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2015届高三第一次模拟数学试题(理科)


2015 届高三第一次模拟数学试题(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | x ? 0},且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是 A. {1,2} 2.已知 B. {x | x ? 1} C. {?1,0,1} D. R<

br />1 1 ? ? 0 ,则下列结论错误的是 a b b a A. a 2 ? b 2 B. ? ? 2 C. ab ? b 2 D. lg a 2 ? lg ab a b 3 3.若不等式 2kx2 ? kx ? <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为 8 A. ( ?3,0) B. ?? 3,0? C. ?? 3,0? D. (?3,0]

4.规定 a ? b ? ab ? 2a ? b  , a、b ? R? ,若 1 ? k ? 4 ,则函数 f ( x) ? k ? x 的值域 7 7 A. (2, ??) B. (1,??) C. [ , ??) D. [ , ??) 8 4 1 5.设命题 p : 函数 y ? 在定义域 上为减函数;命题 q : ?a, b ? (0, ??) ,当 时, 1 ? 1 ? 3 ,以下 a ?b ?1 a b x 说法正确的是 A. p ? q 为真 函数是
x x e x ? e? x C. f ? x ? ? x ? x e ?e

B. p ? q 为真

C. p 真 q 假

D. p , q 均假

6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的 A. f ? x ? ? B. f ? x ? ? ln

?

x2 ? 1 ? x

?

1? x2 D. f ( x) ? | x ?3| ? | 4? x |

7.函数 y ? f ( x) 为偶函数,且 [0,??) 上单调递减,则 y ? f (2 ? x 2 ) 的一个单调递增区间为 A. (??,0] B. [0,??) C. [0, 2 ] D. [ 2 ,??) 8.下列命题正确的个数是 ①“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的否命题是真命题; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; ③“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”. A.0 B.1 C.2 D.3

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9.已知函数 范围是 A. (1,2014) 10.下列四个图中,函数 y ?

若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值

B. (1,2015)
10ln x ? 1 x ?1

C. (2,2015)

D.[2,2015]

的图象可能是

11.设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 , g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 .若实数 a , b 满足 f (a) ? 0 , g (b) ? 0 ,则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b) B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0

12.已知定义的 R 上的偶函数 f ? x ? 在 [0,??) 上是增函数,不等式 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2)
?1 ? 对任意 x ? ? ,1? 恒成立,则实数 a 的取 值范围是 ?2 ? A. ??3, ?1? B. ? ?2,0? C. ??5, ?1?

D. ??2,1?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 ?a x , x ? 0, 1 1 13.设 a ? cos 420? ,函数 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? f (log2 ) 的值等于 4 6 ?log a x, x ? 0,



? x ? 1, ? 14.实数 x, y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 4,则实数 a 的值为 ? x ? y ? 0, ?

. 15.已 知 lg a ? lg b ? 0 , 则 满 足 不 等 式 是 .
a b ? 2 ? ? 的实数 ? 的最小值 a ?1 b ?1
2

16.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 ,当 x ? (?1,4] , f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则函数 f ( x) 的在 . [0,2014 ] 上的零点个数是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知幂函数 f ( x) ? (m ?1)2 xm ?4m?2 在 (0, ??) 上单调递增,函数 g ( x) ? 2x ? k .
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(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)当 x ? [1, 2] 时,记 f ( x) , g ( x) 的值域分别为集合 A, B ,若 A ? B ? A ,求实数 k 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)
b. 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

1 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的单调递增区间;
? (Ⅱ) 求 f ( x) 在 ? ?0, 2 ? 上的最大值和最小值. ? ?

?

20.(本小题满分 12 分) 2 2 已知函数 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x (其中 a ? R ). ? ? (Ⅰ)若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值;
?1 ? (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? . ?2 ?

21.(本小题满分 12 分)
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a 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 2 ? ax .设 x1 ? ( ?? ,? ) ,记曲线 y ? f ( x) 在点 2

M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l , l 与 x 轴的交点是 N ( x2 ,0) , O 为坐标原点.
2 x1 (Ⅰ)证明: x2 ? ; 2x1 ? a

a 9a (Ⅱ)若对于任意的 x1 ? ( ?? ,? ) ,都有 OM ? ON ? 成立,求 a 的取值范围. 2 16

22.(本小题满分 12 分)
x2 ? a 3 ln( x ? a ? a 2 ) , a ? R 且 a ? 0 . 2 (Ⅰ)讨 论函数 f ( x) 的单调性;

已知函数 f ( x) ?

(Ⅱ)当 a ? 0 时,若 a2 ? a ? x1 ? x2 ? a2 ? a ,证明:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) a 2 ? ?a . x2 ? x1 2

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参考答案

1 3 1 ? b = cos x ? 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) . 18. (Ⅰ) f ( x) ? a· 2 2 2 6
?????4 分 当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

时,解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3



? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) 的单调递增区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? Z ) .

?????8 分

? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, (2 x ? ) ? [- , ],由标准函数 y ? sin x在[- , ]上的图像知, (Ⅱ) . 2 6 6 6 6 6
f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 . 2

? 所以,f (x) 在 ? ? 2 ? 上的最大值和最小值分别为 1, ?

? ?? 0,

?????12 分

19.解:(Ⅰ)命题 p 为真,即 f ( x) 的定义域是 R ,等价于 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立, 等价于 a ? ?1 或 ?
?a 2 ? 1 ? 0,
2 2 ?Δ ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0.

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解得 a ? ?1 或 a ? .∴实数 a 的取值范围为 (?? , ? 1] ? ( , ? ?)

5 3

5 3

?????4 分

命题 q 为真,即 f ( x) 的值域是 R , 等价于 u ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 的值域 ? (0 , ? ?) , 等价于 a ? 1 或

解得

.∴实数

的取值范围为

,

?????8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,

:

; :

.



,∴

是 的必要而不充分的条件

?????12 分

2 2 20. (Ⅰ)因为 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ?

2 2 2 2 2 ? x ? f ? ? x ? ? ?2ax ? ? a ? 1? ? e x ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? e ? ? ? ?

因为 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0? ? ae0 ? 0 ,解得 a ? 0 检验,当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? xex ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,故 a ? 0 . ?????4 分

1 2 ?1 ? ? (Ⅱ) 当 a ? 0 时,不等 式 f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? ? x ? 1? ? ? x ? x ? 1? , 2 ? ? ?2 ?

? ?1 ?? 整理得 ? x ? 1? ?e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? ? 0 , ?2 ?? ?

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? ? 即? x ?1 2 或? x ?1 2 ? ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1? ? 0 ?e ? ? 2 x ? x ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ?
?1 ? 令 g ? x ? ? e x ? ? x 2 ? x ? 1? , h ? x ? ? g? ? x ? ? ex ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? ex ?1 , ?2 ?

当 x ? 0 时, h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减,在 (0, ??) 单调递增,所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0 , 所以 g ? x ? 在 R 上单调递增,而 g ? 0? ? 0 ;
?1 ? ?1 ? 故 e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , 2 ? ? ?2 ?
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所以原 不等式的解集为 ? x x ? 0或x ? 1? . 21. Ⅰ)解:曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x1 ) 处的切线 l 的方程为

?????12 分(

y ? f ( x1 ) ? (2x1 ? a)(x ? x1 )
2 x1 令 y ? 0, 得 x2 ? 2x1 ? a

??? ??4

分 (Ⅱ) OM ? ON ? 设 f ( x) ? x 3 ?
9a 9ax 9 2 a ? x3 ? ? a ? 0 在 x ? (?? ,? ) 上恒成立 16 8 16 2

9ax 9 2 ? a , 8 16

9 f ' ( x) ? 3 x 2 ? a 8

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? ?

3a 3a ], f ' ( x) ? 0 , x ? (??,? 8 8 x ? (? 3a 1 ,? a), f ' ( x) ? 0 8 2

当x ?? 10 当 ? 20 当 ?

3a 时, f ( x) 取极大值 8

a 3a a a3 3 ,即 a ? 时, F ( x) max ? F (? ) ? ? ,满足题设要求; ?? 2 2 8 2 8 a 3a 3a 3 3a 3 9 2 3 ?? )? ( ) ? a , ,即 0 ? a ? , F ( x) max ? F (? 2 2 8 8 4 8 16
2 . 3 2 . 3

若 f ( x) max ? 0 ,解得 a ?

综上,实数 a 的取值范围 为 a ? 22.解: (1)由题, f ?( x) ? x ?
? ( x ? a )( x ? a 2 ) . x ? a ? a2

????12 分

a3 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? x ? a ? a2 x ? a ? a2

???????????????????2 分

令 f ?( x) ? 0 ,因为 x ? a ? a 2 ? 0 故 ( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0 . 当 a ? 0 时,因 a ? a 2 ? a 且 a ? a 2 ? a 2 所以上不等式的解为 (a ? a2 , ??) , 从而此时函数 f ( x) 在 (a ? a2 , ??) 上单调递增. ????????4 分

当 a ? 0 时,因 a ? a ? a 2 ? a 2 所以上不等式的解为 (a 2 , ??) ,
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从而此时函数 f ( x) 在 (a 2 , ??) 上单调递增. 同理此时 f ( x) 在 (a ? a 2 , a 2 ] 上单调递减. ???????????6 分
a2 ? a) , 2

(2) (方法一)要证原不等式成立,只须证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(
a2 a2 ? a) x2 ? f ( x1 ) ? ( ? a) x1 . 2 2 2 2 因为 a ? a ? x1 ? x2 ? a ? a 所以原不等式只须证明,

只须证明 f ( x2 ) ? (

a2 ? a) x 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a) 内单调递减. ?????8 分 2 3 2 a 4 a3 2 x ? a x ? ? ? a2 2 3 a a 2 2 2 由(1)知 h?( x) ? x ? ( ? a) ? , ? 2 2 2 x?a?a x?a?a 因为 x ? a ? a 2 ? 0 , 3 a 4 a3 a 2 ? a, a 2 ? a ? 我们考察函数 g ( x) ? x 2 ? a 2 x ? ? ? a 2 , x ? ? ? ?. 2 2 2 a2 ? a ? a2 ? a 3a 2 2 2 ? a 2 ? x对称轴 ? 因 ?? ?a ? a, a ? a ? ?, 2 4

函数 h( x) ? f ( x) ? (

所以 g ( x) ? g (a 2 ? a) ? 0 . 从而知 h?( x) ? 0 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a) 上恒成立, 所以函数 h( x) ? f ( x) ? ( 从而原命题成立

???????????10 分

a2 ? a) x 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a) 内单调递减. 2

?????????????????12 分
a2 ? a) , 2

(方法二)要证原不等式成立,只须证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(
a2 a2 只须证明 f ( x2 ) ? ( ? a) x2 ? f ( x1 ) ? ( ? a) x1 . 2 2 2 2 又 a ? a ? x1 ? x2 ? a ? a ,
? a2 ? 设 g ?x ? ? f ?x ? ? ? ? 2 ? a? ?x , ? ?

? a2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? g x ? f x ? ? a 则欲证原不等式只须证明函数 ? 2 ?x 在 x ? ? ? a ? a, a ? a ? ? 内单调递减 ? ? ??????8 分
? a2 ? ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g x ? f x ? ? a ? x ? ? ? a 由(1)可知 2 ? 2 ? ? 2 ? x ? a ? a ? ? ? ?

? x ? a ? a2 ?

? a2 ? a3 2 ? ? a ? a ? ? a? 2 ? ?. x?a?a ? 2 ?
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因为 a ? 0 ,所以 y ? x ? a ? a 2 ?

a3 在 ? a 2 ? a, a 2 ? a ? ? 上为增函数, x ? a ? a2 ?
? a2 ? a3 2 ? a ? a ? ? ?a? ? 0 . 2 2 a ?a?a?a ? 2 ?

所以 g ? ? x ? ? g ? ? a 2 ? a ? ? a 2 ? a ? a ? a 2 ?

从而知 g ??x ? ? 0 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a) 上恒成立,
? a2 ? 2 2 所以函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? 2 ? a? ? x 在 x ? (a ? a, a ? a) 内单调递减. ? ? 从而原命题成立. ???????12 分

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