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2016届云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(一)数学(理)试题 扫描版


云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(一) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1 C 2 B 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D 9 A 10 B 11 D 12 D

1 2,4} ? {x 1 ? x≤4}

? {2,4} ,故选 C. 1. A ? B ? {0,,
2.∵ z ?
1 ? 2i ? ?2 ? i, ∴ z ? ?2 ? i ,故选 B. i

?a≤0, ?a≤0, ?a ? 0, ?a ? 0, 3.∵ ? a ?1 ?? ? a ? ?,? ?? ? a ? 1 ,故选 C. ?a ? 2 ? ?1 ?a ? 1 ??e ? ?1 ?a ? 1

4 . ∵ f ( x) ? 0 ? cos x ? 1 ? m , 由 0≤m≤1 , 得 0≤1 ? m≤1 , 且 ?1≤ cos x≤1 , 所 以 函 数
f ( x) ? cos x ? m ? 1 有 零 点 . 反 之 , 函 数 f ( x) ? cos x ? m ? 1 有 零 点 , 只 需 |m ? 1|≤1 ?
0≤m≤2 ,故选 A.

5.如图 1,不妨设正方体的棱长为 1,则切削部分为三棱锥 A ? A1 B1 D1 ,
1 其体积为 ,又正方体的体积为 1,则剩余部分(新工件)的体 6
图1

5 ,故选 C. 6 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 6.由 | AB ? AC| ? | AB ? AC| 知 AB ? AC ,以 AB,AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直

积为

? 4 1? ?2 2? 角 坐 标 系 , 则 A(0,0),B(2,0),C (0, 1) , 于 是 E ? , ?,F ? , ? , 据 此 , 3 3 ? ? ?3 3? ??? ? ???? ? 4 1 ? ? 2 2 ? 8 2 10 AE ? AF ? ? , ? ?? , ? ? ? ? ,故选 B. ? 3 3? ? 3 3? 9 9 9

?π 7 ?π ? ?π ?? ?π ? ?π ? ? 3? 7.由 sin ? ? 2? ? ? sin ? ? 2 ? ? ? ? ? ? cos 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? , 25 ?6 ? ?6 ?? ?6 ? ?6 ? ?5? ?2

2

故选 B. 8.由于
y 表示可行域内的点 ( x,y ) 与原点 (0,0) 的连线的斜 x

率,如图 2,求出可行域的顶点坐标 A(3, 1),B(1,2) ,

图2

y ?1 ? 1 1 C (4,2) ,则 kOA ? ,kOB ? 2,kOC ? ,可见 ? ? ,2 ? , x ?3 ? 3 2 ? 10 ? 结合双勾函数的图象,得 z ? ? 2, ? ,故选 D. 3? ?

9.依题意 x 2 ? x ? 2 y≤x ? y ? 4 ? y≤ ? x 2 ? 4 ,点 P( x,y ) 所在区域的面积为 2 ? 6 ? 12 ,x,y 满 足

min{x ? y ? 4,x 2 ? x ? 2 y} ? x 2 ? x ? 2 y













16 2 ? x3 ? 16 4 ,故所求概率为 3 ? ,故选 A. ? ? 4x ? ? ?0 (? x ? 4)dx ? ? 3 3 12 9 ? ?0
2 2

10.显然 BC ? 平面PAB ,则 BC ? AE ,又 PB ? AE ,则 AE ? 平面PBC ,于是 AE ? EF ,

且AE ? PC ,结合条件 AF ? PC 得 PC ? 平面AEF ,所以 △AEF 、 △PEF 均为直角三
角形,由已知得 AF ?
2 2

,而 S△AEF ?

1 1 1 1 AE ? EF≤ ( AE 2 ? EF 2 ) ? ( AF ) 2 ? ,当且 2 4 4 8
1 时 , △AEF 的 面积 最大,此 时 2

仅 当 AE ? EF 时 ,取 “ = ” , 所以, 当 AE ? EF ?
1 EF 2 ,故选 B. tan ?BPC ? ? 2 ? PF 2 2 2

? π? 11.因为定义域为 ? 0, ? , f ( x) ? f ?( x) tan x ,所以 f ?( x)sin x ? f ( x) cos x ? 0 ,因为 ? 2?

f ( x) ? π ? ? f ( x) ?? f ?( x)sin x ? f ( x) cos x ? 0 ,所以 y ? 在 ? 0, ? 上单调递增,所以 ? ? ? 2 sin x sin x sin x ? 2? ? ?

?π? ?π? f? ? f? ? ? 6 ? ? ? 3 ? ,即 3 f ? π ? ? f ? π ? ,故选 D. ? ? ? ? 1 3 ?6? ?3? 2 2

12.圆 C 在抛物线内部,当 l⊥y 轴时,必有两条直线满足条件,当 l 不垂直于 y 轴时,设
M ( x0,y0 ),A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) , 则 x0 ?
2 x12 ? x2 ? 4( y1 ? y2 ) ?

? x 2 ? 4 y1, x1 ? x2 y ? y2 ? , 由 ? 12 ? ,y0 ? 1 2 2 ? ? x2 ? 4 y2

x y1 ? y2 x1 ? x2 y ?5 ? ? k AB ? 0 , 因为圆心 C (0,5) , 所以 kCM ? 0 , x1 ? x2 4 2 x0 ? 0

2 2 ? 4 y0 ,所以 x0 ? 12 ,且 由直线 l 与圆 C 相切,得 k AB ? kCM ? ?1 ? y0 ? 3 ,又因为 x0

2 2 2 r 2 ? x0 ? ( y0 ? 5)2 ? x0 ? 4 ? 16 ? r ? 4 , 又 r 2 ? ( y0 ? 5)2 ? x0 ? 0 ? r 2 ? (3 ? 5)2 ? 0 ?

r 2 ? 4 ? r ? 2 ,故 2 ? r ? 4 ,此时,又有两条直线满足条件,故选 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13.依程序框图得 b ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 0 ? 22 ? 0 ? 23 ? 1 ? 24 ? 1 ? 25 ? 51 .
1? 1 ? ?2 ? 14. f ?( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ? ? x ? ? ? ? 2a .当 x ? ? ,? ? ? 时, f ?( x) 的最大值为 2? 4 ? ?3 ?
2 2 1 ?2? f ? ? ? ? 2a ? ,令 2a ? ? 0 ,解得 a ? ? ,所以 a 的取 9 9 9 ?3? ? 1 ? 值范围是 ? ? , ? ? ? . 9 ? ?
2

13 51

14
? 1 ? ? ? ,? ? ? 9 ? ?

15
1 3

16 2014

15.如图 3,设 AC 中点为 M,连接 OM,则 OM 为
△ABC 的中位线,于是 △OFM ∽△AFB ,且

| OF | 1 c 1 c 1 ? ,即 ? ? ? . | FA | 2 a?c 2 a 3

图3

16.∵ 1 ?

1 1 (n 2 ? n) 2 ? 2(n 2 ? n) ? 1 n 2 ? n ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ?1? ? ? ? ,所以 2 2 n (1 ? n) n 2 (1 ? n) 2 n(n ? 1) n n ?1? ?

1 ? 1 ?1 1 ? ?1 1? ? 1 ,故 [ S ] ? 2014 . S ?1? ? ? ? ?1? ? ? ? ?…?1? ? ? ? ? 2015 ? 2015 ?1 2 ? ? 2 3? ? 2014 2015 ?

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ an ?1 ?
4an a ?2 1 1 1 , , ∴ ? n ? ? an ? 2 an ?1 4an 4 2an



1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ?, an ?1 2 2 ? an 2 ? ? 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ,所以数列 ? ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. a1 2 2 2 2 ? an 2 ?

∴ 又 a1 ? 1,

???????????????????????????????(6 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知
1 1 1 ?1? ? ? ?? ? an 2 2 ? 2 ?
n ?1

?

1 , 2n



1 1 1 n n n ? n ? , ∴ bn ? ? n ? , an 2 2 an 2 2
1 2 3 n ? 2 ? 3 ? … ? n ,① 2 2 2 2

设 Tn ?

1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2

1? 1 ?1 ? 1 1 1 1 n 2 ? 2n 由①-②得, Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 1? 2
∴Tn ? 2 ? 1 n , ? 2n ?1 2n

? ? ? ? n ?1? 1 ? n , 2n ?1 2n 2n ?1

1 n(n ? 1) 又 (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ? , 2 4

∴数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? 18. (本小题满分 12 分)

2 ? n n(n ? 1) . ? 2n 4

????????????(12 分)

1 1 ? 3? 解: (Ⅰ)∵P(? ? 0) ? ?1 ? ? (1 ? p) 2 ? ? p ? . 16 2 ? 4?

??????????(6 分)

(Ⅱ) ? 的取值为 0,1,2,3,
P(? ? 0) ? 1 ; 16
2

3 ? 1? ? 3? 1 ? 1? ? 3? ? 1? 1 5 P(? ? 1) ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ; 4 ? 2 ? ? 4 ? 2 ? 2 ? ? 4 ? ? 2 ? 2 16
P(? ? 2) ?
P(? ? 3) ?

3 1 ? 1? 3 ? 1? 1 ? 3? 1 1 7 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ; 4 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 2 16
3 1 1 3 , ? ? ? 4 2 2 16

? 的分布列为 ?
P(? )

0
1 16

1
5 16

2
7 16

3
3 16

数学期望 E (? ) ? 0 ?

1 5 7 3 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 16 16 16 16 4

??????????(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 方法一:几何法 (Ⅰ)证明:如图 4,取 AC 的中点 D,连接 DS,DB.

图4

因为 SA ? SC , BA ? BC , 所以 AC ? DS, 且AC ? DB,DS ? DB ? D , 所以 AC ? 平面SDB ,又 SB ? 平面SDB , 所以 AC ? SB . ??????????????????????????(6 分)

(Ⅱ)解:因为 SD ? AC,平面SAC ? 平面ABC ,所以 SD ? 平面ABC . 如图 4,过 D 作 DE ? CM 于 E,连接 SE,则 SE ? CM , 所以 ?SED 为二面角 S ? CM ? A 的平面角. 由已知有 DE ? ??????????????(8 分)

1 1 AM ? ,又 SA ? SC ? 2 , AC ? 2 ,所以 SD ? 1 , 2 2

在 Rt△SDE 中, SE ? 所以 cos ?SED ? 方法二:向量法

5 , 2

DE 5 . = SE 5

???????????????????(12 分)

(Ⅰ)证明:如图 5,取 AC 的中点 O,连接 OS,OB. 因为 SA ? SC , BA ? BC , 所以 AC ? OS ,且 AC ? OB , 又 平面SAC ? 平面ABC , 平面SAC ? 平面ABC =AC , 所以 SO ? 平面ABC ,所以 SO ? BO . 如图 5,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A(1,0,0) , C (?1,0,0) , S (0,0, 1) , B(0, 3,0) ,
???? ??? 因为 AC ? (?2,0,0) , SB ? (0, 3,? 1) ,

??????????????????(3 分)
???? ??? 所以 AC ? SB ? ?2 ? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 0 ,
∴ AC ? SB .
图5

??????????????????????????(6 分)

???? ? ?3 ?1 ? ? 3 3 (Ⅱ)解:因为 M 是 AB 的中点,所以 M ? ? 2 , 2 ,0 ? ? ,∴ CM ? ? ? 2 , 2 ,0 ? ?, ? ? ? ?
??? ? ? CS ? (1,0, 1) ,设 n ? (1,y,z ) 为平面 SCM 的一个法向量,
? 3 ? ? ???? 3 ? y ? 0, ?n ?CM ? ? 则? 得 y ? ? 3,z ? ?1 ,所以 n ? (1,? 3,? 1) , 2 2 ? ??? ? ?n ? ?CS ? 1 ? z ? 0,

??? ? 又 OS ? (0,0, 1) 为平面 ABC 的一个法向量,
? ??? ? ? ??? ? n ?OS ?1 5 ? ? . ???????????????(11 分) ∴ cos? n,OS ? ? ? ??? ?? 5 | n | ?| OS | 5 ?1

又二面角 S ? CM ? A 的平面角为锐角, 所以二面角 S ? CM ? A 的余弦值为 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵e ?
2 b2 1 , ∴ e2 ? 1 ? 2 ? , 2 a 2 5 . 5

???????????????(12 分)

b2 1 ? ,即 a 2 ? 2b 2 . a2 2 1 又 S ? ? 2a ? 2b ? 4 2, ∴ ab ? 2 2 ,∴ b 2 ? 2,a 2 ? 4 . 2 ∴
∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

????????????????(4 分)

(Ⅱ)由题意知,当直线 MN 斜率存在时, 设直线方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),P( x,y ) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立方程 ? 4 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 1), ?
因为直线与椭圆交于两点, 所以 ? ? 16k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(2k 2 ? 4) ? 24k 2 ? 16 ? 0 恒成立,

4k 2 2k 2 ? 4 ?2k , x x ? ,y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? , 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ???? ? ???? ??? ? 又∵ OM ? ON ? tOP , ∴ x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 4k 2 x ? ? , ? ? x1 ? x2 ? tx, ? t t (1 ? 2k 2 ) ∴? ∴? ? y1 ? y2 ? ty, ? y ? y1 ? y2 ? ?2k , ? t t (1 ? 2k 2 ) ?

因为点 P 在椭圆

x2 y 2 16k 4 8k 2 ? ? 1 上,所以 2 ? 2 ? 4, 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k 2 ) 2 4 2
2k 2 1 ?1? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
????????????(8 分)

∴t 2 ? 即 2k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ),
???? ? ???? 4 5 又∵| OM ? ON |? , 3

???? ? 4 5 4 ? 6k 2 2 5 4 5 ? 即 | NM |? ,整理得: 1 ? k 2 ? , , ∴ 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 3 3 3

化简得: 13k 4 ? 5k 2 ? 8 ? 0 ,解得 k 2 ? 1 或 k 2 ? ?
∵t 2 ? 1 ?

8 (舍) , 13

? 6? ? 6 ? 1 2 ? 1 , ? , 1? , ∴ ? t 2 ? 1 ,即 t ? ? ??? 2 ? ? ?. 3 ? 1 ? 2k 3 ? ? ? 3 ?

? ? 6? 6? 当直线 MN 的斜率不存在时, M ? ?1, 2 ? ?, N ? ?1, ? 2 ? ? ,此时 t ? ?1 , ? ? ? ? ? 6? ? 6 ? ∴t ? ? ?1, ? , 1? . ? ??? ? 3 ? ? ? 3 ?
21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,? ?) ,求导可得 f ?( x) ? a ? 1 ? ln x , 由 f ?(1) ? 2 得 a ? 1 ,∴ f ( x) ? x ? x ln x,f ?( x) ? 2 ? ln x ,
1? ? 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? 0, 2 ? ; ? e ? ?1 ? 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? 2 ,? ? ? , ?e ? 1? ? ?1 ? 所以 f ( x) 的减区间为 ? 0, 2 ? ,增区间为 ? 2 ,? ? ? . ? e ? ?e ?

????????????????????(12 分)

??????????(4 分)

(Ⅱ)由题意: 2 x ? 2 x ln x ? kx ? x ? k ? 0 ,即 x ? 2 x ln x ? ( x ? 1)k ,
x ? 2 x ln x 恒成立, x ?1 2 x ? 2ln x ? 3 x ? 2 x ln x 令 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? , ( x ? 1) 2 x ?1 ∵ x ? 1, ∴ x ? 1 ? 0, ∴k ?

令 h( x) ? 2 x ? 2ln x ? 3 ,则 h?( x) ? 2 ?
∴ h( x) 在 (1,? ?) 上单调递增,

2 ?0, x

?5? 又 h(2) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0,h ? ? ? 2(1 ? ln 2.5) ? 0 , ?2? ? 5? ∴ ?x0 ? ? 2, ? 且 h( x0 ) ? 0 , ? 2?

当 x ? (1,x0 ) 时, h( x) ? 0,g ?( x) ? 0,g ( x) 在 (1,x0 ) 上单调递减; 当 x ? ( x0,? ?) 时, h( x) ? 0,g ?( x) ? 0,g ( x) 在 ( x0,? ?) 上单调递增, 所以 g ( x) min ? g ( x0 ) ?
x0 ? 2 x0 ln x0 , x0 ? 1

∵ h( x0 ) ? 2 x0 ? 2 ln x0 ? 3 ? 0 ,∴ 2 ln x0 ? 2 x0 ? 3 ,

∴g ( x) min ? g ( x0 ) ?

2 x0 ? 2 x0 ? 3x0 2 x0 ( x0 ? 1) ? ? 2 x0 , x0 ? 1 x0 ? 1

∴k ? 2 x0 ? (4, 5) ,所以 k 的最大值为 4.

???????????????(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)∵ EF∥AD, ∴ ?FEB ? ?A , 又 ?A ? ?C ,∴?C ? ?FEB ,

∴在△EFC与△BFE中 ,
??EFC ? ?BFE, ? △EFC∽△BFE . ? ??C ? ?FEB

????????????????(5 分)

(Ⅱ)∵△EFC∽△BFE ,
∴ EF FC ? ? EF 2 ? FB ? FC , FB EF

又 FG 是圆的切线,由切割线定理得 FG 2 ? FB ? FC ,
∴ EF 2 ? FG 2 ,即 EF ? FG .

????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)直线 l: ? (cos ? ? sin ? ) ? 6 化成普通方程为 x ? y ? 6 ? 0 . 设点 P 的坐标为 ( 3 cos ?,sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

?π ? 2sin ? ? ? ? ? 6 3 ? ? , d? ? 2 2 ?π ? ? 3 1? ∴当 sin ? ? ? ? ? ?1 时,点 P ? ? , ? , ?3 ? ? 2 2? 3 cos ? ? sin ? ? 6

此时 d max ?

?2 ? 6 2

? 4 2 . ??????????????????????(5 分)

(Ⅱ)曲线 C 化成普通方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,即 x 2 ? 3 y 2 ? 3 , 3

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 (t 为参数)代入 x 2 ? 3 y 2 ? 3 化简得 2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , l1 的参数方程为 ? 2 ? y? t, ? ? 2

得 t1 ?t2 ? ?1 ,所以 MA ? MB ?| t1t2 |? 1 .??????????????????(10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?5 , 不等式 f ( x)≥0 为 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥5 , ①当 x≤ ? 2 时,不等式为: ?3x ? 1≥5 ,即 x≤ ? 2 ,满足; ②当 ?2 ? x ?
1 时,不等式为: ? x ? 3≥5 ,即 x≤ ? 2 ,不满足; 2

1 4 ③当 x≥ 时,不等式为: 3x ? 1≥5 ,即 x≥ ,满足. 2 3

? 4? 综上所述,不等式 f ( x)≥0 的解集为 ? x x≤ ? 2或x≥ ? . 3? ?

????????(5 分)

3 (Ⅱ)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ,若 f ( x)≥ 对于 x ? R 恒成立, 2

即 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥m ?

3 对于 x ? R 恒成立, 2

? ??3x ? 1( x≤ ? 2), ? ? 1? ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? ?? x ? 3 ? ?2 ? x ? ?, 2? ? ? ? 1? ? ?3x ? 1? x≥ ? . 2? ? ?

由图 6 可看出 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| 的最小值是

5 , 2

图6

3 5 所以 m ? ≤ ,∴ m≤1 ,即 m 的取值范围是 (??, 1] . 2 2

???????????????????????????????(10 分)


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