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高中必修1-5错误解题分析系列-《7.5综合问题选讲》


§7.5 综合问题选讲 一、知识导学 (一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两 点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根 据直线的方程判断两条直线的位置关系. 3.了解二元一次不等式表示平面区域. 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用. 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法. 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. (二)圆锥曲线方程 1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. (三)目标 1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程; 从直线的点斜式方程出发推导出直线 方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形式 写出直线的方程, 熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化, 能利用直线的方程来研究与 直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性 规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性规 划方法解决一些实际问题. 3.理解“曲线的方程”“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的方 、 程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) ,明确方程中各字母的几何意义, 能根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程, 能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标 和半径,掌握圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充要条件 并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解 圆的参数方程 ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的 y ? r sin ? ?

判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线 和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据 条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范 围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、 双曲线和抛物线;掌握 a 、b、 c 、 p 、 e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲 线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭 圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置 关系的判定方法. 二、疑难知识导析 1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 当斜率 k 存在时, 直线方程通常用点斜式或斜截式表示, 当斜率不存在时, 直线方程为 x = a k 存在与否,要分别考虑. ( a ∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 ⑵ 直线的截距式是两点式的特例,a 、b 分别是直线在 x 轴、 y 轴上的截距,因为 a ≠ 0,b≠0,所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方 程,而应选择其它形式求解.

⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题, 除了合理选择圆的方程, 还要注意圆的对称性等几何性质的运 用,这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种 都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a 、b、 c 、 e 间的互求,并能根据所给的 方程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题: 正确判断焦点的位置; 设出标准方程 ⑴ ⑵ 后,运用待定系数法求解.

b x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 .若已知双曲 a a b a2 b m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
⑷双曲线

x2 y2 y2 x2 ⑸双曲线的标准方程有两个 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 ( a >0,b>0).这里 a b a b 2 2 2 b ?c ?a , 其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a 、 c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. b、
⑹求抛物线的标准方程, 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型, 再求抛物线的标 准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时,应 明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、 焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个. 三、经典例题导讲 [例 1]已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT= t (0< t <1),以 AB 为直腰作直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、Q 两点, 建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后, 反射光线通过点 Q. 解: (1 ) 显然 A ?1,1 ? t ? , B ?? 1 1 ? t ? 于 , , 是 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;
' ‘

(2)由方程组 ?
P (0,1) 、 Q (

? x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? ?tx ? 1,

解出

2t 1? t 2 , ); 1? t 2 1? t 2

1? t2 ?0 2 1? t2 1 1? 0 1 (3) k PT ? k QT ? 1 ? t ? ? . ?? , 2 2t t 0?t t t (1 ? t ) ?t 1? t2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射 光线通过点 Q. 2 2 [例 2]设 P 是圆 M:( x -5) +( y -5) =1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原

点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值. 解:设 P( x , y ),则 Q(18- x , - y ),记 P 点对应的复数为 x + y i ,则 S 点对应的复数为: ( x + y i )· i =- y + x i ,即 S(- y , x )

∴ | SQ|? (18? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x2 ? y 2 ?36x ? 36y ? 2xy ? x2 ? y2 ? 2xy ? 2 ? x2 ? y 2 ?18x ?18y ?81?81 ? 2 ? (x ?9)2 ? ( y ? 9)2
其中

(x ?9)2 ? ( y ?9)2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为

| MB | ?r ? 2 53?1 最小值为 | MB | ?r ? 2 53?1,则
|SQ|的最大值为 2 106? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 . [例 4] (02 年天津卷) 已知两点 M (-1, ,(1, 且点 P 使 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 0) N 0) 成公差小于零的等差数列, (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ . 解: (1)记 P( x , y ) ,由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y)
所以

PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y) NM ? NP ? 2(1 ? x)

MN ? ?NM ? (2,0)

MP ? MN ? 2(1 ? x)

PM ? PN ? x 2 ? y 2 ?1

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0 ?



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (2)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 .
2 2

???? ??? ? ? 2 2 2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ???? ???? ? PM ? PN 1 因为 0〈 x0 ? 3 , 所以 所以 cos ? ? ???? ???? ? . ? 2 PM ? PN 4 ? x0
1 ? 1 ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? , 2 2 3 4 ? x0

tan? ?

sin ? ? cos?

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y 0 .

[例 4]舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处, C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米, 舰 它们准备 捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹.设 舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

20 3g 千米/秒, 3

其中 g 为重力加速度, 若不计空气阻力与舰高, 问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少? 分析:答好本题,除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上,又在以 A、

B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚.
技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间 物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解:取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知,

A、B、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 ).

由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的 中垂线上,易求得其方程为 3 x -3 y +7 3 =0. 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线

x y2 ? =1 的右支上. 4 5
直线与双曲线的交点为(8,5 3 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式,可得 |PA|=10. 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹 的方位角应是北偏东 30°. 设发射炮弹的仰角是θ ,初速度 v0=

2

2v ? sin? 10 20 3g ? ,则 0 , g v0 ? cos? 3

∴sin2θ =

10g v0
2

?
0

3 ,∴仰角θ =30°. 2

答:方位角北偏东 30 ,仰角 30°. 解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何 性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高 能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式 (组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则 可先建立目标函数,再求这个函数的最值. 2 [例 5]已知抛物线 C: y =4 x . (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合,试求椭圆短轴 端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点, 是(1)所求轨迹上任一点, Q 试问|MQ|有无最小值?若 有,求出其值;若没有,说明理由. 解:由抛物线 y =4 x ,得焦点 F(1,0),准线 l : x =-1.
2

(1)设 P( x , y ), B(2 x -1,2 y ),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|= e ,又设点 B 到 l 的 则 距离为 d ,则|BF|∶ d = e ,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶ d ,即(2 x -2) +(2 y ) =2 x (2 x -2),化 简得 P 点轨迹方程为 y = x -1( x >1). (2)设 Q( x ,y),则 |MQ|= ( x ? m) 2 ? y 2 ? (ⅰ)当 m-
2 2 2

1 5 ( x ? m) 2 ? x ? 1 ? [ x ? (m ? )]2 ? m ? ( x ? 1) ? 2 4

1 3 1 2 5 ≤1,即 m≤ 时, 函数 t =[ x -(m- ) ]+m- 在(1, +∞)上递增, t 无 故 2 2 2 4 最小值,亦即|MQ|无最小值. 1 3 1 2 5 1 2 (ⅱ)当 m- >1,即 m> 时,函数 t =[ x -(m- ) ]+m- 在 x =m- 处有最小值 m 2 2 2 4 2


5 5 ,∴|MQ|min= m ? . 4 4

[例 6]已知抛物线 C 的对称轴与 y 轴平行, 顶点到原点的距离为 5.若将抛物线 C 向上平移 3 个单位,则在 x 轴上截得的线段长为原抛物线 C 在 x 轴上截得的线段长的一半;若将抛物线 C 向左平移 1 个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线 C 的方程. 解:设所求抛物线方程为( x - h ) = a ( y - k )( a ∈R, a ≠0) 由①的顶点到原点的距离为 5,得 h2 ? k 2 =5 ②
2



2 2 在①中,令 y =0,得 x -2 h x + h + a k =0。设方程的二根为 x 1, x 2,则

| x 1- x 2|=2 ? ak . 将抛物线①向上平移 3 个单位,得抛物线的方程为 ( x -h) = a ( y - k -3)
2 2 令 y =0,得 x -2 h x + h + a k +3 a =0。设方程的二根为 x 3, x 4,则 2

| x 3- x 4|=2 ? ak ? 3a . 依题意得 2 ? ak ? 3a = 即 4( a k +3 a )= a k

1 ·2 ? ak , 2

2

将抛物线①向左平移 1 个单位,得( x - h +1) = a ( y - k ), 由抛物线过原点,得(1- h ) =- a k ④ 由②③④得 a =1, h =3, k =-4 或 a =4, h =-3, k =-4. 2 2 ∴所求抛物线方程为( x -3) = y +4,或( x +3) =4( y +4). 四、典型习题导练
2

1.过抛物线 x =4 y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (1)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ? QB) ; (2) 设直线 AB 的方程是 x -2 y +12=0, A、 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线, 过 B 求圆 C 的方程. 2.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪,可 能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资 金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最 大? 3.直线 l : y ? kx ? 1与双曲线 : 2 x 2 ? y 2 ? 1的右支交于不同的两点 A、B. C (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 4.已知倾斜角为 45 ? 的直线 l 过点 A(1,-2)和点 B,B 在第一象限,|AB|=3 2 . (1) 求点 B 的坐标; (2) 若直线 l 与双曲线 C :

2

坐标为(4,1) ,求 a 的值; (3) 对于平面上任一点 P , 当点 Q 在线段 AB 上运动时, 称|PQ|的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P (t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数 关系式. 5.已知椭圆的中心在原点,离心率为

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且线段 EF 的中点 2 a

1 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若|MQ|=2|QF|,求直 线 l 的斜率.


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