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导数的几何意义学案及小卷子


§ 3.1.3 导数的几何意义(1)
主备人:朱亮 审核人:朱海英 编号:3 编写时间:2013.1.3

学习目标
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率,理解导数的概 念并会运用概念求导数.

学习过程
一、课前准备
(预习教材 P76~ P79,找出疑惑之处) 复习 1:曲线上向上 P( x1 , y1 ), P 1 ( x1 ? ?x, y1 ? ?y ) 的连线称为曲线的割线,斜率 k ?

?y ? ?x

复习 2:设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义当自变量在 x ? x0 附近改变 ?x 时,函数值也相 应地改变 ?y ? , 如果当 ?x 时, 平均变化率趋近于一个常数 l , 则数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. 记作:当 ?x 时, ?l

二、新课导学
※ 学习探究 探究任务:导数的几何意义 问题 1:当点 Pn ( x n , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) ,沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线的 变化趋势是什么?

新知:当割线 P Pn 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT,叫做 曲线 C 在点 P 处的切线 割线的斜率是: kn ? 当点 Pn 无限趋近于点 P 时, k n 无限趋近于切 线 PT 的 斜 率 . 因 此 , 函 数 f ( x) 在 x ? x0 处 的 导 数 就 是 切 线 PT 的 斜 率 k , 即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

1

函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率. 即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2

※ 典型例题
例 1 . 求双曲线 y ?

例 2.求证:曲线 y ? x ?

1 上任意一点处的切线的斜率小于 1. x

三、总结提升
※ 学习小结 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率.
即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

其切线方程为 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 已知曲线 y ? 2 x 2 上一点,则点 A(2,8) 处的切线斜率为( A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 2. 曲线 y ? 2 x2 ? 1 在点 P (?1,3) 处的切线方程为( ) A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 C. y ? 4 x ? 1 D. y ? 4 x ? 7 f ( x0 ? h) ? f ( x 0 ) 3. f ( x) 在 x ? x0 可导,则 lim ( ) h ?0 h A.与 x0 、 h 都有关 B.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0 、 h 都无关 )

4. 一条直线与一条曲线只有一个公共点是该直线与该曲线相切的 件。 f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 5. 已知函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数为 11,则 lim = ?x ?0 ?x
2



§ 3.1.3 导数的几何意义(2)
主备人:朱亮 审核人:朱海英 编号:4 编写时间:2013.1.3

学习目标:
1. 根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线的斜率和切线方程; 2. 会求导函数。

学习过程: 温故:求曲线 y ? x2 在 x ? 1 处的切线方程。

新课导学:
题型一.求切线方程 例1. 求曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 在点 P(1,2)处的切线方程
3

变式训练:将本例中的点 P(1,2)改为 Q(0,1),结果会怎样?

题型二.求切点坐标 2.已知抛物线 y ? 2 x ? 1 ,求
2

(1). 抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45 ? (2). 抛物线上哪一点的切线平行于直线 4 x ? y ? 2 ? 0? (3). 抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x ? 8 y ? 3 ? 0?

0

3

变式训练:若函数 y ? x 2 ? 2ax 与直线 y ? 2 x ? 4 相切,求 a 的值

题型三.导数几何意义的综合应用 例 3.设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9 x ?1(a ? 0) ,若曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与直线 12 x ? y ? 6 平行,求 a 的值.

变式训练:已知曲线 C: y ? x . (!).求在曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程; (2).第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?
3

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. (2006 全国高考) 过点 (-1,0) 作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线, 则其中一条切线为 (
2



A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 2.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 9 ,P 点的横坐标是 4,则

f (4) ? f ?(4) ? 。 . 1 1 3.函数 y ? 在 x ? 处的切线与两坐标轴所围成图形的面积是 x 2
4



导数的几何意义---------小卷子
主备人:朱亮 审核人:朱海英 编号:2 编写时间:2013.1.3

1. 设函数 y ? f ( x) 在某点处的导数值为 0,则函数 y ? f ( x) 的图像在该点处的切线 A. 垂直于 x 轴 B. 既不垂直于 x 轴也不垂直于 y 轴 B. 垂直于 y 轴 D. 不存在 ( )

2.若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0, f ( x0 )) 处的切线方程为 2 x -3 y +1=0,则 A.

(

)

f ?( x0 ) ? 0

B. f ?( x0 ) ? 0

C. f ?( x0 ) ? 0

D. f ?( x0 ) 不存在

3. 设函数 y ? f ( x) 在某点处的导数值为负,则函数 y ? f ( x) 的图像在该点处的切线的倾 斜角 A.大于 90
0

( B.小于 90
0

)

C.不超过 90

0

D .大于或等于 90

0

4.设曲线 y ? x2 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为 A. (3,9) B. (-3,9) C. (

(

)

3 9 , ) 2 4

D. ( ?

3 9 , ) 2 4
( )

5.若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点(0,b)处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 A.a=1,b=1
2

B.a=-1,b=1

C.a=1,b=-1

D. a=-1,b=-1 .

6.过曲线 y ? ? x ? x ? 1上的点(0,1)的切线方程为

7. 已知曲线 y ? x2 ? 4 与直线 y ? x ? 2 相交于点 P,求曲线在点 P 处的切线的方程。

8.已知曲线 y ? 2 x 上一点 A(1,2),求: (1)点 A 处的切线的斜率; (2)点 A 处的切线的 方程。
2

5

6

§ 3.2.1 几个常用函数导数
学习目标
1.掌握四个公式,理解公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P88~ P89,找出疑惑之处) 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此, 如果 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 复习 2:求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? ?y (2)求平均变化率 ? ?x
/ (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim
?x ?0

?y ?x

=

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数

新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态.
7

.

试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据 导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关?

※ 典型例题
例 1 求函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

变式: 求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

8

小结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:作差,求商,取极 限. 例 2 画出函数 y ? 线方程.

1 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切 x

变式 1:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

变式 2:求过曲线上点 (1,1) 且与过这点的切线垂直的直线方程.

小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的.

※ 动手试试
练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.

(理科用)练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 利 用 定 义 求 导 法 是 最 基 本 的 方 法 , 必 须 熟 记 求 导 的 三 个 步 骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不 同的. ※ 知识拓展 微积分的诞生具有划时代的意义, 是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位, 恩格斯是这样评价的: “在一切理论成就中,未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发 现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩,那正是在这里.”

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 2 2.已知 f ( x) ? x ,则 f ?(3) ? ( ) A.0 B.2 x C.6 D.9 ? 3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 的点为( ) 4 1 1 1 1 A. (0, 0) B. (2, 4) C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4 1 4. 过曲线 y ? 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 为 .

,在 t ? 4 时的速度

课后作业
1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) .

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2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500 克氡气, 那么 t 天后, t 氡气的剩余量为 A(t ) ? 500 ? 0.834 ,问氡气的散发速度是多少?

§ 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学习目标
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数; 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) 复习 1:常见函数的导数公式:

C ' ? 0 ;( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ;(cos x)' ? ? sin x ; (a x )? ? a x ln a(a ? 0) ;(e x )? ? e x ;
(log x)? ?
a

1 1 (a ? 0, 且 a ? 1) ; (ln x)? ? . x ln a x

复习 2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 1 1 (1) y ? x 6 (2) y ? x (3) y ? 2 (4) y ? 4 3 x x
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二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:两个函数的和(或差)积商的导数
新知: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x)
[ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
[ f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y ? x3 ? 2x ? 3 的导数.

※ 典型例题 例 1 假设某国家在 20 年期间的年均通贷膨胀率为 5%,物价 p (单位:元)与时间 t (单位:
年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p0 ? 1 , 那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?

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