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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第2章 第8节 函数与方程


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北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
函数与基本初等函数

第二章

函数与基本初等函数

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第二章
第八节 函数与方程

第二章

函数与基本初等函数

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1

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3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

第二章

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考纲要求

命题分析

函数的零点、方程的根的问题是高考的 1.结合二次函 热点,题型既有选择题、填空题,又有解答 数的图像,了解函 题.选择题、填空题考查的主要形式有两 数的零点与方程根 种,一种是找零点的个数;一种是判断零点 的联系,判断一元 的范围,多为中等难度,考查数形结合及运 二次方程根的存在 用函数与方程的思想解题的能力. 性及根的个数. 预测2016年高考对该部分内容的考查仍 2.根据具体函 将以能力考查为主.重点考查函数零点、方 数的图像,能够用 程的根和两函数图像交点之间的等价转化思 二分法求相应方程 想和数形结合思想,分值约为5分,运用导数 的近似解. 来研究函数零点问题是备考中应该注意的方 面.
第二章 函数与基本初等函数

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课前自主导学

第二章

函数与基本初等函数

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1.函数零点的定义

(x)=0 成立的实数x叫作函 (1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使f ______ 数y=f(x)(x∈D)的零点. x轴 有交点 (2)方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图像与______
?函数y=f(x)有零点 ____. 2.函数零点的判定 如果函数 y = f(x) 在区间 [a , b] 上的图像是连续不断的一条 f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间______ 曲线,并且有_________ (a,b) 内有零 c 也就是 f(x) = 0 的 f(c)=0,这个 ___ 点,即存在 c∈(a , b) ,使得 ______ 根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.
第二章 函数与基本初等函数

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3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 与 x 轴的交点 零点个数 Δ=0 Δ<0

两个 ____
__ 2

____ 1个

无交点 __ 0

1 __

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4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 f(a)· f(b)<0 第一步,确定区间[a,b],验证_______ ,给定精确度ε;
第二步,求区间(a,b)的中点x1; f ( x1 ) . 第三步,计算______ (x1)=0 ,则x 就是函数的零点; ①若f _______ 1 f(a)·f(x1)<0,则令b=x (此时零点x ∈(a,x )); ②若__________ 1 0 1 f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); ③若__________ 第四步,判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零 点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.

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1.方程2x-1+x-5=0的解所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2)

)

C.(2,3)
[答案] C

D.(3,4)

[解析] 令f(x)=2x-1+x-5, f(2)=-1<0,f(3)=2>0. ∴方程的解在(2,3)内.

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2.函数 A.0 C.2

1 f(x)=x2

1x -(2) 的零点个数为( B.1 D.3

)

[ 答案]
[ 解析]

1 函数 f(x)=x2 1 x2

B

1x -(2) 的零点

个数即为方程

1x =(2) 的 实 根 个 数 , 在
1 y=x2

平面直角坐标系中画出

1x 和 y=(2)

的图像,易得交点个数为 1 个.
第二章 函数与基本初等函数

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3 . ( 文 ) 若函数 y = f(x) 在 R 上递增,则函数 y = f(x) 的零点 ( ) A.至少有一个 C.有且只有一个 B.至多有一个 D.可能有无数个

[答案] B
[解析] 因为函数y=f(x)在R上递增,当f(x)与x轴相交时, 则有一个零点,当f(x)不与x轴相交时,则没有零点.故选B.

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(理)已知f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且f(a)·f(b)<0,则f(x)= 0在[a,b]内( ) B.至多有一实数根 D.有唯一实数根 A.至少有一实数根 C.没有实数根

[答案] D
[ 解析 ] 因为 f ′(x) =- 1 - 3x2<0 恒成立,所以函数 f(x) 在 [a,b]上是单调减函数,又f(a),f(b)异号.故选D.

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4.下列函数图像与x轴均有公共点,其中能用二分法求零
点的是( )

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[答案] C [ 解析 ] 用二分法求函数的零点,首先保证函数图像在 [a , b] 上是连续不断的,故 A 、 D 不符合题意;然后,保证 f(a)·f(b)<0,故B不符合题意,因此选C.

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5 .已知函数 f(x) =|x|+ |2-x| ,若函数 g(x)= f(x) - a 的零点

个数不为0,则a的最小值为________.
[答案] 2
[ 解析] ?2-2x,x≤0 ? 由于 f(x)=|x|+|2-x|=?2,0<x<2, ?2x-2,x≥2 ?

所以 f(x)的最小值等于 2, 要使 f(x)-a=0 有解, 应使 a≥2, 即 a 的最小值为 2.

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6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取 区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是________. [答案] (2,2.5) [ 解析 ] 由计算器可算得 f(2) =- 1 , f(3) = 16 , f(2.5) =

5.625,f(2)·f(2.5)<0,所以下一个有根区间为(2,2.5).

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课堂典例讲练

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求函数的零点
求下列函数的零点: (1)f(x)=4x-3;
3

(2)f(x)=-x2+2x+3;

3 (3)f(x)=x -3x+2; (4)f(x)=x-x +2. [ 思路分析] 根据函数零点与方程根之间的关系,求函数

的零点,就是求相应方程的实数根.

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[规 范 解 答 ]

3 ( 1 ) 由 4x-3=0, 得 x=4,

3 即 f(x)=4x-3 的 零 点 是 4. ( 2 ) 由 - x2+2x+3=0, 得 x2-2x-3=0, 解 得 x1 = - 1,x2=3, 即 f ( x) = - x2+2x+3 的 零 点 为 - 1 3 ,.

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( 3 ) 由 x3-3x+2=x3+2x2-2x2-4x+x+2=x2(x+2 ) -2x(x +2 ) +(x+2)=(x-1 ) 2(x+2 ) =0, 得 x21 -2 . , =1,x3= 所 以 f(x)=x3-3x+2 有 两 个 零 点 点 . x2+2x-3 ?x-1??x+3? 3 ( 4 ) 由 x-x +2= = =0, 得 x1=1,x2 x x = - 3, 即 函 数 3 f(x)=x-x +2 的 两 个 零 点 分 别 为 1, -3 . 1,-2, 其 中 1是 二 重 零

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[ 方法总结 ] 点.

1. 求函数的零点就是求相应方程的根,一般

可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根,即得函数的零 2.判断函数零点个数的常用方法

(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有
几个零点.

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(2) 零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间 [a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的 图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函 数有多少个零点.

(3) 数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问
题.先画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的个 数,就是函数零点的个数.

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(文)(1)函数f(x)=x3-2x2+x的零点是(
A.0 C.0和1 B.1 D.(0,0)和(1,0)

)

[答案] C
[解析] 令f(x)=0,即x3-2x2+x=0?x(x-1)2=0,解得x1 =0,x2=x3=1.故函数f(x)的零点是0和1.

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(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(
A.1 C.3 [答案] B [解析] B.2 D.4

)

本题考查了绝对值的意义、指数函数、对数函数

的图像与性质、函数的零点等知识.
函数f(x)的零点个数,即方程f(x)=0的实数根个数, 令f(x)=0得,2x|log0.5x|=1,

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1x ∴|l o g 1 x|=(2) , 2 1x 令 g(x)=(2) ,h(x)=|l o g 的 图 像 易 知 有 两 个 交 点 , 故
1 2

x|,在同一坐标系中画出两函数

f ( x) 有 两 个 零 点 .

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(理) ( 1 ) 若 函 数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x) =bx2-ax 的零点是( A.0,2 ) 1 B.0,2

1 1 C.0,-2 D.2,-2 [ 答案] C [ 解析] ∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),
1 所以零点为 0 和-2.

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( 2 ) ( 2 0 1 5 · 点 个 数 为 ( A.3 C.7

淮 阳 高 三 调 研 )

)函 数

2 ? ?x +2x-3,x≤0 f(x)=? ? ?-2+lnx,x>0

的 零

B.2 D.0

[ 答案]

B

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[ 解析]

由 f(x)=0

? ?x≤0, 得? 2 ? ?x +2x-3=0

? ?x>0, 或? ? ?-2+lnx=0,

解得 x=-3,或 x=e2. 因此函数 f(x)共 有 两 个 零 点 .

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函数零点存在性的判断
(1)判断下列函数在给定区间上是否存在零点. ①f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8] ; ②f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3] . (2)函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞] 内( A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
第二章 函数与基本初等函数

)

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[思路分析]
解. [规范解答] 20<0,

第①问利用零点的存在性定理或直接求出零

点,第② 问利用零点的存在性定理或利用两图像的交点来求 (1)① 解 法 1 : ∵ f(1) = 12 - 3×1 - 18 = -

f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,
故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 解法2:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8]. ∴(x-6)(x+3)=0,∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.
第二章 函数与基本初等函数

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②解法1:∵f(1)=log23-1>log22-1=0,
f(3)=log25-3<log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0, 故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点. 解法2:设y1=log2(x+2),y2=x,在同一直角坐标系中画 出它们的图像,从图像中可以看出当 1≤x≤3 时,两图像有一个

交点,

因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.
第二章 函数与基本初等函数

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( 2 ) 解 法 1:∵f( 0 ) = -1 < 0 ,f( 1 ) =1-c o s 1 > 0 . 1 -1 又 f ′(x)=2x 2 +s n i x>0, 知 f(x)在[0, +∞)递 增 , 故 选 解法 2: 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 分 别 作 出 函 数 c o s x的 图 像 , 如 图 , 由 于 两 图 像 只 有 一 个 交 点 , 即 方 程 一 个 根 , 所 以 以 选 B.
[ 答案] B

B.

y= x 和 y =

x>1 时 , y= x>1,y=c o s x≤1, 所 以 x-c o s x=0 在[0, + ∞)内 只 有

f(x)= x-c o s x 在[0, + ∞)内 只 有 一 个 零 点 , 所

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[方法总结]

判断函数在某个区间上是否存在零点,要根

据具体问题灵活处理,当能直接求出零点时,就直接求出进行 判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理进行判断;

当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断.

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(1)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)
5 ∵f(0)=1>0,f(-1)=-2<0,∴选 B.

)

[答案] B
[ 解析]

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( 2 ) ( 2 0 1 4 ·

北 京 高 考 )已 知 函 数 ( )

6 f(x)=x -o lg 2x.在 下 列 区 间 中 ,

包 含 f ( x) 零 点 的 区 间 是 A.( 0 1 ,) C.( 2 4 ,) [ 答案] [ 解析]

B.( 1 2 ,) D.(4, + ∞)

C 本 题 考 查 函 数 零 点 的 概 念 .

6 1 f ′(x)=-x2-xn < 0 , l2 ,∵x>0,∴f ′(x) ∴x∈(0,+∞)时,f(x)是 减 函 数 , 而 3 1=2 > 0 ,f( 4 ) =2-2 < 0 ,选 C.
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f( 1 ) =6 > 0 ,f( 2 ) =3-

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利用函数零点的存在性求参数的取值范围 (1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,求实 数a的值; (2) 若函数 f(x) = |4x - x2| - k 有 4 个零点,求实数 k 的取值范

围.
[思路分析] (1)二次项系数含有字母,分类讨论即可. (2)利用函数图像求解.

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[规 范 解 答 ] 符 合 题 意 ;

( 1 ) 当 a=0 时 , f(x)= - x-1 有 唯 一 零 点 -

1,

当 a≠0 时 , f ( x) 有 唯 一 零 点 , 即 1 由 Δ=1+4a=0 得 a= - 4. 综 上 可 知 1 a的 值 为 0 或-4.

a x 2-x-1=0 有 唯 一 解 .

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(2)设g(x)=|4x-x2|,画出其图像如图所示. 函数 f(x) 有 4 个零点,即方程 g(x) - k = 0 有 4 个不同的实数 解,也就是 y = g(x) 的图像与直线 y = k 有 4 个不同的公共点,由 图可知0<k<4.

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[ 方法总结 ]

已知函数有零点 ( 方程有根 ) 求参数值常用的

方法和思路:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式 确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加 以解决;

(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系
中,画出函数的图像,然后观察求解.

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(文)如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,
则m的取值范围是( A.(-2,6) ) B.[-2,6]

C.{-2,6}
[答案] D [ 解析 ]

D.(-∞,-2)∪(6,+∞)

依题意,有 Δ = m2 - 4(m + 3)>0 ,即 (m - 6)(m +

2)>0,解得m>6或m<-2,故D.

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(理)已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则
实数k的取值范围是________. [答案] (2,3) [解析] 解法1:∵Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0对一切k∈R 恒成立,又k=-1时,f(x)的零点x=-1?(2,3),

∴要使函数 f(x) =x2+(1-k)x-k 的一个零点在 (2,3) 内,则
必有f(2)·f(3)<0, 即(6-3k)·(12-4k)<0,∴2<k<3. ∴实数k的取值范围为(2,3). 解法2:由x2+(1-k)x-k=0得x=k或-1,∴k∈(2,3).
第二章 函数与基本初等函数

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函 数 的 零 点 与 函 数 极 值 点 的 交 汇 已 知 函 数 x2 , 且 f(x1)=x1<x2, 则 关 于 同 实 根 个 数 为 A.3 C.5 ( ) B.4 D.6 f(x)=x3+a x 2+b x +c 有 两 个 极 值 点 x1,

x的 方 程 3 ( f(x))2+2a f (x)+b=0 的 不

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[ 思路分析 ]

条件“函数 f(x) = x3 +ax2 +bx + c 有两个极值

点x1,x2”等价于“方程f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等实数 根x1,x2”;条件:“若f(x1)=x1<x2,则关于x 的方程 3(f(x))2 + 2af(x) +b=0的根”等价于“方程 3(f(x))2 +2af(x) + b =0有两个 不等实根,f(x)=x1,f(x)=x2”.

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[规范解答]

f′(x)=3x2+2ax+b,原题等价于方程3x2+2ax

+ b = 0 有两个不等实数根 x1 , x2 ,且 x1<x2 , x∈( - ∞ , x1) 时, f′(x)>0,f(x) 单调递增; x∈(x1, x2) 时,f′(x)<0 , f(x) 单调递减; x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.∴x1为极大值点,x2为 极小值点. ∴方程3(f(x))2 + 2af(x) + b = 0有两个不等实根,f(x)

=x1,f(x)=x2.∵f(x1)=x1,∴由图知f(x)=x1有两个不同的解,
f(x)=x2仅有一个解. [答案] A

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[方法总结]

(1)强化函数零点的求法,函数与方程的转化

技巧,本题的突破点是方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个 数转化为f(x)=x1与f(x)=x2的根的个数之和. (2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查,体

现了新课标高考的指导思想.

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(2015·广州测试)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x

-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式
中成立的是( ) B.f(a)<f(b)<f(1) A.f(a)<f(1)<f(b)

C.f(1)<f(a)<f(b)
[答案] A [解析]

D.f(b)<f(1)<f(a)

由题意,知f′(x)=ex+1>0恒成立,所以函数f(x)在

R上是单调递增的,而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2 =e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);
第二章 函数与基本初等函数

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由 题 意 , 知

1 g′(x)=x +1 > 0 , 所 以 函 数

g(x)在(0, + ∞)上

是单调递增的,又 g( 1 ) =n l1 +1-2=-1 < 0 ,g( 2 ) =n l2 +2-2 =n l2 > 0 , 所 以 函 数 g(x)的 零 点 b∈( 1 2 ,) .

综 上, 可 得 0 < a< 1 < b< 2 . 因 为 f(x)在 R 上 是 单 调 递 增 的 , 所 以 f(a)<f( 1 ) < f ( b) . 故 选 A.

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对函数零点存在定理理解不到位 若函数 f(x)在区间[ -2,2] 上的图像是连续不断的 曲线,且 f(x)在(-2,2)内有一个零点,则 f(-2)· f(2)的值( A.大于 0 C.等于 0 B.小于 0 D.不能确定 )

[错解] 由函数零点存在定理知,f(-2)·f(2)<0,故选B.

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[错因分析]

本题的解答错误在于没有正确理解函数零点

的含义及存在性,事实上,当f(x)在(-2,2)内有一个零点,f(- 2)和f(2)的符号不能确定. [正确解答] D. 若函数f(x)在(-2,2)内有一个零点,且该零点

是变号零点,则f(-2)·f(2)<0,否则,f(-2)·f(2)>0,因此,选

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[误区警示] 对函数零点存在的判断需注意以下三点:
①函数y=f(x)在[a,b]上连续. ②满足f(a)f(b)<0. ③在(a,b)内存在零点. 上述方法只能求变号零点,对于非变号零点不能用上述方

法求解.另外需注意的是:
(1)若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切,则零点x0通常称 为不变号零点. (2) 函数的零点不是点,它是函数 y = f(x) 与 x 轴交点的横坐 标,是方程f(x)=0的根.
第二章 函数与基本初等函数

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一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,

中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周而复
始怎么办?精确度上来判断.

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两个防范
(1)函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是点. (2) 若函数 y = f(x) 在闭区间 [a , b] 上的图像是连续不间断 的,并且在区间端点的函数值符号相反,即 f(a)·f(b)<0 ,满足 这些条件一定有零点 ,不满足这些条件也不能说就没有零

点.如图, f(a)·f(b)>0 , f(x) 在区间 (a , b) 上照样存在零点,而
且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不 必要.

第二章

函数与基本初等函数

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三种方法
函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就 有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间 [a,b]

上是连续不断的曲线,且 f(a)·f(b)<0 ,还必须结合函数的图像
与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交点 的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的 零点.
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