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江苏省苏州市2016届高三上学期期末考试数学试题(WORD版)含附加题


苏州市 2016 届高三调研测试

数学Ⅰ试题
参考公式:样本数据 x1,x2,…,xn 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ( xi ? x )2 ,其中 x ? ? xi . ? n i ?1 n i ?1

2016.1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要

写出解答过程,请把答案直接填 在答题卡相应位置上 . ........ 1. 设全集 U={x | x≥2,x∈N},集合 A={x | x2≥5,x∈N},则 ?U A = ▲ . .

ai (a ? 0) ,其中 i 为虚数单位, | z | = 5 ,则 a 的值为 1 ? 2i x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ▲ . 3. 双曲线 4 5
2. 复数 z ? 4. 若一组样本数据 9,8,x,10,11 的平均数为 10,则该组样本数据



开始

x←1 , y←1 的方差为 ▲ . ▲ . . z←x+y z<6 Y x← y y← z
(第 6 题图)

5. 已知向量 a=(1,2),b=(x,-2),且 a⊥(a-b),则实数 x= 6. 阅读算法流程图,运行相应的程序,输出的结果为
x ? x≤0, ?2 , 7. 函数 f ( x) ? ? 2 的值域为 ? ?? x ? 1, x ? 0



N
输出





y x

结束

8. 连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6), 则事件 “两次向上的数字之和等于 7”发生的概率为 ▲ .

9. 将半径为 5 的圆分割成面积之比为 1: 2 : 3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥的底 面半径依次为 r1 , r2 , r3 ,则 r1 ? r2 ? r3 = ▲ .

10.已知 ? 是第三象限角,且 sin ? ? 2cos? ? ? ,则 sin ? ? cos ? =

2 5





11.已知 {an } 是等差数列, a5=15, a10=-10, 记数列 {an } 的第 n 项到第 n+5 项的和为 Tn, 则 Tn 取 得最小值时的 n 的值为 ▲ .

12.若直线 l1 : y ? x ? a 和直线 l2 : y ? x ? b 将圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 分成长度相等的四段弧,则

a 2 ? b2 =





13.已知函数 f(x)= | sin x | -kx (x≥0,k∈R)有且只有三个零点,设此三个零点中的最大值为 x 0 ,则
x0 = (1 ? x )sin 2 x0
2 0





14.已知 ab ?

1 4

, a, b ? (0,1) ,则

1 1? a

?

2 1? b

的最小值为





二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 (1)求角 C 的大小; (2)若 ?ABC 的面积为 2 3 , a ? b ? 6 ,求边 c 的长.
a cos B +b cos A c ? 2cos C .

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E,F 分别是 AB,BC 的中点,A1C1 与 B1D1 交于点 O. (1)求证:A1,C1,F,E 四点共面; (2)若底面 ABCD 是菱形,且 OD ? A1E,求证: OD ? 平面 A1C1FE.

17.(本小题满分 14 分)

图 1 是一段半圆柱形水渠的直观图,其横断面如图 2 所示,其中 C 为半圆弧 ? ACB 的中点,渠宽 AB 为 2 米. (1)当渠中水深 CD 为 0.4 米时,求水面的宽度; (2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠,且使渠的底面与地面平行, 则当改挖后的水渠底宽为多少时,所挖出的土量最少?

18.(本小题满分 16 分) x2 如图,已知椭圆 O: +y2=1 的右焦点为 F,点 B,C 分别是椭圆 O 的上、下顶点,点 P 是直 4 线 l:y=-2 上的一个动点(与 y 轴交点除外),直线 PC 交椭圆于另一点 M. (1)当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时,求△FBM 的面积; (2)①记直线 BM,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1· k2 为定值; ??? ? ???? ? ②求 PB ? PM 的取值范围.

19.(本小题满分 16 分)

已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

1 , an?1 ? an ? p ? 3n?1 ? nq , n ? N* , p, q ? R . 2

(1)若 q ? 0 ,且数列 ?an ? 为等比数列,求 p 的值; (2)若 p ? 1 ,且 a 4 为数列 ?an ? 的最小项,求 q 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x (2 x ? 1) ? ax ? a (a∈R), e 为自然对数的底数. (1) 当 a=1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) ①若存在实数 x ,满足 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; ②若有且只有唯一整数 x 0 ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

数学 II(附加题)
21. 【选做题】 A.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABDC 内接于圆.BD=CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点。 (1)求证:∠EAC=2∠DCE (2)若 BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长。

B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? =3 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将点 ?1?
(-1,2)变换成(9,15) ,求矩阵 M.

C.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

?x ? t ? 在直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C1 的参数方程是 ? ,在以坐标原点 O 为极点,x 3t (t 为参数) y ? ? 3 ?
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程是 ? =2,求曲线 C1 与 C2 的交点在直角坐 标系中的直角坐标。

D.[选修 4—5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? x ?

1 ? | x ? a | (a ? 0) 。 a

(1)证明: f ( x) ? 2 ; (2)若 f (3) ? 5 ,求实数 a 的取值范围。

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22、(本小题满分 10 分) 一位网民在网上光顾某网店, 经过一番浏览后, 对该店铺中的 A, B, C 三种商品有购买意向. 已 知该网民购买 A 种商品的概率均为

3 2 1 ,购买 B 种商品的概率均为 ,购买 E 种商品的概率为 4 3 2

.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. (1)求该网民至少购买 2 种商品的概率; (2)用随机变量η 表示该网民购买商品的种数,求η 的概率分布和数学期望.

23、(本小题满分 10 分) 如图,由若干个小正方形组成的 k 层三角形图阵,第一层有 1 个小正方形,第二层有 2 个小正 方形,依此类推,第 k 层有 k 个小正方形,除去最底下的一层,每个小正方形都放置在这一下层的 两个小正方形之上,现对第 k 层的每个小正形用数字进行标注,从左到右依次记为 x1 , x2 ,? ? ?xk , 其中 中 xi ??0,1 依此规律, ? (1 ? i ? k ) 其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和, 记第一层的小正方形标注的数字为 x0 。 (1)当 k=4 时,若要求 x0 为 2 的倍数,则有多少种不同的标注方法? (2)当 k=11 时,若要求 x0 为 3 的倍数,则有多少种不同的标注方法?

苏州市 2016 届高三调研测试
数学Ⅰ试题
2016.1

参考答案与评分标准
一、填空题 1. {2} 8. 2.-5 9.5 10. ? 3.

3 2

4.2 11.5 或 6

5.9 12.18

6.

5 3 1 2

7. (??,1] 14. 4 ?

1 6

31 25

13.

4 2 3

二、解答题 15.解:(1)由余弦定理知 a cos B + b cos A ? a ?

a 2 ? c2 ? b2 b 2 ? c 2 ? a 2 2c 2 ?b? ? ? c ,?3 分 2ac 2bc 2c

a c o sB + b c o sA 1 ? 1 ,? cos C ? , c 2 ? 又 C ? ? 0, ? ? , C ? . 3 ?
1 (2)? S? ABC ? ab sin C ? 2 3 ,? ab ? 8 , 2

?????????????5 分 ?????????7 分 ?????????10 分
2

又? a ? b ? 6 ,?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? ? a ? b? ? 3ab ? 12 ,

???????13 分

?????????????14 分 ?c ? 2 3 . 16.解:(1)连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF 是△ ABC 的中位线, 所以 EF∥AC.
?

?????????2 分

D1 O A1 D F A E
(第 16 题图)

由直棱柱知 AA1 ? CC1,所以四边形 AA1C1C 为 平行四边形,所以 AC∥A1C1. ??????5 分 所以 EF∥A1C1, 故 A1,C1,F,E 四点共面.?????7 分 ( 2 ) 连 接 BD , 因 为 直 棱 柱 中 DD1 ? 平 面 , A1C1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , A1 B1 C1 D1 所以 DD1 ? A1C1 . ?????????9 分

C1

B1 C

B

因为底面 A1B1C1D1 是菱形,所以 A1C1 ? B1 D1 . 又 DD1 ? B1 D1 =D1 ,所以 A1C1 ? 平面 BB1 D1 D . 因为 OD ? 平面 BB1 D1 D ,所以 OD ? A1C1 . 又 OD ? A1E, A1C1 ? A1 E ? A1 , A1C1 ? 平面 A1C1FE, A1E ? 平面 A1C1FE, 所以 OD ? 平面 A1C1FE. ?????????14 分 ?????????11 分

17.解:(1)以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系 xOy, 因为 AB=2 米,所以半圆的半径为 1 米, 则半圆的方程为 x2 ? y 2 ? 1(?1≤ x≤1, y ≤0) . 因为水深 CD=0.4 米,所以 OD=0.6 米, 在 Rt△ODM 中, DM ? OM 2 ? OD2 ? 1 ? 0.62 ? 0.8 (米). ?????????5 分 所以 MN=2DM=1.6 米,故沟中水面宽为 1.6 米. (2)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与半 圆相切,设切点为 P(cos? ,sin ? )(? ?????????6 分 ?????????3 分

? ? ? ? 0) 是圆弧 BC 2
A O D C

y B M P F E x N

上的一点,过 P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形 OCFE , 得 切 线 EF 的 方 程 为 x cos? ? y sin ? ? 1 . ????????8 分 令 y=0, 得 E(

1

o s c ?

0 ) ,

, 令 y=-1, 得 F(

1n ? i s ? ,) 1? . o s c ?

设 直 角 梯 形 OCFE 的 面 积 为 S , 则 S ? ( C F? O E )? (?

? ????????10 分 ? ? ? 0 ). 2 cos? cos? ? (2 ? sin ? )(? sin ? ) 1 ? 2sin ? ? ,令 S ? ? 0 ,解得 ? ? ? , S? ? ? 2 2 cos ? cos ? 6 ? ? 当 ? ? ? ? ? 时, S ? ? 0 ,函数单调递减; 2 6 ? 当 ? ? ? ? 0 时, S ? ? 0 ,函数单调递增. ?????????12 分 6 ? 所以 ? ? ? 时,面积 S 取得最小值,最小值为 3 . 6 ? 1 ? sin(? ) 6 ? 3 ,即当渠底宽为 2 3 米时,所挖的土最少. ?????14 分 此时 CF ? ? 3 3 cos(? ) 6 18.解: (1)由题意 B(0,1), C (0, ?1) ,焦点 F ( 3,0) ,当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时,则直线 PM
的方程为

1 1? s i? n ? 2 s ?i n O? C( ? ? ) ? 1 cos ? co ?s c ?o s

x y 3 ? ? 1 ,即 y ? x ?1 , 3 3 ?1

? x2 ? 8 3 ? y 2 ? 1, x? , ? ? 8 3 1 ? x ? 0, ?4 ? 7 , ) . ??????2 分 联立, ? 解得 ? 或? (舍),即 M ( 7 7 ? y ? ?1 ? y ? 3 x ? 1, ? y ? 1, ? ? 3 ? 7 ? x y ? ? 1 ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 , 连 BF,则直线 BF: 1 3

8 3 1 2 3 ? 3? ? 3| 3 7 而 BF ? a ? 2 , d ? 7 . ? 7 ? 2 7 12 ? ( 3)2 |
故 S? MBF ?

?????????4 分

1 1 3 3 ? BF ? d ? ? 2 ? ? . 2 2 7 7

?????????5 分

(2)解法一:①设 P(m, ?2) ,且 m ? 0 ,则直线 PM 的斜率为 k ? 则直线 PM 的方程为 y ? ?

?1 ? (?2) 1 ?? , 0?m m

1 x ?1 , m

1 ? y ? ? x ? 1, ? 8m 4 ? m 2 4 8 ? m , ) , ???8 分 联立 ? 2 化简得 (1 ? 2 ) x2 ? x ? 0 ,解得 M ( ? 2 m ? 4 m2 ? 4 m m ? x ? y 2 ? 1, ? ?4 4 ? m2 ?1 2 ?2m 2 1 1 ? (?2) 3 ? ? m , k2 ? 所以 k1 ? m ? 4 ?? , 8m ?8m 4 0?m m ? 2 m ?4 3 1 3 所以 k1 ? k2 ? ? ? m ? ? 为定值. ???????10 分 m 4 4 ???? ? ??? ? 8m 4 ? m2 ? m3 ? 12m m 2 ? 12 ? m, 2 ? 2) ? ( , 2 ), ② 由①知, PB ? (?m,3) , PM ? (? 2 m ?4 m ?4 m2 ? 4 m ?4

??? ? ???? ? m3 ? 12m m 2 ? 12 m 4 ? 15m 2 ? 36 , ) ? 所以 PB ? PM ? (? m,3) ? (? , ???????13 分 m2 ? 4 m2 ? 4 m2 ? 4 ??? ? ???? ? (t ? 4) 2 ? 15(t ? 4) ? 36 t 2 ? 7t ? 8 8 ? ?t? ?7, 令 m 2 ? 4 ? t ? 4 ,故 PB ? PM ? t t t

8 t ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 8 8 所以 PB ? PM ? t ? ? 7 ? 4 ? ? 7 ? 9 ,即 PB ? PM 的取值范围为 (9, ??) .???16 分 t 4 y ?1 解法二:①设点 M ( x0 , y0 ) ? x0 ? 0? ,则直线 PM 的方程为 y ? 0 x ?1, x0 x 令 y ? ?2 ,得 P (? 0 , ?2) . ???????7 分 y0 ? 1
因为 y ? t ? ? 7 在 t ? (4, ??) 上单调递增, 所以 k1 ?

2 2 y0 ? 1 3 ? y0 ? 1? 3 ? y0 ? 1? 3 ? y0 ? 1? 3 ? ? ? ? ? (定值). ???????10 分 所以 k1k2 ? 2 2 x0 x0 x0 4 4 ?1 ? y0 ? ??? ? ???? ? x x ②由①知, PB ? ( 0 ,3) , PM ? ( x0 ? 0 , y0 ? 2) , y0 ? 1 y0 ? 1 ??? ? ???? ? x2 ? y ? 2? x ? x ? 所以 PB ? PM ? 0 ? x0 ? 0 ? ? 3? y0 ? 2 ? ? 0 0 2 ? 3? y0 ? 2 ? y0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? y0 ? 1?

y0 ? 1 ?2 ? 1 3 ? y0 ? 1? ? , k2 ? , x x0 x0 ? 0 y0 ? 1

=

2 4 ?1 ? y0 ? ? y0 ? 2 ?

? y0 ? 1?

2

? 3 ? y0 ? 2 ? ?

? 7 ? y0 ?? y0 ? 2 ?
y0 ? 1



???????13 分

??? ? ???? ? ? 8 ? t ?? t ? 1? 8 ? ?t ? ? 7 , 令 t ? y0 ? 1? ? 0,2? ,则 PB ? PM ? t t

8 ? 7 在 t ? (0, 2) 上单调递减, t ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 8 8 所以 PB ? PM ? ?t ? ? 7 ? ?2 ? ? 7 ? 9 ,即 PB ? PM 的取值范围为 (9, ??) . ??16 分 t 2
因为 y ? ?t ? 19.解:(1) q ? 0 , an?1 ? an ? p ? 3n?1 ,∴ a2 ? a1 ? p ?
?1 由数列 ?an ? 为等比数列,得 ? ? ?2 1 当 p ? 0 时, an?1 ? an ,∴ an ? 2
2

1 1 ? p , a3 ? a2 ? 3 p ? ? 4 p , 2 2

1?1 ? ? p ? ? ? ? 4 p ? ,解得 p ? 0 或 p ? 1 . ??????3 分 2? 2 ? ?

符合题意;

?????????4 分

当 p ? 1 时, an?1 ? an ? 3n?1 , ∴ an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? = ∴
a n ?1 ? 3 符合题意. an

1 1 1 ? 3n?1 1 n?1 ? ?1 ? 3 ? ? ? 3n?2 ? ? ? ? ?3 , 2 2 1? 3 2
?????????6 分

(2)法一:若 p ? 1 , an?1 ? an ? 3n?1 ? nq , ∴ an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ?

1 1 n?1 ? ?1 ? 3 ? ? ? 3n?2 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1?? q= ? 3 ? n ? n ? 1? q ? ? ? ? . ??????8 分 2 2? 1 n?1 1 ∵数列 ?an ? 的最小项为 a 4 ,∴对 ?n ? N* ,有 ? 3 ? n ? n ? 1? q ? ? ≥ a4 ? 2 ? 27 ? 12q ? 恒成立, 2?
= 即 3n?1 ? 27 ≥ n2 ? n ? 12 q 对 ?n ? N* 恒成立.

?

?

?????????10 分

13 ; 6 12 当 n ? 2 时,有 ?24 ≥ ?10q ,∴ q ≥ ; 5 当 n ? 3 时,有 ?18 ≥ ?6q ,∴ q ≥ 3 ; 当 n ? 4 时,有 0 ≥ 0 ,∴ q ? R ;
当 n ? 1 时,有 ?26 ≥ ?12q ,∴ q ≥ 当 n ≥ 5 时, n2 ? n ? 12 ? 0 ,所以有 q ≤
n ?1

?????????12 分

3 ? 27 恒成立, n2 ? n ? 12 2 ? n2 ? 2n ? 12 ? 3n ?1 ? 54n 3n?1 ? 27 令 cn ? 2 ? 0, ? n ≥ 5, n ? N *? ,则 cn?1 ? cn ? n ? n ? 12 ? n2 ? 16?? n2 ? 9?
即数列 ?cn ? 为递增数列,∴ q ≤ c5 ? 综上所述, 3 ≤ q ≤

27 . 4

?????????15 分 ?????????16 分

27 . 4 法二:因为 p ? 1 , an?1 ? an ? 3n?1 ? nq ,

?a4 ? a3 ≤0, ?9 ? 3q ≤0, 又 a4 为数列 ?an ? 的最小项,所以 ? 即? ?a5 ? a4 ≥ 0, ?27 ? 4q ≥ 0,

27 . ??????????????????????8 分 4 此时 a2 ? a1 ? 1 ? q ? 0 , a3 ? a2 ? 3 ? 2q ? 0 , 所以 a1 ? a2 ? a3 ≥ a4 . ??????????????????????10 分 27 当 n ≥ 4 时,令 bn ? an ?1 ? an , bn?1 ? bn ? 2 ? 3n?1 ? q ≥ 2 ? 34?1 ? ? 0, 4 所以 bn?1 ? bn ,所以 0 ≤b4 ? b5 ? b6 ? ? , 即 a4 ≤a5 ? a6 ? a7 ? ?. ??????????????????????14 分 27 综上所述,当 3 ≤q ≤ 时, a4 为数列 ?an ? 的最小项, 4 27 即所求 q 的取值范围为 [3, ] . ??????????????????????16 分 4 20.解:(1)当 a=1 时, f ? x ? ? e x ? 2x ? 1? ? x ? 1 , f ' ? x ? ? e x ? 2x ? 1? ? 1 , ?????1 分
所以 3 ≤q ≤ 由于 f '(0) ? 0 , 当 x ? (0, ??) 时, e x ? 1, 2 x ? 1 ? 1 ,∴ f '( x) ? 0 , 当 x ? (??,0) 时, 0 < e x ? 1, 2 x ? 1 ? 1 ,∴ f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在区间 (??,0) 上单调递减,在区间 (0, ??) 上单调递增. (2)①由 f ( x) ? 0 得 e
x

???????4 分

? 2x ?1? ? a ? x ?1? .

当 x ? 1 时,不等式显然不成立;

当 x ? 1 时, a ? 记 g ( x) =

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

;当 x ? 1 时, a ?

e x ? 2 x ? 1?

x ?1
2

.

???????6 分

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

, g '( x) ?

e x ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? e x ? 2 x ? 1?

? x ? 1?
3

?

e x 2 x 2 ? 3x

?

? x ? 1?

2

?,

3 ? ? 3? ∴ g ( x) 在区间 ? ?? , 0? 和 ? ? , ?? ? 上为增函数, ? 0,1? 和 ? 1, ? 上为减函数. ?2 ? ? 2?

?3? 2 ? ? 4e ,当 x ? 1 时, a ? g ? 0? ? 1 . ????????8 分 ?2? ? 3 ? ?? ,1 U 综上所述,所有 a 的取值范围为 ? ?????????9 分 ? ? 4e 2 , ?? ? . ? ?
∴ 当 x ? 1 时, a ? g ? ②由①知 a ?1 时, x0 ? (??,1) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a , 又 g ( x) 在区间 ? ?? , 0? 上单调递增,在 ? 0,1? 上单调递减,且 g ? 0? ? 1 ? a , ∴ g ? ?1? ≤ a ,即 a ≥
3

3 3 ,∴ ≤ a ? 1 . 2e 2e

?????????12 分

当 a ? 4e 2 时, x0 ? (1, ??) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a ,
3 ?3? ? 3? ?3 ? 又 g ( x) 在区间 ? 1 , ? 上单调递减,在 ? , ?? ? 上单调递增,且 g ? ? ? 4e 2 ? a , ? 2? ?2 ? ?2? ? ? g ? 2? ? a 5e3 ∴? ,解得 3e2 ? a ≤ . ?????????15 分 2 ? ? g ? 3? ≥ a

综上所述,所有 a 的取值范围为 [

? 3 5e3 ? ,1) ? ? 3e2 , ?. 2e 2 ? ?

?????????16 分

苏州市 2016 届高三调研测试
数学Ⅱ试题
2016.1

参考答案与评分标准
一、选做题 21. A .(1)证明:因为 BD=CD,所以∠BCD=∠CBD. 因为 CE 是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD. 所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD. 因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD. (2)解:因为 BD⊥AB,所以 AC⊥CD,AC=AB. ?????????????5 分 ?????????????6 分 ?????????7 分 ?????????????2 分

因为 BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以 AC=EC. 由切割线定理得 EC2=AE ? BE,即 AB2=AE ? ( AE-AB), 即 AB2+2 AB-4=0,解得 AB= 5 ? 1 .

?????????????10 分

?a + b ? 3, ?a b ? ? a b ? ?1? ?1? ?3? ???????3 分 B .解:设 M ? ? ? ,则 ? c d ? ?1? ? 3 ?1? ? ?3? ,故 ? c d ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?c + d ? 3 . ??a + 2b ? 9, ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ?????????????6 分 ? c d ? ? 2 ? ? ?15? ,故 ? ? ?? ? ? ? ??c + 2d ? 15 . ? ?1 4 ? 联立以上两方程组解得 a ? ?1, b ? 4, c ? ?3, d ? 6 ,故 M = ? ?. ? ?3 6 ? x= t, ? ? 3 C .解:由? 3t 消去 t 得曲线 C1 的普通方程 y= 3 x(x≥0); ? ?y= 3 ,
???????10 分

???????3 分

由 ρ=2,得 ρ2=4,得曲线 C2 的直角坐标方程是 x2+y2=4. ??????????6 分 ? ?y= 3x(x≥0), ?x= 3, 3 联立? 解得? ?y=1. ? ?x2+y2=4, 故曲线 C1 与 C2 的交点坐标为( 3,1). ??????????10 分 1 1 ? ? ? 1 D .(1)证明:由 a>0,有 f(x)=? ?x+a?+|x-a|≥?x+a-(x-a)?=a+a≥2, 所以 f(x)≥2. 1 3+ ?+|3-a|. (2)解:f(3)=? ? a? 5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+ ,由 f(3)<5 得 3<a< . a 2 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5 得 <a≤3. a 2 ?1+ 5 5+ 21?. 综上,a 的取值范围是? ? ? 2 , 2 ? ??????????4 分

??????????6 分 ??????????8 分 ??????????10 分

3 2 1 1 22.解:(1)记“该网民购买 i 种商品”为事件 Ai , i ? 2,3 ,则: P( A3 ) ? ? ? ? , 4 3 2 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 11 , ?????????3 分 P( A2 ) ? ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 1 11 17 所以该网民至少购买 2 种商品的概率为 P( A3 ) ? P( A2 ) ? ? . ? 4 24 24 17 答:该网民至少购买 2 种商品的概率为 . ??????????5 分 24 (2)随机变量 h 的可能取值为 0,1, 2,3 , 3 2 1 1 , P(h ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 3 2 24 11 1 1 11 1 1 又 P(h ? 2) ? P( A2 ) ? , P(h ? 3) ? P( A3 ) ? , 所以 P(h ? 1) ? 1 ? ? ? ? . 24 4 24 24 4 4 所以随机变量 h 的概率分布为:

h P

0 1 24

1 1 4

2 11 24

3 1 4 ??????????8 分 ??????????10 分

1 1 11 1 23 故数学期望 Eh ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 24 4 24 4 12

23.解:(1)当 k=4 时,第 4 层标注数字依次为 x1 , x2 , x3 , x4 ,第 3 层标注数字依次为 x1 ? x2 ,

x2 ? x3 , x3 ? x4 ,第 2 层标注数字依次为 x1 ? 2 x2 ? x3 , x2 ? 2 x3 ? x4 ,
所以 x 0 = x1 ? 3x2 ? 3x3 ? x4 . ??????????2 分

因为 x 0 为 2 的倍数,所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 是 2 的倍数,则 x1 , x2 , x3 , x4 四个都取 0 或两个取 0 两
2 个取 1 或四个都取 1,所以共有 1+ C4 +1=8 种标注方法.

??????????4 分

(2)当 k=11 时,第 11 层标注数字依次为 x1 , x2 ,?, x11 ,第 10 层标注数字依次为 x1 ? x2 ,

x2 ? x3 ,?, x10 ? x11 ,第 9 层标注数字依次为 x1 ? 2 x2 ? x3 , x2 ? 2 x3 ? x4 ,?, x9 ? 2 x10 ? x11 ,以此类推,
1 2 9 可得 x 0 = x1 ? C10 x2 ? C10 x3 ? ? ? C10 x10 ? x11 .

??????????6 分

7 6 因 为 C12 0? C81 0 3 的倍数,所以只要 ?4 5 , C 3 1? ?01 2 0C ,4 ? 05 , ? 1均 252 0 C 1 1 0C ?1 02 1 C 0 为 1 9 x1 ? C10 x2 ? C10 x10 ? x11 是 3 的倍数,即只要 x1 ? x2 ? x10 ? x11 是 3 的倍数.

??????8 分

所以 x1 , x2 , x10 , x11 四个都取 0 或三个取 1 一个取 0,而其余七个 x3 , x4 ,?, x9 可以取 0 或 1,这样
3 共有(1+ C4 ) ? 2 7 =640 种标注方法.

??????????10 分


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