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第十二章 第二节 直线与圆的位置关系


会证明和应用以下定理:? (1)圆周角定理;? (2)圆的切线判定定理与性质定理;? (3)相交弦定理;? (4)圆内接四边形的性质定理与判定定理 (5)切割线定理.

1.圆周角 O为圆心,A、B、 圆周角的度数 定 等于 它所对弧 C为圆上任意三 点,则有∠ACB



的度数的一半



∠AOB

O为圆心,A、B、 同弧或等弧 所对的圆周 C、D为圆上任意 四点,则有∠ACB

角 相等
推论1 同圆或等圆

=∠ADB= ∠AOB
O为圆心,A、B、

中,相等的
圆周角所对 的弧 相等

C、D为圆上任意四
点,且∠CAD= ∠ACB,则有=

半圆(或直
径)所对的 O为圆心,A、B、C为圆 上三点,且BC为圆的直




圆周角等于 90°

径,则有∠BAC= 90°
O为圆心,A、B、C为圆上 三点,且∠BAC=90° ,则 BC为圆的 直径

2 90° 的圆周 角所对的弦 为 直径

2.圆的切线
O为圆心,A为圆

判 经过圆的半径的
定 外端且 垂直 于 定 这条半径的直线 理 是圆的切线

上一点,直线l经
过点A且 垂直 OA, 与⊙O相交于点A, 则直线l是圆的一条 切线,切点为A

性 质 圆的切线 垂直于经 定 过切点的半径 理 O为圆心,直线l

与圆相切于点A,
则l 垂直于 OA

切 线 从圆外一点引圆的 两条切线长 相等

O为圆心,C为 圆外的一点,由


定 理

C向圆作切线,
分别交圆于点A、 B,则有 CA=CB

3.弦切角定理及其推论

弦切角的度 定 数等于它所 AB是⊙O的切线, ∠BAC的度数等于的 度数

理 夹的弧的度
数的 一半




弦切角等于它 所夹弧所对的

AB是⊙O的切线, C、D 为圆上两点, 则∠BAC=∠ADC

圆周角

4.圆中的比例线段


交 圆内的两条相交弦,被交
弦 点分成的两条线段长的积 定 理 相等 PA· PB=PC· PD

割 从圆外一点引圆的两条割

线 线,这点到每条割线与圆
定 的交点的两条线段长的积 理 相等

PA· PB=PC· PD


割 线 定 理

从圆外一点引圆的一条割线 和一条切线,切线长是这点 到割线与圆的两个交点的两 条线段长的 比例中项 PA· PB=PC2

5.圆内接四边形的性质定理和判定定理 性 质 圆内接四边 定 形对角 互补 四边形ABCD内接 于⊙O,∠A+∠C



=π,∠B+∠D=π

判 如果四边形

在四边形ABCD中,

定 的对角互补,
定 则此四边形 理 内接于圆

∠A+∠C=π或∠B
+∠D=π,则四边 形ABCD 内接于 圆

1.如图,AB是⊙O的直径,

延长AB到点P,使AB=2
BP,过点P作⊙O的切线, 切点为C,连结AC,求∠ CAP的大小.

解:设∠CAP=α,

连结OC、BC,
则∠OCP=90°,∠ACO=α, ∠COP=2α. ∵AB=2BP,∴OB=BP, 在Rt△OCP中,BC= OP=OB=OC,

∴∠CBO=∠COP=∠OCB=2α. ∴2α=60°,∴α=30°.

2.如图,PT切⊙O于点T,PA交⊙O于

A、B两点,且与直径CT交于点D,
CD=2,AD=3,BD=6,求PB的长.

解:由相交弦定理得= ∴DT=9.



在Rt△PDT中有PT2=PD2-DT2, 由切割线定理PT2=PB· PA=PB· (PB+9), PD=PB+6, 联立①②③解得PB=15.

① ② ③

3.如图,在Rt△ABC中,AB=BC, 以AB为直径的⊙O交AC于点D, 过D作DE⊥BC,垂足为E,连接 AE交⊙O于点F. 求证:BE· CE=EF· EA.

证明:在Rt△ABC中,∠ABC=90°, 所以OB⊥CB,

所以CB为⊙O的切线.
所以EB2=EF· EA. 连接OD,因为AB=BC, 所以∠BAC=45°,又OD=OA, 所以∠BOD=90°.

在四边形BODE中,∠BOD=∠OBE=∠BED=90°,OD=OB,
所以四边形BODE为正方形.

所以BE=OD=OB=

AB=

BC,所以BE=CE.

所以BE· CE=EF· EA.

1.判定切线通常有三种方法?
(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;? (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;? (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. 2.圆的切线的性质定理及推论有如下结论:如果一条直 线具备下列三个条件中的任意两个,就可以推出第三 个:(1)垂直于切线; (2)过切点; (3)过圆心.于是在

利用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线.

如图所示,⊙O的直径为6,
AB为⊙O的直径,C为圆周上一点. BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的 垂线AD,AD分别与直线l、圆交于D、 E,求∠DAC及线段AE的长度.

[思路点拨] 利用∠ACD+∠ACB+∠BCF=90°,求∠DAC;利用 Rt△ABE≌Rt△BAC,求AE.

[课堂笔记] 由已知△ABC是直角三角形,易知∠CAB= 30°,

由于直线l与⊙O相切,由弦切角定理知∠BCF=30°,
由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°,知∠DCA=60°, 故在Rt△ADC中,∠DAC=30°. 则∠EAB=60°=∠CBA, 连结BE,如图所示,则Rt△ABE

≌Rt△BAC,
所以AE=BC=3.

圆内接四边形的重要结论有:
1.内接于圆的平行四边形是矩形;

2.内接于圆的菱形是正方形;
3.内接于圆的梯形是等腰梯形.

如图所示,已知AP是 ⊙O的切线,P为切点,AC是 ⊙O的割线,与⊙O交于B,C 两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点. (1)证明:A,P,O,M四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM的大小.

[思路点拨]

(1)连结OP,OM,利用圆内接四边形对角互补证明;?
(2)先证∠OAM=∠OPM,再证明∠OPM+∠APM=90°

[课堂笔记] (1)证明:连结OP,OM,如图所示. 因为AP与⊙O相切于点P, 所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点,
所以OM⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180°. 由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补, 所以A,P,O,M四点共圆.

(2)由(1)得A,P,O,M四点共圆,

所以∠OAM=∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.又圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+ ∠APM=90°. 所以∠OAM+∠APM=90°.

应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的常见 解决方法? (1)找过渡乘积式证明等积式成立;? (2)为三角形相似提供对应边成比例的条件;?

(3)利用等积式来证明有关线段相等.?

如图所示,已知PA与⊙O

相切,A为切点,PBC为割线,弦
D∥AP,AD、BC相交于E点,F为 CE上一点,且DE2=EF· EC. (1)求证:∠P=∠EDF; (2)求证:CE· EB=EF· EP; (3)若 ,DE=6,EF=4,求PA的长.

[思路点拨] (1)欲证∠P=∠EDF,可先证∠P=∠C,∠C=∠EDF;? (2)欲证CE· EB=EF· EP,可先证△DEF∽△PEA;? (3)先求PB、PC的长,再利用切割线定理求PA.

[课堂笔记] (1)证明:∵DE2=EF· EC, ∴ .

又∵∠DEF是公共角,∴△DEF∽△CED, ∴∠EDF=∠C. ∵CD∥AP,∴∠C=∠P.

∴∠P=∠EDF.

(2)证明:∵∠P=∠EDF,∠DEF=∠PEA,
∴△DEF∽△PEA. ∴ .

即EF· EP=DE· EA. ∵弦AD、BC相交于点E,∴DE· EA=CE· EB. ∴CE· EB=EF· EP.

(3)∵DE2=EF· EC,DE=6,EF=4,∴EC=9.
∵= ,∴BE=6.

∵CE· EB=EF· EP,
∴9×6=4EP,解得:EP= ∴PB=PE-BE= . .

,PC=PE+EC=

由切割线定理得:PA2=PB· PC, ∴PA2= ,

∴PA=

.

以解答题的形式考查与圆相关的角的问题、四点 共圆问题、圆的切线问题以及与圆有关的比例线段问 题,是高考对本节内容的常规考法.09年辽宁高考以解

答题的形式考查了圆和三角形的综合问题,是一个新
的考查方向.

[考题印证]
(2009· 辽宁高考)(10分)已知△ABC中, AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧 点(不与点A,C重合),延长BD至E. (1)求证:AD的延长线平分∠CDE; 上的

(2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为2+
△ABC外接圆的面积.

,求

【解】

(1)证明:如图,设F为AD延长线上一点.

∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠CDF=∠ABC.┄(2分)

又AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB, 又∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF. 对顶角∠EDF=∠ADB,

故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE. ┄┄┄┄┄┄(5分)

(2)设O为外接圆圆心,连结AO并延长交BC于H,

则AH⊥BC.连结OC.
由题意∠OAC=∠OCA=15°, ∠ACB=75°,

∴∠OCH=60°.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分)
设圆半径为r,则r+ r=2+ ,得r=2,

故外接圆面积为4π.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)

[自主体验] 已知△ABC内接于圆O,BT为圆O的切线,P为直 线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交

直线AC于点F.
(1)如图①,求证:当点P在线段AB上时,PA· PB= PE· PF; (2)如图②,当点P在线段AB的延长线上时,上述结 论是否还成立?

如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明 理由.

解:(1)证明:∵BT切圆O于点B, ∴∠EBA=∠C. ∵EF∥BC,∴∠AFP=∠C.∴∠EBA=∠AFP. ∵∠BPE=∠FPA,∴△PBE∽△PFA. ∴ .∴PA· PB=PE· PF.

(2)当P为AB延长线上一点时,(1)中的结论仍成立.
∵BT切圆O于点B,∴∠ABM=∠ACB.

∵∠ABM=∠PBE,∴∠PBE=∠ACB.
∵EF∥BC,∴∠F=∠ACB.∴∠PBE=∠F. ∵∠P是公共角,∴△PBE∽△PFA. ∴ .∴PA· PB=PE· PF.


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