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二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计


3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式片段教学设计
(人教 A 版本必修 4 第三章 第一节)
教材的地位及作用:

1.本节内容是三角函数中最基础的知识之一。它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角 和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。 2.本节在本章中处于承上启下的地位。 3.三角函数是高考的热点问题,而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简 及证明必备的基础知识点之一。 它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。 本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法,使学 生体验的数学知识发生发展(形成)的过程,增进学生对数学知识的理解,增强学生学数学 的兴趣和信心。
教学目标:

1、知识目标: 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦 和正切公 式,掌握二倍角公式,运用二倍角公式解决有关问题。 2、能力目标: 培养学生观察分析问题的能力,寻找数学规律的能力,同时注意渗透由一般 到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。 3、德育目标:培养学生认真参与、积极交流的主体意识,锻炼学生善于发现问题的规律和 及时解决问题的态度。
教学重点:二倍角公式推导及其应用. 教学难点: 如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学方法和手段

(1)采用问题解决教学模式,培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决 问题的能力; (2)注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用, (3)注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用,特别注重对知识与方 法的总结和提炼。 多媒体平台
教学流程:

复习引入,创设情境 深化认识

观察探究、推进新课

引导探究、 课堂练习、巩固提高

例题讲解、归纳步骤

课堂小结、构建体系

课后作业、

深化拓展

1

教学过程 教学 步骤 教学过程 设计意图

1.(复习性提问):请同学回顾两角和的公式 (学生回答,教师板书)

一 、 复 习 引 入

温旧知新,让学生明 确学习的内容,通过 复习公式,使学生熟 练掌握公式,深刻理 解公式的本质内涵, 为顺利的推导二倍角 公式垫定基础。

2.创设情境 如图,为了得到塔的高度,某人在距塔的竖直山脚 B 100 米的 A 处测得 塔底的仰角为 ? 、塔顶的仰角为 2 ? ,并测得山高为 50 米,求塔高? 将实际问题转化为数学问题,并进行分析 创设问题情境,激发 学生学习兴趣,产生 求知欲望。

D ?
:

CD ? BD

C 50 米 A 100米 B

BD ? AB tan 2? ? 100 tan 2?

50 1 tan ? ? ? 100 2

tan 2? ? ?

2

二 、 公 式 的 推 导

3、 (探索性提问) 当两角和的公式中角 ?、? 具有特殊化关系 ? ? ? 时, 公式变为什么形式?

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? 2 tan? tan 2? ? 1 ? tan2 ?

? S 2? ? C 2? ? T2?

加深对公式结 构特征的了解 , 并从中体会数 学中从一般化 特殊的数学思 想。

即为我们今天要学习的二倍角公式 (深化性提问):有了这组二倍角公式,我们是否可以放心大胆的应用呢? 思考:这个二倍角公式要不要注意些什么? 引导学生联想和角公式的条件,利用类比的方法,探索出二倍角公式的 条件。

公式 S2? , C2? 具有一般性,即角 ? 是任意角;

4 2 k ? 1 ? tan 2 ? ? 0 ? tan ? ? ?1 ? ? ? ? (k ? z ) 4 2

公式T2? 也具有一般性,但要满 足: ? ? k? tan 2?要有意义 ? 2? ? ? k? ? ? ? ? (k ? z )
2

?

tan ?要有意义 ? ? ? k? ?

?

2

(k ? z )

使学生掌握二 倍角公式的适 用范围, 以加深 对公式的认识 和理解, 才能更 好,更准确的运 用公式, 培养严 谨的数学思维 品质。 记住每个公式 的特点, 尤其是 “倍角” 意义是 相对的.

综上所述二倍角的正切公式成立的条件 ? ?

?
4

?

k? ? 且? ? ? k? , k ? z 2 2

细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢? 1、公式左边角是右边角的 2 倍; 2、左边是 2α 的三角函数的一次式,右边是 α 的 三角函数的二次式; 3、二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式,正切是分式. 探究一: (1)问: 结 合
2 2

对于 C 2? 能否有其它表示形式? 二 倍 角 的 余 弦 公 式 的 变 形 :

cos 2? ? cos ? ? (1 ? cos ? ) ? 2 cos2 ? ? 1 cos 2? ? (1 ? sin 2 ? ) ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ?
三 、 公 式 的 深 化 理 解

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ?

?
?

降幂扩角公式

让学生熟悉公 式的各种变形, 增强公式运用 的灵活性。

1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

升幂缩角公式

这两个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化, 同时可以完成角的形式的转 化.这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一,在学习过程中,要注意应 用。
3

? 探究二: tana与sin 2a, cos2a之间是否存在某种关系
1 ? cos 2a 2 sin a 1 ? cos 2a 2 由 t an2 a ? ? ? 2 cos a 1 ? cos 2a 1 ? cos 2a 2 sin a 2 sin a cos a sin 2a tan a ? ? ? 2 cos a 2 cos a 1 ? cos 2a

sin a 2 sin 2 a 1 ? cos 2a t an a ? ? ? cos a 2 sin a cos a sin 2a
探究三:

sin 2a, cos2a能否分别用tana表示?
2 2

cos2 a ? sin 2 a 1 ? tan2 a cos2a ? cos a ? sin a ? 2 ? sin a ? cos2 a 1 ? tan2 a
sin 2a ? 2 sin a cos a ?
探究四 :

2 sin a cos a 2 tan a ? 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan 2 a
?? ?
2 ? k? , k ? z 时,虽然
引导学生对特 殊情形, 另辟蹊 径, 寻找求解依 据, 培养学生细 致、 灵活的探索 习惯.

在二倍角的正切公 式中,当 不存在,但

tan?

tan 2?

是存在,能否用二倍角的正切 公式求?该

怎样求? 引导学生:改用诱导公式:

tan 2? ? tan 2(k? ?

?
2

) ? tan( 2k? ? ? ) ? tan ? ? 0

注意: (1)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三” 字等不可省去。 (2) 二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数, 它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 (3)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况。 (4)公式中 (S2? ), (C2? ) 的角

??

?

4

?

k? ? 且? ? ? k?,k ? Z时才成立。 2 2

? 没有限制,但公式 (T

2?

)

须在

4

3? 是 3? 的两 4? 是 2? 的两倍, 是 4 的两倍, 2 ? ? 2 倍, 是 的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式。 6 3 sin 2? ? 2 sin ? , cos2? ? 2 cos? , tan2? ? 2 tan? 请思考以下问题:
如 能成立吗? (举一个例子: sin 600 ? 2 sin 300 ) 提示:一般情况下 sin 2? ? 2 sin ? , cos2? ? 2 cos? , tan2? ? 2 tan? 若 sin2α =2sinα ,则 2sinα cosα =2sinα ,即 sinα =0 或 cosα =1, 此时 α =kπ (k∈Z).

(5)二倍角公式不仅限于 2α

?



?

?

的二倍的形式,其它

2 cos2 ? ? 1 ? 2 cos? 1? 3 1? 3 即 cosα = (cosα = 舍去). 2 2 2 tan a 若 tan2α =2tanα ,则 =2tanα ,∴tanα =0,即 α =kπ (k∈Z). 1 ? tan 2 a ? 5 ? 例 1、已知 sin2 ? = , ? ? ? ,求 sin4 ? ,cos4 ? ,tan4 ? 的 2 13 4 值.
若 cos2α =2cosα ,则 引导学生分析题目中角的关系,观察所给条件与结论的结构,注意二倍角公 式的选用,领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含 义,它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了 2α 的正弦值.由 于 4α 是 2α 的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.

四 、 例 题 讲 解 、 归 纳 步 骤

例 2、求下列各式的值: (1) sin 220 30? cos 220 30? (2) 2 cos 2
(3) cos
4

?
8

例 1 是二倍角 公式的应用求 值问题, 同时复 习了同角的三 角函数关系及 三角函数的符 号问题, 让学生 先熟悉公式, 简 单的套用就可 以解决这个问 题.

?1

?
6

? sin 4

?
6

(4) 8 sin

?
48

cos

?

48

cos

?
24

cos

?
12

例 3、在△ABC 中,cosA=

4 ,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值. 5

例 2、让学生练 习公式的逆用 和变形用法.

问:2A+2B 与 A,B 之间能构成怎样的关系? 先让学生讨论探究, 教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生 思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对 2A+2B 与 A,B 之间关系的看法不 同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法, 不过它们都是对倍角 公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别. 提示:思路一: 例 3 以上两种 方法都是对倍 角公式、 和角公 式的联合运用 , 本质上没有区 别 , 其目的是为 了鼓励学生用 不同的思路去 思考 , 以拓展学 生的视野.

cos A ? tan A ? tan2 A? ? ? tan(2 A ? 2B) tan B ? tan2B ?

思路二:

cos A ? tan A? ? ? tan(A ? B) ? tan?2( A ? B)? tan B ? 引申:在题目条件不变的前提下,如何求 tan 2C ?

5

五 、 课 堂 练 习 、 巩 固 提 高

1、已知 cos

?

4 ? ? ? ? ? ,8? ? ? ? 12? , 求 sin , cos , tan 的值。 8 5 4 4 4

2、已知 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 3、求下列各式的值:

?

2

, ? ), 求 tan ?的值。

(1)

1 ? ( 2) ? cos 2 2 8 2 3? 4、已知sin ? ? cos? ? ,0 ? ? ? , 求 sin 2? , cos 2?的值。 2 4

2 tan1500 1 ? tan2 1500

通过设置多重 练习, 让学生能 更深刻的认识 公式的特点, 感 受公式的各种 形式的运用, 提 高灵活运用公 式的能力。

进一步突破重 难点, 巩固本节 课的知识,同 时, 也让学生明 白数学的特点 在于应用, 唯有 如此才可将知 识加以巩固。

六 、 课 堂 小 结 、 构 建 体 系

1.说明二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的,要注意这种基本 数学思想方法,学会怎样去发现数学规律。 2. S2? , C2? 中角 ? 没有限制条件,而 T2? 中,

总结这节课的 内容与方法

??

?

4

?

k? ? 且? ? ? k?,k ? Z 时才成立。 2 2

3. 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这 是灵活运用公式的关键。 4. 有三种形式,要依据条件,灵活选用公式。另外,逆用此公式时,更要注 意结构形式。

使学生对本节 课所学的知识 结构有一个完 整的印象, 使知 识系统化, 条理 化, 便于抓住重 点进行课后复 习, 同时培养学 生归纳概括的 能力。

6

七 、 课 后 作 业 、 深 化 拓 展

必做题: 1、课本 P138 习题 3.1 第 15,17 题

? 1 2、 (2011? 高考福建卷)若 ?? (0, ),且sin 2 ? ? cos 2? ? , 2 4 则 tan?的值等于()
2 2 3 3

巩固知识, 发现 和弥补教学中 的不足。 分必做 题、选做题, 体 现分层教学的 思想。

A.

B.

C. 2

D. 3

对学有余力的 学生留出自我 发展的空间, 尝 试能力, 拓展创 新。

选做题: 3、求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

板书设计
1、和角公式。 2、二倍角公式 例 1: (写要点) 例 3: 方法 1 详写 方法 2 写关键步 练习 1-4 课堂小结

3、注意

例 2:

作业

7


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