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江西省赣州市信丰县信丰中学2015届高三下学期周考一数学(理)试题


2014-2015 学年度第二学期高三周考一 数学(理科)试卷
命题人:郭奕平 审题人:杜菊森 2015.4 一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的). 1. 已知 i 为虚数单位,a 为实数, 复数 z ? (a ? 2i)(1 ? i) 在复平面内对应的点为 M , 则“ a ? 是“点

M 在第四象限”的( A.充分而不必要条件 必要条 ) B.必要而不充分条件 C.充要条件

1 ” 2

D.既不充分也不

2.设集合 A ? {x | log2 ( x2 ? 3x) ? 2} , B ? ? x |

A . ? ?1,0?

B . ? ?1, 2?


? ?

x?3 ? ? 0? ,则 A ? B = ( ) 2? x ? C . ? ?1, 2? D . ? 0, 2?

2 3 . 某 校 高 考 数 学 成 绩 ? 近 似 地 服 从 正 态 分 布 N 100,5 , 且 P ?? ? 1 1 0 8 ? ? 0 . 9,

?

?

P ? 90 ? ? ? 100? 的值为(

A.0.49 B.0.52 C.0.51 D.0.48 4. 已知点 P(sin? ? cos? , tan ? ) 在第二象限,则 ? 的一个变化区间是( ) A. ? ? 5.设 k ? (

? ? ?? , ? ? 2 2?

B. ? ?

? ? ?? , ? ? 4 4?

C. ? ?

? 3? ? ? ,? ? 2? ? 4
8 8

D. ?

?? ? ,? ? ?2 ?

?

?

0

2 若( (sin x ? cos x)dx , 1 ?k x ) 8 ?a 0 ?ax1 ? ax2 ? .? ax

, 则 a1 ? a 2 ?a 3 ? ... ?8a ? D.256

) A.-1 B.0 C.1 6.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的 T 是(

)

D. 4 B. 2 C. 3 ?x ? y ?1 ? 0 7.实数 x, y 满足 ? ,若 t ? y ? 2 x 恒成立,则 t 的取值范围是( ) ?( x ? 2 y)( x ? 2 y ? 6) ? 0 D. t ? ?5 A. t ? 13 B. t ? 5 C. t ? ?13 8.已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) ? f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时,其导数 f ?( x ) 满足 xf ?( x) ? 2 f ( x) ,若 2 ? a ? 4 ,则 ( )

A. 1

A. f (2 ) ? f (3) ? f (log2 a)
a

B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2 )
a

C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2 )
a

D. f (log2 a) ? f (2 ) ? f (3)
a
2 2 2

9.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 满足 b ? c ? a ? bc , AB?BC ? 0 ,

??? ? ??? ?

a?

3 , 2

则 b ? c 的取值范围是(

)

A. ?1, ?

? 3? ? 2?

B. ?

? 3 3? ? 2 ,2? ? ? ?

C. ?

?1 3? , ? ?2 2?

D. ?

? 1 3? , ? 2 2? ?

10.一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的 表面积为( )

2

2

A. 9?

B.

28 ? 3

C. 8?

D. 7?

1
正视图

1 2

11.已知 F1、F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 a 2 b2
2

侧视图

3

右焦点, 过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另 一条渐近线于点 M , 若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外, 则 双曲线离心率的取值范围是( )

2
俯视图

A. (1, 2)
12.函数 f ( x) ?

B. ( 3, ??)

C. ( 3, 2)

D. (2, ??)

1 3 x ? sin x ? 2 x 的定义域为 R ,数列 ?an ?是公差为 d 的等差数列,且 2 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ??????? a2015 ? 0 ,记 m ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ??????? f (a2015 ) ,关于实

数 m ,下列说法正确的是( ) m A. 恒为负数 B. m 恒为正数 C.当 d ? 0 时, m 恒为正数;当 d ? 0 时, m 恒为负数 D.当 d ? 0 时, m 恒为负数;当 d ? 0 时, m 恒为正数 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? _________________。 D 14.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x 对任意的 m ? [?2, 2] 有

E O F C B

f ? mx ? 2 ? ? f ? x ? ? 0 恒成立,则 x ?

.

A

15.从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人,从中随机抽取 2 个人进行 位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是 . 16.如图所示,在⊙O 中, AB 与 CD 是夹角为 60 ° 的两条直径,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? E , F 分别是⊙O 与直径 CD 上的动点,若 OE ? BF ? ?OA ? OC ? 0 , 则 ? 的取值范围是________.

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列 {an } 满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28,且 a3 ? 2 是

a2 , a4 的 等 差 中 项 .

(1)

求 数 列 {an } 的 通 项 公 式 ; (2)
n ?1

若 bn ? an log1 an ,
2

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 Sn ? n ? 2

? 30 成立的正整数 n 的最小值.

18.(本小题满分 12 分)某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进 行研究.他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的昼夜温差及每天 30 颗种子的发芽数,并得到如 下资料:

日期 温差 x (度) 发芽数 y(颗)
5 5

3月1日 10 15

3月2日 11 16

3月3日 13 17

3月4日 12 14

3月5日 9 13

参考数据

? xi yi ? 832,? xi2 ? 615,
i ?1 i ?1

,其中 b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

; a ? y ? bx

2

i

(1)请根据 3 月 1 日至 3 月 5 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程.据气象预报 3 月 6 日的 昼夜温差为 11℃,请预测 3 月 6 日浸泡的 30 颗种子的发芽数.(结果保留整数) (2)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选两天,记种子发芽数超过 15 颗的天数为 X,求 X 的概率分布列, 并求其数学期望和方差.

19. (本小题满分 12 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 , ?ABC ? 90 , 如图( 1 ) .把 ?ABD 沿 BD 翻折,使得 平面 ABD ? 平面B CD . (1) 求证: CD ? AB ; (2)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离;
?

(3)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ?若存在,求出

?

BN 的值;若不存在,说明理由. BC

20.(本小题满分 12 分)已知点 M 是圆心为 C1 的圆 ( x ? 1) ? y ? 8 上的动点,点 C 2 (1,0) ,
2 2

若线段 MC2 的中垂线交 MC1 于点 N .
2 2

(1) 求动点 N 的轨迹方程;

( 2 )若直线

O 为坐标原点, l : y ? kx ? t 是圆 x ? y ? 1 的切线且 l 与 N 点轨迹交于不同的两点 P 、Q , 2 4 若 OP ? OQ ? ? ,且 ? ? ? ,求△ OPQ 面积的取值范围. 3 5

21.(本小题满 分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅰ)若 f ( x) 无极值点,求 a 的取值范围;

1 ? a ln x . x

1 ? (ln x) a ,当 a 取(Ⅰ)中的最大值时,求 g ( x) 的最 小值; x n 1 2 n ?1 ? ln n (n ? N *) . (Ⅲ)证明不等式: ? 2 ?1 i ?1 2 i (2 i ? 1)
(Ⅱ)设 g ( x ) ? x ?

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题记分 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图,直线 PQ 与⊙O 相切于点 A,AB 是⊙O 的弦, ?PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点, (1)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (2)若 AQ=6,AC=5.求弦 AB 的 长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

P A O B Q
(第 22 题图)

C

.

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). 在以原 2 ?y ? 5 ? t ? 2 ? 点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值.

?

?

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

2014-2015 学年度第二学期高三周考一数学(理科)试卷参考答 案
一、选择题: 二、填空题: AADB BCDC BBDA 14. ( ?2, ) 13. A ? ? ?

2 3

15.

2 3

16. [?2 3, 2 3]

16、 解: 设圆的半径为 r , 以 O 为原点,OB 为 x 轴建立直角坐标系, 则 B(r , 0), C ( r , ? 设 E (r cos ?, r sin ?) , OF ? ?OC ? ( r , ?

??? ?

????

? 2

3 ?r )(?1 ? ? ? 1) 2

1 3 r) 2 2 ??? ? ???? 1 ?OA ? OC ? ? r 2 2

??? ? ??? ? ? 3 OE ? BF ? r 2 [( ? 1) cos ? ? ? sin ?] ?? ? (? ? 2)cos ? ? 3? sin ? 2 2
? ? (? ? 2)2 ? ( 3?)2 ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 3
17. 解: (1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q.

???[?2 3, 2 3]

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,可得 a3 ? 8 ,? a2 ? a4 ? 20 ,

1 ? ? a1q 2 ? 8, ?q ? 2, ? ?q ? , 解之得 ? 或? ?? 2 又数列 ?an ? 单调递增, 3 ? ?a1 ? 2 ? a1q ? a1q ? 20, ? ? a1 ? 32. ……6 分 ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n. ? q ? 2 , a1 ? 2 ,
(2) ? bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,? Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? n ? 2 ) ,
2 n
2

2Sn ? ?[1? 2 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ] ,
2

两式相减,得 Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 3 n

n?1

? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1.

? Sn ? n ? 2n?1 ? 30 即 2n?1 ? 2 ? 30 ,即 2n?1 ? 32 ? 25 ? n ? 1 ? 5 ? n ? 1 ? 5 从而 n ? 4 故正整数 n 的最小值为 5. ? 使? Sn ? n ? 2n?1 ? 30 成立的正整数 n 的最小值为 5. …………………12 分
18. 解(1)b=0.7, a=7.3 …………………3 分 所以所求的线性回归方程为: y ? 0.7 x ? 7.3 …………………4 分 当 x=11 时,y=15,即 3 月 6 日浸泡的 30 颗种子的发芽数约为 15 颗. …………………6 分 (2)X 的可能取值为 0,1,2,其分布列为: X p 所以: EX ? 0 1 2

3 10

3 5

1 10

4 9 …………………12 分 , DX ? 5 25 19、解: (Ⅰ)由已知条件可得 BD ? 2, CD ? 2, CD ? BD . ∵平面 ABD ? 平面BCD , 平面ABD ? 平面BCD ? BD . ∴ CD ? 平面ABD .又∵ AB ? 平面ABD ,∴ CD ? AB . (Ⅱ)以点 D 为原点, BD 所在的直线为 x 轴, DC 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐 标系,如图.由已知可得 A(1,0,1), B(2,0,0), C (0, 2,0), D(0,0,0), M (1,1, 0) . ??? ? ??? ? ∴ CD ? (0, ?2,0), AD ? (?1,0, ?1) .
设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 CD ? n, AD ? n ∴ ?

? y ? 0, ? x ? z ? 0,

令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1,0,?1) ,∴点 M

? ???? ? n ? MC 到平面 ACD 的距离 d ? ???? ? ? 2. 2 MC
(Ⅲ)假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 .
?

??? ? ??? ? ???? 设 BN ? ? BC, 0 ? ? ? 1 ,则 N (2 ? 2? , 2? , 0) ,∴ AN ? (1 ? 2?, 2?, ?1) ,
又∵平面 ACD 的法向量 n ? (1,0,?1) 且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,
?

???? ? AN ? n 3 , 可得 8?2 ? 2? ? 1 ? 0 ,∴ ? ? 1 或? ? ? 1 (舍去) ∴ sin 600 ? ???? ? ? . 2 4 2 AN ?n
综上,在线段 BC 上存在点 N,使 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,此时 20、
?

BN 1 ? . BC 4

21.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选 讲 1 证明: (1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴ ?BAC ? ?CBA ∴AC=BC=5 由切割线定理得: ∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 (2) 由 AC=BC=5,AQ=6 及(1) , 知 QC=9 由 ?QAB ? ?ACQ 知 ?QAB ∽ ?QCA ∴

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC?QC
------------5 分

AB QA ? AC QC



AB ?

10 . 3

----------10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 ? ? x ?3? 2 t (1)由 ? 2 ? ? y? 5? 2 t

解:

得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 --------2 分
2 2

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 5 y ? 0

即 . ---------5 分 (2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

x2 ? y ? 5

?

?

2

?5

? 2 ? ? 2 ? 2 t? 得 ?3? ? ? ?? ? 2 t? ? ? 5 ,即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 2 ? ? ? ?
由于 ? ? 3 2 所以 ? 1

2

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实数根,

? ?t ? t2 ? 3 2 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 ? ? t1 ? t2 ? 4

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 24. 解: (1)当 a=2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4 ,

------10 分

?7 ? ? ? ? (2) f ? x ? ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ? x ? ? 1 解集是 ? 0, 2? ,
不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ;……………5 分 2 2

? ?

1?

?a ? 1 ? 0 1 1 ,解得 a=1,所以 ? ?? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? m 2n ?a ? 1 ? 2 ?1 1 ? 所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ? ? ? ? 4 . ……………10 分 ? m 2n ?


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