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课堂新坐标2016


阶 段 一

阶 段 三

2.3.1
阶 段 二

矩阵乘法的概念 矩阵乘法的简单性质
学 业 分 层 测 评

2.3.2

1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则,并能从变换的角度理解它们. 2.会从几何变换的角度求 MN 的乘积矩阵. 3.通过具体的几何图形变换,理解矩阵乘法不满足交换律.

[基础· 初探] 1.矩阵的乘法 一般地,对于矩阵
?a11 MN=? ?a ? 21 ?a11 M=? ?a ? 21 ?b11 b12 ? a12? ? ? ? , N = ?b ?,规定乘法法则如下: a22? ? ? 21 b22?

? ? ? ? a12? ??b11 b12 ? ?a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 ? =? . ? ? ? ? a22??b21 b22? ?a21b11+a22b21 a21b12+a22b22?

2.矩阵乘法的几何意义 (1)变换的复合:在数学中,一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、 反射、旋转、切变变换的一次或多次复合,而伸压、反射、切变等变换通常叫 做初等变换;对应的矩阵叫做初等变换矩阵. (2)矩阵乘法的几何意义: 矩阵乘法 MN 的几何意义为:对向量 (先 TN 后 TM )的复合变换.
?x? ? α=? ?y?连续实施的 ? ?

两 次几何变换

· (3)当连续对向量实施n (n>1,且 n∈N*)次变换 TM 时,对应地我们记 Mn= . 3.矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律 对于二阶矩阵 A、B 来说,尽管 AB、BA 均有意义,但可能 AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设 A、B、C 均为二阶矩阵,则一定有(AB)C=A(BC). (3)矩阵乘法不满足消去律 设 A、B、C 为二阶矩阵,当 AB=AC 时,可能 B≠C.

[思考· 探究] 1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同?

【提示】

(1)运算条件不同,任何两个实数均可作乘法,而两个矩阵只有

当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时,才能作乘法. (2)从运算律上看,实数的乘法满足交换律、结合律及消去律,而矩阵的乘 法只满足结合律.

2. 矩阵的乘法与变换的复合有什么关系?简单变换与复合变换有什么关 系? 【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合,这样使得若干个简单变换可以

复合成较为复杂的变换;反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.
3.矩阵乘法 MN 与 NM 的几何意义一致吗?为什么?

【提示】 不一致;因为前一个对应着先 TN 后 TM 的两次几何变换,而后者 对应着先 TM 后 TN 的两次几何变换.

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

矩阵的乘法运算
(1)已知 (2)已知
?1 A=? ?0 ? ?1 A=? ?0 ? ?0 0? ? ? , B = ?0 0? ? ?

0? ? ,计算 AB. 1? ?

?0 0? ? ? , B = ? 2? ? ?1

-1? ? ?,计算 AB,BA. 0? 1? ? 2 2 ,计算 A 、 B . ? -1?

?1 ?2 (3)已知 A=? ?1 ?2

1? ? 1 2? ?,B=? ?-1 1? ? 2?

【精彩点拨】 利用矩阵乘法法则计算,根据矩阵乘法的几何意义说明.

【自主解答】
?1 (2)AB=? ?0 ? ?0 BA=? ? ?1 ?0 =? ? ?1 ? 0? ??0 ? 2? ??1

?1 (1)AB=? ?0 ?

? 0? ??0 ? 0? ??0

? 0? ? ?1×0+0×0 =? 1? ? ?0×0+0×0

? 1×0+0×1? ? ?0 ?=?0 0×0+0×1? ?

0? ? . 0? ?

? -1? ? ?1×0+0×1 ?=? 0? ?0×0+2×1

? 1×(-1)+0×0? ? ?0 ?=? 0×(-1)+2×0? ?2

-1 ? ? ?, 0?

? -1? ??1 ? 0? ??0

? ? 0? ? ?0×1+(-1)×0 0×0+(-1)×2? =? ? 2? 1×0+0×2 ? ?1×1+0×0 ?

-2 ? ? ?. 0?

?1 ?2 (3)A2=? ?1 ?2 B
2

1??1 2??2 ?? 1??1 2??2

1? ?1 2? ?2 ?=? 1? ?1 2? ?2

1? 2? ?, 1? 2?

? 1 =? ?-1 ?

? ? ? 1? 1? ?? 1 ? ?0 0? ?-1 -1?=?0 0?. -1? ? ?? ? ?

这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可,但对揭示矩阵乘法的性质却有着 重要的意义.(1)中尽管 A、B 均为非零矩阵,但它们的乘积却是零矩阵;(2)中 AB≠BA;(3)中尽管 B≠C,但有 AB=AC,这与一般数乘有着本质的区别;(4) 中 A2=A,B2=0,这里 0 是一个二阶零矩阵.

证明下列等式并从几何变换的角度给予解释.
?1 ? ?0 ? ? 3? ??1 ? 1? ??0

? 0? ? ?1 =? ? 0?

1?? 1 0? ? ? ? 3? ??0 0? ? 0 1 ? ? 【导学号:30650025】

【解】

?1×1+3×0 ∵左=? ? ?0×1+1×0

? 1×0+3×0? ? ?1 =? 0×0+1×0? ? ?0

0? ? , 0? ?

1 1 ? ? ? ?1×1+3×0 1×0+3×0 ? ?1 右=? ?=? ?0 0 × 1 + 1 × 0 0 × 0 + 1 × 0 ? ? ∴左=右.
?1 ? ?0 ?

0? ? , ? 0?

0? ? 对应的变换将平面上的点垂直投影到 x 轴,而 x 轴上的点沿 x 轴的切 0? ? ? 3? ? ?1 ,? ? 1? ?0 1 ? 3 ?均为沿 x 轴的切变变换,自然有等式成立. ? 1?

?1 变变换是不动点.? ?0 ?

矩阵乘法的简单性质

已知正方形 ABCD,点 A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0),变 ?1 0 ? ?0 -1? ? ? ? 1?, 换 T1 所对应的矩阵 M=? 变换 T2 所对应的矩阵 N=? 计算 MN、 ? ?, 0 0? ?1 2? ? NM,比较它们是否相同,并从几何变换的角度予以解释.
【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.

【自主解答】

?1 ? MN=? 0 ? 1 0? ? 0 ? ? 1 ?=? 2 ? ?1

0?? ? ?0 1 ?? 1 2 ??

? -1? ? ? =?1 0? ? 0 ?2

-1? ? , ? 0 ?

?0 NM=? ? ?1

? ? -1?? 0? ??0 ?

1 ? -2 ? ?. 0?

故 MN≠NM. 从几何变换的角度来看,矩阵 M 表示 T1 为向 x 轴压缩为一半的变换,矩阵 N 表示 T2 为逆时针旋转 90°的变换.

这样 MN 表示矩阵 ABCD 先经 T2,再经 T1 的变换,变换结果如图(1)所示:

而 NM 表示矩形 ABCD 先经 T1,再经 T2 的变换,变换结果如图(2)所示.

(2) 从图(1)以及图(2)可知,MN 和 NM 表示的不是同一个变换.

一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、 两个反射变换满足交换律.

?1 算式? ?0 ?

1 ?1 0? ?1 0?? 0? ?? ? ? ?? = ? ? ? ? 0? ??0 2? ?0 0??0 ?

0? 1? ?表示 AB=AC,但 A≠0 且有 B≠C,请通过 2?

计算验证这个结果,并从几何上给予解释. 【导学号:30650026】

【解】

?1×1+0×0 左边=? ? ?0×1+0×0

? 1×0+0×2? ? ?1 =? 0×0+0×2? ? ?0

0? ? 0? ?

? ?1×1+0×0 右边=? ?0×1+0×0 ? ∴左边=右边.
?1 ? ?0 ? ? 0? ??1 ? 0? ??0

1? 1×0+0×2? ? ?1 ?=? 1? ?0 0×0+0× 2?

0? ? . ? 0?

0? ? 表示先将平面上的点横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍, 2? ?

再往 x 轴上投影.

?1 ? ?0 ?

? 0? ?? 0? ? ?0 1 ?

0? 1 ? 1 ?表示先将平面上的点横坐标不变,纵坐标缩短为原来的 ,再 2 2 ?

往 x 轴上投影.

变换的复合问题
已知圆 C: x +y =1, 先将圆 C 作关于矩阵
2 2

?1 P=? ?0 ?

0? ? 的伸压变换, ? 2?

再将所得图形绕原点逆时针旋转 90°,求所得曲线的方程.
【精彩点拨】 先求出旋转 90°的矩阵 Q,进而求 QP,再求曲线方程.

【自主解答】 则
?0 M=QP=? ? ?1

绕原点逆时针旋转 90°的变换矩阵
? -1? ??1 ? 0? ??0 ? 0? ? ?0 =? 2? ? ?1

?0 Q=? ? ?1

-1? ? ?, 0?

-2? ? ?. 0?

设 A(x0,y0)为圆 C 上的任意一点,在 TM 变换下变为另一点 A′(x′0,y′0),
?x′0 ? ?0 ? ? 则? ?y′ ?=? ? ?1 0? ? ? -2? ??x0? ??y ?, 0?? 0?

x0=y′0, ? ? ? x ′ =- 2 y , ? 0 0 ? 即 所以? x′0 ? ?y′0=x0, ?y0=- . ? 2

又因为点 A(x0,y0)在曲线 x2+y2=1 上,
? x′0?2 所以(y′0) +?- 2 ? =1. ? ?
2

x2 2 故所得曲线的方程为 4 +y =1.

矩阵的乘法对应着变换的复合,而两个变换的复合仍是一个变换,且两个 变换的复合过程是有序的,不能颠倒.

若将本例中两次变换的顺序交换,则曲线的方程如何?
【解】
?0 Q=? ? ?1

绕原点逆时针旋转 90°的变换矩阵 -1 ? ? ?, 0?
? 0? ??0 ? 2? ??1 ? -1? ? ?0 ?=? 0? ?2



?1 M=PQ=? ?0 ?

-1? ? ?. 0?

设 A(x0,y0)为圆 C 上的任意一点,在 TM 变换下变为另一点 A′(x′0,y′0),
?x′0 ? ?0 ? ? 则? ?y′ ?=? ? ?2 0? ? ? -1? ??x0? ?y ?, 0? ?? 0?

y′ 0 ? ? ? x ′ =- y , x0 = 2 , ? 0 0 ? 即 所以? ? ?y′0=2x0, ?

?y0=-x′0.

又因为点 A(x0,y0)在曲线 x2+y2=1 上,
?y′0?2 所以? 2 ? +(-x′0)2=1. ? ?
2 y 故所得曲线的方程为 x2+ 4 =1.

[真题链接赏析] (教材第 47 页习题 2.3 第 5 题)已知△ABC,A(0,0),B(2,0), C(1,2),对它先作
?2 M=? ?0 ? ?1 0? ? ? 对应的变换 , 再作 N = ?0 1? ? ?

0? ? 对应的变换,试研究 ? 2?

变换作用后的结果,并用一个矩阵来表示这两次变换. 已知曲线 C1:x +y =1,对它先作矩阵
?0 B=? ?1 ?
2 2

?1 A=? ?0 ?

0? ? 对应的变换, 2? ?

2 b? x ? 2 再作矩阵 对应的变换,得到曲线 C : + y =1.求实数 b 的值. 2 4 0? ? 【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点 ,考查

运算求解能力.

【解】
?0 ? ?1 ?

从曲线 C1 变到曲线 C2 的变换对应的矩阵为

?0 BA=? ?1 ?

? b? ??1 ? 0? ??0

0? ? = 2? ?

2b? ? . ? 0 ? 在曲线 C1 上任意选一点 P(x0,y0),设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变为

P′(x′,y′),
?0 则有? ?1 ? ? ? ? ? ?2by0? ?x′? 2b? ??x0? ?x′? ? ? ? ? = , 即 =? ?. ? ? ? ? ? ? ? 0 ??y0? ?y′? ?x0 ? ?y′?

? ? ?y0 = x′ , 2 by = x ′ , ? 0 2b 故? 解得? 代入曲线 ? ?x0=y′. ? 1 ?x0=y′. 即曲线
? 1 ?2 C2 方程为:?2b? x2+y2=1. ? ?

C1 方程得,y′

2

? 1 ?2 +?2bx′? =1. ? ?

x2 2 与已知的曲线 C2 的方程 4 +y =1 比较得(2b)2=4. 所以 b=± 1.

1.若

?1 A=? ?0 ?

?1 0? ? ? , B = ?-2 2? ? ?

4? ? ,则 AB=________,BA=________. ? 3?

【解析】

?1 AB=? ?0 ?

? 0? ?? 1 ? 2? ??-2

4? ? 3? ?

?1×1+0×(-2) =? ? ?0×1+2×(-2)
? 1 ? ?-4 ?

? ? 1×4+0×3? ? ? 1 4? ?=?-4 6?, 0×4+2×3? ? ?

【答案】

4? ? 6? ?

2.若

?1 A=? ?0 ?

?1 2? ?1 2? 0? ? ? ? ? ? , B = , C = ,则 AB=________,AC=________. ? ? ? ? ? 0? ?3 4? ?4 4?

【导学号:30650027】

【解析】
?1 AC=? ?0 ?

?1 AB=? ?0 ?

? 0? ??1 ? 0? ??3

? ? 2? ? ?1 2? =? , ? ? 4? ?0 0?

? ? ? ? 0? ??1 2? ?1 2? ?4 4?=?0 0?. 0? ?? ? ? ?

【答案】

?1 ? ?0 ?

2? ? 0? ?

?1 ? ?0 ?

2? ? 0? ?

?a-b 3.? ? ?a+b

?a+b a-b? a+b? ?? ? ? ?=__________. a-b? a - b a + b ?? ?
?a-b ? ? ?a+b ?a+b a+b? ?? ? a-b? ??a-b

【解析】

a-b? ? a+b? ?

?(a-b)(a+b)+(a+b)(a-b) (a-b)2+(a+b)2? ? =? 2 2 ? ( a + b ) +( a - b ) (a+b)(a-b)+(a-b)(a+b)? ? ? ?2a2-2b2 =? 2 ? 2 ?2a +2b

2a2+2b2? ? 2 2?. 2a -2b ?
?2a2-2b2 ? 2 ? 2 ?2a +2b

【答案】

2a2+2b2? ? 2a2-2b2? ?

?-1 4.矩阵乘法? ? ? 0

? 1 0? 0? ? ?? 1 的几何意义是________. ?? ? -1? 0 2 ? ?

【解析】 几何意义是先施以沿 y 轴方向的伸压变换, 再施以原点为中心的 反射变换.
【答案】 先施以沿 y 轴方向的伸压变换,再施以原点为中心的反射变换

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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