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3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离


3.3.3《点到直线的距离》

3.3.4《两平行线间的距离》

复习引入
两点间的距离公式是什么? 已知点 P ,P2 ?x2 , y2 ? ,则 1 ?x1 , y1 ?

P 1P 2 ?

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

y

P2

N2

M2
Q

O

M1
N1 P1

x

引入新课
已知点 P ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, 0 ?x0 , y0 ?

如何求点 P 到直线 的距离? l 0
点P 到直线 l 的距离,是指从点 P 到直线 l 的 0 0

垂线段 P 的长度,其中 Q是垂足. 0Q y l
Q

P 0
O x

点到直线的距离
试一试,你能求出 y 吗? P 0Q

l
Q

P 0
O x

点到直线的距离
思路一:直接法 y
Q
思路简单 运算繁琐 直线 l 的方程
直线 l 的斜率

O

P 0

l
x

l ? P0Q
点P 的坐标 0 直线P 的斜率 0Q

直线 l 的方程
交点

直线P 的方程 0Q

点P 的坐标 0 点P 、Q 之间的距离
0

点Q 的坐标

两点间距离公式

P0Q (P 到 l 的距离) 0

点到直线的距离
回忆建立两点间的距离公式的过程. 首先求出两条与坐标轴平行的线段的长度,然后 利用勾股定理求出这两点间的距离(斜边长). y

P2

N2

M2
Q

O

M1
N1 P1

x

点到直线的距离
思路二:间接法
求出点 R 的坐标 求出点 S 的坐标

求出 | P0 R |

y
求出 | P0 S |

S

Q
利用勾股定理求出 | RS |
R

P 0
面积法求出 | P0Q |

l
x

O

点到直线的距离
点P 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离: 0 ?x0 , y0 ?
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

y

l
Q

P 0
O x

典型例题
例1 求点 P , 2?到直线 l : 3 x ? 2的距离. 0 ?? 1

解: d ?

3 ? ?? 1? ? 2 32 ? 02

5 ? 3

思考:还有其他解法吗?

点到直线的距离:
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

练习2

1.求点A(-2,3)到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点B(1,0)到直线 3x ? y ? 3 ? 0的距离 . 3.求点C(1,-2)到直线4x+3y=0的距离.

4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离.
5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值.

例题分析
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 积
解 : 如图, 设AB边上的高为h, 则 1 S?ABC ? | AB | ?h 2
| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2

的 ?ABC 面 y
A
h O

AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为 y - 3 x ?1 ? 即x ? y ? 4 ? 0 1- 3 3 ?1
? h? | ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1
2 2

B

x

5 ? 2

因此, S ?ABC

1 5 ? ?2 2 ? ?5 2 2

两条平行直线间的距离:
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 y l1 的公垂线段的长. P 两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与 Q o x

l2

l2:Ax+By+C2=0
的距离是

d?

C1 - C2 A ?B
2 2

练习3

1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______

2.两平行线3x+4y=10和3x+4y=0的距离是____.

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值.
2 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 2

的直线方程 .

3、求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称 的直线方程.

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2


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