, ) 上单调递增,又 f (0) ? 0 , f ( ) ? ?

2 a

2 a

4 4 ,所以 ? 2 ? ?2 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 , 2 a a

又因为 a ? 0 ,所以 ?2 2 ? a ? 0 ;综上所述, a 的取值范围是 (?2 2, 0) ? (0, 2 2) .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号.

23.(Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

····· 5 分 ···· ······ 10 分 ·····

(Ⅱ)圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2

8

24.(Ⅰ) f ( x) ? 0 的解集为: (??,?4) ? ( ,??) (Ⅱ) a ? ?

2 3

····· ·····

5分

13 2

····· 10 分 ·····

9


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