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丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习(一)数学文试题及答案 Word版


丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习(一)
2016.3

高三数学(文科)
第一部分 (选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? ,集合 A ? ?2,3,5, 6? ,集合 B ? ?1,3, 4, 6, 7? ,则 集合 A ? (? U B) = (A) ?3, 6? (C) ?2,5, 6? (B) ?2,5? (D) ?2,3,5, 6,8?

2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (A) y ? x
3

(C) y ? tan x

1 x ? x( x ? 0), (D) y ? ? ? ? x( x ? 0).
(B) y ? ?

3.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每 场比赛得分的情况用茎叶图表示,如图,则甲、乙两名运动 员得分的中位数分别为 (A) 20、18 (B)13、19 (C)19、13 (D)18、20 4.已知直线 m, n 和平面 ? , m ? ? , n ∥ a ,那么“ n ? ? ”是“ m ∥ ? ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.已知双曲线的一个焦点 F,点 P 在双曲线的一条渐近线上,点 O 为双曲线的对称中心, 若△OFP 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 (A) 6 (B) 2 (C)2 (D) 3

6.已知等比数列{ an }中 a1 ? 1 ,且 (A)15 (B)31

a4 ? a5 ? a8 ? 8 ,那么 S5 的值是 a1 ? a2 ? a5
(C)63 (D)64

7.如图,已知三棱锥 P-ABC 的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90 ,侧面 PAB⊥底 面 ABC,AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是 (A) 2 3 , 2 2 ,2 (B)4,2, 2 2 (C) 2 3 ,2,2 (D) 2 3 ,2, 2 2
B A C
y
俯视图

O

z

P

x

主视图

侧视图

y

8.经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),用横轴表示产品数量 (因变量) .某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影 响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格 P1 低于均衡价格 P0 时,则需求量大于供 应量,价格会上升为 P2;当产品价格 P2 高于均衡价格 P0 时,则供应量大于需求量,价 格又会下降,价格如此继续波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格 P0.能正确表 示上述供求关系的图形是

(A)
单价 供应曲线 需求曲线
单价 需求曲线

(B)
供应曲线

P2

P2

P0 P1

P0 P1

O

数量

O

数量

(C)

(D)

第二部分 (非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

as i n B , 9. 在锐角△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a,b,c, 若b ? 2 则 ∠A=_____.
10.已知△ABC 中,AB=4,AC=3,∠CAB=90o,则 BA ? BC ? ___________. 11.已知圆 C : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 2 ,则圆 C 被动直线 l : kx 长__________. 12.已知 x ? 1 ,则函数 y ?

??? ? ??? ?

y + 2 - k = 0 所截得的弦

1 ? x 的最小值为________. x ?1

? y ? x, ? 13.已知 x , y 满足 ? y ? 2 x , 目标函数 z ? mx ? y 的最大值为 5,则 m 的值为 ? x ? y ? 3, ?
14.函数 f ( x) ? cos x ? 2 ? 2
x ?x



? b( b ? R) .

① 当 b=0 时,函数 f(x)的零点个数_______; ② 若函数 f(x)有两个不同的零点,则 b 的取值范围________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) =

3 sin x cos x + sin 2 x -

1 . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值. 16. (本小题共 13 分) 下图是根据某行业网站统计的某一年 1 月到 12 月 (共 12 个月) 的山地自行车销售量 (1k 代表 1000 辆)折线图,其中横轴代表月份,纵轴代表销售量,由折线图提供的数据回 答下列问题:
y 300k 250k 200k 150k 100k 50k O
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

π π 4 2

x

(Ⅰ)在一年中随机取一个月的销售量,估计销售量不足 200k 的概率; (Ⅱ)在一年中随机取连续两个月的销售量,估计这连续两个月销售量递增(如 2 月到 3 月递增)的概率; (Ⅲ)根据折线图,估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间(只写出结果,不要 过程) . 17. (本小题共 14 分) 已知在△ABC 中,∠B=90o,D,E 分别为边 BC,AC 的中点,将△CDE 沿 DE 翻折后, 使之成为四棱锥 C '? ABDE (如图) . (Ⅰ)求证:DE⊥平面 BC ' D ; (Ⅱ)设平面 C ' DE ? 平面 ABC ' ? l ,求证:AB∥l; (Ⅲ)若 C ' D ? BD , AB ? 2 , BD ? 3 ,F 为棱 BC ' 上一点,设 时,三棱锥 C '? ADF 的体积是 1?
C'

BF ? ? ,当 ? 为何值 FC '

A E C D B
D F
E

A

B

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

2x ?1 1 ,数列 ?an ? 满足: a1 ? 2,an ?1 ? f ( )(n ? N ? ) . x an

(Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求数列{ 19. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 } 的前 n 项和 Tn . Sn

m 2 x ? x ? ln x . 2

(Ⅰ)求曲线 C : y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在定义域内是单调函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)当 m ? ?1 时, (Ⅰ)中的直线 l 与曲线 C : y ? f ( x ) 有且只有一个公共点,求 m 的取 值范围. 20. (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(2,0) ,离心率 e ? ,斜率为 k (0 ? k ? 1) 2 2 a b

直线 l 过点 M(0,2) ,与椭圆 C 交于 G,H 两点(G 在 M,H 之间) ,与 x 轴交于点 B. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

?BPQ (Ⅱ) P 为 x 轴上不同于点 B 的一点, Q 为线段 GH 的中点, 设△HPG 的面积为 S1 ,
错误! 未找到引用源。 面积为 S2 , 求 的取值范围.
H B

S1 S2
G Q P

y M

O

A

x

丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习(一)


题号 答案 1 B 2 A

学(文科)参考答案
3 C 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
7 ? 10.16 11. 2 2 12.3 13. 14.0; b ? ?1 3 6 注:14 题第一空 2 分,第二空 3 分。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程。

9.

15. (本小题共 13 分) 解: f ( x) ?

3 1 ……………4 分 sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ? ? sin(2 x ? ) ……………6 分 6 2? ?? ; (Ⅰ) T ? ……………7 分 2 ? ? ? ? 5? (Ⅱ)因为 ? x ? ,所以 ? 2 x ? ? , ……………9 分 4 2 3 6 6 1 ? 即 ? sin(2 x ? ) ? 1 , ……………11 分 2 6 ? 由此得到: f ( x)max ? 1 ,此时 x ? ; ……………12 分 3 ? 1 f ( x) min ? ,此时 x ? . ……………13 分 2 2

16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设销售量不足 200k 为事件 A,这一年共有 12 个月, 其中 1 月,2 月,6 月,11 月共 4 个的销售量不足 200k,……………2 分

4 1 ……………4 分 ? . 12 3 (Ⅱ)设连续两个月销售量递增为事件 B,
所以 P( A) ? 在这一年中随机取连续两个月的销售量,有 1,2 月;2,3 月;3,4 月;4,5 月;5,6 月;6,7 月;7,8 月;8,9 月;9,10 月;10,11 月; 11,12 月共 11 种取法, 11,12 月共 7 种情况的销售量递增, ……………6 分 ……………8 分 ……………10 分 ……………13 分 其中 2,3 月,3,4 月;4,5 月; 6,7 月;7,8 月;8,9 月;

7 . 11 (Ⅲ)在 200k~250k 这两条水平线之间.
所以 P( B) ?

17. (本小题共 14 分) 证明: (Ⅰ)∵∠B=90o,D,E 分别为 BC,AC 的中点 ∴DE∥AB ∴ C ' D ? DE , BD ? DE 又∵ C ' D ? BD ? D ∴DE⊥平面 BC ' D ……………1 分 ……………3 分 ……………4 分 ……………5 分
C'

A E C D B
D F
E

A

B

(Ⅱ)∵DE∥AB, DE ? 面 C ' DE , AB ? 面 C ' DE , ∴AB∥面 C ' DE , 又∵AB ? 面 ABC ' ,面 ABC ' ? 面 C ' DE ? l ∴ AB∥ l (Ⅲ)∵ C ' D ? BD , C ' D ? DE , ED ? BD ? D , ∴ C ' D ⊥平面 BDE. ∵
S?C ' DF C ' F 1 ? ? ∴ S ?C ' DF ? S?BDF FB ?

……………7 分 ……………9 分 ……………10 分

1 S ? ? 1 ?BC ' D

………11 分

又因为 BD=3,AB=2, VC '? ADF ? 1 , ∴ VC '? ADF ? VA?C ' DF ? 解得 ? ? 2 . 18. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?

1 1 1 1 3 VA?C ' DB ? VC '? ADB ? C ' DS?ADB ? ?1 1? ? 1? ? 1? ? 3 1? ?

……13 分

……………14 分

2x ? 1 1 ?2? , x x 1 ∴ an ?1 ? f ( ) ? 2 ? an an

?????2 分

即 an?1 ? an ? 2 ,所以数列 {an } 是以首项为 2,公差为 2 的等差数列, ???4 分 ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n (Ⅱ)∵数列 {an } 是等差数列, ?????6 分

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(n ? 1) 2 2 1 1 1 1 ? ? ? ∴ Sn n(n ? 1) n n ? 1
∴ Sn ? ∴ Tn ?

?????8 分 ?????10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ???11 分 S1 S2 S3 Sn 1 2 2 3 3 4 n n ?1

?1?

1 n ? n ?1 n ?1

?????13 分

19. (本小题共 14 分)

1 解: (Ⅰ) f '( x) ? mx ? 1 ? , x ? 0 ?????1 分 x m m 因为 f (1) ? ? 1 ,所以切点为(1, ? 1 ) . 2 2 又 k ? f '(1) ? m ? 2 , ?????2 分 m m?2 所以切线 l : y ? ( ? 1) ? (m ? 2)( x ? 1) ,即 l : y ? (m ? 2) x ? . ???3 分 2 2 (Ⅱ)①当 m ? 0 时, f '( x) ? 0 ,
所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,符合题意.
2

?????5 分

1) 点, ②当 m ? 0 时,设 y ? mx ? x ? 1 ,该抛物线开口向上,且 ? ? 1 ? 4m ? 0 ,过 (0, ? 所以该抛物线与 x 轴相交,交点位于原点两侧, f ( x) 不单调,不符合题意,舍去. ?????6 分 综上 m ? 0 . ?????7 分 (Ⅲ)因为直线 l 与 C 有且只有一个公共点, m m?2 所以方程 x2 ? x ? ln x ? (m ? 2) x ? ?0, 2 2 m m?2 即 x2 ? (m ? 1) x ? ln x ? ?????8 分 ? 0 有且只有一个根. 2 2 m m?2 设 g ( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? ln x ? ,x ?0 , 2 2 1 mx2 ? (m ? 1) x ? 1 (mx ? 1)( x ? 1) 则 g '( x) ? mx ? (m ? 1) ? ? ,?????10 分 ? x x x ①当 m ? 0 时, 因为 x ? 0 ,所以 mx ? 1 ? 0 ,令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ; 令 g '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;

所以 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,在 (0,1) 上单调递减, 所以 g ( x)min ? g (1) ? 0 ,所以符合条件. ?????11 分 1 ②当 ?1 ? m ? 0 时,则 ? ? 1 m 1 令 g '( x) ? 0 ,解得 1 ? x ? ? ; m 1 令 g '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? ; m 1 1 所以 g ( x) 在 (1, ? ) 上单调递增,在 (0,1) , (? , ??) 上单调递减,???12 分 m m 2m ? 3 m 2m ? 3 2 2m ? 3 2m ? 3 m ? 2 g( )? ( ) ? (m ? 1)( ) ? ln( )? m 2 m m m 2 2 (2m ? 3) ? 2(m ? 1)(2m ? 3) 2m ? 3 m ? 2 2m ? 3 2m ? 3 m ? 2 ?? ? ln( )? ? ? ln( )? 2m m 2 2m m 2 2m ? 3 m?2 2m ? 3 2m ? 3 因为 ?1 ? m ? 0 , 所以 ? 又 所以 ln( ?0, ?0. ?1 , )?0, 2m 2 m m 2m ? 3 2m ? 3 即 ? ln( ) ? 0 ,所以 g ( ) ? 0. m m 1 所以 g ( x) 在 (1, ? ) 上有一个零点, 且 g (1) ? 0 ,所以 g ( x) 有两个零点, 不符合题意. m 综上 m ? 0 . ?????14 分

20. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2 , ????1 分

c 1 又 e ? ? ,所以 c ? 1 , ????2 分 a 2 即b ? 3 , ?????3 分
所以椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) , 直线 l : y ? kx ? 2 . ???5 分
? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得: ?1 ? ? 3 ?4
G H B Q P O A x

x2 y 2 ? ? 1 .???4 分 4 3
y M

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 ???6 分 ?16k 4 所以 x1 ? x2 ? , , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 12 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 3 ? 4k 2 8k 6 即 Q(? ?????7 分 , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 ∵ ? ? 16(12k 2 ? 3) ? 0, ? k 2 ? ,即 k ? . 4 2 1 因为 0 ? k ? 1 ,所以 ? k ? 1 . ?????8 分 2 S S | GH | 又 1 ? ?PGH ? , S2 S?PBQ | BQ |

6 1? k2 2 8k 2 ?6 2 ) ?( 2 ) ? 而 | BQ |? (? ? 2 , ??9 分 k 4k ? 3 4k ? 3 (4k 2 ? 3)k
| GH |? 1 ? k 2 4 12k 2 ? 3 , 4k 2 ? 3

?????10 分 ??11 分

S1 | GH | 2 3 ? ? 4k 4 ? k 2 , S 2 | BQ | 3

1 1 设 t ? k 2 ,( ? t ? 1) ? ? k2 ?1 4 4 S1 2 3 S ? 4t 2 ? t ,? 1 ? ? 0, 2? . S2 3 S2

?????13 分


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