当前位置:首页 >> 数学 >>

2015高考数学(理)一轮课件:9-1直线的方程


第1讲

直线的方程

知识梳理

1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直 线,把x轴所在的直线绕着交点按 逆时针 方向旋转到和直线 重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线l与

x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 .
②倾斜角的范围为 [0,π) .

(2)直线的斜率
①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜 率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率 不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k



y2-y1 x2-x1

.

2.直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b
y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y a+b=1

适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于坐标轴的直线 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线

一般式

Ax+By+C=0(A、B不 所有直线都适用 能同时为0)

3.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 y-y1 x-x1 = (1)若x1≠x2,且y1≠y2时,方程为 . y2-y1 x2-x1 (2)若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为 x=x1 .
(3)若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为 y=y1 .

4.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),线段 P1P2 的中 ? ?x=x1+x2, 2 ? 点 M 的坐标为(x,y),则? ? y1+y2 y= 2 , ? ? 的中点坐标公式.

此公式为线段 P1P2

辨析感悟
1.对直线的倾斜角与斜率的理解 (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. (×) (2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×) (3)(教材习题改编)若三点A(2,3),B(a,1),C(0,2)共线,则a的 值为-2. (√)

2.对直线的方程的认识
(4) 经过点 P(x0 , y0) 的直线都可以用方程 y - y0 = k(x - x0) 表 示. (×) (5) 经过任意两个不同的点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 的直线都可 以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. 程为x+y-3=0. (√) (6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方 (×)

[感悟·提升] 1 .直线的倾斜角与斜率的关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜角

α≠90°时,k=tan α.直线都有斜倾角,但并不是每条直线都
存在斜率,倾斜角为90°的直线无斜率,如(1). 2.三个防范 如(2); 二是求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对 一是根据斜率求倾斜角,要注意倾斜角的范围,

斜率存在与不存在加以讨论,如(4);
三是在用截距式时,应先判断截距是否为 0 ,若不确定,则 需分类讨论,如(6).

考点一 直线的倾斜角和斜率

【 例 1】 (1) 直 线 xsin α + y + 2 = 0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是
________. (2)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的 中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为________.

解析

(1)设直线的倾斜角为 θ,则有 tan θ=-sin α,其中 sin α

π 3π ∈[-1,1],又 θ∈[0,π),所以 0≤θ≤4或 4 ≤θ<π. (2)依题意,设点
? ?a+7=2, P(a,1),Q(7,b),则有? ? ?b+1=-2,

解得 a=

-3-1 1 -5,b=-3,从而可知直线 l 的斜率为 =-3. 7+5

答案

? ? π? ?3π (1)?0,4?∪? 4 ,π? ? ? ? ?

1 (2)-3

规律方法 直线倾斜角的范围是 [0,π),而这个区间不是正切函
? π? 数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分?0,2?与 ? ? ?π ? ? ,π?两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当 ?2 ? ? π? α∈?0,2?时, ? ?

?π ? π 斜率 k∈[0,+∞);当 α=2时,斜率不存在;当 α∈?2,π?时, ? ?

斜率 k∈(-∞,0).

【训练1】 经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),

B(2,1)的线段总有公共点,求直线l的倾斜角α的范围.
解 法一

如图所示, -2-?-1? kPA= =-1, 1-0 1-?-1? kPB= =1, 2-0 由图可观察出:直线 l 倾斜角 α
?3π ? ? π? 的范围是? 4 ,π?∪?0,4?. ? ? ? ?

法二

由题意知,直线 l 存在斜率.设直线 l 的斜率为 k,则直

线 l 的方程为 y+1=kx,即 kx-y-1=0. ∵A,B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上. ∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,即 2(k+1)(k-1)≤0. ∴-1≤k≤1. ∴直线 l 的倾斜角 α
?3π ? ? π? 的范围是? 4 ,π?∪?0,4?. ? ? ? ?

考点二 求直线的方程
【例2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;
1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的- . 4 (3)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点,且

|AB|=5.



(1)法一

设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,即 l

过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0. x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴a+a=1, ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

法二

由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0,

设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- k,令 x=0,得 y=2-3k, 2 2 由已知 3-k =2-3k,解得 k=-1 或 k=3, 2 ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2=3(x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (2)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=-4×3=-4.

又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1), 即 3x+4y+15=0. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1.
? ?x=1, 解方程组? ? ?2x+y-6=0,

求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),
? ?2x+y-6=0, 解方程组? ? ?y+1=k?x-1?,

? ?x=k+7, ? k+2 得两直线交点为? ? 4k-2 y= . ? k + 2 ? (k≠-2,否则与已知直线平行) 则B
?k+7 4k-2? ? , 点坐标为? ?k+2 ?. k + 2 ? ?

?k+7 ? ? ? ? ?2 ?4k-2 2 2 -1? +? +1 ? 由已知? = 5 , ? ?k+2 ? ? k+2 ?

3 3 解得 k=-4,∴y+1=-4(x-1),即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

规律方法 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,
并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜 率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式 不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采 用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜 式,应先考虑斜率不存在的情况.

【训练 2】 △ABC 的三个顶点为 A( - 3,0) , B(2,1) , C( - 2,3) ,
求: (1)BC所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线DE的方程.



(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, 由两点式得 BC

y-1 x-2 的方程为 = ,即 x+2y-4=0. 3-1 -2-2 (2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y), 2-2 1+3 则 x= 2 =0,y= 2 =2. BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在 x y 直线方程为 + =1,即 2x-3y+6=0. -3 2 1 (3)BC 的斜率 k1=-2,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2, 由点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0.

考点三 直线方程的综合应用
【例3】 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于 A、B两点,如右图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直 线l的方程.

审题路线 根据截距式设所求直线l的方程?把点P代入,找 出截距的关系式?运用基本不等式求S△ABO?运用取等号的条

件求出截距?得出直线l的方程.

解 1,

x y 设 A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线 l 的方程为a+b=

3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴a+b=1. 3 2 ∴1=a+b≥2 6 ab,即 ab≥24.

1 3 2 ∴S△ABO=2ab≥12.当且仅当a=b,即 a=6,b=4. △ABO 的面积最小,最小值为 12. x y 此时直线 l 的方程为:6+4=1. 即 2x+3y-12=0.

规律方法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用
直线方程中的x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的某函数, 借助函数的性质解决; (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的 有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基 本不等式等)来解决.

【训练3】 在例3的条件下,求直线l在两轴上的截距之和最小时
直线l的方程.
解 设 l 的斜率为 k(k<0),则 l 的方程为 y=k(x-3)+2,令
? ? 2 A?3-k ,0?, ? ?

x=0,得 B(0,2-3k),令 y=0,得 ∴l 在两轴上的截距之和为

? ? 2 ?? 2 2-3k+3-k =5+??-3k?+?-k ??≥5+2 6, ? ?? ?

6 当且仅当 k=- 3 时,等号成立. 6 ∴k=- 3 时,l 在两轴上截距之和最小, 此时 l 的方程为 6x+3y-3 6-6=0.

1.求斜率可用k=tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾

斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两段,
90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线 方程中的系数,这种方法叫待定系数法.

思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用
【典例】 在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD, AB=2,BC =1, AB、AD边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上, A点与坐标原 点重合.将矩形折叠,使A点落在线段DC上.若折痕所在直 线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程.
解 (1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线 1 方程为 y=2.

(2)当 k≠0 时, 将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1). 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 1 有 kAG· k=-1,ak=-1?a=-k. 故 G 点坐标为 G(-k,1), 从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标 (线段 AG 的中点)为
? k 1? M?-2,2?. ? ?

1 ? k? 折痕所在的直线方程为 y-2=k?x+2?, ? ? k2 1 即 y=kx+ 2 +2. 1 k2 1 ∴k=0 时,y=2;k≠0 时,y=kx+ 2 +2.

[反思感悟] (1)求直线方程时,要考虑对斜率是否存在、截距相
等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论. (2)本题需对斜率k为0和不为0进行分类讨论,易错点是忽略斜率 不存在的情况.

【自主体验】 1.若直线过点
? 3? P?-3,-2?且被圆 x2+y2=25 ? ?

截得的弦长是 8,

则该直线的方程为____________________.

解析

若直线的斜率不存在,则该直线的方程为 x=-3,代入

圆的方程解得 y=± 4,故该直线被圆截得的弦长为 8,满足条件; 3 若直线的斜率存在,不妨设直线的方程为 y+2=k(x+3),即 kx 3 -y+3k-2=0,因为该直线被圆截得的弦长为 8,故半弦长为 4. 又 圆 的 半 径 为 5 , 则 圆 心 (0,0) 到 直 线 的 距 离 为 52-42 =
? 3? ?3k- ? 2? ?

3 ,解得 k=-4,此时该直线的方程为 3x+4y+15=0. 2 k +1

答案 x=-3或3x+4y+15=0

2.已知两点A(-1,2),B(m,3),则直线AB的方程为________.
解析 当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1,

当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 1 1 y-2= (x+1), 即 y= (x+1)+2. m+1 m+1

答案

1 x=-1 或 y= (x+1)+2 m+1


相关文章:
高考数学一轮复习9直线和圆的方程
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高考数学一轮复习9直线和圆的方程_数学_高中教育_教育...1 , m ?1 1 ? x ? 1? . m ?1 (2)当 ...
...版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第1节直线与...
大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第1直线方程模拟创新题理...答案 C 2.(2015·山东省实验中学期末)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x...
2016届高考数学(理)(人教A版)总复习课时演练 第9章 第1...
2016届高考数学(理)(人教A版)总复习课时演练 第9章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学(理)(人教A版)...
2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第9章 第1讲...
2015高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第9章 第1讲 直线方程和两直线的位置关系 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2015高考人教A版数学(理)总复习配套...
...:课时提升作业(四十九) 8.1直线的斜率与直线方程
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(四十九) 8.1直线的斜率与直线方程_数学_高中教育_教育专区。课时提升作业(四十九) 直线的斜率与...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第9章...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第9章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版含解析_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(...
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线...
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线方程模拟创新题文_数学...所以 1 ? ?-2≠a+2, a=1 或-3. 答案 A 1 2.(2015·滨州模拟)当 ...
...第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固...9章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程_数学...2-1 3.(2015· 佛山检测)已知直线 l:ax+y-2-...
【优化指导】2015高考数学总复习 第9章 第1节 直线的倾...
【优化指导】2015高考数学总复习 第9章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时跟踪检测 理(含解析)_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总...
...数学一轮复习_第九篇_解析几何_第1讲_直线的方程教...
搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 高考...】2013年高考数学一轮复习_第九篇_解析几何_第1讲_直线的方程教案_理_新人教...
更多相关标签: