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14数学全国教师6(理)


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(六)
第六单元 三角函数的图象与性质
(120 分钟 150 分)

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.sin
17π 等于 6

A.

1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

解析:sin 答案:A

17π π 5π 1 =sin(3π- )=sin = . 6 6 6 2

2.函数 y=xsin x 的图象 A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于 x=2对称
π

解析:函数 y=sin x 是奇函数,所以函数 y=xsin x 是偶函数.故选 B. 答案:B

3.设点 P(m,n)(n≠0)是角为 600° 的终边上的一点,则的值为 A.- 2




B. 2

C.- 3 D. 3

解析: =tan 600° =tan 60° = 3. 答案:D

4.若

sin+cos 1 = ,则 sin-cos 2

tan α 等于 C.2
3

A.-2
解析:由 答案:B

3

B.-3

D.3

sin+cos 1 = ,得 2(sin α+cos α)=sin α-cos α,即 sin α=-3cos α,所以 tan α=-3. sin-cos 2

5.对任意非零实数 a,b,若 a*b 的运算原理如下程序框图所示,则6*(cos 3 +tan 4 )等于

1





A.12
解析:因为 cos
1 1 1 6 3 2

1

B.8

1

C.6

1

D.4

1

2π 5π 1 1 +tan =- +1= . 3 4 2 2 1 6 π 3 π 4 1 1 1 2 2 4

又 2× = < ,所以 *[cos(π- )+tan(π+ )]= × = . 答案:D

6.在 2 点至 3 点之间的某一时刻,分针与时针分别在钟面上“2”字的两侧,而且与“2”字的距 离相等,这一时刻是 A.2 时 6 分
3 13

B.2 时 7 分

1 13

C.2 时 8 分

5 13

D.2 时 9 分
1 2

3 13

解析:显然分针在“2”字的上侧,时针在 “2”字的下侧,且分针速度是 6° /分钟,时针速度是( )° /分钟. 设这一时刻为 2 时 x 分,则从 2 点到此时刻分针转过的角度大小为(6x)° ,时针转过的角度大小为 ( x)° .从而可列出方程 60-6x= x, 解得 x=9 . 所以这一时刻应是 2 时 9 分. 答案:D
3 13 1 2 1 2 3 13

7.将函数 y=sin(x-3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得 的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的解析式是 A.y=sin2x B.y=sin(2x-2) C.y=sin(2x-6)
π 3 1 π 1 1 π π 3

π

D.y=sin(2x-6)
1 π 2 3 1 2 π π 3 3 1 π 2 6

π

解析:y=sin(x- )→y=sin( x- )→y=sin[ (x+ )- ]→y=sin( x- ). 答案:C

8.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=-3x 上,且满足 1-sin2 θ=-cos θ,则 θ 是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
1 3

1

解析:因为角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=- x 上,所以 θ 是第二或 第四象限角.又有 1-sin2 θ=-cos θ,所以 cos θ<0,故 θ 是第二象限角. 答案:B

9.在同一平面直角坐标系中,画出三个函数 f(x)= 2sin(2x+4),g(x)=sin(2x+3),h(x)=cos(x-6) 的部分图象(如图),则下列判断正确的是 A.a 为 f(x),b 为 g(x),c 为 h(x) C.a 为 g(x),b 为 f(x),c 为 h(x)
从而 c 为 g(x). 答案:B
π 6 π 6

π

π

π

B.a 为 h(x),b 为 f(x),c 为 g(x) D.a 为 h(x),b 为 g(x),c 为 f(x)

解析:从振幅、最小正周期的大小入手,b 的振幅最大,故 b 为 f(x);a 的最小正周期最大,故 a 为 h(x),

10.已知函数 f(x)=cos(ωx- )(ω>0)满足 f(x+π)+f(x)=0,则函数 g(x)=sin( -ωx)的单调递增区 间为 A.[-6+kπ,3+kπ],k∈Z B.[-3+2kπ, 3 +2kπ],k∈Z C.[3+kπ, 6 +kπ],k∈Z D.[ 3 +2kπ, 3 +2kπ],k∈Z
解析:因为函数 f(x)=cos(ωx- )(ω>0)满足 f(x+π)=-f(x),所以最小正周期为 2π,所以 以 g(x)=sin( -x)=-sin(x- ). 由 +2kπ≤x- ≤ 答案:D
π 2 π 3π 2π 5π +2kπ,k∈Z,得 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 6 2 3 3 π 6 π 6 π 6 2π =2π,解得 ω=1.所 π 5π 2π 5π π π π 2π

11.函数 f(x)=-2cos x+1,y=f'(x)在区间[a,b]上是增函数且 f'(a)=-1,f'(b)=1,则 f(

+ )等于 2

A.0

B.

2 2

C.1

D.-1

解析:f(x)=-2cos x+1,f'(x)=2sin x,由 2sin a=-1,2sin b=1,且 y=sin x 在[a,b]上是增函数知,a=2kππ π ,b=2kπ+ ,k∈Z. 6 6



+ + =2kπ,k∈Z,∴ f( )=-2cos 2kπ+1=-1. 2 2

答案:D

12.若函数 f(x)满足以下两条规则:① 在区间 D 上的任何取值都有意义;② 对于区间 D 上的 任意 n 个值 x1,x2,x3,…,xn,总满足
(1 )+f(2 )+f(3 )+…+f() + + +…+ ≥f( 1 2 3 ).我们称函数 π 2

f(x)为区间 D 上的凹函数. 那么,下列函数中是区间[0, ]上的凹函数的个数是 (1)f(x)=sin x;(2)f(x)=-cos x;(3)f(x)=tan(x+4);(4)f(x)= 3sin(2x-3). A.1 B.2 C.3 D.4
π 4 π 2 π 4 π π

解析:要判断是不是凹函数,先明确凹函数的定义.当 x= ∈[0, ]时,f(x)=tan(x+ )不存在,所以不满足① , 故(3)f(x)=tan(x+ )不是区间[0, ]上的凹函数;画图象易知(1)f(x)=sin x 不是区间[0, ]上的凹函 数;(2)f(x)=-cos x 是区间[0, ]上的凹函数;(4)取特殊值 x1=0,x2= ,则
(1 )+f(2 ) 3sin(-3 )+ 3sin(π-3 ) 1 +2 = =0,f( )= 2 2 2 π 3 π 2
π π

π 4

π 2

π 2

π 2

π 2

3cos = ,所以

π 3 3 2

(1 )+f(2 ) 1 +2 <f( ),所以函数 2 2

f(x)= 3sin(2x- )不满足② ,故不是区间[0, ]上的凹函数.综上知,选 A. 答案:A

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.已知 α∈(-2,0),tan(α-π)=- 5,则 cos α=
解析:tan(α-π)=tan α=- 5.∵ α∈(- ,0),∴ cos α= 答案:
6 6 π 2 6 . 6 π

.

14.若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边长的一半,则这条弧所对的圆心角的弧 度数为 .

解析:设圆的半径为 r,正三角形的边长为 a,则 r=
a 3 的弧度数 α=2 = 2 = . 2
1 3r

2 2 3 a× = a,所以 a= 2 3 3

3r,所以这条弧所对的圆心角

答案:

3 2 π

15.在角 α、α+4的终边上各有一点(3,t)、(2t,4),则实数 t 的值是


.

π 2 1+3 2 π 解析:tan α= ,tan(α+ )= ,则 = ,解得 t=-6 或 t=1,但 t=-6 时,α 是第四象限角,α+ 是第二象限角,这 3 4 4 1-
3

是不可能的,所以 t=1. 答案:1

16.△ABC 为锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A-cos B,cos A-sin C),则
sin(2π-) |cos| tan + π = |sin| sin( +θ) |tan|
2

.

解析:因为△ABC 为锐角三角形,所以 0° <A,B,C<90° ,所以 0° <90° -B<A<90° , 所以 sin A>sin(90° -B)=cos B,同理,sin C>cos A,即点 P 位于第四象限.所以
tan -sin cos tan = + =1+1+1=3. |tan| -sin cos -tan sin(2π-) |cos| + |sin| sin(π+θ)
2

答案:3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)

如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2). (1)指出终边落在直线 OP0 上的角 θ 的集合; (2)当 P 第 1 次运动到位置 P1(0,2) 时,质点 P 所经过的长度(弧长)l 和所扫过的扇形的面 积 S.

解析:(1)由题意可知,∠xOP0=- ,所以终边落在直线 OP0 上的角 θ 的集合为{θ|θ=π 3π π +2kπ,k∈Z}∪{θ|θ= +2kπ,k∈Z}={θ|θ=- +nπ,n∈Z}.5 分 4 4 4

π 4

(2)由题意得∠P0OP1=

3π 3π 3π ,所以由弧长公式可知质点 P 所经过的长度 l= × 2= . 4 4 2 1 2 3π 3π .10 分 2 2

扫过的扇形的面积 S= × 2× =

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 2asin(x+4)+b+a. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 a<0,且 x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求 a、b 的值.
解析:(1)当 a=1 时,f(x)= 2sin(x+ )+b+1, 所以当 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ ,即 2kππ 2 π 4 π 2 3π π ≤x≤2kπ+ (k∈Z)时, 4 4 3π π ,2kπ+ ](k∈Z).6 分 4 4 π 4 π

f(x)是增函数,故 f(x)的单调递增区间是[2kπ(2)因为 x∈[0,π],所以 ≤x+ ≤
π 4

π 5π 2 π ,所以- ≤sin(x+ )≤1. 4 4 2 4 π 4

又因为 a<0,所以 2a≤ 2asin(x+ )≤-a,所以 2a+a+b≤f(x)≤b. 而 f(x)的值域是[3,4],所以 2a+a+b=3 且 b=4,解得 a=1- 2,b=4.12 分

19.(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)为了得到函数 y=f(x)的图象,只需把函数 y=sin x,x∈R 的图象经过怎样的变换得到?
解析:(1)由题设图象知,周期 T=2(
11π 5π 2π - )=π,∴ ω= =2. 12 12

π 2

因为点(

5π 5π 5π ,0)在函数图象上,所以 Asin(2× +φ)=0,即 sin( +φ)=0. 12 12 6 π 2 5π 5π 4π 5π π +φ< ,从而 +φ=π,即 φ= . 6 6 3 6 6 π 6

又∵ 0<φ< ,∴ <

又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,A=2. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ).6 分 (2)先将函数 y=sin x,x∈R 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin(x+ ),x∈R 的图象;再把函数 y=sin(x+ ),x∈R 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,得到函数 y=sin(2x+ ),x∈R 的图象; 最后把函数 y=sin(2x+ ),x∈R 图象上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,从而得到函数 f(x)=2sin(2x+ ),x∈R 的图象.12 分
π 6 π 6 π 6 1 2 π 6 π 6 π 6 π 6

20.(本小题满分 12 分)

京广高铁的贯通,带动了沿线某站点所在市旅游业的发展.在车站附近,有一块边长为 100 m 的正方形地皮,如图 ABCD 所示,其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山,其余部分都 是平地. 市政府决定在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点 P 在弧 ST 上,相邻两 边 CQ、CR 落在正方形的边 BC、CD 上.求矩形停车场 PQCR 面积 S 的最大值与最小值.
解析:设∠PAB=θ(0° ≤θ≤90° ),延长 RP 交 AB 于点 M. 则 AM=90cos θ,MP=90sin θ,则 PQ=MB=AB-AM=100-90cos θ,PR=MR-MP=100-90sin θ, 所以 S=PQ·PR=(100-90cos θ)(100-90sin θ)=10000-9000(sin θ+cos θ)+8100sin θcos θ.6 分 令 t=sin θ+cos θ(1≤t≤ 2),则 sin θ·cos θ= 所以 S=10000-9000t+8100×
10 9 2 -1 . 2

2 -1 10 =4050(t- )2+950. 2 9

故当 t= 时,S 有最小值 950 m2;当 t= 2时,S 有最大值(14050-9000 2)m2.12 分

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ<2,x∈R)的两个相邻零点之间的距离为2,且 图象上的一个最低点为 M( 3 ,-2). (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[12,2]时,求 f(x)的值域.
解析:(1)由最低点为 M(
2π ,-2),得 A=2. 3 π 2 π 2 2 2π 2π = =2. π π π 2π

π

π

由函数的两个相邻零点之间的距离为 ,得 = ,即 T=π,所以 ω= 由点 M( 故
2π 2π 4π ,-2)在图象上,得 2sin(2× +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1. 3 3 3

4π π 11π +φ=2kπ- ,k∈Z,所以 φ=2kπ(k∈Z). 3 2 6 π 2 π 6 π 6

又 φ∈(0, ),所以 φ= .故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ).6 分 (2)因为 x∈[ , ],所以 2x+ ∈[ ,
π π 6 2 π 6 π π 12 2 π π 7π ]. 6 3 6 π 7π π ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2

当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2;当 2x+ = 故 f(x)的值域为[-1,2].12 分

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 3sin xcos x-cos2x- . (1)求函数 f(x)的单调减区间; (2)若不等式|f(x)-m|<1 在 x∈[- , ]恒成立,求实数 m 的取值范围.
解析:(1)由已知得:f(x)=
π 2 π 6 3 2 3 1+cos2 1 3 1 π sin 2x- = sin 2x- cos 2x-1=sin(2x- )-1. 2 2 2 2 2 6 ππ 46 1 2

令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ π,k∈Z, 得 kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z. ∴ 函数 f(x)的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ π],k∈Z.6 分 (2)∵ f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[- , ]), ∴ m>f(x)max-1 且 m<f(x)min+1,
ππ 46 π 3 5 6 π 3 5 6

又∵ x∈[- , ],∴ 2x- ∈[- π, ], ∴ f(x)∈[-2,- ],∴ m>- -1 且 m<-2+1, 故 m 的取值范围是(- ,-1).12 分
3 2 1 2 1 2

ππ 46

π 6

2 π 3 6


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