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南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷


南通市 2013 届高三第一次调研测试数学 I 参考答案与评分标准
(考试时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知全集 U=R,集合 A ? ? x x ? 1 ? 0? ,则 ?U A ? 答案: (??, ?1] . 2. 已知复数 z= 3 ? 2i (i 是虚数单位), 则复数 z 所对应的点位于复平面的第
i







象限.

答案:三. 3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是 答案:48. 4. 定义在 R 上的函数 f ( x) , 对任意 x∈R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , x ? (?2, 0) 时,f ( x) ? 4 x , 当 则 f (2013) ? 答案:
1 4











5.已知命题 p : “正数 a 的平方不等于 0” ,命题 q : “若 a 不是正数,则它的平方等于 0” , 则 p 是q的 ▲ . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空) 开始
y b
2 2

答案:否命题. 6.已知双曲线 x 2 ?
a
2

? 1 的一个焦点与圆

x2+y2-10x=0 的圆心重合, ▲ .

输入 x n←1 n←n+1 x←2x+1

且双曲线的离心率等于 5 ,则该双曲线的标准方程为
2 y ? 1. 答案: x ? 5 20 2

7.若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104, 则 a5 与 a7 的等比中项为 答案: ?4 2 . 8.已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为 答案: .
8
??? ? 9.在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3 , | AB ? AC |?| BC| ,则 BA ? BC = | BC |





n≤3 N 输出 x

Y

(第 8 题)





结束

3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?





答案:

1 2



10 . 已 知 0 ? a ? 1 , 若 log a (2 x ? y ? 1) ? log a (3 y ? x ? 2) , 且 ? ? x ? y , 则 ? 的 最 大 值为 ▲ .

答案:-2. 11.曲线 f ( x) ?
f ?(1) e e ? f (0) x ?
x

1 2

x 在点(1,f(1))处的切线方程为
2





答案: y ? ex ?

1 2

. O
(第 12 题)

12.如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅 为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该 物体 5s 时刻的位移为 答案:-1.5. 13.已知直线 y=ax+3 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 ? 0 相交于 A,B 两点,点 P( x0 , y0 ) 在直线 y=2x 上,且 PA=PB,则 x0 的取值范围为 答案: (?1, 0) ? (0, 2) . 14.设 P(x,y)为函数 y ? x 2 ? 1 ( x ? 3) 图象上一动点,记 m ? m 最小时,点 P 的坐标为 答案:(2,3). 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1) EF // 平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD. B1 E ▲ .
3x ? y ? 5 x ?1 ? x ? 3y ? 7 y?2



cm.





,则当

A1 C1 F A

B 解:(1)连结 A1 B和A1C . 因为 E、F 分别是侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, 所以 E、F 分别是 A1 B和A1C 的中点. 所以 EF // BC . ?????????????????????3 分 B1 E

D
(第 15 题)

C

A1 C1 F A B C

D
(第 15 题)

又 BC ? 平面 ABC 中, EF 故 EF // 平面 ABC .

? 平面 ABC

中,

??????????????????6 分

(2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱, 所以 A1 A ? 平面 ABC ,所以 BC ? A1 A . 故由 EF // BC ,得 EF ? A1 A . ???????????????8 分

又因为 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 BC ? AD . 故
EF ? AD .



EF // BC





?????????????????????????10 分 ,
A1 A, AD ?



A1 A ? AD ? A





A1 AD







EF ?





A1 AD .?????????????12 分



EF ?





AEF









AEF ?





A1 A D.?????????????????????14 分

16.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围. 解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B ,
cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得
sin(C ? A) ? sin( B ? C )



???????????????????????????

??4 分 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即
C?

2C ? A ? B

,



? .
3

?????????????????????????7 分

(2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π .
3 3 3 3 3 3


a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B



????????????????????

??8 分

故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B
2 2

= 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ??????????
2? ? 3 3 ? ? 2

?????11 分
由π π 2π 2π ? ? ? , 知? 2? ? , 3 3 3 3

?

1 ? cos 2? ≤ 1 2





2 2 3 3 ? a ? b ≤ .???????????14 分 4 2

17.(本题满分 14 分) 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这 种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形 D 薄板,沿 AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节 能,凹多边形 ACB?PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽? A
(第 17 题)

B?

P

C

B

解 : ( 1 ) 由 题 意 ,
1? x ? 2 .

AB ? x



BC ? 2 ? x

. 因

x ?2? x

, 故

???????????2 分

设 DP ? y ,则 PC ? x ? y . 因△ ADP ≌△ CB?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 由
PA ? AD ? DP
2 2 2

, 得

2 2 2 1 ( x ? y ) ? ( 2 ? x ) ? y ? y ? 2(1 ? ) x



1 ? x ? 2 .????????5 分

(2)记△ ADP 的面积为 S1 ,则
S1 ? (1 ? 1 )(2 ? x) x

????????????????????????????

?????6 分
? 3 ? (x ? 2 )?2?2 2 x


2









x?



(1



2)





S1









值.??????????????????????8 分 故 当 薄 板 长 为 好.
2

米 , 宽 为 2? 2

米 时 , 节 能 效 果 最

???????????????9 分

(3)记△ ADP 的面积为 S2 ,则
S2 ? 1 1 1 2 4 x(2 ? x) ? (1 ? )(2 ? x) ? 3 ? ( x ? ) 2 x 2 x



1 ? x ? 2 .?????????????????10 分


1 4 ?x ? 2 S 2? ? ? (2 x ? 2 ) ? ?0? x? 2 2 x x
3 3


2



.????????????????????11

分 关于 x 的函数 S2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减. 所 值. 以 当
x?
3

2





S2









????????????????????13 分
3

故 当 薄 板 长 为 好.

2

米 , 宽 为 2? 3 2

米 时 , 制 冷 效 果 最

???????????????14 分

18.(本题满分 16 分) 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?
an ?1 3
n

n(an ? a1 ) 2



,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?

若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 解 a1=S1= :
1(a1 ? a1 ) 2

(1)



n=1





=0.

????????????????????????3 分 ,即 Sn ? .
nan 2

(2)由 Sn ? 得

n(an ? a1 ) 2



① ② ③ ④

S n ?1 ?

(n ? 1)an ?1 2

②-①,得

(n ? 1)an ?1 ? nan .

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 . ③ + ④ , 得

nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1





an ? 2 ? an ? 2an ?1 .

?????????????????7 分

又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列.

所 1.





an=n



?????????????????????????????????9 分 (3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数

列, 于
2p 3
p





?

q 1 . ? 3 3q

???????????????????????????????11

分 所以, q ? 3q ( 易 知 (p
2p 3
p

1 ? ) (☆). 3



q)=(2



3)







(



)







解. ???????????????????????13 分 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是
2p 3
p

2( p ? 1) 3
p ?1

?

2p 3
p

?

2 ? 4p 3
p ?1

<0,故数列{

2p 3
p

}(p≥3)为递减数列,

?

1 ≤ 2 ? 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 3 3 3 3

综 上 , 存 在 唯 一 正 整 数 数 对 (p , q)=(2 , 3) , 使 b1 , bp , bq 成 等 比 数 列. ??????????16 分 注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,

亦相应评分.但在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分.

19.(本题满分 16 分) 已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的
3

椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0). 所以,2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) 2 ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b2=a2-c2=2, 3 ? 3 ? 故
2

?

?

2























2 y x ? ?1. 3 2

??????????????????????4 分
x1
2

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则

3

?

y1 2

2

? 1 ①,

x2 3

2

?

y2 2

2

? 1 ②.

②-①,得 所 k1= 分
y2 ? y1 x2 ? x1 ??

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 3

?

( y 2 ? y1 )( y 2 ? y 1 ) 2

? 0.


2( x2 ? x1 ) 3( y2 ? y1 ) ?? 4 xP 6 yP ?? 2 3



. ?????????????????????9

(3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于
2k 2 2 ? 3k1
2

(2 ? 3k1 ) x ? 6k1 k2 x ? 3k2 ? 6 ? 0 .
2 2 2

是 .



xM ?

?3k1k2 2 ? 3k1
2



yM ?

???????????????????????11 分
?3k1k2 2 ? 3k
2 2

同理, xN ?

, yN ?

2k1 2 ? 3k2
2



当 k1k2≠0 时, 直 k=
yM ? y N xM ? xN ?

线
4 ? 6(k2 ? k2 k1 ? k1 )
2 2

MN =
10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1







?9k2 k1 (k2 ? k1 )

.??????????????13 分
(x ? ?3k1k2 2 ? 3k1
2

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即 此
2 (0, ? ) . 3

2k 2 2 ? 3k1
2

?

10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1

),

y?

10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1

10 ? 6k 2 k1 3k1k 2 2k 2 x?( ? ? ), 2 2 ?9k2 k1 2 ? 3k1 2 ? 3k1
x? 2 3

y?

10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1

. 直 线 过 定 点



??????????????????????????????15 分

当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) .
3


2 (0, ? ) . 3







线

MN



















????????????????????16 分

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0 且 x≠1).
ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值;

(2)若 ?x1 , x2 ? [e, e 2 ] ,使 f(x1)≤ f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.
1 解 : ( 1 ) 因 f(x) 在 (1, ??) 上 为 减 函 数 , 故 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? 0 在 (1, ??) 上 恒 成 (ln x)

立.

??????2 分

所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? ? (ln x)

? ln1x ?

2

?

1 ?a ?? 1 ?1 ln x ln x 2

?

?

2

?

1 ?a, 4

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a .
ln x 2

4


1 . 4



1 ? a ? 0, 4





a≥

1 4





a











????????????????????6 分

(2)命题“若 ?x1 , x2 ? [e, e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “
f ( x)m i ? f ? ? x ?m n
a x


?a

x ? [e, e ]
2







”.

????????????????????7 分

由(1),当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 .
4 4


f ( x)m i n ?
1
0


1 ”. 4













x ? [e, e ]
2







????????????????????8 分

当 a ? 1 时,由(1), f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为减函数,
4


a? 1 1 ? . 2 4e 2
2
0

f ( x) min

=

f (e ) ?
2

2 e 1 ? ae ? 2 4

2





?????????????????10 分

当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ?
4

? ln1x ? 1 ? 2

2

?

2 1 ? a 在 [e, e ] 上为增函数, 4

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a] .
4

(i)若 ?a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e, e 2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数, 于 合. 是 ,
f ( x) min

=

f (e) ? e ? ae ? e>

1 4





???????????????????12 分
4

(ii)若 ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知,
? 唯一 x0 ? (e, e ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
2

当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 , e 2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函 数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?
x0 ln x0 ? ax0 ? 1 4

, x0 ? (e, e 2 ) . , 与 0?a? 1 矛 盾 , 不

所 以 , a? 1 ? 1 ? 12 ? 1 ?1?1 ?1
ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4

4

4

合. ?????????15 分 综
a? 1 1 ? . 2 4e 2







??????????????????????????????16 分

南通市 2013 届高三第一次调研测试数学附加题 参考答案与评分标准
(考试时间:30 分钟 满分:40 分)

21.【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,若 AD 是△ABC 的高,AE 是⊙O 的直
? 径,F 是 BC 的中点.求证:

A

(1) AB ? AC ? AE ? AD ; (2) ?FAE ? ?FAD . B E 证明:(1)连 BE ,则 ?E ? ?C ,又 ?ABE ? ?ADC ? Rt? , 所以△ABE∽△ADC,所以 AB ? AE .
AD AC

O D
(第 21A 题)

C

F


AB ? AC ? AE ? AD . ??????????????????????????????

??5 分
? (2)连 OF ,∵ F 是 BC 的中点,∴ ?BAF ? ?CAF .



(1)





?B A E ? ? C A D





?FAE ? ?FAD .

???????????????????10 分

B.选修 4-2:矩阵与变换 已知曲线 C : y 2 ? 2 x ,在矩阵 M ? ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C1 , C1 在矩阵 ?0 2 ? N? ? 解 A? ?
?0 ?1 ?1? ?1 ?? 0 ? ?0
?0 ?1 ?1? ? 0? ?1 0?

对应的变换作用下得到曲线 C2 ,求曲线 C2 的方程. : 设
?2 ? ?, 0?

A=NM





0 ? ?0 ??? 2 ? ?1

?????????????????????3 分

设 P ? x ', y '? 是曲线 C 上任一点,在两次变换下,在曲线 C2 上的对应的点为 P ? x, y ? ,


? x ' ? y, ? ? 1 ? y ' ? ? 2 x. ?

? x ? ?0 ? ??? ? y ? ?1

?2 ? ? x ' ? ? ?2 y '? ? ?? ? ? ? 0 ? ? y '? ? x ' ?





? x ? ?2 y ', ? ? y ? x ',



???????????7 分

又 点
y?

P ? x ', y '?

在 曲 线

C : y ? 2x
2

上 , ∴

(?

1 2 x) ? 2 y 2

, 即

1 2 x .????????????10 8



C.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐 标方程为 ? 2 cos 2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ,直线 l 的参数方程为 ? 在曲线 C 上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大. 解
x
2 2

? x ? ? 3t , ? ?y ?1? t ?

(t 为参数,t∈R).试


? y ?1.



线

C













?????????????????????????2 分 线 l 的 普 通 方 程 是

3


x? 3y ?

. 3? 0

????????????????????????4 分

设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos ? , sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是
3 cos ? ? 3 sin ? ? 2

d?

3

3 ?

2 sin(? ? 2

π 4

) ?1

. ??????????????

?????7 分 因为 ? 2 ? 2 sin(? ?
π

?
4

)? π 4

2 ,所以 ? 2kπ ?
2 2

当 sin(? ? ) ? ?1 ,即 ? ?
4

π 2

(k ? Z),即 ? ? 2kπ ?

3π 4

(k ? Z)时,d 取得最大值.

此时 3 cos ? ? ?

6 2

, sin ? ? ?


7π 6 ) 时 , 该 点 到 直 线

综 上 , 点 M 的 极 坐 标 为 ( 2, 大. 注 ?????????10 分 凡给出点 M 的直角坐标为 (?
6 2 ,?

l 的 距 离 最

2 2

) ,不扣分.

D.选修 4-5:不等式选讲

已知 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? b ? 1 ,求 S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值. 解:? a ? 0, b ? 0, 2a ? b ? 1, ∴
4a ? b ? (2a ? b) ? 4ab ? 1 ? 4ab ,
2 2 2

??????????????????????

??2 分 且
ab ? 1 , 8

1 ? 2a ? b ? 2 2ab





ab ?

2 4



????????????????????5 分

∴ S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 ? 2 ab ? (1 ? 4ab) ? 2 ab ? 4ab ? 1 ? 2 ? 1 ,
2









a?

1 1 ,b ? 4 2











立. ?????????????????????????10 分 M 22.(本小题满分 10 分).解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,已知定点 R(0,-3),动点 P,Q 分别在 x 轴和 y 轴上移动,延长 PQ
??? ???? ? ? ??? ? ???? ? 至点 M,使 PQ ? 1 QM ,且 PR ? PM ? 0 . 2

y

Q x O R P

(1)求动点 M 的轨迹 C1; (2)圆 C2: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,过点(0,1)的直线 l 依次交 C1 于 A,D 两点 (从左到右),交 C2 于 B,C 两点(从左到右),求证: AB ? CD 为定值.
??? ??? ? ?
??? ?

(第 22 题)

解:(1)法一:设 M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由 PR ? PM ? 0, PQ ? QM 及 R(0,-
2

??? ???? ? ?

? 1 ????

3),得
? ?? x1 ( x ? x1 ) ? (?3) y ? 0, ? 1 ? ? ? x1 ? x, 2 ? 1 1 ? ? y2 ? y ? y 2 . ? 2 2
2









x ? 4 y . ???????????????????????4 分

所 以 , 动 点

M

的 轨 迹

C1 是 顶 点 在 原 点 , 开 口 向 上 的 抛 物

线. ???????????????5 分 法二:设 M(x,y). 由 PQ ? QM ,得
2 ??? ? ? 1 ???? P(? x 2 , 0), Q (0, y 3 ).

所以, PR ? ( , ?3), PM ? (
2

??? ?

x

???? ?

3x 2

, y) . x 3 ( , ? 3)? ( x ,y )? 0 , 即 2 2 3 4

由 PR?PM ? 0 , 得
x ? 4y .
2

??? ???? ? ?

x ? 3y ? 0
2

. 化 简 得

???????4 分 M 的 轨 迹 C1 是 顶 点 在 原 点 , 开 口 向 上 的 抛 物

所 以 , 动 点

线. ???????????????5 分 (2)证明:由题意,得 设
A( x1 , y1 ) ??? ??? ? ? AB ? CD ? AB ? CD ,⊙C2 的圆心即为抛物线 C1 的焦点 F.



D ( x2 , y2 )





AB ? FA ? FB ? y1 ? 1 ? 1 ? y1 .

??????????????7 分

同理

CD ? y2 .

设直线的方程为 x ? k ( y ? 1) .
? x ? k ( y ? 1), 1 2 ? 2 2 2 2 2 由? 1 2 得 y ? k ( y ? 1) ,即 k y ? (2k ? 4) y ? k ? 0 . 4 ? y? x , ? 4


??? ??? ? ? AB ? CD ? AB ? CD ? y1 y2 ? 1 .





????????????????????????10



23.(本小题满分 10 分).解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知数列{an}满足: a1 ? 2a ? 2, an ?1 ? a a
n

?1

? 1(n ? N ) .
*

(1)若 a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式; (2)若 a ? 3 ,试证明:对 ?n ? N* ,an 是 4 的倍数. 解:(1)当 a ? ?1 时, a1 ? ?4, an ?1 ? (?1) a
n

?1

?1.

令 bn ? an ? 1 ,则 b1 ? ?5, bn ?1 ? (?1)b .
n

因 b1 ? ?5 为奇数, bn 也是奇数且只能为 ?1 , 所
? ?4, an ? ? ?0, n ? 1, n ? 2.





? ?5 , n ? bn ? ? ? ?1 , n ?

1, 2 ,



?????????????????????3 分 当
a?3

(2)
a1 ? 4, an ?1 ? 3
an ?1





?1 .

????????????????????????4 分

下面利用数学归纳法来证明:an 是 4 的倍数.

当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 4 ? 1 ,命题成立; 设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,则存在 t ? N*,使得 ak ? 4t ,
? ak ?1 ? 3
ak ?1

?1 ? 3

4 t ?1

? 1 ? 27 ? (4 ? 1)

4( t ?1)

? 1 ? 27 ? (4m ? 1) ? 1 ? 4(27 m ? 7) ,

4t 3 其中, 4m ? 44(t ?1) ? C1 t ?1) ? 44t ?5 ? ? ? (?1) r Cr t ?1) ? 44t ? 4 ? r ? ? ? C 4( t??1) ? 4 , 4( 4(

? m ? Z ,? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.
?

























?n ? N

*



立.

???????????????????10 分

南通市 2013 届高三第一次调研测试 数学Ⅰ讲评建议
第 1 题 考查集合运算.注意集合的规范表示法,重视集合的交并补的运算. 第 2 题 考查复数的基本概念及几何意义.对复数的概念宜适当疏理,防止出现知识盲点. 第 3 题 考查常见几何体的表面积与体积的计算.应熟练掌握常见几何体的表面积的计算, 灵活应用等体积法计算点面距. 第 4 题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用. 第 5 题 本题考查简易逻辑的知识. 应注意四种命题及其关系, 注意全称命题与特称性命题 的转换. 第 6 题 本题考查双曲线的标准方程、 简单性质与圆的有关知识. 对双曲线的讲评不宜过分 引申. 第 7 题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算. 法一 用性质.S9=9a5= -36,S13= 13a7= -104,于是 a5= -4,a7= -8,等比中项为

?4 2 .

法二 法一.

用基本量.S9=9a1+36d= -36,S13=13a1+78d= -104,解得 a1=4,d= -2.下同

第 8 题 本题主要考查算法及几何概型等知识. 法一 当输入 x=1 时,可输出 x=15;当输入 x=9 时,可输出 y=79.于是当输入 x
79 ? 55 79 ? 15 ? 3 8

的取值范围为[1,9]时,输出 x 的取值范围为[15,79],所求概率为 法二 输出值为 8 x ? 7 .由题意: 8 x ? 7 ≥ 55 ,故 6 ≤ x ≤ 9 .



第 9 题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识.

满足 | AB ? AC |?| BC| 的 A,B,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于 是 BA ? BC = BA =1. 第 10 题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算.讲评时应强调对数的真数 应大于 0.强调对数函数的单调性与底数 a 之间的关系. 第 11 题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义.
f ?( x) ? f ?(1) e e ? f (0) ? x ? f ?(1) ?
x

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

f ?(1) e

e ? f (0) ? 1 ? f (0) ? 1 .
1

在方程 f ( x) ?

f ?(1) e

e ? f (0) x ?
x

1 2

x 中,令 x=0,则得 f ?(1) ? e .
2

讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别. 第 12 题 本题主要考查三角函数及其应用.考题取自教材的例题.教学中应关注课本,以及 有关重要数学模型的应用,讲评时还要强调单位书写等问题. S(t)= 3sin(
10 3 ?t ? ? 2 ) ,求 S(5)= -1.5 即可.

第 13 题 本题主要考查直线与圆的有关知识. 圆心 C(-1,0)到直线 l:y=ax+3 的距离为 d ?
|3?a| 1? a
2

? 3 ,解得

a>0 或 a< ? .
4

3

由 PA=PB,CA=CB,得 PC⊥l,于是 k PC ? ? ,进而可求出 x0 的取值范围.
a

1

第 14 题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力,考查运用基本不等式解决问 题.讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养. 法一
m? 3x ? x ? 6
2

x ?1
2

?

x ? 3x ? 10
2

x ?3
2

?6?

x ?3
2

x ?1

?

x ?1 x ?3
2



当且仅当 法二

x ?3 x ?1

?

x ?1 x ?3
2

,即 x ? 2 时 m 取得最小,此时点 P 的坐标为 (2, 3) .
? x ? 1 ? 3y ? 6 y?2 ?6? y?2 x ?1 ? x ?1 y?2

m?

3x ? 3 ? y ? 2 x ?1 ? x ?1 y?2



当且仅当

y?2 x ?1

时 m 取得最小值.下略.

第 15 题 本题主要考查空间点线面的位置关系,考查逻辑推理能力以及空间想象能力.讲 评时应注意强调规范化的表达.注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、 公理、定理等. 第 16 题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正 余弦定理等.讲评时,应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略, 同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用, 例如两边之和大于第三边, sin(A+B)=sinC,面积公式及等积变换等.

(2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π .
3 3 3 3 3 3

因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B
2 2

= 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? .
2? ? 3 3 ? ? 2
由2 2 1 3 3 π π 2π 2π ? ? ? , 知? 2? ? , ? ? cos 2? ≤ 1 ,故 ? a ? b ≤ . 2 4 2 3 3 3 3

法二:由正弦定理得: c ? 2 R sin C ? 3 .
2

由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,故 a 2 ? b 2 ? 3 ? ab .
4

因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ? 3 .
4
2 2 2 2 又 ab ≤ a ? b ,故 a 2 ? b 2 ≤ 3 ? a ? b ,得 a 2 ? b 2 ≤ 3 .

2

4

2

2

因此, 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 .
4 2

第 17 题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形 为载体,再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题 的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学 生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心. 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值 情况. 第 18 题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个 基本数列属 C 能要求,属高考必考之内容,属各级各类考试之重点. 第(3)问中,若数列{an}为等差数列,则数列{ k a }(k>0 且 k≠1)为等比数列;反之
n

若数列{an}为等比数列,则数列{ log a an }(a>0 且 a≠1)为等差数列. 第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数 m,p,q(其中 m<p<q),使 bm,bp, bq 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(m,p,q);若不存在,说明理 由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时,只须添加当 m≥2 时, 说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同. 对于第(2)问,在得到关系式: (n ? 1)an ?1 ? nan 后,亦可将其变形为
an ?1 an ? n , n ?1

并进而使用累乘法(迭乘法), 先行得到数列{an}的通项公式, 最后使用等差数列的 定义证明其为等差数列亦可.但需要说明 n≥2. 考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的

第一次大规模的检测, 因而在评分标准的制定上, 始终本着让学生多得分的原则, 例如本题中的第(1)问 4 分,不设置任何的障碍,基本让学生能得分. 第 19 题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与独立分析问题与解决问题 的能力.讲评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养. 第(2)问,亦可设所求直线方程为 y-1=k1(x-1),与椭圆方程联立,消去一个变 量或 x 或 y,然后利用根与系数的关系,求出中点坐标与 k1 的关系,进而求出 k1 的值. 第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则 两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两 中点所在直线的斜率的最值. 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”. 第 20 题 本题主要考查函数与导数的知识,考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的 能力. 第(2)可另解为: 命题“若 ?x1 , x2 ? [e, e 2 ], 使 f ( x1 ) ≤ f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “ ?x1 ? [e, e 2 ] ,使 f ( x1 ) ≤ f ? ? x ?max ? a ”. 由(1),当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,于是 f ? ? x ?max ? a ? 1 .
4 4

故 ?x1 ? [e, e 2 ] ,使 f ( x1 ) ? 所以当 x ? [e, e 2 ] 时, a ≥

x1 ln x1

? ax1 ≤

1 4

,即 ?x1 ? [e, e 2 ] ,使 a ≥ 1 ? 1 .
ln x1 4 x1

? ln1x ? 41x ?


min

记 g ( x) ? 1 ? 1 , x ? [e, e 2 ] ,则 g ?( x) ?
ln x 4x

?4 x ? (ln x) ?1 1 ? ? 2 2 2 2 x(ln x) 4x 4 x ? (ln x)

2



因 x ? [e, e 2 ] ,故 4 x ? [4e, 4e2 ], (ln x) 2 ? [1, 4] ,于是 g ?( x) ? 0, ?x ? [e, e 2 ] 恒成立. 所以, g ( x) ? 1 ? 1 在 [e, e 2 ] 上为减函数,
ln x 4x

所以, g ( x)min ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? 1 2 .
ln e 4e 2 4e

所以, a ≥ 1 ? 1 2 .
2 4e


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